Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций

Акниев Гасан Гарунович

МАТЕМАТИКА

УДК 517.521.2

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ СУММ ФУРЬЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Г. Г. Акниев

Акниев Гасан Гарунович, младший научный сотрудник отдела математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, 367025, Россия, Махачкала, М. Гаджиева, 45, hasan.akniyev@gmail.com

Для заданного натурального числа N ^ 2 на отрезке [0,2п] выбрано N равноотстоящих узлов tk = 2nk/N (0 < k < N - 1). Для каждого натурального числа n, удовлетворяющего неравенству 1 < n < [N/2J, обозначим через Ln,N(f) = Ln,N(f,x) тригонометрический полином порядка n наименьшего квадратического отклонения от функции f в точках tk, который доставляет минимум сумме N-o1 If (tk) - Tn (tk )|2 среди всех тригонометрических полиномов Tn порядка n. Рассмотрена задача о приближении кусочно-линейных периодических функций полиномами Ln,N(f, x). На конкретных примерах показано, что полиномы Ln,N(f, x) приближают кусочно-линейную непрерывную периодическую функцию со скоростью O(1/n) равномерно относительно x е R и 1 < n < N/2, а также приближают такую функцию f (x) со скоростью O(1/n2) вне сколь угодно малых окрестностей, содержащих точки «излома» рассматриваемой ломаной f (x). Кроме того, на примерах показано, что полиномы Ln,N(f, x) приближают кусочно-линейную разрывную функцию со скоростью O(1/n) вне сколь угодно малых окрестностей, сожержащих точки разрыва f (x). Особое внимание уделено приближению полиномами Ln,N(f, x) 2п-периодических функций f1 и f2, которые на отрезке [-п, п] совпадают с функциями |x| и sign x соответственно. Для первой из этих функций показано, что вместо оценки |f1 (x) - Ln,N(f1, x) | < c ln n/n, вытекающей из известного неравенства Лебега для полиномов Ln,N(f,x), установлена точная по порядку оценка |f1 (x) - Ln,N(f1 ,x)| < c/n (x е R), которая имеет место равномерно относительно 1 < n < [N/2J. Кроме того, получена локальная оценка |f1 (x) - Ln,N(f1 ,x)| < c(e)/n2 (|x - nk| ^ e), которая также имеет место равномерно относительно 1 < n < I N/21. Что касается второй из указанных функций f2 (x),

то для нее равномерно относительно 1 ^ п ^ [N/2] получена оценка |/2(ж) - (/2, х) | ^ ^ е(г)/п (|х - пк| > г). Доказательства полученых оценок базируются на сравнении аппроксимативных свойств дискретных и непрерывных тригонометрических сумм Фурье.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, кусочно-линейные функции, приближение функций, тригонометрические полиномы, ряды Фурье.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2018-18-1 -4-16

ВВЕДЕНИЕ

Пусть N ^ 2 — целое положительное число, и = , (0 ^ к ^ N — 1) —

система узловых точек. Обозначим через (/) = (/, х), где 1 ^ п ^ [N/2], тригонометрический полином порядка п наименьшего квадратического отклонения от функции / на сетке {¿к}^=01. Другими словами, полином (/, х) доставляет минимум для суммы ^^="011/(¿к) — Тп(¿к)|2 на множестве всех тригонометрических полиномов Тп порядка п. В частности, (/, х) — интерполяционный полином,

совпадающий с функцией /(ж) в точках . Легко показать (см. [1]), что (/, х) при п < N/2 представляется в виде

п 1 N-1

^(/,х) = £ с^(/, где с^(/) = - ]Т /(4)е—^,

N k=0

а когда n = N/2 (когда N — чётное)

Ln/2,n(f, x) = Ln/2-i,n(f, x) + an n) (f) cos nx, (1)

где

1 2n-l

ai2n) (f ) = 2nEf (tk )cos ntfc. (2)

k=0

Подробнее о приближении функций тригонометрическими полиномами можно почитать в работах [2-11]. Целью данной работы является исследование поведения величин |Ln,N(fi,x) - fi(x)| и |Ln,N(f2,x) - f2(x)| при n, N ^ ^ для функций fi(x) = |x| и f2(x) = sign x на отрезке [—п, п]. Для этого воспользуемся одной леммой, доказанной в [1]. Предварительно введём некоторые обозначения, а именно обозначим через

п

Ck(f) = 2п / f (t)e-ikt dt, k e Z,

—п

коэффициенты Фурье функции f, а через

/(х) = £ Ск(/ЗД, х) = Ск(/

ке^ к;=—п

— ряд Фурье функции f и его частичную сумму порядка п соответственно. Обозначим

Д1 (е) = [—п + е, —г] и [е, п — е], 0 < £ < п/2.

