CC BY
7
УДК 517.955
Васильева О.А.
Родионова И.Н.
Уч. степень, доцент, Преподаватель, Самарский университет
Самара, Россия
О ПОСТАНОВКЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ДАННЫМИ НА ПЛОСКОСТЯХ СИЛЬНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ТЕХНИЧЕСКОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аннотация
Пространственные аналог уравнений Эйлера-Пауссона Дарбу рассматривается на множестве пространства Rз, представляющего собой пирамиду. Все три параметра уравнения равны единице, что говорит о сильном вырождении решения на плоскостях сингулярности коэффициентов уравнения z = x±y являющимся гранями пирамиды.
Ключевые слова
Краевая задача, гиперболическое уравнение, Эйлера-Дарбу, Коши.
Методом Римана получено решение видоизмененной задачи Коши (задача C) с данными на плоскости сильного вырождения z=x±y (z=x+y). На базе задачи C решена краевая задача с граничными условиями на обеих плоскостях вырождения и на одной из граней пирамиды, является характеристической плоскостью уравнения (задачи MC). Так как в случае сильного вырождения решение поставленной задачи обращается в бесконечность на плоскостях z=x±y, то рассмотрена также возможная постановка задачи MC, при которой на указанных плоскостях решение будет ограниченным.
Рисунок 1 - Пространственный аналог уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу
Уравнение (х + (5^пу)у — + — — = 0 (1) рассмотрим на множестве
0= 01 и 01,
01 = {(* у, Ю | 01 = {(X, У, ю | о^^ И - «ш^ ь».
Уравнение (1) можно рассматривать как обобщение пространственного аналога уравнения Эйлера-Дарбу с тремя параметрами равными единице, что говорит о сильном выражении решения на плоскостях z= х±у, при котором как само решение, так и его производные обращаются на указанных плоскостях в бесконечность. Поэтому вначале поставим для уравнения (1) в области 01 задачу с данными на плоскости
z=x-y.
Задача С. На множестве O1 найти решение уравнения (1) с данными:
lim U (х, y,z)(x — у — z) = т(х, у), (2)
z^x-y-0
(х,у) Е Д, Д= {(х,у)|0 < у < х < h}; lim [Uz * (х — у — z) — U(x,y, z~)\ = u(x, у), (x, y)E Д,
z^x-y-0
lim \Uzy(x — y — z) — Uy — Uz]= ¡л(х, у), (x, y)E Д.
z^x-y-0 J J
Методом Римана [1,2] получаем решение задачи С:
и(х, У' 2) = ^ № У) - ¡ГУ и(х' х-№ + ¡*-у йз * + ь)йь] (3)
(и,1Л) 6 С(1)(А), т 6 С (К), тху 6 С (А) Единственность следует из метода Римана, существование доказано проверкой. Из формулы (3) следует, что функция U(x, у, z) на плоскости z=x-y обращается в бесконечность первого порядка. Однако, если в условии (2) плоскость 5^, у)=0, то решение (3) будет на z=x-y ограниченным. Действительно, делая в первом интеграле замену t=z+(x-y-z)V, во втором s=z+(x-y-z)V, t=y+(x-y-z)(1-V)U получаем:
и (х, у,г) = I и(х, х-г — (х-у — г)У)с1У + (х — у — г) I (1 — У)с1У *
'0 ■'О
1
*f0/u(z + y + (x — y — z)(V + U — UV))y + (x — y — z)U(l — V)dU, Тогда lim U(x,y,z) = —u(x,y)
z^x-y
На множестве O для уравнения (1) ставиться Задача МС с данными (z),
lim (х + у — z)U(х,у,z) = т*(х,у), (х,у) Е Д (4)
z^x+y
Д*= {(х,у)|0 <—y<x<h}
U(h Vl(y,Z), (y,Z) Е Д1= {(y,Z)\0<y<<h<-Z} , (5)
( ) Ыу,г),(у,г) Е Д2, Д2= {(У^)\0<0-£<-2}. )
На характеристической плоскости y=0 задаются условия сопряжения
д
lim U (х, v, z) = lim U (х, v, z), (6)
y^0+0 y^0-0
lim —— I U(x,-q,г)(ц — z) a (x — z — rj)a drj = dy Jv
y^o+o dy,
=ylim-o'^f^^-^U(X,11,Z)(y — Г])-а(Г] — Z + X)adT]' 0<a<1 (7)
Условия, налагаемые на заданные функции сформулированные ниже. За основу решени определяемое формулой:
За основу решения задачи МС принимаем решение (3) задачи С в области 01 и в области О*,
U(x,y,z) =
=^[**(Х'У) — Г2+у и*(х'1 — х)^ — СУа5 +5' —№] (8)
Функции (3), (8) удовлетворяют условиям (2), (4) задачи МС. Подчиняя решение (3), (8) условию (4) находим
д2
^ + 5,0= — [(1г — 1 — 5)(р1(1'5)1 (9)
д2
+ 5,—1) = — — [(к — 1 — з)р2(—1,з)]. (10)
Подставим найденные выражения в формулы (3), (8). Условия сопряженя (5), (6) приводят а системе уравнений относительно и,и*: и(х,х — г) — и*(х,г — х) =
г \ , х л ,д(р1(х-г,г') д(р2(г-х,г)л /11Ч
= р2(г — х,г) — р1(х — г,г) + (к — х)(-^—1 — —V, (п)
Г
Jz
[u(x,x — s) + u*(x, s — x)](x — s) a(s — z)ads =
=- i"0X-Z^(T(x, 7 + T*(x< —?7)}?7-а(х — z — —
— /*[^1(х — s, s) + <2(s — x,s)](x — s)-a(s — z)ads — (12)
Z
rX-z
— / Ф(7, z)^ a(x — z — 7)^7, где
Ф(^,г) = + (13)
Равенство (12) дифференцируем по 2, затем к обеим частям применяем оператор ... (г — у)-айг.
