О построении теории поверхностной упругости для плоской границы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.373, 539.6, 532.613.1

О построении теории поверхностной упругости для плоской границы

Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, К.Б. Устинов

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

Получена замкнутая система уравнений поверхностной теории упругости в терминах поверхностных величин, определенных как интегралы от избытка соответствующих объемных величин по нормали к интерфейсу. Уравнения линеаризованы, что соответствует случаю малых деформаций. Показано, что эти уравнения имеют форму более общую, чем уравнения Шаттлворса. Полученный тип уравнений был найден также для частного случая интерфейса, сформированного тонким слоем с постоянными свойствами. С помощью полученных уравнений рассмотрена задача изгиба плиты под действием давления, приложенного с обеих сторон.

Ключевые слова: поверхностная упругость, интерфейс, обжатие плиты

On surface elasticity theory for plane interfaces

R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov, and K.B. Ustinov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, RAS, Moscow, 119526, Russia

A closed system of equations of surface elasticity was derived in terms of surface quantities defined as integrals of excess of respective bulk quantities normal to the interface. The equations were consistently linearized for the case of small strains. It is shown that these equations are more general than the Shuttleworth equations. Equations of this type were also derived for the particular case of an interface formed by a thin layer with constant properties. The derived equations were used to consider bending of a plate under pressure applied on both sides.

Keywords: surface elasticity, interface, compression of a plate

1. Определение поверхностных величин. Кинематика поверхности. Определяющие

соотношения на поверхности. Обобщение уравнения Шаттлворса для описания интерфейсных взаимодействий

Следуя [1], под поверхностной плотностью gX, у) произвольной величины g в некоторой точке (х0, у0) поверхности z(x, у) будем понимать интеграл от избытка объемной плотности соответствующей величины g(z) по нормали к поверхности, проведенной через рассматриваемую точку (рис. 1).

Хотя в течение последующего изложения будем ограничиваться рассмотрением малых деформаций, все рассуждения здесь будем проводить, используя лагран-жево описание, т.е. все величины будем относить к материальному участку поверхности. Будем рассматривать достаточно общий случай границы, а именно границу раздела фаз А и В (граница раздела фаза А - вакуум

(фаза В - вакуум) может рассматриваться как частный

случай, когда рассматриваемая величина в вакууме равна нулю или бесконечности). Пределы интегрирования при этом, строго говоря, должны простираться на всю рассматриваемую область. Однако практически, если избыток рассматриваемой величины убывает с расстоянием от поверхности достаточно быстро, пределы интегрирования можно сократить до некоторых малых конечных размеров гА и zB, значения рассматриваемой величины в которых будут gA и gB соответственно:

2В

gS(X, у) g(х, у, г)&-hAgA (х, у) - hвgв (х, у), (1)

гА

^ = г0 - гА, ^ = гВ - 20-

Однако при формальном определении поверхностной плотности произвольной величины посредством выражения (1) остается произвол в выборе координаты точки раздела фаз г0. Данная проблема отсутствует, если положение границы раздела можно выбрать из соображений внешних по отношению к рассматриваемой задаче.

© Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Устинов К.Б., 2013

Рассмотрим с указанных позиций выражение для вариации плотности поверхностной энергии

8 = / стг7(г)8еу(г^г -ол58

Рл

-О? .

(2)

При этом поверхностная энергия не обязана быть положительно определенной. Положительно определенной должна быть энергия тела в целом, а не избыток, связанный с поверхностью и определяемый формулой (2). Иначе говоря, положительно определенной должна быть энергия области в пределах интегрирования в выражении (2), т.е. интегральный член в указанной формуле. Точно также при применении определения (1) для упругих поверхностных модулей ограничение на них отсутствует.

Здесь необходимо сделать оговорку. При рассмотрении интерфейса твердое тело - вакуум, либо в некотором приближении твердое тело - газ, выбор внешней границы твердого тела более произволен. Пусть в частном случае на рис. 1 слева от точки г0 тело отсутствует. Тогда при проведении границы в точке г0 мы придем к описанию, рассмотренному выше, а при проведении границы в точке гв, что может быть предпочтительно, например, при минимуме функции g(z) (обозначающей в нашем случае упругий модуль), а не максимуме, как указано на рисунке, возникает обычное ограничение, состоящее в требовании положительной определенности поверхностных модулей.

Тензоры напряжений О^ и деформаций 8^ удобно разложить на перпендикулярные и параллельные составляющие (например, [2, 3]). Для любого симметричного тензора второго ранга

|Ч Ю1 12 \ 0 ' 0 0 ЮХ3"

ю = ю1 1 + ю2 = Ю2 2 2 8 0 + 0 0 “23 • (3)

0 0 0 Юз ✓ V1 ю23 ю33

Данное представление имеет смысл только для системы координат, связанной с поверхностью, т.е. когда ось 3 направлена по нормали к поверхности. Представление (3) не является поэтому тензорной декомпозицией, каковой является, например, разложение тензора

Рис. 1. Распределение произвольной поверхностной величины по нормали к интерфейсу

на шаровую и девиаторную составляющие. Применение представления (3) для выражения вариации упругой энергии (2) дает

гв

5^ = | а|(г)88^(г)ёг-оО§8^Нл -

гл

-008е11вкв + / Оу(г) 5еу(г)& -

■О^58ул^ -ОуВ 8еу% •

58 О =58 О =58 О, Оу =ОуА=ОуВ,

(4)

Дальнейшее упрощение возможно в случае выполнения двух дополнительных условий [2]

(5)

(6)

первое из которых следует из однородности деформаций на рассматриваемом масштабе (при нарушении данного условия происходило бы изменение скачка смещения на рассматриваемом интервале), а второе является следствием уравнений равновесия в случае отсутствия объемных сил.

