О ПОСТАНОВКЕ ВИДОИЗМЕНЕННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО АНАЛОГА УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ПОСТАНОВКЕ ВИДОИЗМЕНЕННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО АНАЛОГА

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ

Родионова И.Н.

Доцент

Самарского национального исследовательского университета

Бушков С.В. Доцент

Самарского национального исследовательского университета

ABOUT SETTING UP A MODIFIED PROBLEMS FOR THE SPATIAL ANALOGUE OF THE

EULER-DARBOUX EQUATION

Rodionova I.

Samara University Bushkov S.

Samara University

Аннотация

Для одного из пространственных аналогов уравнения Эйлера - Дарбу - Пуассона с параметрами, равными по модулю одной второй, предлагаются постановки и решения видоизмененных задач типа Коши с данными на плоскости сингулярности коэффициентов уравнения при значениях параметров:

1) а = р =1 (задача С1)

2) а = -1, Р =1 (задача С2)

3) а = Р = -1 (задача Сэ).

Для решения задачи С1 применен метод Римана. В случаях 2) и 3) построено общее решение рассматриваемых уравнений, из которого получены решения задач С2 и Сэ соответственно.

Abstract

The authors suggest setting up a modified Cauchy problem for one of the spatial analogues of the Euler-Darboux equation with the data on the coefficient singularity line.

Problem Ci: а = Р = 1

Problem C2: а = -1, p = 1 (1)

Problem Сэ: а = Р = -1

Problem Ci was solved by the Riemann method. Problems C2 and Сэ were solved by constructing a general solution of the equation in question whose formula provided the solutions to the problems.

Ключевые слова: уравнение гиперболического типа, общее решение, краевая задача.

Keywords: equation of hyperbolic type, general solution, boundary value problem.

При всем многообразии большинство вырож- задач для уравнения (1°), там же содержится обдающихся уравнений гиперболического типа в ха- ширная библиография по этому вопросу. Большой рактеристических координатах сводятся к уравне- вклад в теорию краевых задач для уравнения Эй-нию Эйлера - Дарбу - Пуассона лера - Дарбу внесен самарскими математиками, в

Р а тт о первую очередь, проф. В.Ф. Волкодавовым и его

Uxy ^ V— v Ux — V— v Uy = 0' ((1) учениками: были поставлены новые краевые задачи

y - х y - x

в сложных областях с нестандартными условиями

имеюЩего шиРокое применение в гаюши и сопряжения, задачи со смещением, с интеграль-

гидр0динамике, теории ^мот^ в различных раз- ными условиями. Исследовались постановки крае-

делах механики сплошных сред [1 - 5]. Исследова- вых задач для различных пространственных анало-

ниями краевых задач для уравнения (10) занима- гов уравнения ЭИлера - Дарбу [7 - 12]. Библиогра-

лись многие советские и зарубежные математики. фия работ [7, 8] содержит труды самарских

В работе [6] дан подробныИ анализ классических математиков, посвященных исследованию новых,

видоизменных краевых задач для уравнения (10).

Основные результаты по постановке и исследованию краевых задач для уравнения (1°) получены при условиях, налагаемых на параметры уравнения: 0 <|а|, р, а+р<1 . Это связано с тем,

Uxyz

ß

а

z+y - x

xz

z+y - x

Uyz = 0 (2)

при а =

ß

U 1

: 2, для которого поставлены и

что задача Коши в классической постановке при решены три видоизменные задачи Коши в случаях: а = В с условиями: п 1 1 п 1

™ 1) а = р = 7=г; 2) а = —^, р = ^; (3)

Щ^) ^(^Дт^у - x)2р(Uy -Ux) = v(x) ) =Р 2 ) 2 2 ()

(y > x) некорректна при |а| = ß

1

: 2, так как

a = ß=-2.

Для случая 1) однозначная разрешимость за-либо само решение, либо его нормальная производ- дачи С1 доказана методом Римана; в случаях 2) и 3) ная на линии у = X обращаются в бесконечность. для уравнения (2°) построено общее решение, из

В работах [13, 14] опубликованы исследования кот°р°го получено решение соответственно задачи по постановке и решению ряда краевых задач для С2 и задачи Сз

1

уравнения (1°) при а =

ß

Решение всех трех поставленных задач полу-

= ^ . В настоящей ра- чено в явном виде.

