CC BY
8
SCIENCE TIME
■
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА КООРДИНАТНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Бушков Станислав Владимирович, Самарский государственный аэрокосмический университет, г. Самара
Родионова Ирина Николаевна, Самарский государственный университет, г. Самара
E-mail: [email protected]
Аннотация. Полное уравнение третьего порядка гиперболического типа рассматривается в области, представляющей бесконечный параллелепипед, границы которого являются плоскостями сингулярности коэффициентов данного уравнения. Доказана однозначная разрешимость двух нелокальных краевых задач с условиями смещения и интегральным условием.
Ключевые слова: уравнение гиперболического типа, условие смещения, интегральное условие, интегральное уравнение.
На множестве Нг и Н2 = Н, где Н± = ^Ст, у,г) ^ х < ^ ^^
Н2 = {(x,y,z)
О < у < х < h
О < Z < +00
О < z < j, рассматривается уравнение:
У
Р
а
осу
ар ару
LT + - U„, + - IL + - IL + —IL + — LL + — 1Л +
'xyz
ху
У
X
yz
yz
xz
у
ху
xyz
и = 0,(1)
а,р,у — const, 0 < а,р,у < 1,0 < /1 < 1.
Для уравнения (1) в работах [1]-[5] было получено методом Римана решение задачи Коши-Гурса специального класса за счет интегрального представления одного из данных задачи, а также решен ряд других краевых
задач с условиями сопряжения на плоскости У = Опираясь на результаты работы [1], запишем решение задачи Коши-Гурса в областях Н1иН2
соответственно:
где,
= 1Ш1 ( их - ил
Ит хг С/ (х, у, г)
-{
А СХ,у), (х,у) Е 01 = {0 < х < у < к}г
к и, у), и, у) еи2 = {0<у<х< л}.
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Из точки М(х,у,г), принадлежащей внутренней нехарактеристической плоскости у = %, опустим перпендикуляры на граничные плоскости х = 0,у = 0,х = к,у = к. Основания эти перпендикуляров соответственно обозначим Р(0, х, г), Ь(х, 0, г), Я (к, х, г), ф (х, /г, г).
Пусть = [/1(х,угг)хаг
% УД) = (Х- У, г) у ?
Постановка задачи I (со смещением).
На множестве Н найти решение уравнения (1), непрерывное в Н, удовлетворяющее граничным условиям (8), а также
(9)
(x,z) Е D3 = {q^^^^q}' с сопряжением на плоскости х = у: lim x2ß-ß1(_x,y~) =
у^х+О
lim х2ад2 (х,у) —
у-*х— О
¿с х2аи2(х,х-
0С*)).
Постановка задачи II (с интегральным условием). Отличается лишь тем, что условие (9) заменяем на интегральное:
При решении задачи I предполагается выполнение: Условия А:
Условия B:
а) <p(x,z)ECtDJC\CW(D3),
?
Условия С:
(10)
(11)
(12)
| SCIENCE TIME Щ
Очевидно, что функция, определяемая формулами (2), (3), удовлетворяет условию (8) обеих задач.
При решении задачи I неизвестные функции xa+^Nu i = 1,2\ Т^х2^ , Т2х2а
будем искать в классе функций, непрерывных в области Вг вместе со своими частными производными по переменной z.