При выполнении (5), (6) выражение для вариации плотности поверхностной упругой энергии (4) преобразуется к виду:

8W • = 0-58 О +оу 88 у =

= О +°ч58 у • (7)

Здесь

Оу = В ОО(г)<Ъ - ОО к - ОО кв, (8)

гл

8У = В 8у (г)<г-8уЛкл-8уВкв (9)

гл

естественно назвать поверхностными напряжениями и деформациями соответственно. Их свойства отличает заметное своеобразие. Очевидно, согласно (7), они не образуют энергетической пары. Ненулевые компоненты поверхностных напряжений и поверхностных деформаций суть

/ _ _ \ / \ о

о

о =

о11

°12

о

°12

°22

0

8 =

-13

°23

°13

8 2з

83 3

(10)

Из первой формулы (10) видно, что поверхностные напряжения можно рассматривать как двумерный тензор второго ранга, что обычно и делается. Размерность поверхностных напряжений Оо есть Н/м, а поверхностных деформаций 8о — м. Введенные таким образом поверхностные деформации есть не что иное, как нормальный и тангенциальные эффективные скачки смещения 833 = [и3], 28^3 = [и1], 2823 = [и2]. Заметим, что эти скачки смещения могут иметь место даже при непрерывности истинных смещений на микроуровне.

Из выражения вариации упругой энергии (7) следуют равенства для переменных при лагранжевом описании (т.е. при отнесении всех переменных к физическому участку поверхности):

дЖ8

Эе!

дЖ8

д88

= °3 •

(11)

Первое из этих равенств есть хорошо известное уравнение Шаттлворса [4], записанное в лагранжевых переменных (см., например, [2]). Обычно уравнение Шаттл-ворса записывают в эйлеровых переменных, при этом в выражении для напряжений появляются члены, связанные с изменением площади поверхности:

у ^ дЖ8 _ , _

Оав = У05ав + ~ , а, в = 1,2

д8

(12)

ав

В дальнейшем тексте эйлерово представление (12) использоваться не будет.

В линеаризованном варианте при выполнении условий

58У = 0 = 0 (13)

первое из соотношений (11), как следующее из условия (7), записывается в форме:

оУ = оО+, 4 = О0+О и, (14)

I, О, к, I = 1,2,

что представляет собой еще более привычный вид уравнений Шаттлворса в лагранжевых переменных. При этом для первого и второго случаев (13) значения начальных напряжений ст|° и коэффициентов С8Н будут, вообще говоря, различны. Первый случай соответствует отсутствию поверхностных деформаций (10), т.е. эффективного скачка смещения. Однако это условие может не выполняться даже при непрерывных на микроуровне смещениях. Второй случай соответствует отсутствию напряжений по нормали к поверхности, что имеет место на свободной границе. Обычно при выводе уравнений Шаттлворса явно или не явно априори предполагается выполнения условий (13).

Для изотропной поверхности уравнения (14) упрощаются и принимают следующий вид:

оу1 = + (А8 + 2ц8)811 + А8 822,

0822 = 022 + А8 8П + (А8 + 2Ц8)822,

(15)

_8 _80 ,

°12 = °12 + 2М- 812.

Условия (13) выполняются с достаточной точностью в ряде случаев, например для свободных поверхностей, т.е. для случая поверхностных напряжений. Однако для более общего случая границы раздела твердых фаз условия (13) перестают выполняться. При этом на основании первого из равенств (11) поверхностные напряжения О8 будут различны для различных поперечных деформаций 88, т.е. они могут рассматриваться как функции продольных 8, и поперечных деформаций 88,- • В

линеаризованном варианте это соответствует замене уравнений (14) более общими:

о8 = 0у0 + с 8I + С82 8 2 =

Оо = Оо + Си. 8к1 + Си8 и =

= оу0 + С1]к18Й + С1]к18 •

(16)

Аналогично для поперечных напряжений следует записать:

= С* 8«+О 8к. • (17)

Действительно, декомпозиция (3), (10) была осуществлена волевым порядком, и следующие за ней выкладки могут быть осуществлены без нее. При этом все компоненты тензора деформаций входят в число аргументов энергии равноправно, что оправдывает форму записи (16).

По поводу выражения (16) следует сделать еще ряд пояснений. Значения начальных напряжений ст8° в формулах (14) и (16), вообще говоря, различны: в случае (14) они соответствуют каким-либо фиксированным значениям поперечных деформаций (при отсутствии вариации деформаций 588,-), либо нулевым поперечным

у 0

напряжениям О, = 0, в то время как в случае (16) они соответствуют нулевым поперечным деформациям.