боте рассмотрен один из пространственных аналогов уравнения Эйлера - Дарбу: §1 Задача С1 Уравнение

^^+- +у)

yz

=0

(1)

рассмотрим в области Н =|(X,y,z)^<X — У,У<X, — ГО<у<+сю|трехмерного евклидова

пространства. Задача С1

В области Н1 найти решение U(x, y,z) уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

ЦХ,у,x—у) = т^,у), x>у;

lim (x-y-z)(Uxz -Uyz) = M(x,y), x > y;

z—>x-y-0 ^

lim

z—x-y-0

öU

öz

f(üxz -Uyz)(x-y-z)

y(1)-y 1 - Wx - y - z

V /

(2) (3)

(4))

= v(x,y),x > y;

где = ^^ [15].

Г(г)

Заданные функции имеют непрерывные частные производные ^xy5Цxy5VXy в своих обла-

стях определения.

Для решения задачи С1 применим метод Римана. Для этого в области Н1 возьмем произвольную точку ММд и рассмотрим область НЕ, ограниченную плоскостями

X = XQ,У = УQ,Z = ZQ,Z = X — у — 8 (8> 0) . В предположении, что решение задачи С1 существует, проинтегрируем тождество Грина, полученное в работе [9, стр. 12],

VLi(U) - ULi*(V) = 1

Для уравнения (1) имеем:

ÖP+ÖQ+ÖH

öx öy öz

по области HE.

1

(G)

P = VUyz + UVyz -VyUz + 3UzaV, a =

2(x y z)

Q = V(Uz + 3Ubz)+UVxz - VzUx -3bUVz, b =_1y_z)

Н = У(иху -3иах + эъиу)-Ухиу-3аиУх + У^И .

и - решение уравнения (1), V - функция Римана [9, стр. 22]

V(x,y,z; x0,y0,z0) =

(х - y - z)

1 1 i _ 2,2a

a

1 1 (xo - У - z)2(x - Уо - z)2

_ (xo-x)(yZZo) ,F(a,ß,y,a)=jr ^f*a -yn -z) ' V / (Y)„n!

(х0 - У - 2)(х - Уо - 2)

- гипергеометрическая функция Гаусса [15].

Применим к интегральному тождеству (в) формулу Гаусса - Остроградского, получим

3

^ ЩРсоБ а+ОСОБР+НсоБ у) ёБ = 0,

Di

x = x

грани

1=0 D. 1

пирамиды

(5)

(6)

He.

лежащие

соответственно

плоскостях

0>y = y0,z = z0,z = x-y-е .

Производя ряд преобразовании, которые не приводим в силу их громоздкости, получаем:

■г х0 -У0 -8

и(хо,Уо,2о) = и(х0,У0,х0-У0-е)-1 | [и2(х0,х0-2-8,2)У+

x0 y0 е x0

+Uz(z+y0+e,y0,z)V]dz-1 J dy J (Uxz-Uyz)V

y0 z0 +y+e

dx

x0 y° е x°0 Г V 1 / \

- J dy J Uz x-V-z+2 (Vy-Vx)

y0 z0+y+e L J

z=x-y-е 4

dx=1 J

(7)

z=x-y-е

k=1

Вычислим подынтегральные выражения и переИдем к пределу при 8 —У 0, с учетом граничных условии

(2)-(4).

Из вида функции Римана следует, что одномерный интеграл ^ —> 0 при 8 —^0. При вычислении подынтегрального выражения в слагаемом воспользуемся формулой производной и формулой автотрансформации гипергеометрической функции (6):

^-<ОТ(а,Ъ,с, а) = ааа-1Б(а+1,Ъ,с,а)а'х, Б(а, Ъ, с, а) = (1 - 8)с-ъ-а Б(с - а, с - Ъ, с; а) [15].

Получаем в результате вычислений

1 1 _1(х0-х + 8)2(У-У0 + 8)2

V

x-y-z 2

2 (Vy-Vx)

xn -x

y-y0

z=x-y-е

(

• F

' (x0-x)(y-y0) 1 1 ! (x0-x)(y-y0)

2'2"(x0-x+e)(y-y0 +е)

(8)

+a(e),

х0-х+8 У-У0 +8

где а(8) — 0 при 8 — 0 .

При вычислении подынтегрального выражения в ^ используем представление функции Гаусса [15]

F

\ \ 2'2

,1, a

2

Г2

f 11

2

V У

v(1) -V

2

V У

-Ы1

в

0

а также значение ее

F

-1111 2'2' '

Г2

2

V У

[15].

