О поведении некоторых степенных рядов вблизи единичной окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК: 511.37 + 511.36

УДК 511.35, 517.537.3, 517.537.6

О ПОВЕДЕНИИ НЕКОТОРЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ВБЛИЗИ ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ*

О. А. Петрушов (г. Москва)

Аннотация

В работе исследуется поведение производящих степенных рядов некоторых мультипликативных теоретико-числовых функций вблизи единичной окружности.

1 Вступление

Всюду в нашей статье (^-дзета-функция Римана, Пусть в £ С тогда при больших действительных частях в (в (в) раскладывается в ряд Дирихле с некоторыми коэффициентами тр(и):

ГО

Св (в) = ^ тв(и)и~3.

п= 1

Обозначим

ГО

(*) = ^ тв(и)*п п=1

В данной статье изучается поведение степенных рядов

ГО

(*) = ^ тв (и)*п п=1

*Р^ота выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 09-01-00743а.

вблизи единичной окружности. Радиус сходимости этих рядов равен 1, Возникает вопрос о возможности продолжения этих функций за единичный круг и поведении вблизи единичной окружности.

Возможность аналитического продолжения и поведение вблизи единичной окружности функций, заданных степенными рядами, изучались давно.

Типичный пример функции, которая не может быть продолжена за единич н ын круг ни в одной точке — это пример Адамара,

ГО

2п

2^ .

п=1

тт у" 2пИ

Доказывается, что она стремится к бесконечности на лучах вида, * = е 2т £ при £ ^ 1 —. Данная функция — пример некоторого класса функций, называемых лакунарными рядами.

Невозможность продолжения за единичный круг ни в одной точке доказана в следующих случаях:

1) Если / (*) лакунарен, т.е.

ГО

/ (*) = ^ аЛп *Лп, п=1

рд6

Лг Е N Иш Лп+1 — Лп = то,

п^ГО

(см. [1]).

2) Если Р — бесконечное множество простых чисел, а последовательность Ап содержит только конечное число членов кратных р Е Р для каждого р Е Р,

И/(*) = ЕГО=1 алп*Лп (см. [1]).

3) Если коэффициенты степенного ряда принимают конечное число значений, и он не является рациональной функцией, (см. [2] стр. 165).

4) Если коэффициенты степенного ряда целые, и он не является рациональной функцией (Это было доказано Ф. Карлсоном см. [3]).

5) Если этот степенной ряд отвечает модулярной форме [4] или тета-функции [5].

Поведение степенных рядов, отвечающих Ь-фупкциям алгебраических полей, изучалось в работе [6], где доказывалось, что существуют конечные пределы радиальных производных по почти всем лучам * = е2пгг£ при £ ^ 1 —, г е Q.

В нашей статье доказывается следующая новая теорема, более сильная, чем непродолжаемость для ещё одного класса степенных рядов, которые отвечают степеням дзета-функции Римана.

Введём ещё одно обозначение:

Пусть д(х) ^ 0 равенетво / (х) = П(д(я)) при х ^ а означает, что существует бесконечная последовательность ^ а, чт0 |/(£&)| > &д(£к) для некоторого 8> 0.

Теорема 1. Если в Е С \ Ъ, I Е Ъ, р-простое число, то

К (е2пг р г) = п((1 — г)-1+е) при г ^ 1— для любо го е > 0.

Она показывает, что производящие функции многих мультипликативных теоретико-числовых последовательностей ведут себя возле единичной окружности достаточно сложно,

2 Свойства интегралов Дирихле и лемма о разложении тригонометрической последовательности по характерам

Обозначим через Ь[а, Ь] пространство функций суммируемых на отрезке [а, 6]. Будем рассматривать интегралы Дирихле вида, I(в) = /0ГО и3-1/(и)в,и, где /(и) Е Ь[г, Я] при 0 < г < Я < то, в Е С, Справедливо равенство:

1 (в) = 11(в) + 12 (в) ,

где 11 (в) = у01 и3-1 /(и)йщ 12(в) = УГО и3-1/(и)йи.

Верны две леммы об интегралах Дирихле, получающиеся переформулированием свойств интеграла Лапласа (см, [?] стр, 35 — 38, 57 — 59),

Лемма 1. Если интеграл, 11(в) сходится при в = в0, то он сходится равномерно на, каждом компакте области Яе(в) > Яе(в0). Если интеграл 12(в) схов = в0 Яе(в) < Яе(в0).