Матрицы и С*2 достаточно сильно разрежены. В общем случае Сг8н = 0, если хотя бы один из индексов равен 3, и С*2 = 0, если ни один из индексов не равен 3. Отметим, что согласно введенному способу определения поверхностных деформаций размерности коэффициентов сук1, С*2 и сук2 различны: размерность С8Н есть Н/м, размерность Суу — Н/м2, размерность С,2 — Н/м3.

Выражения (16), (17) можно таким образом рассматривать как обобщение уравнений Шаттлворса для интерфейсных взаимодействий. Два обычно рассматриваемых варианта описания поверхностных эффектов являются частными случаями. Так, наложив запрет на поверхностные деформации 8#, т.е. убрав в (16), (17)

с I | |

члены, содержащие Сук1 и Сук1, получим классическое уравнение поверхностной упругости Шаттлворса (14). Убрав члены, содержащие СУк1, С83, получим вариант описания поверхностных эффектов винклеровского типа при наличии скачка деформаций [4-10].

Для достаточно широкого класса задач поверхность можно рассматривать как трансверсально-изотропную с осью симметрии, направленной по нормали. В этом случае уравнения (16) принимают упрощенный вид:

_8 _ _8^| /'чУ „ _|_ /'чУ „ _|_ ✓'чУЗ „8

о11 = о11 + Ч111811 + С1122822 + С1133833,

_8 _ _8^| /'чУ „ _|_ /-ч8 „ _|_ ✓'чУЗ „8

о22 = о22 + с1122811 + С1Ш822 + С1133833,

_8 _ г^У0 | ■*> /~*8 р

о12 = о12 + 2С1212812,

С1 212 = (С1 111 - С1 122 ^2,

°3 3 = °33 = С1 1 33811 + С1 1 338 22 + С3 333833,

= °13 = 2СШ38183 , °у3 = °23 = 2С1333823.

(18)

Далее рассмотрим модельный пример: случай, когда приповерхностные изменения всех величин локализованы в пределах узкого слоя толщины h, внутри которого они постоянны, а вне слоя — отсутствуют.

2. Модель поверхностного слоя как предел слоя конечной толщины, обладающего постоянными свойствами

Рассмотрим слой материала толщины h, заключенный между слоями других материалов, так что суммарная толщина всех трех слоев Н > h. Все три материала будем полагать линейно-упругими трансверсально-изо-тропными с плоскостями изотропии параллельными границам раздела слоев (рис. 2). В системе координат с осью z, направленной по нормали к слоям, упругие свойства описывает набор упругих постоянных С‘и, С12, С13, С33, С44, С66 = С -с22)/2 (i = А - для нижнего, I = В — для верхнего и I = С—для среднего слоя).

Рассмотрим однородное нагружение области рассматриваемой структуры, содержащей участок срединного слоя и прилегающие к нему участки вышележащего и нижележащего слоев. Такое рассмотрение соответствует случаю слабо меняющегося поля, когда характерные расстояния, на которых происходит существенное изменение, значительно превосходят размер рассматриваемого элемента. Будем использовать одноин-дексную систему записи (матричную запись закона Гука) для компонент деформации и напряжения соответственно:

11

= 8

1 , ь22

= 8

2, ь33

= 8

3,

">о^ — <?к -)0к _ „к ^ск _ 0к

2823 = 84, 2813 = 85 , 2812 = 86 ,

°11 = °1 , , °33 = 0

-Ч ,^22

2^33

3,

(20)

23 4

к = Л, в,

= 0

6,

Упругую энергию в данной системе обозначений можно записать как

и = и0 + "“[Сс! (8,2 + 822) + 2 С^ 82 +

+ 2 С138<С (81С + 82 ) + <%£ 2 +

+ С6С686С2 + С4С4(84С 2 + 85С 2)]

0„С2

„С 2 ч

(21)

С.

Здесь и0 — энергия вышележащего и нижележащего слоев.

Заменим теперь промежуточный упругий слой толщины h эквивалентным составным слоем, состоящим из слоя толщины к' < к со свойствами С, и двух слоев толщины (к - к')/2 со свойствами С, и СО , соответствующими исходным вышележащему и нижележащему слоям таким образом, чтобы при произвольной заданной деформации значения упругой энергии исходной и эквивалентной упругой системы совпадали. Затем, устремляя толщину нового слоя к нулю (к' ^ 0) и изменяя при этом сС так, чтобы сохранялась упругая энергия, получим вместо структуры толщины Н, состоявшей из двух слоев толщины (Н - к)/2 и слоя толщины h между ними, эквивалентную структуру Н, состоящую из двух слоев толщины Н/ 2, соответствующих исходным материалам, и бесконечно тонкой поверхности между ними, наделенной такими новыми упругими свойствами А], что при произвольной заданной деформации значения упругой энергии исходной и эквивалентной упругой системы совпадают. При этом упругие свойства эквивалентной поверхности полностью описывают упругие константы А], полученные в результате указанного предельного перехода.