Тогда 1

2

Uxz Uyz

V

¥(1)

2

V У

z=x—у—8

-lnVs

'1 Uxz Uyz )

г2 l1!

8

1

(xo - x+8)2 (y - Уо +8)

Г2

Ы Uxy - Uyz )

•ln

x0 - x + 8

(xo - x+8)2 (У - Уо+8)

)(У - Уо+8)

(9)

(У - Уо

+x -x+8

)

С учетом полученных выражений (8), (9), условий (3), (4) имеем:

^11 I — I I I V -I-- ^

lim

8—0

1 (Uxz - Uyz ) V

+

x - y - z 2

v(x,y) . 1

2 (Vy - Vx) U

Jz=x-y-8

^(x,y)

Г2

2

V У

__+_;__r-y^jy_

1 1 + hI 1 1 (xo - x)1 (y - Уо )2 2Г2 2 (xo - x)2 (y - Уо)2

(10)

•ln

(xo - x)(У - Уо )

(У—Уо + Xo — x [

В формуле (7) перейдем к пределу при 8—>-0, переобозначим переменные, полагая

^ = X Уо = У^0 = Z :

U(x,y,z) = x(x,y)- * - ds J ^s) 1ln(xx-t)t+(s(s-yyy)dt

2Г21 1 |y z+s (x -1)2 (s -y)1 (x -1) + (S -У)

2!

x-z x

л x-z x

—rn У ds У v(t,s)

p2 1 | y z+s Г 2!

dt

(ii)

(x - t)2(s -1)2

Непосредственная проверка показывает, что при непрерывности TXy, VXy, функция (11) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2) - (4). Единственность решения задачи С1 следует из метода Ри-мана.

§2 Задача С2 Уравнение

L2(U) = Uxyz +

U

xyz

U

yz

2(z+y - x) 2(z+y - z)

0

(12)

рассмотрим в области H9 =

(x,y,z)

y+z - x > 0,y > x, -ад < y <

трехмерного евклидова простран-

ства.

10. Постановка задачи.

Задача С2. В области Н2 найти решение U(x, у, z) уравнения (12), удовлетворяющее краевым усло-

виям:

8

U(x,y,x - y) = t? (x,y), (x,y) eD,D =

(x,y)

x < y —да < y < да

21Щ-y Uz

= v2(x,y), (x,y) eD

lim

zix—y

Uyz Uxz'

iöv2 övj |_ 2

öx V öy /

ln(z+y—x)+2^ ij—2^(l)+l

(13)

(14)

(15)

= ц2(х,у),(х,у)еО,

где определена условием (14), ^(г) - логарифмическая производная гамма - функции.

На заданные функции налагаются условия: 20. Построение общего решения уравнения (12).

Т2 (х,у) е С(2)(Э), V е С(3)(Б), ц е С(2)(Э).

(16)

В уравнении (12) сделаем замену = V , получим уравнение Эйлера - Дарбу с параметром z

+ ^-у-- = 0. (17)

V +_$.

Уху + 2(у+2 - х) + 2(у+г - х)

Подобно тому, как это было сделано в работе [6], находим общее решение уравнения (17) при каждом фиксированном z, оно имеет вид:

у+г 1 1

^х,у,г) = | Ф2 (г,Б)(Б - х)2(у+г - б) 2ёи+

х

+у+2 - х)2(у+г - 8)-21п(8 - х+(у+х - 8) ёв +

y+z

+ J (z,s)(s—x) 2(y+z—s) 2ds.

(18)

Делаем замену V = и , после чего интегрируем обе части полученного тождества в пределах от х - у до z, предварительно переобозначив z = 1 Получаем функцию

г у+г 1 -1

и(х,у,г) = х2(х,у) + | а | Ф2(М)(б -х)2(у+1 - б) 2ёБ +

х-у х

г у+г

+ | (1, в)(б- х)2(у+1 - б) 22 1п (б х)+(у+[ б) ёБ +

х-у х у

г у+г -1 -1

+ | а1 - х) 2 (у+г - б) 2ёБ. (19)

х-у х

Если произвольные функции %2, Ф2 таковы, что их производные %2ху, Ф2ху ,^2уух непрерывны в области D, то функция, определяемая формулой (19) есть общее решение уравнения (12). Этот факт доказывается непосредственной проверкой, для чего в формуле (19) производится замена переменных г = х - у+(г+у - х)и, Б = х+(г+у - х)иу.

