CC BY
0
у. ■ ■■■■^1 о
2024. Т. 50. С. 143-151
Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru
Серия «Математика»
Научная статья
УДК 512.5 МБС 20015
Б01 https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.143
0 порождении группы РОЬп(Ж + г~Ж) тремя инволюциями, две из которых перестановочны
Я. Н. Нужинш, Т. Б. Шаипова1
1 Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация И nuzhin2008@rambler.ru
Аннотация. Результаты исследования относятся к следующей общей задаче: найти естественные конечные порождающие множества элементов данной линейной группы над конечно порожденным коммутативным кольцом. Особый интерес вызывают кольца коэффициентов, которые порождаются одним элементом, например кольцо целых чисел или кольцо целых гауссовых чисел. Доказано, что проективная общая линейная группа размерности п над кольцом целых гауссовых чисел тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п больше 4 и 4 не делит п. Ранее М. А. Всемирнов, Р. И. Гвоздев, Д. В. Левчук и авторы данной статьи решили аналогичную задачу для специальной и проективной специальной линейных групп.
Ключевые слова: проективная общая линейная группа, кольцо целых гауссовых чисел, порождающие тройки инволюций
Благодарности: Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Министерством науки и высшего образования РФ (соглашение № 07502-2024-1429).
Ссылка для цитирования: НужинЯ.Н., Шаипова Т. Б. О порождении группы РОЬ„(Ж + гЖ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 50. С. 143151.
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.143
Research article
On Generation of the Group PGLn(Z + iZ) by Three Involutions, Two of which Commute
Yakov N. NuzhinlK, Tatyana B. Shaipova1
1 Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation K nuzhin2008@rambler.ru
Abstract. The results of the paper relate to the following general problem. Find natural finite generating sets of elements of a given linear group over a finitely generated commutative ring. Of particular interest are coefficient rings that are generated by a single element, for example, the ring of integers or the ring of Gaussian integers. We prove that a projective general linear group of dimension n over the ring of Gaussian integers is generated by three involutions two of which commute if and only if n is greater than 4 and 4 does not divide n. Earlier, M. A. Vsemirnov, R. I. Gvozdev, D. V. Levchuk and the authors of this paper solved a similar problem for the special and projective special linear groups.
Keywords: projective general linear group, the ring of Gaussian integers, generating triples of involutions
Acknowledgements: This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement No. 075-02-2024-1429).
For citation: NuzhinYa. N., ShaipovaT. B. On Generation of the Group PGLn(Z + iZ) by Three Involutions, Two of which Commute. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2024, vol. 50, pp. 143-151. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.143
1. Введение
Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть (2 х 2, 2)-порожденной. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций.
В работе [1] М. А. Всемирнов, Р. И. Гвоздев и авторы данной статьи дали окончательный ответ на следующий вопрос: для каких размерностей п специальная и проективная специальная линейные группы БЬп(Ж + гЖ) и РБЬп(Ж + гЖ) над кольцом целых гауссовых чисел Ж + гЖ являются (2 х 2, 2)-порожденными? Оказалось, что группа БЬп(Ж + гЖ) (соответственно РБЬп(Ж + гЖ)) тогда и только тогда является (2 х 2, 2)-порожденной, когда п > 5 и п = 6 (соответственно когда п > 5). В [1] были рассмотрены остававшиеся три случая БЬ^, РБЬ6 и БЬ ю, там же можно найти историю этого вопроса (см. также [2]). Ясно, что об-
щая линейная группа ОЬп(Ж + гЖ) не является (2 х 2, 2)-порожденной, поскольку в ней есть матрицы с определителем, отличным от ±1, а определитель любой её инволюции равен ±1. Мы даем ответ на аналогичный вопрос для проективной общей линейной группы РСЬп(Ж + гЖ). Доказана
Теорема 1. Группа РОЬп(Ж + гЖ) тогда и только тогда является (2 х 2, 2)-порожденной, когда п > 5 и 4 не делит п.
2. Обозначения и предварительные результаты
Заметим, что прообразы не обязаны порождать всю исходную группу, если образы порождают фактор-группу. Однако справедливо следующее утверждение, доказательство которого элементарно, и мы его опускаем.
Лемма 1. Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Для произвольного набора элементов g\,... ,gm € G следующие два утверждения эквивалентны:
1) G/H = (g!H,...,gmH);
2) G = (g!,...,gm,H).
Здесь и ниже для любого непустого подмножества M некоторой группы через (M) обозначаем подгруппу, порожденную множеством M. Далее, K — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей 1, K* — его мультипликативная группа, En — единичная матрица степени n, а ers — (n х п)-матрица с 1 на позиции (r, s) и нулями в остальных местах. Матрицы
trs(x) = En + xers, r,s = 1, 2,... ,n, r = s, x € K,
называются элементарными трансвекциями, мы их будем называть просто трансвекциями. Положим также
trs(K ) = (trs(x) | x € K ), r, s = 1, 2,...,n, r = s.
Группы GLn(K), SLn(K) и их фактор-группы по центру PGLn(K), PSLn(K) определены во введении. Через Dn(K) соответственно Cn(K) обозначим подгруппу всех диагональных соответственно скалярных матриц в GLn (K). По определению
Cn (K ) = {diag(k, k,...,k) | k € K *}.
Линейную группу типа Xn над конечным полем Fq из q элементов будем обозначать через Xn(q).
Лемма 2. Независимо от того, порождается ли группа БЬп(К) своими трансвекциями, справедливо равенство
СЬп(К) = БЬп(К) X {Мад(к, !,..., 1) | к € К *}. (2.1)
В частности, если £ — примитивный элемент конечного поля Гд из д элементов, то
СЬп(д) = БЬп(д) X ((гад(Ь, 1,..., 1)}. (2.2)
Доказательство. Если к € К*, А € СЬп(К) и (е£(А) = к, то определитель матрицы В = А ■ аад(к-1,1,..., 1) равен 1 и, очевидно, А = В ■ сИад(к, 1,... , 1). Лемма доказана. □
Лемма 3. Если группа К * имеет конечный порядок и (п, |К * |) = 1, то
СЬп(К) = БЬп(К) х Сп(К),
в частности,
РОЬп(К) ~ БЬп(К) = РБЬп(К).
Доказательство. В силу предположения (п, |К*|) = 1 пересечение БЬп(К) П Сп(К) единично и любой элемент из К * представляется в виде кп для подходящего к € К*. Остается заметить, что
(гад(кп-1 ,к-1,..., к-1)(гад(к, к,... ,к) = ((гад(кп, 1,..., 1),
причем первая диагональная матрица в левой части равенства лежит в БЬп(К), и применить лемму 2. Лемма доказана. □
Лемма 4. Если К — область целостности, группа К * имеет конечный порядок, содержит элементы порядка больше 2 и её порядок делит п, то группа РОЬп (К) не порождается никаким множеством инволюций.
Доказательство. Пусть Р — подгруппа группы РСЬп(К), порожденная набором инволюций {дг Сп (К) | г € I}, для некоторого множества
1. Тогда дг = агдля подходящих аг € БЬп (К) и ( € Рп (К) по лемме
2. Поскольку дгСп(К) — инволюция, то (аг(г)2 = аг(гаг(-1 (2 € Сп(К). Произведение аг(гаг(-1 лежит в группе БЬп(К). Поэтому йеЬ((аг(г)2) = (е£((2) = кп для некоторого к € К*. Так как К — область целостности и порядок группы К * делит п, то (еЬ((г) = ±1. Таким образом, все матрицы дг имеют определитель ±1, и вместе с подгруппой Сп (К) они порождают собственную подгруппу в ОЬп(К), поскольку определитель всех матриц из Сп (К) равен 1, а по условию теоремы имеются матрицы с определителем, отличным от ±1. Отсюда Р — собственная подгруппа группы РОЬп(К) в силу леммы 1. Лемма доказана. □
Лемма 5. Пусть ( — произвольная диагональная матрица группы СЬп(Ж + гЖ), в — матрица-перестановка, соответствующая циклу (12 .. .п). Тогда для любого ] = 1, 2, . . . , п-1 подгруппа М, порожденная двумя трансвекциями (1), tj(г) и мономиальной матрицей (в, содержит БЬп(Ж + гЖ).
Доказательство. Очевидно, {tj+1j(1),tj+1j(г)) = tj+1j(Ж + гЖ), а подгруппа ((в) действует сопряжениями транзитивно на множестве подгрупп
Т = ^21(Ж + гЖ),..., ^п-1(Ж + гЖ),Ьп(Ж + гЖ)}.
Поэтому все подгруппы из Т лежат в М. Коммутируя между собой подгруппы из Т, получим все подгруппы tkm(Ж + гЖ). Так как кольцо Ж + гЖ евклидово [4, с. 439], то БЬп(Ж + гЖ) порождается всеми своими трансвекциями (см., например, [7, с. 107]). Следовательно, М содержит БЬп(Ж + гЖ). Лемма доказана. □
3. Доказательство основной теоремы
Пусть п — нечетное число. Тогда по лемме 3 имеем изоморфизм РОЬп(Ж + гЖ) ~ РБЬп(Ж + гЖ), поскольку мультипликативная группа кольца Ж + гЖ является циклической группой порядка 4. (2 х 2,2)-порожденность группы РБЬп(Ж + гЖ) при п > 7 установлена в [5; 9], а при п = 5 — в [1]. В [2] доказано, что группа РБЬ3(Ж + гЖ) не является (2 х 2, 2)-порожденной. Таким образом, для нечетного п теорема справедлива.
При п = 4т группа РСЬп(Ж + гЖ) не является (2 х 2, 2)-порожденной по лемме 4, так как порядок мультипликативной группы кольца Ж + гЖ делит п, и она содержит элементы порядка больше 2.
Пусть п = 2. Покажем, что существует гомоморфизм РСЬ2(Ж + Жг) на РБЬ2 (9). Этот факт без доказательства отмечается в [8]. Следующее доказательство принадлежит М. А. Всемирнову.
Мультипликативная группа кольца Ж + Жг порождается элементом г. Поэтому ОЬ2(Ж + Жг) = БЬ2(Ж + Жг) X {(), где ( = Мад(г, 1), в силу леммы 2. Поскольку БЬ2 над евклидовым кольцом и над полем порождается элементарными трансвекциями, то редукция по модулю 3 дает гомоморфизм группы ОЬ2(Ж + Жг) на собственную подгруппу БЬ2(9) X {() индекса 2 группы СЬ2 (9). Так как группа определителей центральных элементов в ОЬ2(9) порождается элементом г, то центр С2(9) группы СЬ2(9) содержится в Б£2(9) X {(). С другой стороны, учитывая равенство г = (1 — г)2 в поле Гд, получаем, что ( лежит в БЬ2(9)С2(9). Таким образом,
БЬ2(9) X {() = БЬ2(9)С2(9).
Следовательно, факторизуя по центру С2(9), получаем гомоморфизм из БЬ2(9) X {() на РБЬ2(9), а не на всю РСЬ2(9). Наконец, берем сквозной
гомоморфизм группы СЬ2(Ж + Жг) на РБЬ2(9). Скалярные матрицы из ОЬ2 (Ж + Жг) лежат в его ядре. Поэтому он корректно определяет гомоморфизм РСЬ2(Ж + Жг) на РБЬ2(9) в силу теоремы о гомоморфизмах [3, теорема 4.2.3].
Приведеное выше доказательство можно схематично изобразить на следующей коммутативной диаграмме.
СЬ2(Ж + Жг) ^ БЬ2(9)С2(9)
4 4
РСЬ2(Ж + Жг) ^ РБЬ2(9)
Группа РБЬ2(9) ~ А6 не является (2х2, 2)-порожденной [6]. Поэтому в силу установленного гомоморфизма группа РОЬ2(Ж + Жг) не является (2 х 2, 2) -порожденной.
Итак, остается установить (2 х 2, 2)-порожденность для п = 2(2т + 1) при т > 1 группы РСЬп(Ж + гЖ) .
Пусть т > 2. Положим
/00 1 0 01
V
00 00
001 000 000
100 0 1 0 у
00 00 00
01 10
001 0 1 0 100
000 000
а = Ы1)£п-1 п(1)(гад(1, -1, -1,1, ■ ■ ■ , 1, -1, -1,1),
в = Мад(г,... ,г, 1,..., 1)т, 7 = тV,
П = в! = (гад(г,... ,г, 1,..., 1) V,
где у диагональной матрицы йгад(г,... ,г, 1,... , 1) ровно 2т+1 единиц и столько же элементов г. Образы матриц а, в, 7 в группе РСЬп(Ж + гЖ) являются инволюциями, причем первые две из них перестановочны. Покажем, что они порождают группу РСЬп(Ж + гЖ). Вычисления показывают, что
ап = ¿п1(-г)Ы1)(гад(1,1, -1, -1,1,... , 1, -1, -1),
а
п2 =
£12(-г)из(1)(1гад(-1,1,1, -1, -1,1,... , 1, -1),
[а, а11 ] = г31(-1)гп-и(-г), ([а, ап ]аП )2 = *з2(г)*41(1)*42(г)*п-12(1), в = (([а,ап ]ап2 )2)п = *4з(г)*52(1)*5з(г)*пз (г), [в, [а,ап]] = 141(-г)151(-г)1п1(-г),
[а, [в, [а, ап]]] = 1п-и(-г), [а, [в, [а, ап]]Г = ¿1п-1(-г), [а, [в, [а, ап]]]в = ¿2п(1), [[в, [а, ап]], [а, [в, [а, ап]]]в] = ¿21«, t2l(г)n = ¿32«, [¿21^32(г)] = ¿31(1),
¿21«^в = ¿23(1), [¿23(1), ¿31 (1)] = ¿21(1).
Итак, трансвекции ¿21(1), ¿21 (г) лежат в группе М = (а, в, 7), матрица Мад(-г,..., -г, 1,..., 1)в7 является матрицей-перестановкой, соответствующей циклу (12 ...п). По лемме 5 трансвекции ¿21 (1), ¿21 (г) и матрица в! порождают группу, содержащую БЬп(Ж + гЖ). Так как определитель матрицы в равен г или -г, в зависимости от четности числа т, то М = СЬп(Ж + гЖ). Следовательно, образы матриц а, в, 7 порождают группу ГСЬп(Ж + гЖ).
Пусть т = 1. В этом случае матрицы а, в, 7 такие:
/ -1 1 0 0 0 0\
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
а=
V 0 0 0 0 1 -1
0 0 0 0 0 г \ 0000 1 0
0 0 0 0 г 0 0001 0 0
0 0 0 г 0 0 0010 0 0
0 0 1 0 0 0 , 7 = 0100 0 0
0 1 0 0 0 0 1000 0 0
1 0 0 0 0 0 1000 1 -1
в=
Ь1 = в7в(а7)2ва^в, Ь2 = (7в)2ава^в^а, Ь3 = ва^в(^а)2в!в,
Ь4 = (ав)2а^вчав^а, Ь5 = (ав)2а^ав^в^а-
(Здесь для поиска матриц Ьг и дг использовались компьютерные вычисления.) Тогда
д1 = (а7)4 = ¿62( ^¿64( 1), д2 = [Ь1,д1] = ¿6l(г)¿62(2 - г),
д3 = д2д^2 = ¿61(2г^62(-г), д4 = д'Ц = ¿15(1)*16(-2),
д5
д4д^3 = ¿25(-г)^2б(2г), д6 = д^"21 д5- = ¿42 «¿45 (2г),
дт = ^а7а)2д1 = ¿32(-1)^34(4г), д8 = дв7~ф = ¿54(4^(-1), до = двд-2д3д-1д-1д2 = ¿52(4-г), дю = ^дзПдз^^4^д^6 = ¿52(4)-
Из двух последних равенств следует, что трансвекция ¿52(-г) лежит в группе М = (а,в,ч). Далее,
¿52(-г)в = ¿25(1), [д1, ¿25(1)] = ¿65( 1),
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1
5 = *65(-1)Т*65(1) =
¿65 (1)в = 112 (1), ¿12(1)^ = ¿23 (1), ¿65(1)^ = ¿21«,
[¿21 (г), [¿12(1), ¿23(1)]] = ¿23(г).
Таким образом, ¿23(1), ¿23(г) € М и ¿гад(г, -г, -г, 1,1,1)в5 — матрица-перестановка, соответствующая циклу (12 .. .п). По лемме 5 транс-векции ¿23 (1), ¿23 (г) и матрица порождают группу, в которой содержится БЬ6(Ж + гЖ). Так как de¿(в) = г, то М = СЬ6(Ж + гЖ). Следовательно, образы матриц а, в, 7 порождают группу РСЬ6(Ж+гЖ).
Теорема доказана.
4. Заключение
Мы завершаем решение задачи о порождении тремя инволюциями, две из которых перестановочны, для групп ОЬп, БЬп, РБЬп, РОЬп над кольцом целых гауссовых чисел Ж + гЖ. В статье рассмотрен случай РОЬп.
Авторы глубоко признательны рецензенту за указанные опечатки и полезные замечания, которые несомненно способствовали улучшению текста статьи.
Список источников
1. О порождении групп РЯЬп(Ж+iЖ) и РЯЬп(Ж+¿Ж) тремя инволюциями, две их которых перестановочны. II / М. А. Всемирнов, Р. И. Гвоздев, Я. Н. Нужин, Т. Б. Шаипова // Математические заметки. 2024. Т. 115, № 3. С. 317-329. https://doi.org/10.4213/mzm14048
2. Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп РЯЬп(Ж + ¿Ж) и РЯЬ„ (Ж + ¿Ж) тремя инволюциями, две их которых перестановочны // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 40. С. 49-62. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.40.49
3. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1982.
4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М. : Наука, 1977.
5. Левчук Д. В. Порождаемость группы РЯЬ7(Ж + ¿Ж) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Вестник НГУ. 2009. Т. 9, № 1. С. 35-38.
6. Нужин Я. Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп // Алгебра и логика. 2019. Т. 58, № 3. С. 426-434. https://doi.org/10.33048/alglog.2019.58.310
7. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М. : Мир, 1975.
8. Тимофеенко И. А. Порождающие мультиплеты линейных групп над кольцом целых чисел : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.06. Красноярск, 2017.
9. Levchuk D. V., Nuzhin Ya. N. On generation of the group PSLn (Z + iZ) by three involutions, two of which commute //J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2008. N 2. P. 133-139.
References
1. Vsemirnov M.A., Gvozdev R.I., Nuzhin Ya.N., Shaipova T.B. On generation of the groups PSLn(Z + iZ) h PSLn(Z + iZ) by three involutions,two of which commute. Mathematical Notes, 2024, vol. 114, no. 3, pp. 289-300. https://doi.org/10.1134/S0001434624030015
2. Gvozdev R.I., Nuzhin Ya.N., Shaipova T.B. On Generation Groups PSLn(Z + iZ) and PSLn(Z + iZ) by three involutions,two of which commute. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2022, vol. 40, pp. 49-62. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.40.49
3. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentals of group theory. Moscow, Nauka Publ., 1982.
4. Kostrikin A.I. Introduction to algebra. Moscow, Nauka Publ., 1977.
5. Levchuk D. V. On generation of the group PSL7(Z + iZ) by three involutions, two of which commute. Bulletin of Novosibirsk State Univ., 2009, vol. 9, no. 1, pp. 35-38.
6. Nuzhin Ya. N. On generating sets of involutions of simple finite groups. Algebra and Logic, 2019, vol. 58, no. 3, pp. 426-434. https://doi.org/10.33048/alglog.2019.58.310
7. Steinberg R. Lectures on Chevalley groups. Moscow, Mir Publ., 1975.
8. Timofeenko I.A. Generating multiplets of linear groups over the ring of integers. Cand. sci. diss. Abstr. Krasnoyarsk, 2017, 72 p. (in Russian)
9. Levchuk D.V., Nuzhin Ya.N. On generation of the group PSLn(Z + iZ) by three involutions, two of which commute. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2008, no. 2, pp. 133-139.
Об авторах
Нужин Яков Нифантьевич, д-р
физ.-мат. наук, проф., Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041,Российская Федерация, nuzhin2008@rambler.ru
Шаипова Татьяна Борисовна, ст.
преп., Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, Российская Федерация, 663431@mail.ru
About the authors Yakov N. Nuzhin, Dr. Sci.
(Phys.-Math.), Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk,660041, Russian Federation, nuzhin2008@rambler.ru
Tatyana B. Shaipova, Sen. Lec., Siberian Federal University, Krasnoyarsk,660041, Russian Federation, 663431@mail.ru
Поступила в 'редакцию / Received 06.06.2024 Поступила после рецензирования / Revised 20.09.24 Принята к публикации / Accepted 14.10.2024
