ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ ЗАДАЧА С НЕСТАНДАРТНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ НА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

I

SCIENCE TIME

■

ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭИЛЕРА-ДАРБУ ЗАДАЧА С НЕСТАНДАРТНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ НА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ линии

Васильева Ольга Альбертовна, Родионова Ирина Николаевна, Самарский национальный исследовательский университет им. академика С.П. Королева, г. Самара

E-mail: [email protected]

Аннотация. Для уравнения Эйлера-Дарбу поставлена краевая задача с условиями сопряжения на характеристической линии, содержащими интегралы дробного порядка от искомого решения. Доказана однозначная разрешимость задачи.

Ключевые слова: уравнение гиперболического типа, краевая задача, интегральное уравнение.

X, р - const, 0 < р < |А,| < оо рассмотрим на множестве D = Di U D2,

D1 = {(§, n) / 0 < § < П < h}, h - const, h>0, D2 = {(§, n) / 0 < - n < § < h}.

Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в работах [1-7] по постановке и решению краевых задач для уравнений гиперболического типа второго и третьего порядков в специальных классах. В работе [I] получено решение задачи Коши для уравнения (1) в области Dl с данными

^Ит^ Щ,ц) = Т!©^!© = ^п^К - П)2р(ит1 - Щ) в классе Я1ъ где заданная функция имеет интегральное представление:

Это решение представлено формулой:

+ (3)

Аналогично получаем решение задачи Коши класса К ., в области Т>2'.

Щ,л) = СТ200 - + л(1 - РД(з + Т1)(8 - Ъ

г тъ- +лгр „ (1 - Р, -А(Е+лж- = и™ а л) +

Имеют место соотношения:

N1(8) = N2(8) =

_ 2соз-ттр 1

1

2 Г2(Д-р)

т.00 + * Ш^^оо (б)

2 созттр ** " 2 Г2(Д-р)

Задача S. На множестве D найти решение уравнения (1), принадлежащее классу Яь в 0| и Э2, непрерывное в О, удовлетворяющее граничным условиям:

U(h,л) =

_ Гф!(л),0<л <Ь,

1Ф2(Л),О<-Л <ь.

ф1(0)=ф2(0) (7)

и на характеристике п=0 условиям сопряжения:

-Ор-^вл)^

п^О + О

Г

н

л 11

Отметим, что в работе [2] доказана однозначная разрешимость задачи S для уравнения (1) в случае — ^ < р < 0, если на г|=0 задать условие сопряжения в

/эи Э1Г\ (зи аи\

виде =11ш II — - —) 11ш I ■— + —) однако при 0 < р < - такая

постановка задачи является некорректной.

Чтобы получить классическое решение задачи S для уравнения (1) неизвестные функции N Т (1=1,2) будем искать в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций Ь (0, Ь) и имеющих непрерывные производные на сегменте [0, Ь].

На заданные функции фь ф2 налагаются следующие условия А:

1. Ф1(Л)ЕС^0,Ь]ПС&Ч0,11);

Как было указано выше, за основу решения задачи S возьмем решение задачи Коши класса К., в областях В! и В2. Неизвестные функции Р^ найдем

из условий (7), полагая в формулах (3), (4). Относительно N^N3 получаем уравнения:

Применяя к обеим частям тождества (9) оператор

дифференцируя полученное N(8)= (11 — з)-1^.^) уравнение:

затем

равенство,

получаем относительно

Единственное решение уравнения (11) получено в работе [ 2 ]:

Подставляя в формулу решения (12) значение Г(х) при условии, что Ф1 (Ь) = 0 находим выражение для N1:

Подобными рассуждениями из уравнения (10) получаем:

Непосредственными вычислениями показываем, что ,

удовлетворяют уравнениям (9), (10) соответственно, если

ф:(Ь) = ф2 (—Ь} = 0 , а также при выполнении условий А

Из условия непрерывности решения задачи на п=0, формул (3), (4) получаем:

где

Как было показано выше, также как для уравнения (9), условием разрешимости уравнения (15) является Ф1(Ъ)= 0, поэтому выясним вначале при каких условиях, налагаемых на функции фь ф2 это равенство выполняется. Для этого положим в формуле (16) подставим вместо N1 её выражение (13), функцию ^ представим рядом (2). В полученном выражении поменяем порядок интегрирования. После вычисления внутренних интегралов получаем:

Преобразуем слагаемое . Гипергеометрическую функцию Б представим конечной суммой [8]:

Поменяем порядок суммирования по т и п, вычислим полученную внутреннюю сумму:

Воспользуемся формулами [8]:

В результате получаем:

Аналогичными рассуждениями вычисляем слагаемое:

В слагаемом 1: проинтегрируем по частям взяв:

тогда

Применяя формулу интегрирования по частям при условии ф±(0) == ф±(Ь) = 0 получаем:

Складывая выражения (18) и (19) имеем = 0. Аналогично

Ф^ОО = 0, если ф2 (0) = ф2 (—Ь) = 0. Таким образом, при выполнении

условий А2) ФцСЬ) = Ф^(Ъ) — Ф^ОО = О. Теми же рассуждениями, что проводились при решения уравнения (9) получаем единственное решение И уравнения (15):

Условия сопряжения (8) приводят к уравнению:

где

Единственное решение которого при условии ф2 (Ь) = 0 (выполняется при ф±(0) = ф2 (0) = ф2 (—Ь) = ф± (Ь) = 0) имеет вид:

Складывая и вычитая равенства (20) и (21) находим Т1 и Т2: 1 _ _ | Р Р

+

+

а гь

г ¡х - х)Рс ^ (1 + р, -Ах(з - X)) ав] + хРф^ Сх) +

1С Ф2 -ы* - х))^}

(22)

хР

т2 , . _ 2р(рД-р)

(Х) =

[£ ф;СЮ(5-х)Р \ (р,-Ах(5 - х))

а гь

— х)р0 ?! (1 + р, —Ах(з — х)) с1б]

хРФ'ОО

(23)

I

SCIENCE TIME

I

где функция Oi определена формулой (16), Ф'2 (s)

=" ( N1(s)+ N2(s)) s"p+ +/0S[N1(t) + N2(t)]t^0F1(li-lt(s-t))dli NlH

N2 определяются выражениями (13), (14) соответственно.

Вычислением доказано, что Tk(x) е C'^-'fO.h] П C2(0,h) (к=1,2), если выполняются условия А.

Подставляя выражения (13), (14), (22), (23) в формулы (3), (4) получаем решение задачи S в явном виде.

Не приводим в силу громоздкости записи.

Единственность решения задачи S следует из единственности решения задачи Коши для уравнения (1), взятого за основу, и однозначной разрешимости интегральных уравнений, к которым сводится задача. Существование решения задачи S доказывается проверкой.

Литература:

1. Долгополов В.М., Долгополов М.В., Родионова И.Н. Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа: доклады Академии наук. - 2009. - Т. 429. - №5. - С. 583-589

2. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трехмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике: известия Российской Академии наук: Серия математ. - 2011. - Т. 75.- №4. - С. 21-28

3. Родионова И.Н., Долгополов В.М. Задачи с сопряжением на характеристической плоскости для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2014. - №1 (34). - С. 48-55. DOI: 10.14498/vsgtu1289

4. Бородинова И.А., Родионова И.Н. Краевая задача с условиями сопряжения на характеристической плоскости для гиперболического уравнения второго порядка в трехмерном пространстве: из-во Сам. гос. ун-та: Математика, экономика и управление. - 2015. -Т.1. - С. 14-19

5. Васильева О.А., Родионова И.Н. Задача с сопряжением на характеристической и нехарактеристической плоскостях для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве // Science Time. - 2015. - №5 (17). -

С. 57-62.

«

I

SCIENCE TIME

I

6. Родионова И.Н., Бушков C.B., Васильева O.A. Аналог задачи Д3 для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве: Самарский научный вестник. - 2014. - №4 (9). - С. 109-112

7. Родионова И.Н., Васильева О.А. Задача с интегральными условиями для одного уравнения гиперболического типа третьего порядка в трехмерном пространстве: Математическое моделирование и краевые задачи: труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. - 2011. - С.

8. Г. Бейтмен., А. Эрдейн. Высшие трансцендентные функции. Наука: Москва. -

153-157

1973. - Т. I. - 294 с.

124