Выполним намеченную последовательность действий. Упругая энергия системы после замены исходного среднего слоя толщины h эквивалентным составным слоем, состоящим из слоя толщины к' < к со свойствами СС и двух слоев толщины (к - к')/2 со свойст-

Рис. 2. Слой конечной толщины и эквивалентный бесконечно тонкий слой

вами С А и сЦ, соответствующими исходным вышележащему и нижележащему слоям, будет

и&_и+С (е^2+„А2)+2 +

+ 2 СК (е1 +е!) + С33Е3 + +

+ С4А4 („А2 + „5А2) + сЦ („В2 + „В2) +

+ 2СХ „2 + 2 С1е3(е1 + е2)+

+ г^В „В2 + ^В еВ2 + г^В /„В2 + „В2\-| +

+ с33е3 + С66е6 + с44 (е4 +„5 )] +

+ ^[С,С'(еС’2 + „Р) + 2С,С,е,СеС%

+ 2С° „С (еГ +„2 ) + С33 „С 2 +

+ СбСбеС2 + С44(е42 + „Г2)]. (22)

В выражении (22) деформирование эффективного слоя характеризуется деформациями вдоль слоя

С' С' С'

„1 , е2 , „6 , теми же, что и для исходного промежуточного слоя конечной толщины, и деформациями по нормали, вообще говоря, отличными от исходных. Компоненты деформации вдоль трех слоев являются общими:

р А ■

„1 =„1

.В

С _„1 С _„1 _ „1,

.В

С _ „2 С _ „2 _ „2,

.В

С _„6 С _„6 _ „6,

(23)

в то время как для компонент деформации в перпендикулярном направлении (в направлении оси z) выполняются соотношения

к - к' А к - к' „5' + —г-

„В + к'„С _ к есс,

к — к а к — к в 1 / С 1 С -----------„4 +-----------------+ к „4 = к „

4,

к — к а к — к в 1 / С 1 С

-„3 +-------„з + к „з = к„з,

(24)

2 2

следующие из равенства смещений точек внешней поверхности исходного и эквивалентного составного промежуточного слоя. Кроме чисто кинематического ограничения (24) величины „3, „4, „5 и „3 , „4 , „5 (j = А, В) должны подчиняться уравнениям, следующим из принципа Лангранжа, т.е. доставлять минимум упругой энергии (22). Это выполняется при

„ А _ (С13 — С13)(„1 + „2) + С33„3 „3 _ ~А ,

С33

„ В _ (С13 — С13)(„1 + „2) + ^„З

„3 _ ~А ’

С

33

СС„С СС„С

А _ С44„5 0В _ С44„5

„5 ='

(25)

ГА ’ 5

С44

=

В

СВ

С44

СС„С СС„С

„А _ С44ь4 „В _ С44ь4

„4 =~^А , „4 = '

44 4

С'

44

с

Равенства (25) также представляют собой условия равенства напряжений ст3, ст4, ст5 в слоях А, В, С соответственно.

Подстановка (24) в (22) дает выражение для энергии системы, эквивалентной исходной энергии (21), выраженной через те же кинематические переменные

С С С

„1, £2, £6, „3, „4 , „5. Для полной эквивалентности равенство и _ иег должно выполняться для любого сочено „С 3 , „4 ,

тания кинематических переменных „1, „2, „6, „

„5 и любых упругих модулей как во внутреннем слое, так и в обоих прилегающих слоях , к _ А, В, С. При

этом равенство и _ иег дает систему уравнений отно-

сительно упругих постоянных СЦ эффективного слоя

новой толщины, решение которой есть ГС _ г С _ г С + ~ ГС С11 = С23 = С12 + 2С66 ,

гс = п с _ к к

С12 = С21 =

(26)

4С3А3 сВ3 — 2533 (С3А3 + СВ3)

х [С1В32 (2С3А3 — 03) + СА32 (2С3В3 — 53) +

+ 2 с52 (сА + сВ ) — до3 с5 сА —

2 С13 (С33 ~ С33 ) 4513 5^3 533

_ л /~^А /—|С /~чВ . х-гА х-гВ х-С _ /""С _

4с13 с13с33 + 2 с13 М3^3 (2 с12

— сА2 — С1В2)(СС3 (СА3 + з33)—23533В3)],

_г^с ____Г^С _ /~С _

с13 _ с23 _ 531 _ 332 _

//-чВ /-(А , /-чА /чВ \/-чС _л /-С /-чА /-В

(С13 С33 + С13 З33 ) С33 2 5^3 С33 533

Сс _ к

С33 _

к

С С / г'А _|_ х-гВ \ ■-у ^А ^В

33(С33 + с33 ) 2333 333

( Л 1 ,

С С л /-чА л ^

33 2С33 2С3

33

33

пС' _ пС _ к" 544 _ с55 _ ~Т к

(

С

С

44

2С4а4 2С4

44

(27)

(28)

(29)

(30)

пс’ _ к 66 2к'

( г^А *чА

пС пС С11 — С22

С11 с12 ::

ГВ _ГВ \ С11 с22

,~<А + /~'В ^ г'С с66 + с66

с66

(31)

Выполним в получившихся выражениях предельный переход к ^ 0. При этом условия (24) преобразуются к виду:

к а к в г т с 2 „5 + 2 „5 + [м1] _ к „5 ,

На к в г п 1 с 2„4 + -„4 + [«2] _ к „4,

На к в г т с

- „3 + - „3 + [«3] _ к „3 .

(32)

Здесь произведение деформации внутри слоя на его толщину есть разница смещений его границ:

[м1 ] _ м1+ — м1— _ lim к'езс , к' ^0

[м2 ] _ и2+ — и2— _ lim к'езс , к' ^0

[и3] _ и3+ — и3— _ lim к'езс .