Лемма 2. Пусть в области Яе(в) > а 1 сходится, интеграл 11(в), тогда, интеграл, 11(в) есть аналитическая функция в области Яе(в) > а1.

Пусть в области Яе(в) < а 2 сходится инт еграл, 12(в), тогда инте грал 12(в) есть а,политическая, функция в области Яе(в) < а2.

Пусть в полосе а1 < Яе(в) < а2 сходятся интегралы Ь(в) и 12(в), тогда, интеграл, I(в) есть аналитическая функция в полосе а1 < Яе(в) < а2.

Верна следующая лемма об интегральном преобразовании:

Лемма 3. Пусть Яе(в0) > 0, и ряд Дирихле ^ГО=1 апп-3 сходится в точке в0, тогда,

ГО р ГО ГО

Г(в0) ^ апп-30 = г30-1 ^ апе-п1<И,

п=1 0 п=1

где интеграл, сходящийся.

См. [8] стр. 11.

Лемма 4. Если степенной ряд ЕО=1. апгп имеет радиус сходим,ости, г ^ 1,

то

СО 0

Ья-1 апв-пгё;Ь

п= 1

сходится при любом, в Е С и определяет целую функцию.

Доказательство. При Ь ^ 1 в-* < в-1, поэтому ряд сходится на [1, то), и в 1 у интеграла особенности нет.

Обозначим через Вг (а) замкнутый круг радиуса г с центром в а. В Ве-1 (0) ряд

О

^ а-пгп-х

п=1

мажорируется рядом

ОО

^ |ап|в-(п-1) = в ^ |ап|в-п = с, п=1 п=1

так как радиус сходимости ряда, указанного в лемме не меньше единицы. Значит в Ве-1 (0)

О

| ^а,пгп1 ^ ф|,

п=1

Подставив туда г = в-*, получаем, что при Ь Е [1, то)

О

| ^ апв-п | ^ св-*,

п= 1

поэтому интеграл 12(в) сходится при всех в Е С и по лемме 2 определяет аналитическую функцию. Лемма доказана.

Здесь и далее р будет обозначать простое число.

Лемма 5. Пусть и(п) = в2трп при р \ и, и и(п) = 0 щи р | и, тогда

и(п) = —^ ^ т р — 1

Х(тай р)

где т(х,1) = ЕГ=1 Х(к)в2п

р | п

р\п

1 1 р - 1

^ т (Х,1)Х(п) = ^ (^ Х(к)в2т Ьр)х(п) =

х(то(1 р) х(т°3 р) к=1

ш =1

1 р-1 1 р-1

^ ^ Х(кЫп)е2т>р = ^ х(пк-1 ))е2т р ,

к=1 х(то(1 р) к=1 х(т0(^ р)

к-1 элемент обратный по модулю р,

^2х(пк-1) = р — ^

х

если п = к(тс/Л р),

^ Х(пк-1) = ^ х

если п = к(тс/Л р).

Отсюда следует искомое равенство.

Лемма доказана,

3 Возведение в степень эйлеровых произведений

Определим 1п а как ветвь логарифма, определённую на области О = С \ (—то, 0], аргумент которой принимает значения в (—п,п).

Определим ав как ев 1п а. Из определения логарифма следует

Лемма 6. Пусть

11п^ + 11пг2\ <п,

тогда

\п(г^2) = 1п г1 + 1п г2.

Лемма 7. Пусть

П

У, \ 1п Хк \ < п, к=1

тогда

П П

1п(П Хк) = ^1п Хк. к=1 к=1

п=

2 — лемма 6, Справедливо равенство

П п—1

1п(Д Хк) = 1п(( Д Хк)Хп). к=1 к=1

По предположению индукции 1п(ПП-1 Хк) = ^к-л 1п Хк, Т.К. ^!к-1 \ 1п Хк \ < п. Так как \ 1п(ПП—1 Хк)\ + \ 1п Хп\ ^ ЕГп=1 \ 1п Хк \ < п, то по лемме 6

n-1 n-1 n-1 n

Ь((Д Zk)zn) = Ь(Д Zk) +ln Zn = Zk + ln Zn = ^ ln Zk.

