CC BY
4
| SCIENCE TIME |
ЗАДАЧА W ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Бушков Станислав Владимирович, Родионова Ирина Николаевна, Самарский национальный исследовательски университет имени академика С.П. Королева г. Самара E-mail: [email protected]
Аннотация. Для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу решается задача с суммарным заданием искомого решения во внутренних точках рассматриваемой области, содержащей внутри себя линию сингулярности коэффициентов уравнения.
Ключевые слова: Дифференциальные уравнения в частных производных, уравнения математической физики, краевые задачи, интегральные уравнения.
р р
Уравнение ---и? +--—Аи = 0, (1)
{ — V Л
1
|А| <+сю, 0<р < —, рассмотрим на множестве Э=
и
= -Ь < ( <Т1 <к},02 = {(£77) | -1КТ! <к},к >0.
На линии сингулярности коэффициэнтов уравнения (1) ^ = ^ возьмем точки и Е и опустим из них перпендикуляры на
координатные оси. Основания этих перпендикуляров: 0),С(0, (),
0),^(0, —(). _ Задача Ш. На множестве И найти решение уравнения (1), непрерывное в удовлетворяющее условиям:
и{С) + аиф) = <р1{0> (2)
иШ + ри(Р) = у2( О, (3)
и(А) + Ги(В) = у 3(а (4)
SCIENCE TIME
иф) + би(Е) = р4(а (5)
0 < { < К
и условиям сопряжения на линии ^ = ^:
Дт^ - -Щ) = Дш^ - -Щ) = у(0, \*\<и. (6)
Отметим, что сама постановка задачи приналежит В. Ф. Волнодавову [1].
Воспользуемся формулой решения задачи Коши для уравнения (1) в области полученной в работе [2]:
V
tftf, Л) = к1(л - f)1 J ( )1_p(t_f)1_p +
^ (п-гу-р^-ф
[ у{1)0Рг{1 — 0) ^ (7)
2] ' (7)
Г(2р) Г(1 - 2р)
где т(0=НшД^), ^^ к2 = Г2(1_р) .
Аналогично получаем в области с учетом непрерывности решения на
11 = % и условием сопряжения (6):
?
v
v(t)oF1(1 - p,A(f- - t)) dt
v
'J (t-q)p(f-t)p ,
от
zn
(a)„n!
п=0
Задачу Ш будем решать при условии а = р. На заданные функции положим следующие ограничения:
^(0) = 0 (£ = 1,4), еС(1)[0, а] ПС(3)(0,а);
<Ма<Р2(0 ес(2)[0,а] ПС(4)(0,а) . (9)
Введем обозначения т(<Л = °
Ь"2(0, { < 0, т(0) = 0 ,
SCIENCE TIME
= { <0 .
Из равенств (7), (8), с учетом краевых условий (2)-(5) и введенных обозначений, получаем систему уравнений:
о
+к21 у1(Х) о^1(1 — р, -А^- - дх +
о
+а | + ^Р"1 + ОД ¿Г +
+^2 / V2(t)(-t)P(t + f)"PоFl(l-p,Яt(f + t))dtj = ^1(f), (10)
* £
к м-9.« Г ^(Оо/ч^-л^-О)^
- ty~P
о
v1(t)0F1(1 - р, -At(f- t))rft +
tP(f - t)P
о
, . , ,°T2(t)oF1(p,-At(f + t))dt
-г ^ I Ki
(-t)P(f + t)p J
k . T1(t)oF1(p,-At(f-t))dt
0
v1(t)oF1(1-p,-At(f-t))dt
- k2 J pzwytt^ I- «W^ (11)
, f viCOoFiCi - P, -AtCf- t»dt i ^ ^ - J -tP(f-t)P-+ = ^3(f), (12)
| SCIENCE TIME |
0
I T2(t)(-t)P-1(t + {)P-10F1(p,Ät({ + t))dt +
-«f 0
+ k2 J v2(t)(-t)-P (t + 0"ро^(1 - p,At(f + t))dt +
+St2(-o = <p4(0. (13)
Из системы (10) — (13) найдем неизвестные функции vk, тк,к = 1,2.