к' ^0

(33)

Выражение для упругой энергии эффективного слоя при к' ^ 0 преобразуется к виду:

Ueff = Uo + ^[Cit (eA + ef) + 2 O^e^ +

+ 2 0AeA (eA + eA) + deA2 + CAef +

+ CA(e;A2 + e5A2) + 0f(ef2 + ef2) +

+ 2 Ct2e? ef + 20Bef (ef + ef) + O&ef2 +

+ Cf6e|2 + C44(er+er)+^(et

+ A12ene22 + A13[u3 ](elC + e2 ) + A3[u3 ] 2 +

if ,„Б 2

r,f2\

C 2 + e?2) +

+ A^M2+[U2]2) + A6 eC2. (34)

Здесь

A11 = limn h'O0^, h ^0 (35)

A12 = Jim h,0^2/, h ^0 (36)

A13 = lim 0° = 0° , 13 h'^0 13 (37)

A33 = lim 0°/h', h ^0 (38)

A44 = lim 0° /h, h' ^0 (39)

A66 =lim h 0°6. h ^0 (40)

После подстановки сюда (26)-(31) окончательно по-

лучим:

A11 _ A22 _ A12 + 2A66, A12 = A21 =

4C3a3 cf3 - 2C3c3(cA3 + Cf3)

x[C1^2(2C33 - cC3) + CA32(2Cf3 - 0°з) + +2Cic32(C3A3+c33) - 4 cf3 cC3 С3з -

_ л /-~<A /->C /-if ! fiA fif _/--ч _____

4C13 c13c33 + 2C13 c13c33 (2 C12

- CiA2 - Cf2)(C3C3 (C3A3 + of) - 20330*3)],

A13 = A23 = A31 = A32 =

//-if /-(A | /-tA /--(f \ /-C _л s-iC s-iA

(O13 C33 + C13 C33 ) C33 2 C13 O33 C33

c3c3(c3a3 + of3)-20A ° '

A33 =t

.33 >

V1

C3c3 2033 203

33

-"33

A44 = A55 ='

1

C

C

44

2044 20

(42)

(43)

(44)

(45)

/~rA /-»A ^0 ^O C11 - C22

C11 C12 "

44 ^

nf -ПБ \ C11 C22

(

= h

r^O C66 "T" C66 C66 -

06A6 + C

(46)

В формулах (41)-(46) упругие модули Ау имеют разную размерность (см. обсуждение после формулы (17)) и, как следовало ожидать, не зависят от толщины эффективного слоя к , однако зависят от толщины исходного слоя h, который моделируют. Если исходный

слой толщины h моделируется согласно формулам (41)-(46) упругими модулями Ау, то для слоя из того же материала удвоенной толщины жесткость в продольном направлении, определяемая модулями А11, А12, А66, будет вдвое большей, а жесткость в поперечном направлении, определяемая модулями А33, А44, — вдвое меньшей. Принципиально важно, что упругие модули Ау определяются толщиной h и упругими свойствами не независимо, а посредством комбинаций типа (44)-(46).

Рассмотрим некоторые частные случаи полученного решения. Имеется в виду окончательное решение, полученное после предельного перехода: левые части равенств (33), условия (34), (41)-(46).

Частный случай 1. Тонкий жесткий слой

В этом случае толщина слоя стремится к нулю, а упругие постоянные С Су имеют одинаковый порядок и стремятся к бесконечности так, что

(47)

Выполнение условий энергетической эквивалентности, хотя бы в смысле главного значения разложения по малому параметру отношения модулей (с' + + С^)/ С°, требует выполнения дополнительных усло-

"66,

вий. Рассмотрим, например, выражение для А66 (формула (46)). Чтобы значение А66 оставалось постоянным (41) при к ^ 0, необходимо стремление С°6 к бесконечности как А661 к + (С' + С66)/2. Аналогичное должно

С с

иметь место и для модулей Сц, С12. Что касается модулей А33, А44, А55, то для устранения бесконечного вклада в энергию необходимо наложить запрет на наличие скачков смещения: [ии] _ 0, п _ 1, 2, 3. При этом вклад члена, содержащего А13, исчезает, поскольку при вычислении энергии коэффициент А13 домножается на [и3] _ 0. Как мы видим, рассмотренный предельный переход соответствует случаю классической теории поверхностной упругости с отсутствием начальных напряжений при нулевых деформациях.

Значимые коэффициенты для рассматриваемого частного случая получаются разложением (41)-(46) по малым сЦсС, СУ/35:

A11 _ A22 _ A12 + 2A66,

A12 = A21 = h

r^O C13

C12 "

C

C

C

33

(48)

A66 = h 066.

Для изотропного промежуточного слоя формулы (48) с точностью до обозначений совпадают с формулами работы [11].

В соответствии с определением поверхностных модулей, как и всякой другой поверхностной величины, в теории поверхностной упругости через интегралы от избытка соответствующей величины по нормали к поверхности, логично рассматривать предельный переход вида h (0° - (OA + of )/2) ^ const, а не h0° ^ const

при h ^ 0. Однако при 0° и ограниченных 0А, 0f разница сказывается лишь на членах высших порядков малости.

