CC BY
6
I
SCIENCE TIME
■
ЗАДАЧА С1 ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ
Бушков Станислав Владимирович, Родионова Ирина Николаевна, Самарский национальный исследовательский университет им. академика С.П. Королева, г. Самара
E-mail: [email protected]
Аннотация. Рассматривается уравнение Эйлера-Дарбу с
1
отрицательными параметрами, равными — - . В силу того, что задача Коши в
классической ее постановке является некорректной, авторами предложена видоизмененная задача, единственное решение которой получено из формулы общего решения уравнения Эйлера-Дарбу .
Ключевые слова: уравнения гиперболического типа, краевая задача, граничные условия.
Известно, что для уравнения Эйлера-Дарбу [1]
В а
ТТ иу = 0,
UXy "Ь
их-
(1)
у — х у — х
■у
при а = р и 0<|^|< - задача Коши поставлена в следующей формулировке: В полуплоскости у>х найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям:
......... (2)
lim и(х,у)=т(х), 0 < х <
у^х+О
^hmo(y- x)2ß(Uy -Ux)= V(x), 0 < х < +оо,
(3)
решение которой получено как из формулы общего решения уравнения
у
Эйлера — Дарбу, таким методом Римана [1]. Однако в случае |^|=-
постановка задачи Коши с условиями (2), (3) является некорректной в силу того, что само решение, либо его производная по нормали на линии сингулярности коэффициентов у — х обращаются в бесконечность.
у
Авторами предлагается для уравнения (1) в случае а = в = — - следующая постановка видоизмененной задачи Коши.
I SCIENCE TIME I
Задача Сь В полуплоскости y>x найти решение уравнения
1 Ux 1 Uv
У2у — x2y — x удовлетворяющее граничным условиям
lim U(x,y) = т(х), 0 <x < +<x>; (5)
y^x+O v J
ylim+o — Ux)(y — x)-1 - ^ U(x, x) [ln(y- x) + ^ (22)-^(3)
= V(x) , 0 < x < . (6)
r'(z)
где = - логарифмическая производная гамма - функции.
т"'(х)непрерывна в (0,+гс>), V(x) непрерывна в (0, +о>), т(х) и т'(х) непрерывны в [0,+гс>).
Для решения поставленной задачи найдем общее решение уравнения (4). Воспользуемся формулой общего решения уравнения (1) для случая ß =
- , приведенной в работе[1]:
* 2 1
U(x
Ф(х + (у — x)t) t 2(1-t) 2dt +
1
0 (7)
♦ И,.,«-,><,-,ж. ,
о
а также свойством решения уравнения Эйлера-Дарбу применительно к уравнению (4)[1]:
/ 1 1\ 0 д2 (1 1\
1 1 1
где и I решение уравнения (1 ) при а = р = — , определяемое V 2 2 / 2
11
формулой (7), — ^, — ^) решение уравнения(4). Из формул (7), (8) получаем общее решение уравнения (4):
о
1
+ /ч>(х +(у-(9)
О
Подчинив функцию (9) условию (5), получаем: 1
£ 2(1-£) = т(х) , откуда
о
т(х)
Ф(х) =
(10)
Вычислим частные производные их и иу функции (9) и составим выражение, стоящее под знаком предела левой части условия (6), обозначимего/(х, у). Имеем:
Ф 1 •
1
1
о
1
+2 | V" (х+ (у- -
0
1
(11)
о
-т"(х)1п(у-х) -т"(х) ^ (|)-*(3)) +
6
+а(у- х) = ^ 1к + а(у- х) . к=1
За а(у — х) обозначены слагаемые, которые, очевидно, стремятся к нулю при у ^ х. Найдем предел каждого слагаемого формулы(11): 1
Нт^ = 4Ф(х) I = 4Ф(х)В^^,2^ = Г2 (^О) . (12)
I
SCIENCE TIME
I
Также с учетом соотношения(10), имеем:
1
2 Г II
lim /3 =lim-zr | т" (x + (y- x)t)t2(1-t)2dt =
y^x У^х Г2 (±\J
1 Ы 0
2 /3 3\ r"(x)
T"(IW 1 1
lim /4 =--ж I t"2(1-t)-2(1-2t)
2dt = -
r"(x)
из чего следует, что Нт(/3 + /4) =0 . (13)
Рассмотрим слагаемое /2 . В силу свойства логарифмической функции имеем:
1
V" (х + (у - х)£)£2(1- 1п(Г) ^ +
/, =4
j.
I
1 1
+ I W" (х + (у - x)t)t2(1-t)2 ln(1-t)dt +
+
U—
= 4 ^ /т.