Кроме того, через С и С(е) мы будем обозначать некоторые положительные константы, зависящие только от указанных параметров, вообще говоря, разные в разных местах.

v=—n

Лемма 1 (см. [1]). Если ряд Фурье функции f сходится в точках = 2пк/^ тогда имеет место представление

Ьп^ (Л х) = 5П (Л х) + Дп^ (f, х),

где 2п < N и

п

го

2

Rn,N(f, x) = п ^ Dn(x - t) cos ^Ntf (t) dt. (3)

п ^=i—п

Из приведённой леммы следует, что при n < N/2

|Ln,N(f,x) - f (x)| < |Sn(f,x) - f (x)| + |Rn,N(f,x)|. (4)

Теорема 1. Для отклонения Ln,N(f) от функции fi, где fi(x) = |x| на [-п, п] и n ^ I.N/2J, справедливы следующие оценки:

C

|Ln,N(fi,x) - fi(x)| < —, x e [-п,п],

n

|Ln,N(fi,x) - fi(x)| < ^, x e A1 (e).

n2

Теорема 2. Для отклонения Ln,N(f) от функции f2, где f2 (x) = sign x на [-п,п] и n < LN/2J, справедлива следующая оценка:

|Ln,N(f,x) - f (x)| < Cne), x e A1 (e).

1. ОЦЕНКА ДЛЯ |Sn(fi,x) - fi(x)|, г = 0,1, n < N/2

Лемма 2. Для величины |Sn(fi,x) - fi(x)|, где fi(x) = |x|, x e [-п, п], справедливы оценки

C

|Sn(fi,x) - fi(x)| < c, x e [-п,п], (6)

n

|Sn(fi,x) - fi(x)| < C(e), x e A1 (e). (7)

n

Лемма 3. Для величины |Sn(f2,x) - f2(x)|, где f2(x) = sign x, x e [-п, п], справедлива оценка

|Sn(f2,x) - f2(x)| < , x e A1 (e).

n

Перейдем к доказательству данных лемм. Доказательство (леммы 2). Из [12, с. 690] имеем формулу

Л(*) = М = 2 - 4 Е С0®—^ х е [—п,п], (8)

откуда, учитывая, что | еоз(2к — 1)х| ^ 1, можно легко получить (6). С другой стороны, применив к (8) преобразование Абеля, легко получить (7). □ Доказательство леммы 3 получено в [13].

2. ОЦЕНКА ОСТАТКА (Д ,х)

Справедлива следующая

Лемма 4. Для (Д ,х) при п < N/2 справедливы оценки

(/1 ,х)| < П + ^ < С, х е [—п,п], п \ 2п) п

п (1 4 \ С(е) _ д//

|Rn,N(/1 ,x)| ^ + , x е А1 (г).

П2 \ 6 | sin eU n2

Для доказательства данной леммы заметим, что остаток (3) для функции /1 принимает следующий вид:

^ п

2 г

Rn,N(Д, x) = - Dn(x - t) cos ^Nt|t| dt, (9)

^=1

1 n

Dn(x - t) = - + cos k(x - t) (10)

2 k=1

— ядро Дирихле. Подставив формулу (10) в (9) имеем

где

п

го

1

R,N(f1,x) = |t| cos ^Ntdt, (12)

п

го

2 ^^ /» '

Rn,N (f1 ,x) = -£ |t| ^^ cos k(x — t) cos ^Ntdt. (13)

-п

Величины (/1 ,х)| и (/2,х)| оценены в следующих леммах. Лемма 5. Выражение (12) имеет следующую оценку при п < N/2:

7Г

(/1,х)| < ^ ' х е [—п'п]'

Лемма 6. Выражение (13) имеет следующую оценку при п < N/2:

2 4п

(Л,х)| < х 6 [—п,п].