Подчиняя решение уравнения (1), определяемое формулами (2),(3) условиям (9),
(10), приходим к соотношениям:
в которых введем обозначение:
Равенства (13), (14) рассмотрим как интегральные уравнения относительно ха+РNt . В предположении, что решение уравнения (13) существует, умножим
обе части тождества на , затем продифференцируем по х, получим:
-Ш*^)} *=(17)
Далее воспользуемся тем фактом, что единственное решение уравнение
N(x,z) + ACfx(xrz) N(t,z) dt = f(x,z) ; полученное, например, методом последовательных приближений имеет вид
N(x, z) = -ХСх (х, z) f* eA(-cUz) ~ c(t^f(t, z} dt + fix, z). В результате имеем решение уравнения (17):
Непосредственной проверкой доказываем, что при выполнении условий
= 0, = 0 уравнения (13) и (17) равносильны. Подставляя в
формулу (18) вместо F1 ее выражение (15), получаем:
Из условий сопряжения (11), (12), представлений (4)-(7) получаем соотношения:
=Тгхга Л21)
Обе части равенств (19), (20) умножим соответственно на и ха~Р,
затем сложим. С учетом представлений (21), (22) приходим к интегральному
уравнению относительно Т^1^: в котором
А(х, г) =
т^х^х0
и(х,г:')ха 2 ' ЬР-Б(х,г~)хР '
ф, г) = ^ [ Л Х*>- + - \ 1
Г Эл; £ - ] а* 1ля-а (х лV11
(23)
(24)
(25)
(26)
При ограничениях, налагаемых на данные задачи !(условия B, C), функции
Л(х,г) и Р(х,г) непрерывны в 03 и единственное решение уравнения (23) принадлежащее тому же классу имеет вид:
Чтобы получить решение задачи I в явном виде удобнее искать интегралы, входящие в формулы (2), (3). Вычислением получаем
Интегралы, содержащие Nlf ЛГ2 найдем из формул (19), (20). Подставляя результаты в функции (2), (3), получим в явном виде решение задачи I в области
Нг
В области Н2:
Функция Р(х,г) определена формулой (27), Х{х,£) — выражениями (24)-(26). Проверкой установлено, что при выполнении условий А-С решение задачи I, представленное формулами (30), (31), непрерывно на множестве ^ на
границах множества - плоскостях х = 0,у = 0,г = 0 имеет интегрируемую
особенность соответственно порядка а, Р, У. В начале координат - порядка а + р. Отметим также, что единственность решения задачи I следует из
единственности решения задачи Коши-Гурса, полученного методом Римана, и однозначной разрешимости интегральных уравнений, полученных в процессе решения.
При решении задачи II неизвестные функции з210, Т2 ,
I = 1,2, будем искать в классе функций, непрерывных вместе с частными производными по ъ в области Вг и абсолютно интегрируемых в .
Условия, налагаемые на функции А > ф(_х,г), сохраняются, от функции /2 потребуем выполнения условия А1 и условия Л2 : в точке (0,0) & (х, у) обращается в ноль порядка не ниже 1- 2а. 5(х,г) удовлетворяет условиям
Функция <р2(х,£) удовлетворяет условию В:
<р2 (_х,г) = х2+Р~2а<р2 (х^Х<р2 е '' СЦз) • Для решения поставленной задачи воспользуемся соотношением (19), которое запишем в виде:
где
д
дх НР-БЬс,г)х$
(33)
Интегральное условие (9*}, после ряда преобразований, приводит к соотношению:
Складывая обе части выражений (32) и (34), принимая во внимание полученные из условий сопряжения формулы (21), (22), приходим к
интегральному уравнению относительно Тгх2Р:
X
ф(х,г) — СО (х, =
[ягф ! + 5 (х^У)
(36)
(37)
(38)
Отметим, что при выполнении условия С4 , функция со (х, г) непрерывна в и со(х,гУ> 0. Из представлений (37), (33), (35), условий налагаемых на функции следует, что свободный член уравнения (36) имеет
представление Ф(х,г) = 2~гФ*(х,г\Ф*(х,г) Е С(Дд) и ограничена в 03. Этим же свойством обладает единственное решение уравнения (36), определяемое формулой:
Действительно, с применением теоремы о среднем имеем оценку Далее, вычисляя интегралы
(39)
(40)
И, подставляя выражения (40)-(42) в формулы (2), (3), получаем решение задачи II.
Рассуждениями, и в случае задачи I, доказывается единственность решения задачи II. При выполнении условии A-D это решение непрерывно в ^ на границах х = 0,у = = 0 обращается в бесконечность порядка
I
SCIENCE TIME
I
соответственно а, у, в точке (0, 0, 0) имеет особенность порядка а + р + у, которую можно ослабить, заменив условие /2 (0,0) = 0, условием
Литература:
1. Долгополов В.М, Родионова И.Н. Две задачи для пространственного аналога гиперболического уравнения третьего порядка. Вестник Самарского государств. технич. университета. Сер. Физико-математические науки. - 2012. -№4 (29). - С. 212-217.
2. Родионова И. Н. Задача с интегральным условием для одного пространственного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на координатных плоскостях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. - 2011. - №2 (23). - С. 189-193.
3. И. Н. Родионова, В. М. Долгополов, "Задачи с сопряжением на характеристической плоскости для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве" // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физико -математические науки. - 2014. - №1 (34). - С. 48-55.
4. Бушков С.В., Родионова И.Н. О постановке краевых задач в области специального типа для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном евклидовом пространстве // Science Time. - 2015. - №1 (13). - С. 53-
5. Бушков С.В., Родионова И.Н. О постановке одной нелокальной задачи для уравнения гиперболического типа третьего порядка. Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань, 2015. С.18-22.
ортогональности J t?f2 (х, t) dt = 0, это следует из представления (35).
■х
60.