ш=1
2т"(х) Г 1 1 Имеем, с учетом(10), +/2) —-1- I £2(1~021п(0
^ ^ (2) ¡( Вычислим интеграл, пользуясь формулой [2]: 1
| х^-1(1-х2)^-11п(х) йх = ±в(2,у)[г (22)-г(2 + у)].
о
ч 8т"(х) /3 3\г /3\ „ т Всилу чего 4-11тС^1 + /2) = 777^ В С^'гЛ^
= т"(х)
W
(14)
(15)
I
SCIENCE TIME
I
Объединим слагаемое 4/3 формулы (14) со слагаемым /5 формулы (11) и рассмотрим:
Нт
у^х
4ln (у-х) г 11
i т" (х + (у- x)t)t2(l- t)2dt - r"(x) •ln(y — х) г2 (2) о
ln(y-x) = lim--=—
У^х „о / 3
f2(!) l/ 1
-т"(х) J tl(1-t)l
1 1 т" (х+ (у - x)t)t2(1-t)2dt -
dt
ln(y-x) lim ■
y^x
(16)
1
[т"(х + (у - х)0 — т"(х)] .
Применим к разности формулу Лагранжа: т"(х + (у- х)0 -т"(х) =т'"(с) •г(у-€) , х < с < у ,
после чего перейдем к пределу в выражении (16), с учетом того, что
Нт(у — х)1п(у — х) = 0 .
у^о
Принимая во внимание результаты (12), (13), (15), (16), переходим к пределу в выражении (11), получаем:
о /1\ УОО
Нт/(х,у) = Г2 (-)Ф(х) = "У(х) , Ф(х) — /1".
(17)
Прежде чем подставить выражения (10), (17) в формулу общего
решения(9), преобразуем последнюю, проинтегрировав по частям
второе слагаемое, взяв Ф= dv. После преобразований получим:
1
(у - х)2
(y-xr f 1 1
U(x,y) =—-I V(x+ (у- x)t)t2(1-t)2dt +
г2 (2) о 1
(у-х) Г 1 1
+ JL-pr- \т'(х + (у- x)t)t-2(1-t)-2(2t - 1) •
2Г2(2)I
1
1 г _А
• ln[t(1- t)(y- x)]dt +-It (х + (у - x)t)t 2(1-t) 2
(2)1
(18)
Существование решения задачи С подтверждается проверкой, единственность решения доказана методом от противного.
Положим в формуле (18) Ь = -— , тогда решение задачи С1 получим
у—х
в виде:
у
и(х,у) =-ж I V Шг- хЖу- г)Мг +
У
1 Г -1-1
+-ж I т'(г) (г- х) 2(у- г) 2[(г- х) - (у- г)] •
у
(г-х)(у-г) 1 Г -1-1
с1г +-ж I т(г) (г- х) 2(у- г) 2^ . (19)
1п
У ^
Задача решена.
I
SCIENCE TIME
I
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ:
Следует отметить, что задача С была решена авторами также методом Римана, и ее решение получено в виде (19).
Данная работа является продолжением исследований по постановке и решению краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу и его пространственных аналогов, опубликованных в работах [3]-[8].
«
I
SCIENCE TIME
I
Литература:
1. М.М. Смирнов. Уравнения смешанного типа // Высшая школа, Москва, 1985.
2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва. Физматгиз, 1971.
3. Бушков С.В., Родионова И.Н. О постановке одной нелокальной задачи для уравнения гиперболического типа третьего порядка // Современные проблемы математических и естественных наук в мире / Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции, № 2. - Казань, 2015 -
4. Бушков С.В., Родионова И.Н. О постановке краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу в области, содержащей две линии сингулярности коэффициентов уравнения // О вопросах и проблемах современных математических и естественных наук / Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции, № 3. - Челябинск, 2016. - С. 10-16.
5. Васильева О.А., Родионова И.Н. Для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу задача с нестандартными условиями сопряжения на характеристической линии // Science Time. 2016. № 5(29). С. 116-124.
6. Родионова И.Н., Долгополов В.М. Аналог задачи Д1 для гиперболического уравнения второго порядка в трехмерном пространстве // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2015. Т. 19. № 4. С. 697-709.
7. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Экстремальные свойства решений специальных классов одного уравнения гиперболического типа // Математические заметки 2012. Т. 92, № 4. С. 533-540.
8. И.Н. Родионова, М.В. Долгополов, В.М. Долгополов. Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 2. С. 259-275. doi:10.14498/vsgtu1487
С. 18-22.
59
