О ПОСТАНОВКЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО АНАЛОГА УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ С ДАННЫМИ НА ПЛОСКОСТИ СИЛЬНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955

Родионова И.Н.

кандидат физико-математических наук, доцент, Самарский национальный исследовательский университет,

Самара, Россия Бушков С.В.

кандидат физико-математических наук, доцент, Самарский национальный исследовательский университет,

Самара, Россия

О ПОСТАНОВКЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО АНАЛОГА УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ С ДАННЫМИ НА ПЛОСКОСТИ СИЛЬНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ

Аннотация

В области пространства Я3 рассматривается однопараметрический аналог уравнения Эйлера-Дарбу с параметром, равным единице, что говорит о сильном вырождении решения на плоскости г = х — у сингулярности коэффициента уравнения. Методом Римана решается видоизменённая задача Коши (задача С*) с заданной комбинацией производных первого и второго порядков искомого решения на плоскости сингулярности г = х — у. Результат используется при решении ряда краевых задач (Дарбу, задачи Л*, А™) с нестандартными условиями сопряжения на внутренней плоскости г = х — у треугольной призмы, на боковых гранях которой задано искомое решение данного уравнения.

Рисунок 1 - Область решения задачи

Ключевые слова

Краевая задача, гиперболическое уравнение, Эйлера-Дарбу, Коши.

Введение

Уравнение ихуг +--= 0 (1)

у х — у — г

рассматривается на множестве Н = Н U Н+,

г,- J < z <х — у,)

где Н ={(x,y,z )п „ „ . }, h —const y J 0 < у < х — h)

Н+ = {(x,y,Z )

х — у < z < НЛ 0 <у <x<hy

Уравнение (1) представляет собой однопараметрический пространственный аналог уравнения Эйлера-Дарбу с параметром, равным единице. Это означает, что на плоскости z = х — у имеет место сильное вырождение: само решение на z = х — у является непрерывным, а его производные первого порядка и выше обращаются в бесконечность при

z = х — у. Методом Римана получено решение видоизменённой задачи Коши (задача С*) на множестве Н-, в которой на плоскости z = х — у задаётся искомое решение уравнения (1) и комбинации его частных производных первого и второго порядков. Из метода Рамана следует единственность решения поставленной задачи. Факт существования доказан непосредственной проверкой. На базе полученного решения задачи С* на множестве Н, представляющем собой треугольную призму, решены краевые задачи (Л — задачи) с заданием искомого решения на боковых гранях призмы и условиями сопряжения на внутренней плоскости z = х — у. Решение задач Задача С*.

На множестве Н- найти решение уравнения (1), непрерывное в Н-,с условиями:

lim U(x,y,z) = т(х,у), (x,y)ED0, Da = [x,y)l 0 < у < х < h}; (2)

z—x-y

lim (x — у — z)Uzv = ^(x,y), (x,y) e D0; (3)

z—x-y y

lim \UZ + Uzv(x — у — z) ln(x — у — z~j\ = v(x, у), (x, y) e D0. (4)

—x-y

r(x,y) e C(Do), TxyeC(Do), (v,v) e Cw(Do).

Применяя метод Римана [1], где V = * — функция Римана, получаем решение задачи С*

х—у х—у

и(х, у, г) = Т(х, у) — \ р(х, х — ^ м(у + я,у) Ш(Х — У — ^ +

г г

Х—у Х—Б

Г Г диП + я^) + 1 йз I ^ --\п(х — Ь — (5)

г у

Проверкой показано, что функция (5) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2) - (4). Задача Дарбу. На множестве Н— найти решение уравнения (1), непрерывное в Н—, удостоверяющее граничным условиям (2), а также

и (к, у, г) = х(у, г), (у, х)Е01 = {(у, — (6)

и(х,0,г) = ф(х,г), (х,г) Е й2 = {(х,г)10 < г < х < к} (7)

Условия А.

I. тХу Е Сф0), т Е С (К) т(к,у) = т(х, 0) = 0

II. <р(х,г) Е Сф2), <рхг Е С(02), ф(к,г) = <р(х,х) = 0; д3х __I и

III. Е С(2); Х(0, г) = ¿(к — г,г) = х(у, к — у) = х%(0, г) = 0.

Подчиняя функцию (5) условиям (6), (7), получаем решение задачи Дарбу при выполнении уравнений А, налагаемых на данные задачи:

и (х, у, г) = т(х, у) — <р(х,х — у) + <р(х, г) —

Х—у у

— I йз I х1а,з)Нк — [ — 35М. (8)

г 0

Уравнение (1) рассмотрим на множестве Н. В области Н+ решение задачи С*для уравнения (1) с данными:

z^x-y+0 (х. у) 6 D0 имеет вид:

lim U (х. y,z) = т* (х. у), (9)

z^x-y+0

lim (z + y — x)Uzv = ц*(х,у), (10)

z^x-y+0 y

lim [Uz — ~Uzy(y + z — x~)ln(y + z — x~j]= v*(x,y), (11)

6 6 и(х,у,г) = т*(х,у)+ ¡у*(х,х — 5)а5+ ¡,*(У +

х-у х-у

г У

Г Г Ь)

+5, у) 1п(у + 5 — х)&б — I йя I ———1п(Ь + я — х)(И. (12)

х-у х-Б

Уравнение (1) рассмотрим на множестве Н.