k=1 k=1 k=1 k=1

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть

тогда

У | ln Zk | < п,

k=1

ГО ГО

1п(П Zk) = J^ln Zk. k=1 k=1

Доказательство. Ряд '^2^==11п хк сходится, значит сходится

ГО

Д Хк = е^“=! 1п ^ . к=1

Из неравенства ЕГО^ \ 1п хк \ < п следует, что \ ЕГО=1 агд(Хк)\ < п, ПГО=1 хп ^ О. Т.к■ 1п х аналнтичен в О, т0 он непрерывен в О, Значит

ln ТТ Zk = ln lim ТТ Zk

n—ro А А k=1 k=1

lim ln I I Zk = lim у ln Zk = > ln Zk.

n——<ro n—ro * J J

k=1 k=1 k=1

Лемма доказана.

Лемма 9. Пусть

F(s) = Д 1

-1

PS P

при Re(s) > 1, где |ap| ^ 1.

Тогда при Re(s) > 2, в G C \ Z

PS

Доказательство. Так как при \х\ ^ 2

ГО \Z\n ГО |Z|

ln(1 - Z) < Е V « Е |Z|n = flTjJ « 2|Z|,

П - 1 II

n=1 n=1

ПОЭТОМУ

то при а = Не (в) > 2

£

1п(1 — ар)

рЬ

С 2> — С ра

р

2 £

1 1 1

С 2 у — С 2 - + > -------------

р р2 V4 Р>2 р(р— 1)

С

Итак,

/1 'ГО 1 \ Д 1ч А Д^

С 2 7 + V -------------------тт С 2(- + -) = 2(-) < 2(-) = п.

4 ^ п(п — 1) ' и ° и °

4 2 4 2

£

1п(1 — —)

рЬ

< п.

Значит при Не (в) > 2, применяя лемму 8, получаем

Р(в)в = ехр I в 1п Д ( 1 — —

рь

1

ехр

(—в £1п О

рЬ

П ехр — в 1п 1 — —)) = п

рЬ

1 _ —р — р Ь

-в

Лемма доказана.

4 Разложение в ряд Дирихле степени эйлерова произведения

Пусть (1 — х)-в = ЕГО=0 Ск(в)хк, где

\к(—в)(—в — 1)...(—в — к + 1) _ в(в + 1)...(в + к — 1) _ г(в + к)

Ск (в) = (—1)

к! к! Г(в)к!

Нетрудно видеть, что при фиксированном в выполняется неравенство: \ск (в)\ С СкА С с12ке для любо го е > 0, Итак

\ск(в)\ С С1рке (2)

р

Лемма 10. При Не(в) > а0, в € С \ Z

рв(в) = П Т.ск(в)—рр-кЬ

р \к=0

Е

п—1

те (п)ап

(3)

где ап и т@(п) определяются следующим образом,: при п = р1 ...р1гг

“ Г(в + 1,-)

1, !Г(в)

тв(п) = п

ап = а1! ...арТ.

Доказательство. Так как в эйлеровом произведении (1) берутся главные ветви логарифмов и ^ < 2 то эйлеровы множители разлагаются в ряды

р 2

Тейлора с коэффициентами ск (в) от Р-'в- Докажем абсолютную сходимость ряда полученного формальным перемножением эйлеровых множителей при Кв(в) = а > а1ш Согласно (2) для п = р2...р^

Г

\тр (п)| С П °1Р1] £ = (С1)п(п)п£ С в1оё С11о§п/ ь*2пе С па1+е,

3=1

где П(п)-чнсло простых делителей п. Поэтому формальный ряд Дирихле последовательности те (п) является абсолютно сходят имея при а > а^ Возьм ём а0 = шах{2,а1|. Докажем, что эйлерово произведение равно ряду Дирихле (3) при а > а0. Пусть р1 < ... < рт-все простые числа не превосходящие Р. Так как

Г(в + к1)...Г(в + кт) ак1 ...арт

П Е«(вНр~к‘

рСР \к=0

Е

к1 ,...кт —0

к1!...кт!Г(в)т (р1к1 ...рткт )5

аптв (п)

где ^ ~ сумма то числам у которых все простые делители не превосходят Р, то при а > а0

Е^ -П( £* (в)

п—1 рСР \к—0

с Е ^ 0

акрр-кз

С

п>Р

при Р ^ то, Лемма доказана. Замечание 1. При Яв(в) > а0

<и15 = Е

тв (п)

п—1

пь

Замечание 2. При Яв(в) > а0

р(в,х)в = Е тв(п)

Х(п)

п—1

пь

5 Доказательство основной теоремы

Лемма 11. Для любого в Е С с у слови см Яв(в) > а0 выполняются равенства:

Г™ I

г3-1Яв (е2пг р е-ь)(И =

'0

= Г(в) (Л Е тШШв,х))в + (С(в))в (1 - -рг(1 - -1 )в)

\р- 1 — ) V р- 1 рр

\ Х—Хо(тоа Р)

при I = 0(mod р).

