Об одном Фурье-мультипликаторе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 1, С. 14-20

УДК 517.983

ОБ ОДНОМ ФУРЬЕ-МУЛЬТИПЛИКАТОРЕ

М. Н. Гуров, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин

Изучается один Фурье-мультипликатор, вырождающийся или имеющий особенности на единичной сфере в К". Получены необходимые и достаточные условия принадлежности этого мультипликатора классу Хермандера Мр.

Ключевые слова: мультипликатор, ограниченность, потенциал.

Введение

В работе изучается вопрос о принадлежности классу Мр [1] мультипликатора

Ь (|л) = <! к(1£1)Ал(1 -|£| + ¿0)л, А е ъ,

л (К|) ^ к(|Л|)(1 -|л|)л (АЛ + АЛЛ 1п(1 -|Л| + ¿0)), А е Ъ,

где — ^^тг- < 11еА < Ах, А^, А" — постоянные из леммы 2.1, п е N. функция

к(г) е С те(0, такова, что 0 ^ к(г) ^ 1; к(г) = 1, если |1 — г| ^ 5/4, к(г) = 0, если |1 — г| ^ 5/2. Здесь 5, 0 < 5 < 1, — некоторое число, о его выборе будет сказано ниже.

Мультипликаторы такого вида возникают при исследовании свойств ограниченности операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами (см. [2-8]). В частности, подобные мультипликаторы возникают при получении (Ьр — Ья)-оценок для дробных акустических потенциалов [9].

Нетривиальность представленных результатов объясняется тем, что к функции Ьл(|£|) не применимы классические мультипликаторные теоремы типа Михлина — Хермандера.

1. Основной результат

Ниже мы будем использовать следующие обозначения: (А, В,..., К) — открытый многоугольник в М2 с вершинами в точках А, В,..., К; [А, В,..., К] — его замыкание. Пусть < 11еА < Обозначим

„ ( п — 1 — 2Ие А \ „ (п — 1 — 2Ие А

А='1:1--2Й-)' А=(.-*-

/3 п — 1 — 211е А 3 п — 1 — 211е А

С=

СЛ =

2 п — 1 '2 п — 1

п - 1 - 2 Ие А 1 п- 1 - 2 Ие А 1

п 1 2 п 1 2

© 2015 Гуров М. Н., Карасев Д. Н., Ногин В. А.

Е = (1; 0), ^ =

1 1 2'2

_ Л _ (п + 1 + 211е А) (п — 1) _ _ п - 1 - 2 11е Л ~ V 2п(п + 3) ' 2п

, _ /п — 1 — 211еА (п+1 + 211еА)(п-1)\ _ V 2п ' 2п(п + 3) у :

тт (1 п - 1 - 2 Ие А п - 1 - 2 Ие А Н = I 1--:-; 1--

2п

2п

Н'

п- 1 - 2 Ие А п- 1-2 Яе А

2п

2п

О = (1; 1), О' = (0; 0),

.' п + 1 — 211е А 1 1\ п + 1 - 211еА

п+ 1 2' 2/ ' ~~ \2' 2 пТТ

(1 (п - 1)(п + 1 + 2 Ие А) п - 1 - 2 Ие А

В = II------; 1--

2п(п + 1) 2п

п - 1 - 2 Ие А (п - 1)(п + 1 + 2 Ие А)

В' =

2п

2п(п + 1)

Для формулировки основных результатов нам понадобится следующее множество на (1/р, 1/д)-плоскости (см. рис. 1, 2 для случаев 0 ^ 11еА < и < 11еА < 0

соответственно):

( [А',Н',Н,А,Е]\([А',Н']и[А,Н]), (А', С', С', С, С, А, Е) и (А, Е} и (А', Е) и (С', С), 0 < 11е А < ^ту, (А', О', О, А, Е) и (А, Е] и (А', Е) и }, Ие А = 0, 1т А = 0, (А,п) = { (А',О', ^ О, А, Е) и (А, Е] и (А',Е), А = 0,

(А', О',К', К, О, А, Е) и (А, Е] и (А',Е) и [К', К], -1/2 < Ие А < 0, (А',В',В,А,Е) и (А,Е] и (А',Е), < 11еА < -±, 1т А ф 0, (А', В', В, А, Е) и (А, Е] и (А', Е) и (5', В), < А ^

Теорема 1.1. Пусть -Щ^- < 11еА < Тогда

&л(|£|) е М«, если (1/р, 1/д) е ^1(А,п);

Ьл(|£|) е М«, если (1/р, 1/д) е [А, Н, О] и [А', Н', О']

При Кя А имеем

(2) (3)

&л(|£|) е М« ^ (1/р, 1/9) е [О',Е,О] \ ({О'} и {О}).

(4)

Если Кя А > , то

Ьл(|£|) е М_« ^ (1/р, 1/д) е [О',Е,О].

(5)

Рис. 1.

