ЗАДАЧА MN ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕСТАНДАРТНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Щ SCIENCE TIME Щ

(jj ш Ел ' tL® -1 @НТ 1 - 4_W JT ЗАДАЧА MN ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕСТАНДАРТНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ Бушкое Станислав Владимирович, Родионова Ирина Николаевна, Самарский национальный исследовательский университет им. академика С.П. Королева, г. Самара E-mail: [email protected]

Аннотация. В обобщенной области Трикоми для уравнения смешанного типа ставится задача с данными на всей границе области и условиями сопряжения на линии у = 0, содержащими производные дробного порядка. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи.

Ключевые слова: Уравнение смешанного типа, краевая задача, интегральные уравнения.

Рассмотрим область, ограниченную: в полуплоскости у > О полуокружностью Г: у = Vа2 — х2(—а < х < а); в полуплоскости у < О прямыми % + у = —Ь,х — у = Ь,(Ь < а), и отрезками [—а,— Ь\, [Ь, а] оси Ох. Ось 0у разбивает данную область на подобласти £ + > 0) и й~(з'<0). Область , в свою очередь, отрезком "-у. О" оси 0": разбивается на подобласти В^(х < 0) и >0). О = В+ и и

У Г

1 ь 0+ \ Ь \

-а \ОГ У а X -Ь

На множестве D рассмотрим уравнение:

(1)

Задача МЖ Найти функцию и(х, у) со свойствами: 11(1, у ) е Сф);

II(х, у) - решение уравнения (1) на множестве Б, и(х,у) подчиняется краевым условиям:

(2)

(3)

(4)

и(х,у^) подчиняется условиям сопряжения:

(5)

(6)

(7)

(8)

С. - постоянные, гг (х) будут определены ниже, I = 12. Лемма 1. Без ограничения общности можно считать, что если

то

и(х,у) Е С(£>:) - решение уравнения (1) в области ,

Для доказательства леммы рассмотрим решение (1) в О^ вида

9г й:1 У.)= —" и построим решение уравнения (1) в :

решение уравнения (1) в Л" , непрерывное в ). Очевидно, Аналогично доказывается Лемма 2.

Если еС(£)2)- решение уравнения (1) в области , то, без

ограничения общности, можно считать, что У (0,0) = 11(р, 0} = 0.

Для уравнения (1) будем решать задачи Дарбу: в области - с данными

и(х, 0) = т2(Х),— Ь < х < 0 и условием (5); в области - с данными

1)(х, 0} = т2(Х),0 < х < Ь и условием (6). С учетом утверждения лемм 1 и 2, решения задачи Дарбу имеют вид:

Определим теперь функции гг (х) в условиях сопряжения (7) и (8) следующим образом:

Отметим, что идея определить условия сопряжения формулами (7), (8), (11), (12) принадлежала В. Ф. Волкодавову. #

Лемма 3. (Принципы локального экстремума). Если 11(х, у) Е С^Б^ -

решение уравнения (1) в таково, что и(х, 0} = т1 (х), достигает

наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х0 Е (—Ь, 0), при этом (р! (х) = 0 на [—Ь; 0], то (*о) > 0 ( ^Г(х0) < 0).

Доказательство. В формуле (11) положим <р1 = 0, в первом интеграле

проинтегрируем по частям, затем продифференцируем и положим х = х0 . С учетом условий леммы 1 будем иметь:

Пусть, для определенности, т(х) в точке х0 достигает наибольшего

положительного значения. Представим т/(0 = [тОД — т(х0}]' и подставим в интеграл:

Проинтегрируем по частям, взяв [т(0 — = с учетом того, что

т(—Ь) = 0. Будем иметь:

откуда следует > 0. Лемма доказана.

Лемма 4. Если \]{х,у) Е С(£>2)- решение уравнения (1) в таково, что и(х, 0) = т2 (х) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х0 Е (0, Ь) , при этом <р2 СО = 0 на [0,/:?], то

Справедливость леммы 4 доказывается аналогично.

В условиях сопряжения (7) и (8) положим С: = 1,С2 = — 1, проинтегрировав по частям первые слагаемые, продифференцируем их, получим:

Теорема I. (Единственность решения задачи MN). Если существует решение задачи MN для уравнения (1), то оно единственное.

Доказательство теоремы проводится методом от противного с использованием теоремы Вейерштрасса, леммы Хопфа, леммы Бабенко [1], утверждений лемм 1, 3, 4 настоящей работы.

Для доказательства существования решения задачи MN воспользуемся решением задачи N для уравнения (1) области ¡)+ , полученным в работе [1]. Из

него находим соотношение:

Учитывая непрерывность решения задачи на у = О,— Ъ < х < Ъ , можно записать, что:

т(У)

ч

т±Сх\—Ъ < х < О, т2 (х),0 < х < Ъ-

т1(0) = т2(0)

Найдем соотношение между Т1 и ; используя непрерывность решения задачи на отрезке на х = О, -Ъ < х < 0 . Для этого в формулах (9), (10) положим х = 0 и приравняем правые части. В результате получим:

Решение задачи MN может быть сведено, таким образом, к решению интегрального уравнения относительно т'2 (х) (0 < х < Ь) (или относительно

Для получения интегрального уравнения подставим в соотношение (15) вместо и3(0 и и4(0 их выражения из условий сопряжения (13) и (14). Обе части полученного тождества продифференцируем по х, после чего воспользуемся соотношением (16). В результате некоторых преоброзовний

приходим к уравнению:

Потребуем выполнения следующих условий: 1. О < 2(? + А< 1 (18)

В точке х = —а у1 (х) может иметь интегрируемую особенность:

В точке х = а у2 (х) может иметь интегрируемую особенность.

Легко видеть, что при выполнении условия (18) ядро интегрального уравнения (17) интегрируемо в квадрате [0,Ь;0,Ь]. При выполнении условий (19)-

(22) свободный член уравнения (17) Ф(х) € С[0,£0, в точке х = Ъ функция

I SCIENCE TIME I

Ф(л) имеет особенность порядка 2q.

Однозначная разрешимость уравнения (17) в классе функций

непрерывных на полуинтервале [0,Ь) и интегрируемых на сегменте [О, ft] следует из того, что уравнение (17) есть уравнение Фредгольма II рода с интегрируемым ядром, а также из теоремы I.

Теорема II. Если выполняются условия (18)-(22), C1 = lrC2 = —1, то существует единственное решение задачи MN для уравнения (1).

В заключение отметим, что краевые задачи для уравнений гиперболического типа с условиями сопряжения, содержащими производные дробного порядка, рассматривались авторами настоящей статьи и результаты исследований опубликованы в работах [2, 3].

Литература:

1. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М: Наука, 1966.

2. Родионова И.Н., Долгополов В.М. Задачи с сопряжением на характеристической плоскости для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2014. - №1 (34). - С. 48-55. DOI: 10.14498/vsgtu1289

3. Васильева О.А., Родионова И.Н. Задача с сопряжением на характеристической и нехарактеристической плоскостях для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве // Science Time. - 2015. - №5 (17). -С. 57-62.