Лемма 7. Выражение (13) имеет также следующую оценку при п < N/2:

4п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1Д"'N(Л.х)! ^ ' х 6 Д(е).

Перейдем к доказательству данных лемм.

Доказательство (леммы 5). В силу четности подынтегрального выражения можно переписать (12) в следующем виде:

п

2 го С (/i ,x) — _ ^^ t cos ^Ntdt.

о

Применив метод интегрирования по частям, получим:

Ri (/x) 2 f мг -1

(/Ь x) — ,,2

пN2 ^ и2 —=1

Очевидно, что когда N — четное, ^П^(Л, х) = 0. Когда N — нечетное, сумма принимает следующий вид:

?1 . 4 А 1

RN(/i,x) — -nN2 £ (2M -1)2

откуда

(/1,х)| = п^2и2(1 — 2-)2 ^ и2 = ^ бп2. п

Для доказательства лемм 6 и 7 нам понадобится доказать еще две леммы: Лемма 8. Выражение (13) можно представить в следующем виде:

2

RU(/i' x) - П ^2 ^2 cos kx fc=i

го n i i

+

(^N - k)2 (^N + k)2 Доказательство. В (13) вынесем сумму из интеграла:

((_1)^+fc - i) . (14)

п

го n

2

Rn,N(/i,x) —|t| cos^Ntcosk(x - t) dt. (15)

П u=i fc=i ^ ^ —п

Подставив в (15) формулу cos k(x - t) — cos kx cos kt + sin kx sin kt, получим:

п

2 го n

Rn,N (/i, x) — — ^^ ^^ cos kx |t| cos ^Nt cos ktdt. (16)

П ^=i k=i —п

Рассмотрим подробнее интеграл из (16):

cos ^Nt cos ktdt = 2 |t|(cos(^N — k)t + cos(^N + k )t)dt

П П

tcos(^N — k)tdt + tcos(^N + k)tdt = ( . -—--h ( , -r^-

w > J w > (MN — k)2 (MN + k)2

(17)

Из (16) и (17):

2

R (fi, x)^^Vcos kx

^=1 fc=1

1

+

1

(^N — k)2 (^N + k)

((—1fN+fc — 1) .

Лемма 9. Справедлива следующая оценка:

Е((—1)M+ — 1)cos jx j=1

<

| sinx|

, M G Z.

Доказательство. Можно записать

((—1)

j=i

M+j

1) cos jx = <

2 cos2kx, если M = 2m,

fc=i

2 ^ cos(2k + 1)x, если M = 2m + 1.

fc=0

□

(18)

Оценим каждый из случаев отдельно. Для этого проведем некоторые преобразования:

E1 sin(21 + 1)x — sin x

cos 2kx =- y sin x cos 2kx = —

sin x

fc=i fc=i

2 sin x

Отсюда имеем

Аналогично получаем формулу

cos 2kx

fc=i

<

| sin x|

J^cos(2k + 1)

x=

fc=0

sin(21 + 2)x 2 sin x

откуда получаем оценку

(19)

J^cos(2k + 1)

x

fc=i

11 ^-^

2| sin x| | sin x|

Доказательство следует из (18)-(20).

Доказательство (леммы 6). Из формулы (14)

(20)

□

4

R'N(fi,x)| < -]Г]Т

i у;-

^=i fc=i

11

+

(^N — k)2 (^N + k)

<

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

4 ^ п

< п ^ ^

^=1 к=1

1

+

1

4п

< — У

7Г ^ ^=1

— п)2 (^ + 1)2_ 2

— п)2_

8п ул 1

Пж2

7Г ^ ^=1

1

+

— п)2 (^ + 1)2_

<

^=1

М2 (1 — ^)2

< 32п ул 1 < 4п м2 ^ 3п

^=1

^ 2

Доказательство (леммы 7). Рассмотрим внутреннюю сумму (14):

А = еоэ кх

к=1

1

+

1

(^ — к )2 (^ + к)

((—1)^+к — 1)

Применив к ней преобразование Абеля, получим:

п(

А = ^((—1)^+к — 1)еов кх(

к=1 ^

1

+

1

п—1

+ Е

к=1

1

+

1

(^ — п)2 (^ + п)2 11

+

(^ — к)2 (^ + к)2 (^ — к — 1)2 (^ + к + 1)

х

к

х^ ((—1)^+з — 1)еов кх

з=1

Оценим А:

|А| <

п— 1

+Е

к=1

^((—1)^+к — 1)ео8 кх к=1

1

+

1

+

1

(^ — п)2 (^ + п)2 11

+

(^ — к)2 (^ + к)2 (^ — к — 1)2 (^ + к + 1)2

х

^((—1)^+з — 1)еов кх

з=1

<

¿((—1)^+к — 1)еов кх

к=1

1

+

1

п— 1

+Е

к=1

1

(^ — п)2 (^ + п)2 11

+

(^ — к — 1)2 (^ — к)2 (^ + к )2 (^ + к + 1)

х

^((—1)^+з — 1)еов кх

з=1

Используя лемму 9, перепишем (21):

|А| <

| вшх|

1

+

1

п— 1

+

к=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

(^ — п)2 (^ + п)2

11

+

1

(^ — к — 1)2 (^ — к)2 (^ + к)2 (^ + к + 1)

□

(21)

1

2

+

<

| sinж| V(mN - n)2 (^N - 1)2 (^N + 1)V I sin- n)2' Из (14) и (22) можно записать оценку Rn,N(/i, ж) в следующем виде:

(22)

K,N (/i , ж) | ^

Е

п| sin ж| (^N — n)2 N2п sin ж 1 (1 — )2

<

16

Е"2

16 п2

<

4п

ж Е (-п, 0) U (0, п).

(23)

При ж Е А1 (г)

|Rn,N(/i, ж) | <

4п

□

n21 sinг|

Очевидно, что доказательство леммы 4 следует из формулы (11) и лемм 5-7.

3. ОЦЕНКА ОСТАТКА (/2,ж)

Лемма 10. Для Rn,N(/2, ж) при n < N/2 справедлива оценка

|Rn,N(/2,ж)| <

2п

C (г)

n| sinг|

n

, ж Е А1 (г).

Повторяя описанные при доказательстве леммы 4 рассуждения, получим аналогично формуле (11) следующую формулу:

|Rn,N(/2, ж)| < |Rn,N(/2, ж) | + |Rn,N(/2, ж)| ,

(24)

где

1

Rn,N(/2,ж) = — sign tcos ^Ntdt,

^ —п

п

2 го „ n

Rn,N(/2,ж) = — ^^ у sign cos к(ж - t) cos ^Ntdt.

Очевидно, что

RÍn(/2, ж) = 0, ж Е [-п, п],

(25)

оценка же для R,N(/2,ж) будет получена в следующей лемме.

Лемма 11. Справедлива оценка

Kn(/2,ж)| <

2п

ж Е А1 (г).

(26)

n| sin г|

Перед доказательством данной леммы мы докажем одну вспомогательную лемму. Лемма 12. Имеет место следующая оценка:

]Tsin¿ж(1 - (-1)j+M) j=1

где m и M — произвольные натуральные числа.

<

2

| sin ж|

4

2

1

8

1

8

1

п

Доказательство. Очевидно, что

£>п ¿х(1 — (—1)7+М ) = <

.7=1

2 зт2кх, если М = 2т,

к=1

2 ^ эт(2к + 1)х, если М = 2т +1.

к;=0

Из равенств

1 — еоэ 2(п + 1)х

Е. ... _ ч 1 — со» 21 п + 1) х V—> . ^ ,

эт(2к + 1)х =---—, > эт 2кх

2»1п х '

еоэ х — еоэ(2п + 1)х

к;=0

сразу следуют оценки

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к=0

2 эт х

^э1п(2к + 1)

х

к=0

<

| эт х|'

э1п 2кх

к=1

<

| э1пх|

п

Теперь перейдем к доказательству леммы 11. Доказательство (леммы 11). Имеем

2

ДпN(f2' х) = -£ Ь ^^ еоэ к(х — Ь) еоэ ^ =

П -=1 —п к=1

^ —п

п п

2 ^^ '/* 4 п у»

