О преобразовании Фурье одной осциллирующей функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ ОДНОЙ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

© 2014 г. М.Н. Гуров

Гуров Михаил Николаевич - младший научный сотрудник, Gurov Mikhail Nikolaevich - Junior Researcher, South-Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО - А, ern Institute of Mathematics, Marcus St., 22, Vladikavkaz, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027; аспирант, кафедра 362027; Post-Graduate Student, Department of Differen-дифференциальных и интегральных уравнений, факультет tial and Integral Equations, Faculty of Mathematics, Me-математики, механики и компьютерных наук, Южный chanics and Computer Sciences, Southern Federal Uni-федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов- versity, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Rus-на-Дону, 344090, e-mail: mgurov@inbox.ru. sia, e-mail: mgurov@inbox.ru.

Установлена формула для преобразования Фурье функции, представимой в виде произведения однородной нулевой степени функции на осциллирующую экспоненту. Для получения указанной формулы используется техника средних на сечениях единичной сферы гиперплоскостями с последующим применением асимптотических представлений для некоторых осцилляторных интегралов. Указанная техника позволяет получить представление для преобразования Фурье упомянутой функции в виде интегралов по конечному отрезку.

Ключевые слова: преобразование Фурье, однородная функция, средние функции на единичной сфере.

The aim of this paper is to establish formulas for the Fourier transforms offunctions that can be represented as the product of a homogeneous function of degree zero on an oscillating exponential. To obtain the above formulas the technique of means on the sections of the unit sphere by hyperplanes and the asymptotic representations for some oscillatory integrals are used. Said technique allows to obtain formulas for the Fourier transforms of these functions as integrals over a finite interval.

Keywords: Fourier transform, homogeneous function, means offunctions on the unit sphere.

В книге [1, с. 94] получены представления для преобразований Фурье (в слабом смысле) функции

х

g(x) = 9(х')| х|а-п, где 0<а<п, X = —;

|х|

однородная функция 9(х') бесконечно дифференцируема в рп \ {0}. Установлена формула

е( y')

ydy.

- 9 (£')

g© = 9^, где 9а (х) = 1 п

|^|а рп|7Га

Получено представление для преобразования Фурье осциллирующей функции

Дх) = 9(х')| х|а-п е'1х|, 0<Ява <п. (1)

Указанное представление для функции вида (1) играет важную роль в теории операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами [2-5]. При его получении используются техника средних на сечениях сферы гиперплоскостями, а также свойства некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту.

Вспомогательные сведения и утверждения

Вспомогательные функции. Ниже мы будем использовать следующие функции. Пусть га (г),

1 (г), х(г)е С(0,+ж) таковы, что

0 <ш(г),1 (г), х(г) < 1; га(г2) = 1, если г < 1 -8/2,

ш(г2) = 0, если г > 1 -8/4; 1 (г) = 1, если |1 - г |<8/4, 1 (г) = 0, если |1 - г |> 8/2; х(г) = 0, если г < 1 + 8/4, х(г) = 1, если г> 1 + 8/2, 0<8<1. Кроме того,

2 "1

будем предполагать, что ю(г ) + I (г) + х(г) = 1.

О средних функций, заданных на единичной сфере. В книге [1, с. 87] были введены средние

функций

9(a),

чИ—1

ae

И—1

на (и — 2) -мерных

сечениях Б гиперплоскостями. В случае п = 2 это - среднее арифметическое по двум точкам: 9(ст++а_ )

M9 (X, y) = -

2

где

I X1 a+ =' —

y + — y |x|' \x\y 7

2 x2

y + ;

1 — y2

n >2,

|х| |х|

В пространственном случае, когда средние М(х', у) задаются равенством

М9 (У, у) =

1 9(ух' + ту/1-У2^Бх, -1 < у < 1.

| Бп-2 (0,1)

В случае, когда 9(ст) является гладкой функцией (именно такие функции рассматриваются здесь), указанные средние представимы в виде

М9 (х, У) = Е9тцРт (У)^ц (х'Х (2)

тц

1

1 2 15n—2(

x

1

где 8

тц

- коэффициенты Фурье - Лапласа

функции 8(ст); Рт (у) - многочлены Лежандра; Утц(х') - сферические функции [6].