Частный случай 2. Тонкий податливый слой

o

В этом случае все упругие постоянные О у имеют одинаковый порядок, причем

h (00 )-1 ^ const при h ^ 0, (49)

т.е. с уменьшением толщины слоя соответствующим образом растет не жесткость, а податливость. В таком случае существенный вклад в энергию дают лишь члены, содержащие A33, А44, которые, согласно (44),

О -1

(45), стремятся к постоянным при h (033 ) ^ const,

h(0° )-1 ^ const, h ^ 0. Согласно (41), (42), (46), модули A11, A12, A66 при h ^ 0 обращаются в нуль, а модуль A13, хотя и стремится к константе, как видно из (43), но слагаемое, его содержащее в выражении для энергии, стремится к нулю при h ^ 0. Получаемая в результате такого предельного перехода модель есть модель линейных пружин [5-10]. Условие (49), являющееся условием ее применимости, показывает, что использование модели имеет смысл для мягких, податливых интерфейсов. Значимые коэффициенты для рассматриваемого частного случая получаются разложением (41)-(46) по малым 0° j ОА, 0° j Off:

А33 = °f, А44 = А55 = °f. (50)

hh

Достоинствами двух предыдущих моделей, полученных в результате предельных переходов, является их относительная простота, а недостатком — отсутствие общности. Действительно, ни одна из них не позволяет обеспечить сохранение полной упругой энергии для произвольных упругих модулей слоев и при произвольных деформациях. Для общего случая, сохранение модулей Aj обеспечивается, когда h (033 )-1 ^ const, h (044 )-1 ^ const, h 0° ^ const, h 0° ^ const, 0°3 ^ ^ const при h ^ 0. Такой случай не сводится к объединению частных случаев 1 и 2, поскольку в определяющих соотношениях не исчезает перекрестный член с модулем А13. Упругие параметры модели при этом определяются всеми формулами (41)-(46).

Рассмотрим еще один тип предельного перехода в полученных формулах. Предел h ^ 0 при фиксированных 0k, k = А, Б, О, соответствует классической упругости, т.е. отсутствию какого бы то ни было вклада поверхности. Действительно, поверхностные модули А33, А44, А55, согласно (44), (45), стремятся к бесконечности. При этом в соответствии с (34) бесконечно большой становится энергия системы при конечных скачках смещения [ии ], n = 1, 2, 3. Следовательно, данные скачки смещения должны отсутствовать: [un ] = 0, n = 1, 2, 3. При [u3] = 0 рассмотрение перекрестных модулей А13 = А23 = А31 = А32 согласно (22) лишено смысла, по-

скольку при любом конечном значении они не дают вклада в величину энергии. Согласно (41), (42), (46), другие модули А11, А12, А66 при к ^ 0 обращаются в нуль и в соответствии с (34) не дают вклада в упругую энергию при любых конечных деформациях.

Итак, при указанном предельном переходе рассматриваемая поправка является исчезающе малой. Оценим порядок малости данной поправки. Для этого рассмотрим область среды, содержащую слой толщины h и простирающуюся по нормали к слою на величину Н >> к, а вдоль слоя — на единичную длину. Тогда, при условии того, что упругие постоянные всех слоев одного порядка, на основании (21) относительный вклад в энергию слоя С должен убывать пропорционально уменьшению относительной толщины промежуточного слоя к/Н, поскольку в (21) и0 ~ Н, а все остальные члены пропорциональны h. Согласно определению модулей эффективного бесконечно тонкого слоя, вклад от каждого слагаемого, содержащего Ау, в (22) должен быть также пропорционален h, что так и есть с учетом (41)-(46) и того что (при сопоставимости всех упругих констант) [ип ]~ „3пк. Таким образом, формулы (41)-(46) можно рассматривать как определяющие линейную поправку (первый член разложения по к/Н) к классической упругости.

Очевидно, что указанный предел отличается от рассмотренного выше, когда толщина слоя устремлялась к нулю с одновременным изменением его упругих свойств.

Для частного случая изотропии вышележащего и нижележащего слоев формулы (41)-(46) преобразуются к виду:

А11 _ (к(—4АвЦа ФА + МА ) — 4(2цА (ЬВ + МА ) +

+ А А (ЬВ + 2цА ))мВ — 4(Ь А + 2цА )мВ +

+ 2СП (Ь А + 2ца )(ЬВ + 2цВ ) —

— 4С|3(Ь вЦ а +Ь а (Ь в + м в )) +

+ С1С32 (ЬА +ЬВ + 2(цА + МВ )) +

+ С3С3(2(Ь А + Ма + МВ )(ЬВ + М а + МВ ) —

— С1С (ЬА + ЬВ + 2(ма + МВ )))))/(2(Ь А + 2М-А )Х

Х (Ь В + 2цВ ) — С33(Ь А +Ь В + 2(м А + Мв ))), (51)

А12 _ (к(—2ЬАЬВЦА — 2(ЬАЬВ +

+ 2(Ь А +Ь В )М А )М В — 2С13(Ь ВМ А +

+ Ь А (Ь В + М В )) + С1332(Ь А +Ь В +

+ 2(М А +М В )) + С33!(Ь В (М А +М В ) +

+ Ь А (2Ь В +М А + М В ) + С1С2(2(Ь А +

+ 2ц А )(ЬВ + 2цВ ) — С333 (Ь А + ЬВ +

+ 2(МА + МВ )))))/(2(Ь А + 2цА )Х

Х (ЬВ + 2цВ ) — С33(Ь А +Ь В + 2(м А +м В ))), (52)