Сложим уравнения (10) и (11). Имеем: о
zk1a^1~2p I r2(t)(-t)P-1(t + f)P-1oF1(p,At(f + t))dt +
-«f
(
+ 2fc1f1_2p I r1(t)tP-1 (f- t)p-1oF1(p, -Attf- t))dt = = . (14)
В первом интеграле сделаем замену -t=s , з атем переобозначим s=t, получим интегральное уравнение
I T(t)tp~i (f- t)p-ioF1(p, -Ata- t))dt = ^a äs)
°l(0="i(f)2+fcr(f)^2p-1 , (16)
T(t) = T1(t) + ar2(-t) , (17)
единственное решение которого при условии х(0) = 0 получено в работе [2]:
S
П*) = г(р)5г(1Р_ р) / ¿(0 O-Vii1 - 0)^ -
Я
о
s
А С
"ТЗ" ] XIms-t)1-pоF1(2-p,Лs(s-t))dt. (18)
о
Вычитая из уравнения (10) уравнение (11), делая такую же замену, как и в предудущем случае, приходим к интегральному уравнению
I+ ау2ЫЖ( - - р, -А^- =
о
2к2 , ^ единственное решение которого получим из формулы (18) заменой р на 1 — р.
3
Г
у^) + = г(р)г(1_р) ] ^(О^ - ty-1оF1(p,Лs(s- 1))(И -
о
--[ Х2 (20)
р ^
о
х2(0 =-2^-.
Ф Правые части формул (18), (20) обозначим соответственно /1(5) и ^ /2(5). Тогда
т1(5) + ат2(-5) = /2(5). (22)
^(5) + ол/2(-5) =/2(5). (23)
Подставим в равенство (13) вместо т2 и у2 их выражения из (22) и (23)соответственно. Равенство (13)примет вид:
о
+ к2 I ({- О^о^ - р, —Я£(£ — 0)^ +
(24)
-к21 - р, -Я^-
о
Мы рассмотрим случай у = —6. Тогда из равенств (24)и (12)имеем: I т1(t)tP-1(f-t)P-1оF1(p,-Яt(f-t))dt = /4(f),
(25)
(26)
/4(0 =/з(0 + ^з(0. (27)
тг{Х) найдем из уравнения (26), воспользовавшись формулой (18) решения уравнения (15). Так как мы ищем классическое решение задачи Ш, то функция т±(х) (также и т2(х),у±,у2) должна принадлежать классу С^О,И] К) и тх(0) = 0. Поэтому в начале исследуем
свободный ч лен уравнения (26) — функцию /4(0, определяемую формулой (27), а точнее функцию /з({). Для этого в формулу (25) подставим вместо ^ и ^ соответственно их выражения:
ш =
Л-р
Г(р)Г(1-р) 1-р] 2к1
л
I
2к1
(5 - - р,Я5(5- 0) ^ -
(5 - - р,Я5(5- О) ^
(28)
^ - г(р)га-р)/ (тт^)" о)*
р )
2к,
(5 - + р,Я5(5- О)
(29)
Полностью все вычисления в силу их громоздкости не приводим, рассмотрим, в качестве примера, в формуле (25) второй интеграл, в который подставим функцию /2(5). Обозначим его 12:
•о^х(1 - р, -Я5({- -
SCIENCE TIME
(30)
1 — р
о \о
• ((- 5)"ро^1(1 - р, -Я5({- = ¿! + ¿2
В обоих слагаемых преобразования одинаковые, поэтому рассмотрим
Сделаем следующие преобразования: поменяем порядок интегрирования, представим функцию о^ рядами, применим правило перемножения рядов. Внутренние интегралы выразим через гипергеометрическую функцию Гаусса
Г(1-р)Г(р)(р)т(1-р)Л_
т
Г(1 + £)
которую представим конечной суммой
Г21 У (-^)п(Р + т)п ( t~t\n U А, (1 + к)пп! V t ) '
п=0
(
Подставим результат в интеграл i± =
I
(-A)ktk(f- t)' k!
