ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА–ДАРБУ ЗАДАЧИ С СУММАРНЫМ ЗАДАНИЕМ ИСКОМОГО РЕШЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

I

SCIENCE TIME

■

ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ ЗАДАЧИ С СУММАРНЫМ ЗАДАНИЕМ ИСКОМОГО РЕШЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

Васильева Ольга Альбертовна, Родионова Ирина Николаевна, Самарский национальный исследовательский университет им. академика С.П. Королева, г. Самара

E-mail: [email protected]

Аннотация. Для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательными равными параметрами в области, содержащей две линии сингулярности коэффициентов уравнения, поставлены краевые задачи со смещением, связывающим значения искомого решения в различных точках границы. Доказана однозначная разрешимость задач.

Ключевые слова: уравнение гиперболического типа, краевые задачи, интегральное уравнение.

Уравнение U^

рЩ

+

Рит

sgnAU = 0 (1)

T)-SgnT)»^ SgnT)-^

А, р — const, 0 < р < - , |А,| < оо рассматривается на множестве D = Di U D2 U D3 U Б4,где = {Й,т])|0 < f < V < W

Множество D содержит внутри себя две линии сингулярности

коэффициентов уравнения (1): ^ = ц и = —т]. Из точек (£;;£;) и Й; — принадлежащих соответственно данным линиям, опускаем перпендикуляры на их характеристические части границы области х = h,y = h,y = —h. Основания

этих перпендикуляров: А(^;-Ь),В(Ъ;-£), С(Ь;£);

Задача 1. На множестве р найти решение уравнения (1), непрерывное в О с данными:

— решение уравнения (1), условиями сопряжения на линиях сингулярности:

О < ^ < р (4)

О < ? < Р (5)

и на характеристике Ц = 0:

гд U ÖU\

vÖTi дЕ/ Two-oVdf дц)

lim . ^ Ti-o+o Vor]

Будем полагать выполнение условий А:

3U flU>

дц,

(6)

Для решения задачи 1 воспользуемся, полученными в работах [1, 2], специальным представлением решения задачи Коши в каждой из четырех рассматриваемых областей. В области 01 ■

в области э::

в области Эп:

в области О

4-

в формулах (7) - (10) введено интегральное представление одного из данных задачи Коши, а именно:

к =

Неизвестные функции Тк(Б),]Мк(з), (к = 1,4) в формулах (7) - (10) будем искать в классе функций, непрерывных на (0, И) и абсолютно интегрируемых на [0, Ц. В этом случае, как показано в работе [3], функции (7) - (10) определяют классическое решение уравнения (1) в соответствующих областях.

Решение задачи 1. Найдем значения функций (7) - (10) в указанных точках А, В, С, D. После вычисления операторов в левых частях условий (2), (3) приходим к совокупности интегральных уравнений относительно неизвестных функций

При условии, что фт (х) = 0 - единственное решение каждого из уравнений определяется формулой:

из которой получаем выражение для г^ -+- Г\|2 и N3 + N4.

Непрерывность решения задачи 1 на линиях ^ = т|Д = —т], представление (11), с учетом обозначений (12) приводят к соотношениям:

Из условий сопряжения (4), (5) (У: =У2,У3 = У4), соотношений (17), а также (13), (14) имеем И2 = к1Т+к2У2^1 = ^-к^,

откуда получаем: Т = ^ -+- ИДТ = (N3 + N4). Тогда, с учетом формул (16):

Принадлежность Т, Т к указанным выше классам устанавливается непосредственной проверкой.