А13 _ [2( С13(АА + 2цА)(ЬВ + 2цв) +

+ С33(А ВМ А + Ь А (Ь В + М В ))] Х х [ —2(Ь А + 2цА )(ЬВ + 2ц В ) +

+ С333(АА В + 2(МА +МВ))] 1

А _________________________2___________________

'33 _ Г 2 1 Л •

1

(53)

(54)

Если устремить к нулю толщину слоя при замене слоя на эквивалентную поверхность без заполнения образующегося пространства материалами вышележащего и нижележащего слоя, а просто за счет уменьшения толщины трехслойной структуры, то в и&е членов с h не будет. Тогда сравнение и и ие1Г сразу даст А11 _ _ ксЦ, А12 _ н02, А13 _03, А33 _ к _1С333. Все перекрестные члены А13 присутствуют.

Случай наличия собственных деформаций рассмотрен в [12].

3. Поправки, вносимые поверхностными эффектами в величину изгиба плиты

В работе [13] на основе модельных представлений, аналогичных использованным в настоящей статье, было получено решение для изгиба двухслойной пластины, например, благодаря нагреву, с учетом влияния поверхностных эффектов. В рассмотренной задаче поверхностей, обладавших свойствами поверхностной упругости и вносивших вклад в деформирование пластины, было три: две внешние поверхности и поверхность интерфейса. Там же был рассмотрен и более простой случай — изгиб однородной пластины с поверхностным слоем, нанесенным только с одной ее стороны. В обоих случаях, как и в настоящей работе, эффективные собственные деформации и эффективные упругие свойства определялись из условий эквивалентности реального поверхностного слоя конечной толщины и эффективного бесконечно тонкого слоя.

Следует подчеркнуть, что в рамках элементарных теорий изгиба напряжения, нормальные к плоскости пластины, либо отсутствуют, либо пренебрежимо малы (следствие того, что в полной трехмерной задаче об изгибе плит величины этих напряжений отличаются от учитываемых напряжений, действующих в плоскости пластины, в р(Ь/Н)п, п > 1, где Ь/Н — отношение размера пластины в плане к ее толщине), и, следовательно, тензор напряжений можно рассматривать как двумерный. Также для этого класса задач двумерен и тензор поверхностных напряжений, и использованная классическая мембранная теория поверхностной упругости вполне оправдана.

Однако отсутствием нормальных к плоскости пластины напряжений не исчерпывается круг задач, в которых учет поверхностных эффектов может быть интере-

сен. Рассмотрим однородную пластину с поверхностным слоем, нанесенным только с одной ее стороны под действием приложенного к ней всестороннего достаточно большого давления. Действие этого давления, в некотором смысле аналогичного действию температуры, вызовет в общем случае неодинаковое деформирование в объеме пластины и поверхностном слое, приводящее к изгибу. Причем величина этого изгиба, посчитанная в рамках мембранной теории поверхностной упругости и в рамках теории, рассматриваемой нами, будет различной.

Рассмотрим это явление подробнее. Пусть имеется двухслойная пластина, состоящая из слоя толщины Н — к, обладающего упругими константами СЛ, и покрытия толщины к _ пН, п << 1 обладающего упруги-£

ми свойствами СЛ (ось х3 направлена по нормали к пластине, ось х1 — вдоль пластины, начало координат находится на границе слоя и покрытия). Приложим к пластине давление р. Для простоты рассмотрим ее деформирование в условиях плоского напряженного состояния. Рассматривая задачу в рамках теории изгиба тонких пластин, распределение деформаций в слое Н — к будем считать линейным, а деформации в тонком слое постоянными:

еп _е°)1 +К*3, £33 _ £33 + К3Х3,

е1?) _ еп, £С3 _ сош!

(55)

Форма пластины будет определяться из условия минимума разности работы внешних сил и упругой энергии. Для элемента пластины эта разность будет иметь вид:

( Н—Н 0

АЖ _ р | £33^3 +1 £33 ^3 +

0

—к

Н—Н 0 Л

+ | £цЛх3 + I £11)ЙХ3 0 —к

Н—Н

— I

0

11 £?1 + С,

С33 £2 ~ £33

dxз +

0

+ 1

(с1° >

—к

11

„(С )2

+ С

.(С )„(С )„(С) _

13 11 33

С (С)

333 £(С)2 - £33

Л

dx3• (56)

Приравнивая к нулю частные производные от (56) после подстановки (55) и интегрирования по кинематическим переменным £°)1, К, £33, К3, £33, получим систему пяти уравнений относительно пяти неизвестных, решение которой и будет соответствовать истинным значениям кинематических переменных. В данной задаче нас более всего интересует величина изгиба к (обратная радиусу кривизны). Раскладывая получившееся значение в ряд для малых п, находим

К _ 6 рпС33[С1(3С ЧадЗ — с23 +

+ С33 (С11 — С(3С >) + С° ] (С23 — С13 31° > +

+ С33(С113) — Сп))][ НС3С )2(б1 — ^1^3)2 ]—1. (57)