Z(~fc)n У (1 + к)„п! ZJ
(-1)m(p + ш)
п
(1 + к)пп! (к — т)!т!
к=0 п=0 т=0
dt
Легко показать методом математической индукции, что
(-1)т(р + т)п _(0, п
(к — т)\т\ 1(—1)к, п = к, следовательно ,
т=О
* " (-A)ktk(f-t)k(-fc);
¿1= J
к=0 ст^ю*
Учитывая,что (~к)к = (— 1)кк!,
(1 + к)к = (1) 4к, получаем
* 2 ¿1 = /[^(О-^СОГо^Д^^) )сИ.
Аналогично получаем ¿2 — ^ С^)—С^)] 1 _ о^г (ц —)
о
Если проинтегрировать по частям в интеграле ц, то можно записать в виде
£ 2
12 = 1 - ^ )-
о
-о^^ИЬ (31)
Аналогично исследуется первый интеграл в формуле (25).Из представлений (25), (27)-(31) следует, что при выполнении условий (9), функция /4(0 еС(1)[0,й] ПС(3)(0,й),причем Д(0) = 0.
& .
=
Запишем решение уравнения (26): V
1
2&1Г(р)Г(1-р)
I г2р-1(1 - г)~Р - р,Ц2(1-г))с1% +
2к1Г(р)Г(1-р) о
1
(1 - Р)Г(Р)Г(1^ / ^С1 - - . (32)
о
Из представления (32) следует, что тх({) принадлежит классу
С(1)[0,й] ПС(2)(0» и тх(0) = 0. Из соотношения (22) находим т2(-£). В формуле (24) подставим вместо первого слагаемого его выражение (26), вместо выражение (32). Получим уравнение относительно у±:
| SCIENCE TIME |
к2 I - t)-P0F1(l - р, €))(И = /5(£), (33)
о
в котором известная функция обладает теми же свойствами, что и Д ((). Его единственное решение получено также, как решение уравнения (19). Функцию находим из соотношения (23). Отметим, что при
выполнении условий (9), т2,у±,у2 принадлежат тому же классу, что и функция тг, а следовательно, решение задачи Ш, определяемое формулами (7), (8) в областях 0± и Б2 соответственно, является классическим решением в данных областях. Единственность решения задачи Ш следует из единственности решения задачи Коши, взятого за основу, и единственности решения соответствующих интегральных уравнений.
В заключении отметим, что настоящий результат является продолжением исследований по постановке и решению краевых задач в специальных классах для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу, начатых в работах [2-6].
Литература:
1. Волкодавов В.Ф., Меньшикова А.И. Задача с нелокальными краевыми условиями для выраждающегося гиперболического уравнения. Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Том 248. Куйбешев, 1981 г. С. 24-31.
2. Долгополов В.М., Долгополов М.В., Родионова И. Н. Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа. Доклады Академии наук. 2009. Т. 429. № 5. С. 583-589.
3. Бушков С.В., Родионова И.Н. Две задачи для уравнения — Аи=0 в специальном классе решений 0Ш. Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3. Сам.госуд. техн. ун-т, Самара 2009. -С. 58-61.
4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Главная редакция физ-мата лит-ры. Издательство «Наука», Москва 1977 г. С. 638.
5. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трёхмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике. Известия Российской академии наук. Сер. матем. 2011. Т.75. №4. С. 21-28.
| SCIENCE TIME |
6. Долгополов В.М., Родионова И.Н. Экстремальные свойства решений специальных классов одного уравнения гиперболического типа. Математические заметки. 2012. Т. 92. № 4. С. 533-540.