В результате имеем:

1 1

и(х,у,г) = (г+у - х)21иёи|Ф2 [х - у+(г+у - г)и,х+(у+г - х)иу

0 0

i ^ —^ •v2 (l — v) 2dv + (z + y — x)2JuduJ^2s' v2(1 — v) 2ln-

0 0

1 11 —1 —1 (z+y—x)uv(1—v) dv+(z+y—x)JduJ^2'u 2(1—u) 2du+x2(x,y).

0 0

Далее находим производные ихУ2,их2,иУ2, подставляем их в уравнение (12), после ряда преобразований получаем, что функция (20) удовлетворяет уравнению (12). В силу громоздкости вычислений проиллюстрируем этот процесс на одном из слагаемых выражения (20).

11 1 -1 Слагаемое из(х,У,2) = (2 + У-х)21иёи|Ф2(1,б)у2 (1-у) 2 ёу продифференцируем по х:

0 0 11 1 -1 и3х = -2(2+У-х)| иёи|Ф2 (1,б)у2 (1-у) 2ёу+ 0 0

11 1 -1 +(2+У-х)21 иёиГф^ (1-й)+Ф^ (1-й • у] у2 (1-у) 2ёу.

0 0

Во втором слагаемом создадим полную производную по и, затем проинтегрируем по частям, получаем

1 1 -1

и3х = -(2 + У-х)|у2 (1-у) 2 ф(2,х + (У + 2-х)у)ёу +

0

11 1 -1 +(2+У-х)21 иёи | Ф21 (1, Б)у 2 (1 - у) 2 ёу.

0 0

Аналогично получаем

1 1 -1 из = (2+У-х)|ф (2,х+(У+2 - х)у)у2 (1-у) 2ёу-

0

11 1 -1 ^гинигау а <Л^2/1_лЛ 2,

- (z+y - x)2 J udu J Ф^ (t, s)v2 (1 - v) 2 dv;

0 0

1 1 1 U3xz = (z+y - x) J Ф2s (z, x+(y+z - x)v)v2 (1 - v)2 dv -

0

1 1 -1 - J^ (z,x+(y+z-x)v)v2 (1-v) 2dv;

0

1 3 -1

U3yz = (z+y-x^2s(z,x+(y+z-x)v)v2 (1-v) 2dv+

0

1 1 -1 +J^ (z,x+(y+z-x)v)v2 (1-v) 2dv;

0

1 1 11 U3xyz =-1 JФ2s(z,x + (y + z-x)v)v2 (1-v)2dv-20

1 1 3 -1

1 JФ^ (z,x+(y+z-x)v)v2 (1-v) 2dv.

(21)

(22)

(23)

20

Подставим выражения (21) - (23) в уравнение (12), убеждаемся, что = 0 . Аналогичными

вычислениями показываем, что остальные слагаемые функции (20) удовлетворяют уравнению (12).

30. Решение задачи С2. Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой (20). Очевидно при х(х,У) = ^2(Х,У) функция (20) удовлетворяет условию (13). Находим

1 1 _1

и2 = (У + 2-х)|ф(2,х + (У + 2-х)1)12 (1-1) 2 ё1 +

02

+(y+z - x) J (z, x+(y+z - x)t) • t2 (1 -1) 2 ln t(1 - t)(y+z - x)dt +

1 _1 -1 +J^2 (z,x+(y+z-x)t) • t 2(1-t) 2dt,

V2 (x,y) или

f\ 1 2,2

полагаем ъ = х - у, получаем (х - У, х)В Подставим функцию (24) в формулу (20) и составим выражение

,_V2(s,s-t) 2(t,s) (л\

Г2

J(x,y,z) = Uyz-U -

yz wxz

^V2(x,y^ dv2

dy

dx 1

(ln(z+y-x)+2^

2

V У

-2¥(1)+1) = 2J^ (z,s)t2 (1-t) 2dt +

0

• t2(1-t)4lnt(1-t)dt +

2

Г2

dv~ (v,s-z) dv~ (v,s-z)

dv

d(s-z)

1 -1

t2(1-t) 2 ln(z+y-x)dt-

dv2 _ dv2(x,y)

dx

dy

ln(z+y-x)-

dvi+dvi

dx dy

4

Г2

Г2

Ш J

1 In

11J

1

dv~

dv2 (v,s-z) dv2 (v,s-z)

dv dv~

d(s-z)

2^ 1 j-2^(1)+1 t2(1-t)-2dt-

+

dv d(s-z)

-1 -1 8 t 2(1-t) 2dt+a(z+y-x) = £ J,

k=1

где:

s = x+(y+z-x)t, v = s,

(24)

(25)

а(2+У-х) содержит все слагаемые, которые стремятся к нулю при 2 —^ х — у. Отметим, что при 2 — х-у у = Б — х , Б-2 — У .