Рис. 2.

2. Вспомогательные сведения и утверждения

2.1 Обозначения. = : ^ = / е ¿1} — банахова алгебра преобразований Фурье интегрируемых функций; 5 — класс Шварца быстро убывающих гладких функций; ¿р — класс ядер к е таких, что ||к * /||д ^ С||/||р, где / е 5 постоянная С > 0 не зависит от /; Мр = ^(¿р) — масс (р — демультипликаторов. Классы ¿р и Мр были введены Л. Хермандером в [1].

2.2. Асимптотическое представление для некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту. Пусть «(г) £ С0 ^ «(г) ^ 1, «(г) = 0, если г ^ 1 и «(г) = 1, если г ^ 2. Справедлива следующая Лемма 2.1 [10]. Пусть в £ С. Для е > 0 положим

Iß>e(t) = (2п)-™У v(s)s-ß-1eisi-es ds

Тогда /ß,e(i) равномерно сходится при е — 0 если |t| > 6 для любого 6 > 0, ж для предельной функции Iß (t) = lim Iß е (t) справедливо равенство

Iß (t) =

|Aß(t + i0)ß + Iß(t), ß £ Z,

I/(Aß + Aß ln(t + i0)) + iß(t), ß £ Z,

где /¿(i) G C°°(R), Aß = (2тг)-гае-т-Г(-/3),

Aß = (2n)

,e 2

ß!

^ = -(270" ^

= ^ И Iß(t) = 0{\t\-M) при t 00, M >

—^ то, M > 0. В [10] доказано, что Iß £ C\ {0}) и

d ^j

dt

Iß (t)

< C|t|

-M

t — то, j = 0,1, 2,

для любого М £ N.

2.3. О свойствах символа оператора Доказательство теоремы 1.1 основано на использовании свойств символа оператора

i|t|

(S\)(x)= x(\t\)-^r-Mx-t) dt, ReA>-J t —+A

HD n 11

П+ 1 2 '

где функция х(г) £ Сте(0; то) такова, что 0 ^ х(г) ^ 1, х(г) = 0, если г ^ N (Ж £ Х(г) = 1, если г ^ 2Ж. Обозначим ядро этого оператора через кЛ(|£|), а его символ — через кЛ(|£|).

Анализируя представление для функции кЛ(|£|) в окрестности единичной сферы, полученное в работе [2], с учетом леммы 2.1, приходим к следующему утверждению.

Лемма 2.2. Пусть < ReA < Справедливо представление

kA(iei) =

n+1

*(l£l)(i - lei + *о)л E ckA_x_k_i- + ЫЖ

fc=0 2

n+1 fc=0

-Л-fe-i ^ ^-A-fc-i -k.

А £ Z,

А £ Z,

(6)

где JÄ(|f|) £ CK^+^R") и |DVJÄ(|f|)| < C|£|-M, v = 0,1,2,..., |f| — то, M £ N. Константы Cfc определены в [2].

эо

ß

Применяя теоремы 8.1 и 8.2 из [12], получаем, что Ja(|£|) G Ro, следовательно, Ja(|£|) G Mq 1 < p < q < те.

В [2-6] доказано следующее утверждение. Лемма 2.3. Пусть < Re А < тогда

kA (|£|) G Mq, (1/p, 1/q) G Li (A, n). (7)

Кроме того,

k%|) G Mq, если (1/p, 1/q) G [A, H, O] и [A/,H/,O/j. (8)

3. Доказательство теоремы 1.1

Пусть — < Re A < ^rp1, A ^ Z. Введем вспомогательную функцию

N

2

k=0

Заметим, что Pn(|£|) = 0 при |£| = 1. Выберем 5, 0 < 5 < 1, так, чтобы это соотношение выполнялось для всех £ таких, что |1 — |£|| ^ 5. Именно это 5 фигурирует в определении функций к(г). Пусть далее функция К(|£|) такова, что 0 ^ К(|£|) ^ 1, к(|£|) = 0, если |1 — |£|| ^ 5 и К(|£|) = 1, если |1 — |£|| < 5/2. Тогда ЗД)к(|£|) = к(|£|). Из леммы 2.1 получаем

Заметим, что К(|£|)Ja(|£|)/Pn(|£|) G R0 П L1 с учетом теоремы 8.1 из [12]. Тогда эта функция принадлежит Mq (1/p, 1/q) G [O/,O,E], Используя (7), получаем (2), с учетом того, что К(|£|)/Pn(|£|) G C0°.