Из (2) следует, что М8 (х', у) е Сда (5п-1 х[-1,1])

если 8 е Сда (5й-1).

Ниже нам понадобится равенство [1, с. 93]

| 8(ст)/(X -ст)Сст =

~,П—1

n—3

(3)

=|^П—М i M Q (X , t)(1 — t2) 2 f (t)dt.

—1

Ax '=(2 я)"

Ax "= —(2 я)"

y(—X) + i-Je 2 (—X —1)!

—? (X+1)

e 2

(—X — 1)! '

d j * (t)

<C|t| —M, |t| ,

для любого М еИ, ] = 0,1,2,... Обозначим

^ п-3

(ВД( §) = 1 (1 - у2)^ М8 (§ ', у)/к I ^ I усу, х > 0. -1

Лемма 2 [8]. Пусть |§ | >1/Х. Справедливо представление

N-1 е~'х \ § 1

(их8)(§) = А (а+-1 , (§')-и=Т- +

к=0 к 2

+a——1 .(§' )-

JX | § |

(X|§|)

+к

—1 )+

2 (X|§| )2

n—1

+ e—X | § |wN+ 2 (X | § | ,f+ ) + eiX | § |W—' 2 (X | § | ,f_) +

1-8/4

n —1

Асимптотическое представление для некоторых интегралов, содержащих осциллирующую

экспоненту. Пусть у(г) е Сда (К+), 0Пу(г)П 1, у(г) = 0, если гП 1 и у(г) = 1, если гП 2. Справедлива

Лемма 1 [7]. Пусть Х е С, е >0 . Обозначим

да

/Х,Е (?) = (2п)~п |у(фХвШ-е^. 0

Тогда интеграл Iх,е (?) равномерно сходится при е —^0 для любого ?, 111>8 ,5 >0. Для предельной

функции 1х (?) = 1т I х е (?) справедливо равенство

е—0

1х (? ) =

= I Ах С + /0)-х-1 + ~х (?), х * -1,-2,., [?-х-1 (Ах'+Ах "1п(? + /0)) + ~х (?), х = -1,-2,.,

~ * (х+1)

где ~ (?) е Сда (К), Ах = (2п)~" е 2 Г(х +1),

^ (х+1)

+ (—/ X | § | )—M 1 e

i X|§|y

x

—1+8/4

(1 — y2) 2 Mq(§',y)ro(y)

r n—3 ^(M)

2\ 2

dy,

' y

где M, N eN, a± , (§') =

n—1 , '

-,k

n—1

+к

_ (±i)2 dl = к! dxk

f± (x, §') =

n—3

((2 — x) 2 Mq (§',±(x — 1)))|x=o,

n—3

= 1 -®((1 + (х-1))2)](2-х) 2 М8(§',+(х-1)),

+ й-1

^м 2 (Л, /) - бесконечно дифференцируемая по "Л функция, удовлетворяющая для некоторой константы С > 0 условию

( + n—1

\( 7)

Wn 2 (л, f)

N

,7 n — 1

N+-+ 7

2

, л > o, j = 0,1,2.

Л

у(г) = ^. Кроме того, 1Х(?) = 0(|?|"М) при Г(

111— да для любого М >0.

Замечание. Из приведенного в [7] доказательства видно, что 1х(?) е Сда(Р \{0}) и справедлива оценка

Основной результат

Преобразование Фурье функции /(х). Имеем

/(х) = Х(1 х |)8(х') | х |а-й ег'\х| +

+ (1 -Х(| х |))8(х') | х |а-й ег|х| - /1 (х) + /2(х).

Рассмотрим функцию

/1,е(х) = Х(| х | )8(х') | х |а_и e'\x\"е\x\ .