— ^^^^Бт кх э1п кЬ еоэ и^^дп Ь^Ь = —кх э1п кЬ еоэ =

П -=1 ^ П -=1 к=1 0

п

го п „

кх/ (»1п(к—^+-(к+^)Ь) *• (27)

-=1 к=1

-=1 к=1 0 Вычислим отдельно интеграл:

(вш(к — uN)Ь + вш(к + ^)Ь) ^ = (1 — ( — )

2к

к2 — (^ )

(28)

Отсюда и из (27)

^(f2,х) = ^ЕЕ 81п кх(1 — ("1Г"")р-

к

-=1 к=1

к2 — (^ )2'

Применим к внутренней сумме преобразование Абеля:

¿»1п кх(1 — (—)■

к

п

к=1

к2 — (^ )2 п2 — (^)

¿»1п 7'х(1 — (—) +

. =1

п—1

+Е

к + 1

к=1 \к2 — (^ )2 (к + 1)2 — (^ )27 .=1

\ к

^]Твт ¿х(1 — (—1)7).

(29)

1

п

2

к

Из (27)-(29) получим

х

|Rn,N(/2,Х)| ^ -Е -

^=1

¿sinkx(1 - (-1)k+^N)

k

Й ^

^ - E -

^=1

k=1 n

k2 - (mN)

<

n2 - (mN)

¿sinjx(1 - (-1)j)

j=1

+

k

k + 1

n- 1

k^Vk2 - (mN)2 (k + 1)2 - (mN)27

\ k

J sin jx(1 - (-1)j+^N)

<

n

- V (mN)2 - n2

j=1

+

n- 1

+

k=1

k

k + 1

(mN)2 - k2 (mN)2 - (k + 1)2

^sin jx(1 - (-1)k+^N) k

^ sin jx(1 - (-1)k+^N)

j=1

Применив результаты леммы 12, получим:

R,N(f2, x) | <

16

E

n

n- 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ E

k + 1

-| sinx| ^ ^ (mN)2 - n2 k^ V (MN)2 - (k + 1)2 (mN)2 - k2

E

м= 32

2n

1

32n

-| sinx| ^=1 V(mN)2 - n2 (mN)2 - -| sinx| (mN)2 - n2

1

y

-| sinx|N2 ^ M2 1 / _n_

" 1 1 ^N

128n ^ 1 22 - <-

<

3-N2| sinx| m2 n| sinx|

Очевидно, что

|Rn,N(f2,x)| <

2-

x е А1 (e).

n| sine|

Доказательство леммы 10 следует из (24), (25) и (26).

4. ОЦЕНКА ВЕЛИЧИН ^(Л)! и |¿2n)(f2)|

Справедлива лемма

Лемма 13. Имеют место оценки

К?"0(f1 )l < ¿• laí.2n)(f2)l < 5n.

Доказательство. Формула (2) для функции f1 имеет следующий вид:

,(2n)

1

2n-1

(f1) = 2n ^ f1 (tk)cos ntk.

k=0

В силу 2--периодичности функции f1 мы имеем

1

n- 1

'<2n) f ) = 2nEf1 (tk )(-1)k = 2n2 E Iki (-1)

2n

k=-n

2n2

k=-n

0, n = 21, 2П2 n = 21 + 1.

□

(30)

k

n

k

TI

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 1 Проведя аналогичные рассуждения для ai2n)(/2), получим:

1 2"-1 1 П-1 ( 0 _ 21

^ (f2 )cos ntk _2n (1 - (-1)")£(-1)k _ 0 1 n _2;' (31)

2n k=0 2n k=1 I- 2n n _21 + 1

Учитывая формулы (30) и (31), приходим к утверждению леммы. □

5. ОЦЕНКИ ДЛЯ |Ln,N(/1, x) - /1 (x)| и |L„,n(/2, x) - /2(x)|

Для оценки |Ln,N(/1 ,x) - /1 (x)| при n < N/2 мы обратимся к неравенству (4), из которого в силу лемм 2 и 4 мы убеждаемся в справедливости утверждения теоремы 1 для n < N/2. Если же n _ N/2, то мы обратимся к неравенству (5). Величины |Sn-1 (/, x)-/(x)|, |Rn-1,2n(/, x)| и |ai2n)(/)|, фигурирующие в этом неравенстве, были оценены в вышеупомянутых леммах 2, 4, а также лемме 13 соответственно. Из этих оценок и неравенства (5) имеем