Если оба материала изотропны, то с учетом известных равенств Е* ■_ Е/ (1 —V2), V* _v|(1 — V) последняя формула упрощается следующим образом:

Х[Е(С)*(1 — V*) — Е* (1 —V1-3 )*)]. (58)

Полученное выражение можно привести также к форме, выраженной через определенные в предыдущем параграфе поверхностные модули. Весьма существенной оказывается зависимость радиуса кривизны как от отношения модулей Юнга, так и от коэффициентов Пуассона материалов. Даже для одинаковых значений модулей Юнга толстого и тонкого слоев, в зависимости от значений их коэффициентов Пуассона, под действием давления пластина может изгибаться как в ту, так и в другую сторону. Вместе с тем очевидно, что при моделировании составной пластины в рамках классической теории поверхностных напряжений при равенстве модулей Юнга материалов искривления вообще не будет.

Оценим величину прогиба. Для никелевой пленки на слое серебра значения параметров будут: Е = 80 ГПа, Е(С) = 210 ГПа, V = 0.37, V31 = 0.28. При р =100 МПа, Н = 10—4 м, п = 0.025 получаем радиус кривизны R = = 0.57 м. При длине пластины порядка нескольких сантиметров прогиб, соответствующий такому радиусу кривизны, может быть зарегистрирован.

4. Выводы

Основные соотношения поверхностной теории упругости получены в результате рассмотрения произвольного изменения полей и свойств материалов вблизи интерфейса. При этом все поверхностные величины определяются обычным образом: как интегралы от избытка объемной плотности соответствующих величин. Рассмотрен частный случай, когда приповерхностные изменения всех величин локализованы в пределах узкого слоя толщины h, внутри которого они постоянны, а вне — отсутствуют. Как для общего, так и для частного случая при наличии твердых фаз по обе стороны интерфейса получены определяющие соотношения более общего вида, по сравнению с уравнениями Шаттлворса, которые могут быть найдены отбрасыванием некоторых членов. Проведены оценки параметров, при которых

подобное пренебрежение может быть оправдано (для весьма жестких интерфейсов).

Рассмотрена задача изгиба двуслойной пластины под воздействием давления, приложенного к обеим сторонам. Показано, что при одинаковых модулях упругости и различных коэффициентах Пуассона слоев пластины ее прогиб, описываемый в рамках рассматриваемого подхода, не может быть описан в рамках классической теории поверхностных напряжений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 25.

Литература

1. Ibach H. The role of surface stress in reconstruction, epitaxial growth and stabilization of mesoscopic structures // Surf. Sci. Rep. - 1997. -V. 29. - P. 195-263.

2. Подстригач Я.С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. - Киев: Наукова думка, 1985. - 200 с.

3. Muller P., Saul A. Elastic effects on surface physics // Surf. Sci. Rep. -

2004. - V. 54. - P. 157-258.

4. Shuttleworth R. The surface tension of solids // Proc. Phys. Soc. A. -

1950. - V. 63. - P. 444-457.

5. Hashin Z. Thermoelastic properties of fiber composites with imperfect interface // Mech. Mater. - 1990. - V. 8. - P. 333-348.

6. Hashin Z. Thermoelastic properties of particulate composites with imperfect interface // J. Mech. Phys. Solids. - 1991. - V. 39. - P. 745762.

7. Jiang B., Weng G.J. A generalized self-consistent polycrystal model for the yield strength of nanocrystalline materials // J. Mech. Phys. Solids. - 2004. - V. 52. - P. 1125-1149.

8. Tan H., Liu C., Huang Y, Geubelle PH. The cohesive law for the particle/matrix interfaces in high explosives // J. Mech. Phys. Solids. -

2005. - V. 53. - P. 1892-1917.

9. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P., Karihaloo B.L. Eshelby formalism for nano-inhomogeneities // Proc. R. Soc. A. - 2005. - V. 461. -P. 3335-3353.

10. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P., Karihaloo B.L. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress // J. Mech. Phys. Solids. - 2005. - V. 53. - P. 15741596.

11. Альтенбах X., Еремеев В.А., Морозов Н.Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений // МТТ. - 2010. - № 3. - C. 30-44.

12. Ustinov K.B., Goldstein R.V., Gorodtsov V.A. On the Modeling of Surface and Interface Elastic Effects in Case of Eigenstrains // Surface Effects in Solid Mechanics. Models, Simulations and Applications. Ser. Advanced Structured Materials. V. 30 / Ed. by H. Altenbach, N.F. Morozov. - 2013. - P. 167-180.

13. Гольдштейн Р.В., Каспарова Е.А., Шушпанников П.С. Роль поверхностных эффектов при деформировании двухслойный пластин // Вестн. Тамб. универ. Естественные и технические науки. -2010. - Т. 15. - № 3. - С. 1182-1185.

Поступила в редакцию 03.07.2013 г.

Сведения об авторах

Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н, проф., чл.-корр. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, goldst@ipmnet.ru Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н, проф., внс ИПМех РАН, gorod@ipmnet.ru Устинов Константин Борисович, к.ф.-м.н., доц., снс ИПМех РАН, ustinov@ipmnet.ru