Для нахождения функций Р1к (к = 1,4) воспользуемся непрерывностью решения задачи 1 на т| = 0, а также условиями сопряжения (6). Получим систему интегральных уравнений:

в которых

СО = №) - Т(3)]3р-1 - (р,Аз(з - (23)

Н

Как показано в работе [1] каждое из уравнений (20), (21) при выполнении условий Ч^ = 0,4^ = 0,4^' = 0 имеет единственное решение:

Складывая и вычитая выражения (25), (26) находим №2 и №3, затем из формул (16) получаем выражения для №1 и №4. В силу громоздкости результат не выписываем. Исследуем, при каких условиях, налагаемых на данные задачи, будут выполняться неравенства (24). Для этого подставим в формулы (22), (23)

вместо

ТиТ

их

выражения (18), (19). Исследуем

После дифференцирования тождества (22) и ряда преобразований, связанных с заменой порядка интегрирования и суммирования, вычислением внутренних интегралов получаем

В первом интеграле проинтегрируем по частям, взяв [<р\ — ф'2]сй= с1у,

во втором сделаем в сумме замену к + 1 = п. В результате получаем

I

SCIENCE TIME

I

Таким образом, при выполнении условий А Ч^ = 0. Аналогично показываем, что = Ч*2 = 0. Исходя из свойства симметрии бета - функции, делаем вывод, что простейшими примера функций ц>1иц>1 могут быть

С1р С2 - постоянные. Единственность решения задачи 1 следует из единственности решения задачи Коши, взятой за основу и однозначной разрешаемости интегральных уравнений, появляющихся в процессе решения. При выполнении условий А задача 1 имеет единственное решение.

Задача 2. Уравнение 11^ - ^ + ^ - Ш = 0 (1°)

рассмотрим на множестве О = С1 и О 2. Из точки (Л, О опускаем

дополнительно перпендикуляры на части границы ^ = 0 (точка М (0, ¡0 ) и на

ц = 0 (точка N(£())).

Постановка задачи 2. На множестве О найти решение уравнения (1°),

непрерывное в О, удовлетворяющее условиям сопряжения (4), а также условиям:

Для решения задачи II функции, определяемыми формулами (7), (8), подчиним условиям (27), (28). Получим систему интегральных уравнений (29) и

и(0) + и(С} = Т±©,(27)

.(28)

Полагая выполнение условий В:

(30):

[N, (s) + N2(s)] (h - s)P(s - OjF^l + p-X(h - s)(s - =

Непрерывность решения на линии ^ = т| , условия сопряжения (4), соотношения (13), (14), (17), как и в предыдущей задаче, приводят к выражению:

Пользуясь результатами работ [1, 2] запишем единственное решение каждого из уравнений (29), (30) при выполнении условий В.

Складывая и вычитая выражения (32), (33) получаем

Т: = Т2 = Т(б) вычисляем по формуле (31). Подставляя результаты в выражения (7), (8) найдем в явном виде решение задачи II. Заметим также, что

при выполнении условия В функции Т, N^N2(5) принадлежат к классу непрерывных на (0, И) и абсолютно интегрируемых на [0, И] функций. Единственность решения задачи II следует из тех же фактов, что и единственность решения задачи 1.

Следует отметить, что авторами данной работы рассматривалась задача уже со смещение для полного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве более общей подстановке [4]. Данные результаты являются продолжением исследований по подстановке нелокальных задач для уравнений гиперболического типа на плоскости и в пространстве.

I

SCIENCE TIME

I

Литература:

1. Долгополов В.М., Долгополов М.В., Родионова И.Н. Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа // Доклады академии наук. - 2009. - Т. 429. - № 5. - С. 583-589.

2. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трехмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике // Известия Российской академии наук. - Сер. мат. - 2011. - Т. 75. -№ 4. - С. 21-28.

3. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Экстремальные свойства решений специальных классов одного уравнения гиперболического типа// Математические заметки. - 2012. - Т. 92. - Выпуск 4. - С. 533-540.

4. Бушков С.В., Родионова И.Н. О постановке одной нелокальной задачи для уравнения гиперболического типа третьего порядка. Современные проблемы математических и естественных наук в мире // II международная научно-практическая конференция. Сборник научных трудов по итогам конференции. Выпуск II. К. 2015. - С. 18-21.