. , , , ,, C C п C г -,

|l„,2„,x) - Л(x)| < — + — + 2П2 ^ n x 6 1-п'п]'

,, ,, ^ с (г) C (г) п C (г) д,, ч

Тем самым теорема 1 полностью доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 2. Повторяя почти дословно рассуждения из доказательства теоремы 1 и используя вместо лемм 2 и 4 леммы 3 и 10, имеем

(/2,x) - /2(x)| < Се) + + < , n < LN/2J, x 6 А1 (г). n n 2n n

Таким образом, теорема 2 также доказана.

Библиографический список

1. Sharapudinov I. I. On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation // Analysis Math. 1983. Vol. 9, iss. 3. P. 223-234. DOI: 10.1007/BF01989807.

2. Бернштейн С. Н. О тригонометрическом интерполировании по способу наименьших квадратов // Докл. АН СССР. 1934. Т. 4, № 1. С. 1-5.

3. Erdos P. Some theorems and remarks on interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1950. Vol. 12. P. 11-17.

4. Калашников М. Д. О полиномах наилучшего (квадратического) приближения в заданной системе точек // Докл. АН СССР. 1955. Т. 105. С. 634-636.

5. Крылов В. И. Сходимость алгебраического интерполирования по корням многочлена Че-бышева для абсолютно непрерывных фунций и функций с ограниченным изменением // Докл. АН СССР. 1956. Т. 107. С. 362-365.

6. Marcinkiewicz J. Quelques remarques sur l'interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1936. Vol. 8. P. 127-130.

7. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynomes d'interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1936. Vol. 8. P. 131-135.

8. Natanson I. P. On the convergence of trigonometrical interpolation at equidistant knots // Ann. of Math. 1944. Vol. 45. P. 457-471.

9. Никольский С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, вып. 6. С. 509-520.

10. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. Минск : Высш. шк., 1968. 320 с.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1965. 616 с.

12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Т. 3. М. : ФИЗМАТЛИТ, 1969. 656 с.

13. Магомед-Касумов М. Г. Аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена для кусочно гладких функций // Матем. заметки. Т. 100, вып. 2. С. 229-247. 001: 10.4213/тгт10588.

Образец для цитирования:

Акниев Г. Г. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 1. С. 4-16. 001: 10.18500/1816-9791-2018-18-1-4-16.

Approximation Properties of Dicrete Fourier Sums for Some Piecewise Linear Functions

G. G. Akniyev

Gasan G. Akniyev, https://orcid.org/0000-0001 -8533-4277, Dagestan Scientific Center RAS, 45, M. Gadzhieva Str., Makhachkala, Russia, 367025, hasan.akniyev@gmail.com

Let N be a natural number greater than 1. We select N uniformly distributed points = 2nk/N (0 ^ k ^ N - 1) on [0,2n]. Denote by Ln,N(f) = Ln,N(f,x) (1 ^ n ^ N/2) the trigonometric polynomial of order n possessing the least quadratic deviation from f with respect to the system jN-1. In other words, the greatest lower bound of the sums X]£=01 If (tk) - Tn(tk) |2 on the set of trigonometric polynomials Tn of order n is attained by Ln,N (f). In the present article the problem of function approximation by the polynomials Ln,N(f, x) is considered. Using some example functions we show that the polynomials Ln,N(f, x) uniformly approximate a piecewise-linear continuous function with a convergence rate O(1/n) with respect to the variables x e R and 1 ^ n ^ N/2. These polynomials also uniformly approximate the same function with a rate O(1/n2) outside of some neighborhood of function's „crease" points. Also we show that the polynomials Ln,N(f, x) uniformly approximate a piecewise-linear discontinuous function with a rate O(1/n) with respect to the variables x and 1 ^ n ^ N/2 outside some neighborhood of discontinuity points. Special attention is paid to approximation of 2n-periodic functions f1 and f2 by the polynomials Ln,N(f,x), where f1 (x) = |x| and f2(x) = sign x for x e [-n,n]. For the first function f1 we show that instead of the estimate |f1 (x) - Ln,N(f1, x)| ^ c ln n/n which follows from the well-known Lebesgue inequality for the polynomials Ln,N(f,x) we found an exact order estimate |f1(x) - Ln,N(f1, x)| ^ c/n (x e R) which is uniform relative to 1 ^ n ^ N/2. Moreover, we found a local estimate |f1 (x) - Ln,N(f1?x)| ^ c(e)/n2 (|x - nk| > e) which is also uniform relative to 1 ^ n ^ N/2. Forthe second function f2 we found only a local estimate |f2 (x) - Ln,N (f2 ,x)| ^ c(e)/n (|x - nk| > e) which is uniform relative to 1 ^ n ^ N/2. The proofs of these estimations are based on comparing of approximating properties of discrete and continuous finite Fourier series.