Ее преобразование Фурье запишем в виде

/1, е (§) = /°е (§) + ./11 е (§) + /£ (§),

где

./¡0е(§) = ®(| § | 2) 1 х(| х | )8(х) | х | а-й ег|х| -е| х| ег§-

Кп

/I е(§) =

1 (| § | ) 1 Х(| х | )8(х') | х | а-п ег| х| -е| х| ег§-хск, (4)

2

x

2

<

n

R

Л" © = х(Ш ) 1 х(| х| )9(х')|х| а-п е' х -Е' х е'^' хёх.

Яп

Переходя к полярным координатам, получим

~ да

/0Е (|) = 1 9(а)^а1х(р)ра-1е'Р(1+^'о)-ЕР ф =

£И-1 0

оо

= 1 9(ст)ёст1ра-1егр(1+^'°)-Ер ёр-

Бп-1 0

оо

- 1 9(а)ёа1 (1 - х(р))ра-1е'р(1+ )-Ер ф.

Бп-1 0

Вычисляем внутренний интеграл с помощью [9, формула 2.3.3]. Получаем

0(ст)

-da —

8—>0

0(a)

-da —

= Ю(||| 2)Г(а) 1 а

Бп-1 (-'(1 + ^'СТ)) а

оо

-ю(|||2) 1 9(а)ёа1 (1 -х(р))ра-1егр(1+^'о)ёр. Бп-1 0

Рассмотрим далее функцию //Е (£). Перейдем в

интеграле (4) к полярным координатам. С учетом формулы (3) имеем

/11Е (1) = 1 (|^|)1х(р)ра-1егр-Ер фх 0

^ п-3

х 1 (1 - у2)^М9 у)е'р^уф. -1

Применив к внутреннему интегралу в правой части лемму 2, будем иметь

а + , (!')

п-1 , '

л!е ©= е [ 2 п-1 1 (ш )х

к=0

III

n+1 ,

да а---к .

2 e'P(H II )—:

x ix(P)P 0

8Р dp +

«——1 , (I')

n+1 ,

а---к

+ 2 П—1 1 (III )JX(P)P — 2 — ^гр(1+11! )—8Рdp] +

III

о

n+1

+ 1 (III )ix(P)P 2 e''P(H 1 )—spWN 2 (PI11,f+ )dp + 0

n—1

n+1 n—1

да а------

+1 (III )ix(P)P 2 e'P(H I I )—8PWn 2 (P111,f— )dP+ 0

+

1 (III ) ("/III)—M 0

<»,./■■ 1—8/4 ■ ICI

ix(P)Pa—1—MeiP—8PdP 1 eiP I^ y x

—1+8/4

n—3

s(M)

(1 - y2) 2 M0 (I', y)ro(y)

dy, M £ N.

(5)

V /у

Переходя к пределу в равенстве (5) при е ^ 0, с учетом леммы 1 получаем

f/(I) = lim fk (I) =

8—0

f08 (I) = ®0 II 2)Г(а) 1 -

' ^n—1(8 — /(1 +1 • a)) a

да

— ro(1112) 1 0(a)da 1 (1 — x(P))Pa—1e/P(1+I^a)—8PdP.

Sn—1 0

Переходя в последнем равенстве к пределу при 8 — 0, будем иметь

f10 (I) = lim Л (I) =

n—1

_. —a N—1

= 1 (III )(1— 111 +/0) 2 E A n+1 ,x

к=0 a—-—к

a+ , (I')

n—1 , '

Zj—(1—III )k +Pa (I),

I

-+к

n — 1 n — 3

если a ф-,-... и

2 2

n—1

f/(I) = lim f\,8 (I)= 1 ( 111 )(1— 111 ) 2

8 — 0

N—1

x E (A' n+1 , + A n+1 , ln(1— 111 +/0)) x

b=t\ a---к a---к

к 0 2 2

a+ (I')

n—1

x 2n—1 (1—111)к +Pa(I), -+к

I 2

n — 1 n — 3

если a = -

2 2 Здесь

Pa (I)= 1 (III)Qa (I) + ßa (I)) +

<-1, (I')