Г ™ 1

г3-1Яв (е2пг р e-t)dt =

0

= Г(в)к (в))в

при I = 0(mod р).

Доказательство. Пусть I = 0(mod р). Пользуясь леммами 3, 5, замечаниями 1, 2, находим:

рго , ™ \„2пгр

2

Тв (п)е

п—1

2пг -р

Г(в) ( Е ТЁ(пп^ + Е тпп)

,п^0(то4 р) п=0(то4 р)

п° /—' *—' ч п

х{то4 р) I п^0(то4 р)

Г(в) ( р—1 Е т(х,1)ь(в,х)в + С(в)в - Ь(в,Х0)в 1

х{той р)

Г(в) (р-1 Е т(Х,1)(Р(в,х))в

\ Х—Хо(тс4 р)

-(L(в, х0))в + (С(в))в - (L(в, ыИ =

р - 1

= Г(в) (рг-г Е т(х.0№.х))в + «в)в (г - р-1 (1 - £)

\ Х—Хо(то4 р) \

Случай I = 0(mod р) прямо следует из леммы 3. Лемма доказана.

в

0

Доказательство теоремы 1. По [?] стр. 40, 120, 125 существует о, что все

L(s, х), (mod p), где х = Хо и Z(s) не имеют нулей в области

о

Re(s) = а > 1 - -——---------— (4)

() log(p(t + 2))

Поэтому в области (4) (L(s,x))e при х = Х0-> определённые при достаточно больших а, продолжаются до аналитических функций, s

Z(s)e = ((s - l)-1(s - 1)Z(s))'5 = (s - l)-e((s - 1)Z(s))e.

Ясно, что ((s - 1)Z (s))^ в облает и (4), a (s - 1)-e имеет в точке

1 ветвление, поэтому и функция

имеет при в = 1 ветвление. Допустим, что

при t ^ 0+, тогда интеграл

ts-IKe (e2mP e-t)dt

о

ts-l&e (e2ni p e-t )dt

сходился бы по признаку Вейерштрасса при Re(s) > 1 - е, так как если Re(s) =

1 - е + 5

\ts-l&e(e2nipe-t)| ^ ctl-£+&-lt-l+£ = ct-l+&,

а интеграл fj ct 1+5dt сходится. Интеграл

J ts-1Ke (e? e-t)dt

сходится при всех s G Си определяет целую функцию по лемме 4, По лемме

2 интеграл /0° ts-1Ke(e2mp e-t)dt был бы функцией аналитической в области Re(s) > 1 - е, что противоречит предыдущему выводу.

Теорема доказана,

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Mandelbroit S, Series de Taylor qui presentent des lacunes // Ann, Scient Ecole Norm, Sup, ser 3, 1923, V, 40, P. 413 — 462,

[2] Бнбербах Л, Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

о

СО

[3] Carlson F, Uber Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten // Mathe-matische Zeitschrift, 1921 V, 9, P. 1 — 13,

[4] Коблиц H, Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М.: Мир, 1988.

[5] Мамфорд Д, Лекции о тета-функциях. М.: Мир, 1988

[6] Кузнецов В, Н,, Кривобок В, В,, Сицинская Е, В, О граничных свойствах одного класса степенных рядов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам, Саратов, Издательство Саратовского университета, 2005, вып 3, стр, 40 — 47,

[7] Widder D, The Laplace transform, Princeton Univ. press, 1941

[8] Hardy G, H, Reisz M, The General Theory of Dirichlets Series, Cambridge Univ. press, 1915,

[9] Карацуба А, А, Основы аналитической теории чисел. М.: Факториал, 2004,

Московский государственный университет им, М, В, Ломоносова,

Поступило 2,10,2011 (исправленный вариант 21,11,2011)