Вычислим пределы при 2 —>■ х-у всех слагаемых, входящих в выражение ^х, У, 2), определяемое формулой (25).

limJ = zЦш 2{Ф2(z,s)t2(1-t) 2dt-

z—^x-y

= 2Ф2(x-y,x)B

r3 1

2,2

V У

= Г2

2

V У

Ф, (Х-У,Х).

1

1

При вычислении следующих пределов воспользуемся формулами [16]:

1 - - - 1 fn\

^v- ... Л ,, Л__

0

J Xх )v—1 lnxdx = -1b ^, v

T

х

w

V х

v у

-w

W(1+z) —y(z>

1.

J - C-t)pdt = Щт+g1

lim J =

z—^x—y 2

2

Г2

f л \

2

v

1

lim

—x—y J

Y z—^x—

^Vl+ av2

öv ö(s—z)

1 —1

t2(1—t) 2lnt(1—t)dt =

(28)

öv! Ь 2 2^ г i!

öx V öy У 2 V У

lim (J + J ) =

z—x—У \ 6 / /

^ +5V

öx öy

Г2

—2¥(1) * [J t2(1—1)—2dt] —

1 I n

(29)

—} t—2(1—1)—2dt]=öv2(<x'y)+öv2((x'y)

öy

В результате имеем ^ li^^ J2 + J + J j:

öv! Ь 2 2^ г 11

öx V öy У 2 V У

-2^(1)+1

что уничто-

жается взаимно со слагаемым J5 формулы (25), которое не зависит от z.

Покажем, что 21|Шу ^з + ^ | = 0 . Для этого разность производных функций У2 — 7) представим формулой Тейлора для функции двух переменных, ограничиваясь только первым членом.

lim

z—^x—y

J3 + J4

z—my Ку+z—x) ln(y+z—x) J

ö2v ö2v ö2v~ ö v2t + öv2(1 — t) +ö v2

öx2 öy2

öxöy

•t2(1—t) 2dt+0(z—y—x)} = 0,

учитывая, что lim (y+z — x)ln(z + y — x) = 0.

В выражении (25) перейдем к пределу при z —>■ x—y, с учетом проведенных выше вычислений и

(л \

1

условий задачи (15), получаем Ц2 (x,y) = Г2 1 Ф2 (x — y,x), откуда

2

v У

Г2

2

v У

(30)

Подставим найденные выражения %2, ' ^2 в формулу (20) общего решения уравнения (12), получим решение задачи C2:

1 7 У+г 1 1

и(х,у,7)=т2(х,у)+—^ | Л | ц2(б,б—г)(Б—х)2(у+г—Б) +

г2 1 Iх—у х 1 21

1 J dtyJ+'dv2|s::Vx)1(y+t-sfäbfi-ay+x-Öds+

1 x-y x J

+

Г2 1 I x-y x Г 2

i z y+t 1 1

^ J dt J v2(s,s-t)(s-x) 2(y+t-s) 2ds.

1 Ix-y x

+

Г2 1 |х-У х 12 ]

Выполнение условий (13) - (15) легко проверяется вычислением. §3 Задача Cз

В области Н2 рассмотрим уравнение

Ьз(0) = Ux

U

xz

+

U

yz

= 0.

(31)

-xyz 2(z+y-x) ' 2(z+y-x)

Задача C3 В области H2 найти решение U(x, y, z) уравнения (31), удовлетворяющее условиям: U(x, y, x-y) = T3(x,y), (x,y) eD; (32)

lim Uz=v3(x, y>

z—x-y

lim

z—x-y

(Uyz-Uxz )(z + y-x)

(x, y) eD; d2v ~ d2v d2v.

(33)

3+2

1 .. ..f

ln^z+y-x +11 -y(1

dx2 dxdy dy2 = ц3 (x,y^ (x,y)eD.