N—1 -. — ,к

+ E (1 (III ) 2n—1 I n+1 (1+III ) +

к=0 n -----

I

-+к a—~—к 22

a + , (I')

n—1 , '

+ 1 (III ) 2 n' 1 I n+1 ,(1— III)),

n 1 j n___b-

I

-+к a—^Г—к 22

n+1

ßa (I) = ^fx(P)Pa— 2 eiP(1T I I I )Wn±— 1(P 111 ,f± )dP+ 0

2

1

fx(P)Pa—1—Me/PdP

(—/III M

x

2

x

2

—a

x

2

2

да

x

0

1—

4

х j e

ipl ll y

n—3

\(M)

(1 — y2) 2 (|',y)ffl(y)

dy.

Рассмотрим, наконец, f" (§). Отметим, что для этой функции справедливо представление вида (6) с заменой 1 (| § | ) на х(| § | ) •

Переходя к пределу при s ^ 0, с учетом леммы 1 получаем

1 (§) = lim f£ (§) =

8—>0

N—1

a+ , (l')

n—1 , '

= z%(lll ) 2n 1 I n+1 ,(1— lll )+

' " n 1 ■ ' a---k

k=0

ill

+k

a~n—1, (l')

N—1 — ,k

+ zx(lll ) 2n—1 I n+1 ,(1+lll )+

k=0

lll

+k a--7T—k

2 2

+х(|§|)®а (§)+еа (§)).

О преобразовании Фурье функции /(х) в слабом смысле. Положим

f (|) = /1° (|) + f1 (|) + f? (|) + f2 (l),

(6)

где

/2©= Í (1-X(i хi))0(x')|х|а-пег|e^(Pn).

Rn

Имеет место

Теорема 1. Пусть 0 < Rea < n, ф e S. Справедлива формула

j f (х)Ф(x)dx = -

1

j f (lMl)d|,

rn (2^) ' Rn

где f (|) задается равенством (6). Доказательство.

Имеем

1

j f (*M*)dr = n Rn (2л) R

j f (|M|)d|.

(7)

Переходя в (7) к пределу при е — 0, на основании мажорантной теоремы Лебега будем

иметь

1

j f (|M|)d|.

J f(x)q(x)dx = я

Таким образом, мы получили формулу преобразования Фурье для функции (1) в слабом смысле.

Литература

1. Samko S.G. Hypersingular integrals and their

applications // Analytical Methods and Special Functions: Internat. Series. L., 2002. Vol. 5.

2. Бетилгириев М.А., Карасев Д.Н., Ногин В.А. Lp — Lq -

оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. № 2. С. 27-30.

3. Карапетянц А.Н., Карасев Д.Н., Ногин В.А. Оценки

для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Изв. НАН Армении. 2003. Т. 38, № 2. С. 37-62.

4. Ногин В.А., Сухинин Е.В. Дробные степени оператора

Клейна - Гордона // Докл. РАН. 1995. Т. 341, № 2. С. 166-168.

5. Abramyan A.V., Nogin V.A. Integral transorms,

connected with fractional powers of nonhomogeneous differential operators in Lp-spaces // Integral Transforms and Special Functions. 1994. Vol. 2, № 1. P. 1-14.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные

функции / пер. Н.Я. Виленкина : 2-е изд. М., 1973. Т. 1. 296 с.

7. Miyachi A. On some estimates for the wave equation in

Lp and Hp // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA. 1980. Vol. 27. P. 331-354.

8. Гуров М.Н. О гельдеровости обобщенных

потенциалов Стрихарца по единичному шару. // Итоги науки. Юг России : материалы мат. форума. Владикавказ, 2013. T. 8. C. 239-250.

9. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И.

Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., 1981. 489 с.

Поступила в редакцию

22 сентября 2014 г.

4

2

2

n