Очевидно, что kx(£) е М(l/p,l/q) е [О', \ ({О'} U {О}), если Re А = ^ и

jfeA(0 £ Мр (1/p, 1/(?) е [О', О,-Б], если Re А > Поэтому из (9) следует (4) и (5). Докажем (3). Для этого, в силу соображений выпуклости и двойственности, доста-

1_n

точно показать, что &а(|£|) G Мр , если (l/p,l/q) £ [А,Н]. Применяя к функции г 2 (r = l£l) в представлении (6) формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, получаем

1

r^ = l+ (1 " П)2(Г " 1} /(1 - (г - 1 )t)-^dt,

0

откуда Здесь

где

ka (|£|) = &а(|£|) + ta(|£|). (10)

Txm = J2 - lei++qxm

ti

?a(|£|) = Jx№) + - + /(! - (1^1 - m-^dt

1

Заметим, что >i(|£|)/|£| 2 +k G Со°. С учетом (2), (4), (5) и вложения Jz?i(A — 1 , n) D L (A,n), Re А > 1, заключаем, что к(|£|)(1 — |£| + ¿0)A+k G Mp, k ^ 1, если (1/p, 1/q) G

1 1+n

[А, Я]. Кроме того, >i(|£|) /(1 — (|£| — 1 )t)~~2~dt G Cq°. Отсюда получаем

о

Ta(|£|) G M«, (1/p, 1/q) G [A,H]. (11)

На основании (8) и (11), из (10) получаем (3) при AG Z. Пусть теперь A G Z. Введем вспомогательную функцию

N

к=0

Из леммы 2.1 получаем

Заметим, что к(|£|) ^л(|£|)/^м(|£|) £ <0П^ с учетом теоремы 8.1 из [12]. Тогда, с учетом того, что >г(|£|)/ф^(|£|) £ Сд° и соотношения (7), получаем (2).

Так как kA(£) G ^ (1/p, 1/q) G [O',O,E] \ ({O'} и {O}), если Re A =

n— 1

И

kx(0 G Mp (l/p,l/q) G [0',0,E], если ReA > то из (12) следует (4) и (5) в случае A G Z.

Соотношение (3) в случае A G Z доказывается аналогично случаю AG Z.

2

Литература

1. Hormaiider L. Estimates for translation invariant operators in Lp spaces // Acta Mathematica.—1960.— Vol. 104.—P. 93-140.

2. Карапетянц A. H., Карасев Д. H., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Изв. НАН Армении.—2003.—Т. 38, вып. 2.—С. 37-62.

3. Betilgiriev М. A., Karasev D. N., Nogiii V. A. Lp — Lq estimates for some potential type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis.—2004.—Vol. 7, № 2.—P. 213-241.

4. Карасев Д. H. Lp — Lq-04eHKn для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Диф. уравнения.—2003.—Т. 39, № 3.—С. 418-420.

5. Karasev D. N. Lp ^ Lq-estimates for some potential-type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis—2002 —Vol. 5, № 2—P. 131-153.

6. Karasev D. N., Nogin V. A. Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases. Integral Transforms & Special Functions.—2002.—Vol. 13.—P. 529-545.

7. Borjeson L. Estimates for the Bochner-Riesz operator with negative index // Ind. Univ. Math. J.— 1986—Vol. 35, № 2—P. 225-233.

8. Sogge C. D. Eigenfunction and Bochner-Riesz estimates on manifolds with boundary // Math. Res. Lett.—2002.—Vol. 9.-P. 205-216.

9. Ногин В. А., Рубин Б. С. Оценки для потенциалов с осциллирующими ядрами, связанных с уравнением Гельмгольца // Диф. уравнения.—1990.—Т. 26, № 9.—С. 1608-1613.

10. Miyachi A. On some estimates for the wave equation in L^d Hp // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA.—1980.—Vol. 27.-P. 331-354.

11. Karasev D. N., Nogin V. A. On boundedness of some potential-type operators with oscillating kernels // Math. Nachr.—2005.—Vol. 274, № 5.-P. 554-574.

12. Самко С. Г., Костецкая Г. С. Абсолютная интегрируемость интегралов Фурье // Вестн. РУДН (Математика).—1994.—№ 1.—С. 138-168.

13. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications.—London-N. Y.: Taylor&Frances, 2002.^ 358+xvii p.^(Ser. Anal. Methods and Special Functions, Vol. 5.).

Статья поступила 1 июля 2014 г. Гуров Михаил Николаевич

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, младший научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет, аспирант кафедры диффереиц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: MGurov0inbox.ru

Карасев Денис Николаевич

Ростовский государственный экономический университет (РИНХ), декан факультета компьютерных технологий и информационной безопасности РОССИЯ, 344002, Ростов-на-Дону, ул. В. Садовая, 69 E-mail: oscillatingman0mail.ru

Ногин Владимир Александрович Южный федеральный университет, доцент кафедры диффереиц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: nogin0math. гsu. ru

ON A CERTAIN FOURIER MULTIPLIER Gurov M. N., Karasev D. N., Nogin V. A.

We study a certain Fourier multiplier which degenerate or have singularities on the unit sphere in Rn. Necessary and sufficient conditions are obtained for this multiplier to be in the Hormander class Mp.

Key words: multiplier, boundedness, potential.