(34)

Условия, налагаемые на заданные функции:

T3ec(2) (d); v3ec(4) (d), |u3ec(2) (d) .

V/' У3

Рассуждениями, подобными тем, что проводились при построении общего решения уравнения (12), показано, что функция

2 У+1 1 1

и(х,у,2) = х(х,у) + | & | Ф(1,б)^-х)2(у+^б)^ +

х-У х

+ / ^(1,8)(8-х)2(у + 1-8)11п(8-х)+(у +}х-8)ёБ +

х-у х

2 У+1 _1 _1

ёБ +

(35)

+ | ё1 ¥5'(1,8)(8-х) 2(у+1-б) 2Г(у+2-х)-2(б-х)]

х-у х "

2 У+1 __1 -1

+ | Л1 ¥(1,8)(в-х) 2(у+2ёБ,

х-у х

где произвольные Ф, ¥ имеют частные производные %ху, ^^ху, ^¥ууху, непрерывные в области Б, является общим решением уравнения (31).

Подчиняя функцию (35) условиям (32) - (34), находим функции Ф, ¥ , как это делалось при решении задачи С2. Подставляя результат в формулу (35), получаем решение задачи Сз:

гу 2 у+1 1 1

и (х,у,2) = т3 (х,у)+—^ | &1 ц3 (б, б - 1)(б - х)2 (у+^б)2^ +

Г2 1 I х-у х 1 21

1 z Y ö2v3(ss—1) (s—x)2(y+1—s)2ln(s—x)(y+1—s) ds+

Г1! x—y x ös2 ( ) (y ) y +1— x

+

Г2 1 |x—y x

V2 У

1 f Л y+' dv,(s,s—t)

Г2

Ü J dt J

1 Ix—y x

ös

(s—x) 2(y+1—s) 2 (y+z—x)—2(s—x)

ds +

i z y+t —1 —1

J dt J v(s,s—t)(s—x) 2(y+1—s) 2ds.

Г2 1 I x—y x

Список литературы

1. Чаплыгин С.А. О газовых струях. Собрание соч., Т. 2 - М. - Л.: Гостехиздат, 1948. - 644 с.

2. Станюкович К.П. Теория неустановившихся движений газа. - М.: изд-во Бюро новой техники, 1948. 164 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. - М.: Гостехиздат, 1953. - 778 с.

4. Соколовский В.В. Механика сплошных сред. - Физматгиз, 1960. - 243 с.

5. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. - М.: Наука, 1973. - 711 с.

6. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. - Минск: Вышэйная школа, 1977. - 301 с.

7. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу. -Из-во Куйбышевского госуд. педаг. ин-та, Куйбышев, 1984, 80 с.

8. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Функции Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трёхмерном евклидовом пространстве и их применение. - Из-во Самарский Госуд. педаг. уни-вер-т, Самара, 1996, 52 с.

9. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова О.К., Захаров В.Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применение. - Изд-во «Самарский университет», 1995, 76 с.

10. Волкодавов В.Ф., Родионова И.Н., Бушков С.В. Решение видоизменённой задачи Коши методом Римана для одного пространственного аналога

уравнения Эйлера - Дарбу с отрицательным параметром // Диффренц. уравнения. - 2000. - 36, т.4. -с. 616 - 619.

11. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Видоизменённая задача Коши для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трёхмерном пространстве // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2009. - 1, т. 18. - с. 41 - 46.

12. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трёхмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике // Изв. РАН. Сер. ма-тем. - 2011. - 75, т. 4. - с. 21 - 28.

13. Бушков С.В., Родионова И.Н. Видоизменённая задача Д1 для уравнения Эйлера - Дарбу с параметрами, равными одной второй. - Актуальные вопросы естественных и математических наук в современных условиях развития страны. V международная научно-практическая конференция. Выпуск V. Санкт-Петербург, 2018, с. 9 - 15.

14. Родионова И.Н., Бушков С.В. Видоизменённые задачи Коши и Коши - Гурса для уравнения Эйлера - Дарбу. - Актуальные вопросы и перспективы развития математических и естественных наук - V международная научно-практическая конференция, выпуск V, г. Омск, 2018, с. 9 -13.

15. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т. I. - М.: Наука, 1973. - 296 с.

16. Градштейн Н.С., Рыжик И.М. - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - Москва. Физматгиз, 1971.