Из получаемой системы находим
u(x, x — z) = —<1(x — z, z) + ■
h — x ö<1(x — z, z)
dz
dz
+
+ l£[r(x,x — z) + r*(x,z — x)] — 1/(x,z) (14)
u*(x, z — x) = —<2(z — x,z) — ■
h— x d<1(x — z, z)
dz
dz
+
+ 1-^ [T(x,x — z) + r*(x,z — x)] — 1/(x,z), (15)
ГДе 7(x, Ю = if-Z^iZ^ — z)-a[/(T-^-a(x — t — 0^7 +
Г д
+а I ^-Ф(7, 07 (х — 0 (х — £ — 7) ^7 — ^ д7
—2а ^Ф(7,0(х — ^ — (16)
Выражения (14), (15) подставляем в формулы (3), (8) соответственно. После преобразований
1 1 1 1 1 получаем в области 01: //(х,у, г) = _г 1-т(х,у) + -т(х, х — г) — -т*(х, —у) + -т*(х, г — х) +
+ ^^а^) + Л + (Л_ у — ^ (у, 2) — (^ — — хМ(у, х — у)+1 /;-у /(х, 0Л,
(17)
1 1 1 1 1 В области 0*: //(х,у, г) = ^ [~т*(х,у) + -т*(х, г — х)— -т(х, —у) + + -т(х, х — г) — ^(у,х +
у)(Л — х) + (^ + у — ^(у, *) +1 (У- - —х) + М + ±/;+у/(х,
(18)
Проверкой устанавливаем, что функция, определяемая формулами (17), (18) является решением задачи МС для уравнения (1) при выполнении следующих условий, налагаемых на данные задачи:
I.т е С(д),тху 6 С(Д); т* 6 с(д*),т£у 6 С(Д*),т(Л,у) == т*(Л,у) = т(х,0) = т*(х,0) = 0.
II. ^(у,г) 6 С(Д;),^6 С(Дг),1 = 1,2; ^(0,г) = 0
-а[^1(у,г)(^ —г —у)]у=Л-2 = 0,
д_
ау 1
Выполняется условие ортогональности
/0Л-27-а(й — ^ — [(^1(7,Ю + <?2(—7— г — 7^7 = 0.
Простейшие примеры функций, удовлетворяющих условиям II можно найти из равенств: а [<М7, — г — 7)] = 7Я+2а(Ь — г — 7)5-2о^(г), ¿[^2(—7,Ю(Л — г — 7)] = — 775^ — ^ — 7)^00, Я, 5 >2, 6 С^
Единственность решения задачи МС следует из единственности решения задачи С взятой за основу и
— [<2(y,z)(h — z + y)]y=z_ft = 0;
однозначной разрешимости интегрального уравнения Вальтерра (12).
Из выражений (17), (18) следует, что на плоскостях z = х ±у решение обращается в бесконечность первого порядка. Однако, если в условиях задачи МС положить т = т* = 0 то, как ранее было показано, решение на указанных плоскостях будет ограниченным
lim U(x,y,z) = -и(х,у), lim U(x,y,z) = и*(х,у).
z^x-y z^x+y
В этом случае мы имеем непрерывное в O и ограниченное в O решение задачи МС.
Список использованной литературы:
1. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Название источника: Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах: Самара 1994. - 31c.
2. Volkodavov V. F., Rodionova I. N., Bushkov S. V. Название источника: SOLUTION OF A MODIFIED CAUCHY PROBLEM BY THE RIEMANN METHOD FOR A CERTAIN SPATIAL ANALOG OF THE EULER-DARBOUX EQUATION WITH ANEGATIVE PARARMETER: Differential Equations 2000. - Т. 36. №4. 616 -619 с.
© Васильева О. А., Родионова И.Н., 2022
УДК 537.322
Келбиханов Р.К.,
канд. физ.-мат. наук, доцент, ДГУНХ, г. Махачкала, РФ Джалалов Р.К., канд. физ.-мат. наук, доцент, ДГУНХ, г. Махачкала, РФ Кулибеков Н.А., канд. физ.-мат. наук, доцент, ДГУНХ, г. Махачкала, РФ
ТЕРМО-ЭДС ПЛЕНОК ТЕЛЛУРА, ВЫРАЩЕННЫХ НА ПОДЛОЖКАХ СЛЮДЫ ВАКУУМНО-ТЕРМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Аннотация
Целью настоящего исследования явилось исследование термо-эдс тонких пленок теллура, выращенных вакуумно-термическим методом на слюдяных подложках.
Ключевые слова:
пленки теллура, термо-эдс, вакуумно-термический метод, квазизамкнутый объем, постоянное электрическое поле, температура источника.
Разработка и получение полупроводниковых тонкопленочных материалов с заданными структурой и свойствами - одна из важнейших проблем современной физики и техники полупроводников [1,2]. Поэтому большой научный интерес представляет получение совершенных пленок теллура (Те) и исследование их свойств. Тонкие пленки широко используются в микроэлектронике и в других областях новой техники [3,4].
Одной из существенных проблем при выращивании пленок является использование соответствующих физических методов управления процессами роста ориентированных пленок, а для