Задача А*. На множестве Н найти решение уравнение (1), непрерывное в Н, удовлетворяющее граничным условиям (7),

и(к,у,г) = ¥(у,г), (13)

(y.z)6B; = {(y,z

/1

краевому условию (2) и на плоскости г = х — у условиям сопряжения:

т(х,у) = т*(х,у), (14)

у(х,у) = у*(х,у), (15)

И(х,у) = И*(х,у), (16)

Возьмём за основу решение задачи С* в областях Н- и Н+, определяемое выражениями (5), (12) соответственно , в которых т(х, у) - заданная функция. Будет предполагать выполнение условий А I, АН, налагаемых на функции т и ф соответственно, а также Условия В:

д3у

дхду2 1 ¥(0,г) = ¥(у,к — у) = ¥^(к — г,г) = 0,г) = 0. Полагая в формуле (12) х = к, после двукратного дифференцирования полученного равенства по г, затем по у имеем

КУ + г,у) = (у + г — к)^у(у, г), (17)

ду

Из соотношения (5) при у = 0, с учётом условий В и равенства (17) находим

х-г

у(х,х — г)=—-+ I --Ы(х — 1 — г)(И, (19)

дг ) дЬ о

где ^ определяется формулой (18).

Подставляя выражения (17)-(19) в формулы (5), (12), находим решение задачи А*, определяемое в области Н- формулой

и (х, у, г) = т(х, у) — <р(х,х — у) + <р(х, г) —

а также — = W^y. z) + (у + z — h)l¥^y. (18)

Х-у у

— | dsj [^ (t. s) + (t + s — h)W^t(t, s)] ln(x — t — s)dt +

z 0

x-y

+ I К(У. s)(y + s — h) ln(y + s — x)ds (20)

z

и в области Н+:

U (х, у, z) = т(х, у) — (р(х,х — у) + ср(х, z) +

Z X-S

+ I ds I [fj|(t, s) + (t + s — h^J.] ln(x — t — s) dt +

x-y 0

z

+ I(y + s — h)^^(y,z)ln(y + s — x)ds —

X-y z У

Проверкой подтверждается факт существования решения задачи Д* при выполнении условий А и В.

Х—у Х—Б

------------------------------------ ^

Задача Д**. На множестве Н найти решение уравнение (1), непрерывное в Н, удовлетворяющее условиям

и(х, х,г) = ф(х, г),(х,г)ЕГ)3, (22)

|0 < х < к,}

Z

X-y X-S

.(23)

оз = {(*,* )10<х<кЛ

3 ^0 < г < к)

(2), (6) а также условиям сопряжения (14) -(16).

На данные задачи налагаются

Условия С.

I т(х,у) Е С(50), тху Е Сф0), т(к,у) = т(х,х) = 0; II ф(х, г) Е Сфз), фЦг Е Сфз), ф(к, г) = ф(х, 0) = 0; III Хгуу Е йь х(к, г) =х[(к — г, г) = 0. Пологая в формуле (12) у = х, после дифференцирования по г, получяем

х—г

Из условия(6)находим

КУ + г,у) = (к — у — г)ХгУ(у, г). (24)

Выражения (23), (24) подставляем в формулы (5), (12), в результате имеем в Н—:

и (х, у, г) = т(х, у) — ф(х, х — у) + ф(х, г) +

Х—у

+ I ХзхО^,3)(к — х — з)\пз ds —

г

х—у х

—1 * 1\п({+*—х)[(к—{—*)А(^)—г^+

г х—Б х—у

+ I ds I [h — t — s)xüit(t, s) — xüt] ln(x — t — s)dt. (25)

z у

В H+:

U (х, у, z) = т(х, у) + ф(х, z) + ф(х,х — у) —

Z

— I Xsse(х, s)(h — х — s) Ins ds +

X-y

+ ¡Xl^y(y,s)(h-y-s)ln(y + s-X)äs +

х-у

Z X

+ ¡ ds¡ ln(t + S-x)[(h-t- SïXUttt, s) - xü]

(26)

Х-у у

Проверкой установлено, что функция, определяемая формулами (25), (26), при выполнении условий С, является решением задачи Д" для уравнения (1).

Список использованной литературы:

1. Volkrodavov V.F., Rodionova I.N., Bushkov S.V. Solution of a modified Cauchy problem by the Riemann method for a certain spatial analog of the Euler-Darboux equation with aneyative parameter differentiale eguations. 2000, т. 36. №4. c. 616-619.

© Родионова И.Н., Бушков С.В., 2022