Keywords: function approximation, trigonometric polynomials, Fourier series. References

1. Sharapudinov I. I. On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation. Analysis Math., 1983, vol. 9, iss. 3, pp. 223-234. DOI: 10.1007/BF01989807.

2. Bernshtein S. N. O trigonometricheskom interpolirovanii po sposobu naimen'shih kvadra-tov [On trigonometric interpolation by the least squares method]. Dokl. Akad. Nauk SSSR [Soviet Math. Dokl.], 1934, vol. 4, no. 1, pp. 1-5 (in Russian).

3. Erdos P. Some theorems and remarks on interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 1950, vol. 12, pp. 11-17.

4. Kalashnikov M. D. O polinomah nailuchshego (kvadraticheskogo) priblizheniya v zadannoy sisteme tochek [On polynomials of best quadratic approximation in a given system of points]. Dokl. Akad. Nauk SSSR [Soviet Math. Dokl.], 1955, vol. 105, pp. 634-636 (in Russian).

5. Krylov V. I. Shodimost algebraicheskogo interpolirovaniya po kornyam mnogochlena Chebisheva dlya absolutno neprerivnih funkciy i funkciy s ogranichennim izmeneniyem [Convergence of algebraic interpolation with respect to the roots of Chebyshev's polynomial for absolutely continuous functions and functions of bounded variation]. Dokl. Akad. Nauk SSSR [Soviet Math. Dokl.], 1956, vol. 107, pp. 362-365 (in Russian).

6. Marcinkiewicz J. Quelques remarques sur l'interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 1936, vol. 8, pp. 127-130.

7. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynomes d'interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 1936, vol. 8, pp. 131-135.

8. Natanson I. P. On the convergence of trigonometrical interpolation at equidistant knots. Ann. Math., 1944, vol. 45, pp. 457-471.

9. Nikolski S. Sur certaines methodes d'approximation au moyen de sommes trigonometriques. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. [Bull. Acad. Sci. URSS. Ser. Math.], 1940, vol. 4, iss. 6, pp. 509-520 (in Russian. French summary).

10. Turethkii A. H. Teoriya interpolirovaniya v zadachakh [Interpolation theory in problems]. Minsk, Vysheishaya Shkola, 1968. 320 p. (in Russian).

11. Zygmund A. Trigonometric Series, vol. 1-2. Cambridge University Press, 2015. 747 p.

12. Fikhtengol'ts G. M. Course of Differential and Integral Calculus, in 3 vols., vol. 3. Moscow, FIZMATLIT, 1969. 656 p (in Russian).

13. Magomed-Kasumov M. G. Approximation properties of de la Vallee-Poussin means for piecewise smooth functions. Math. Notes, 2016, vol. 100, iss. 2, pp. 229-244. DOI: 10.1134/S000143461607018X.

Cite this article as:

Akniyev G. G. Approximation Properties of Discrete Fourier Sums for Some Piecewise Linear Functions. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2018, vol. 18, iss. 1, pp. 4-16 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-1-4-16.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Акниев Гасан Гарунович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Акниев Гасан Гарунович

Approximation Properties of Dicrete Fourier Sums for Some Piecewise Linear Functions

Текст научной работы на тему «Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций»