CC BY
6
Серия «Математика» 2022. Т. 40. С. 49—62
Онлайн-доступ к журналу: http://mathizv.isu.ru
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
Research article
УДК 512.5 MSC 20G15
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.40.49
О порождении групп SLn(Z + iZ) и PSLn(Z + iZ) тремя инволюциями, две их которых перестановочны
Р.И.Гвоздев1, Я.Н.Нужинш, Т. Б. Шаипова2
1 Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация
2 Красноярский научный центр СО РАН, Красноярск, Российская Федерация И [email protected]
Аннотация. М. К. Тамбурини и П. Цукка [10] доказали, что специальная линейная группа размерности больше 13 над кольцом целых гауссовых чисел порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Аналогичный результат для проективных специальных линейных групп размерности больше 6 установили Д. В. Левчук и Я. Н. Нужин [9; 2]. В статье рассмотрены оставшиеся малые размерности. В частности, доказано, что проективная специальная линейная группа размерности, отличной от 5 и 6, над кольцом целых гауссовых чисел тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда ее размерность больше 6. Для размерностей 5 и 6 удалось найти только порождающие тройки инволюций без условия перестановочности двух из них.
Ключевые слова: специальная и проективная специальная линейные группы, кольцо целых гауссовых чисел, порождающие тройки инволюций
Благодарности: Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (соглашение 075-02-2021-1388) и РФФИ (проект 19-01-00566).
Ссылка для цитирования: Гвоздев Р. И., Нужин Я.Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп БЬП(Ж + ¡Ж) и РБЬП(Ж + ¡Ж) тремя инволюциями, две их которых перестановочны // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 40. С. 49-62. https://doi.org/10.26516/1997-7670. 2022.40.49
Research article
On Generation of the Groups SLn(Z + zZ) and PSLn(Z + zZ) by Three Involutions, Two of Which Commute
Rodion I. Gvozdev1, Yakov N. NuzhinlK, Tatyana B. Shaipova2
1 Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation
2 Krasnoyarsk Scientific Center of the Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Krasnoyarsk, Russian Federation
Abstract. M. C. Tamburini and P. Zucca proved that the special linear group of dimension greater than 13 over the ring of Gaussian integers is generated by three involutions, two of which commute (J. of Algebra, 1997). A similar result for projective special linear groups of dimension greater than 6 was established by D. V. Levchuk and Ya. N. Nuzhin (J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2008, Bulletin of Novosibirsk State Univ., 2009). We consider the remaining small dimensions. It is proved that the projective special linear group of dimension other than 5 and 6 over the ring of Gaussian integers if and only if is generated by three involutions, two of which commute when its dimension is greater than 6. For dimension 5 and 6, it was possible to find only generators triples of involutions without the condition that two of which commute.
Keywords: special and projective special linear groups, the ring of Gaussian integers, generating triples of involutions
Acknowledgements: The work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, funded by the Ministry of Education and Science of Russian Federation as part of the activities for the creation and development of regional scientific and educational mathematical centers (agreement 075-02-2021-1388) and RFBR (project 19-01-00566)
For citation: Gvozdev R. I., Nuzhin Ya. N., Shaipov T.B. On Generation of the Groups SLn(Z + iZ) and PSLn(Z + iZ) by Three Involutions, Two of Which Commute. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2022, vol. 40, pp. 49-62. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.40.49
1. Введение
Группы, порожденные тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть (2 х 2, 2)-порожденными. Очевидно, из (2 х
2, 2)-порождаемости какой-то группы следует (2 х 2, 2)-порождаемость любого ее неединичного гомоморфного образа, при этом мы не исключаем того, что две или все три инволюции совпадают. В работе [10] доказана (2 х 2, 2)-порождаемость некоторых классических групп над определенными ^-порожденными областями целостности достаточно большой размерности п, зависящей от параметра (I, в частности, доказана (2 х 2, 2)-порождаемость специальной линейной группы БЬп(Ж + гЖ) над кольцом целых гауссовых чисел Ж + гЖ при п > 14. В работах [9]
и [2] установлена (2 х 2,2)-порождаемость проективной специальной линейной группы РБЬп(Ж + гЖ) над кольцом целых гауссовых чисел Ж + гЖ при п > 8 и соответственно при п = 7. Доказательство в [2; 9] состояло в том, что порождающие тройки указывались в явном виде, более того, при п = Ак + 2 они выбирались из специальной линейной группы ЗЬп(Ж + гЖ). Поэтому для таких размерностей справедлив более сильный результат. При п > 7 и п = Ак + 2 группа БЬп(Ж + гЖ) является (2 х 2, 2)-порожденной. Мы рассматриваем оставшиеся малые размерности п < 6. Доказана
Теорема 1. а) Группа БЬ2(Ж + гЖ) не порождается никаким множеством инволюций.
б) Группы РБЬ2(Ж + гЖ), БЬ3(Ж + гЖ), БЬ4(Ж + гЖ), РБЬА(Ж + гЖ) порождаются тремя инволюциями, но не порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.
в) Группы БЬ5(Ж + гЖ) и РБЬ6(Ж + гЖ) порождаются тремя инволюциями.
Поскольку мультипликативная группа кольца Ж + гЖ циклическая порядка 4, то БЬп(Ж + гЖ) = РБЬп(Ж + гЖ) в случае нечетного п. Поэтому в теореме 1 при п = 3, 5 мы указываем только БЬп(Ж + гЖ). Группа 6X5 (Ж + гЖ) порождается тремя инволюциями, но неизвестно, будет ли она (2 х 2, 2)-порожденной. Группа БЬб(Ж + гЖ) не является (2 х 2, 2)-порожденной [6], но неизвестно, порождается ли она тремя инволюциями. Тем не менее, объединяя теорему 1 с указанными выше утверждениями из [2;9], получаем для групп РБЬп(Ж + гЖ) следующий почти законченный результат.
Теорема 2. При п = 5, 6 группа РБЬп(Ж + гЖ) тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п > 7.
В завершение отметим, что при выборе порождающих троек инволюций мы используем методы статьи [5], где доказан следующий результат. Группа РБЬп(Ж) тогда и только тогда является (2 х 2, 2)-порожденной, когда п > 5.
2. Определения и предварительные результаты
Пусть К — произвольное коммутативное кольцо с единицей 1. Зафиксируем некоторые специальные элементы из общей линейной группы СЬп(К) и ее подгруппы матриц ЗЬп(К) с определителем 1 над кольцом К. Для элементов из проективной группы РБЬп(К) будем также
использовать матричную запись, считая при этом два элемента равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу из 8Ьп(К). Элементарные трансвекции
^(к) = Еп + ке^, г,з = 1,2,...,п, г = з, к е К,
будем называть просто трансвекциями, где Еп — единичная матрица степени п, а е^ — (п х п)-матрица с 1 на позиции (г,]) и нулями в остальных местах. Положим также
и3(Щ = (к) | к е К), г,з = 1,2,...,П, г = з.
Здесь и далее для любого непустого подмножества М некоторой группы через (М) обозначаем подгруппу, порожденную множеством М. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [7, с. 107]).
Лемма 1. Группа БЬп(К) над евлидовым кольцом К порождается подгруппами ^(Я), г,з = 1,... ,п.
Кольцо целых чисел Ж и кольцо целых гауссовых чисел Ж + гЖ, где г2 = -1, евклидовы (см., например, [1, с. 439]), а поскольку ЬГЗ(Ж) = (¿гв(1)) и ЬГЗ(Ж + гЖ) = {Ьгз(1),1гз(г)), то следствием леммы 1 является
Лемма 2. а) Группа БЬп(Ж) порождается трансвекциями
(1),г,3 = 1,...,п.
б) Группа БЬп(Ж + гЖ) порождается трансвекциями ¿^(1), и3(г), г, 8 = 1,... ,п.
В доказательствах о порождении групп БЬп(Ж + гЖ) и РБЬп(Ж + гЖ) определенным набором инволюций будет использоваться матрица
V =
( 0
1 0
0 0 1
о (-1)га+1\
0 0
\ 0 0 ••• 1 0 /
Группа, порожденная матрицей действует сопряжениями транзитив-но на множестве трансвекций
Т = {Ьш((-1)п+1), и+ц(1), г = 1, 2,...,п - 1}
и на транспонированном множестве
Т' = {¿ш((-1Г+1), ¿¿¿+1(1), г = 1,2,... ,п - 1}.
Коммутируя между собой элементы из множества Т или из Т', мы получим все трансвекции (1), г,з = 1,...,п. Поэтому в силу леммы 2а) каждое из множеств Т и Т' порождает группу 5ХП(Ж). Более того, справедлива
Лемма 3. а) Группа БЬп(Ж) порождается матрицей р и одной транс-векцией из множества Т или из множества Т'.
б) Группа БЬп(Ж + гЖ) порождается матрицей р в совокупности с одной трансвекцией из множества Т или из Т' и любой трансвекцией trs(г).
в) Группа БЬп(Ж + гЖ) порождается каждым из множеств Т и Т' в совокупности с любой трансвекцией и3(г).
Как уже отмечалось во введении, утверждение следующей леммы очевидно, но мы фиксируем его еще раз в виде леммы для удобства ссылок в доказательствах.
Лемма 4. Из (2 х 2,2)-порождаемости группы следует (2 х 2,2)-порождаемость любого ее неединичного гомоморфного образа.
Пусть I — идеал кольца К. Тогда естественный кольцевой гомоморфизм рI : К ^ К/1 определяет сюръективный гомоморфизм
ф! : Мп(К) ^ Мп(К/1)
кольца п х п-матриц Мп(К) с обычными операциями сложения и умножения, где для любой матрицы (сщ) € Мп(К) по определению
ф1 : (а,у) ^ (р1 )).
С другой стороны, гомоморфизм р! индуцирует гомоморфизм групп
ср! : СЬп(Щ ^ СЬп(К/1),
рТ : БЬп(Щ ^ БЬп(К/1),
где также определению
: (йгу) ^ (р1 (йгу)).
Д. А. Супруненко называет р/ гомоморфизмом Минковского [8, стр. 95]. Однако, гомоморфизм р! уже не обязан быть сюръективным как гомоморфизм фI.
Пример 1. Пусть К = Ж + гЖ, а I — идеал, порожденный элементом 3. Мультипликативная группа кольца Ж + Жг имеет порядок 4 и порождается элементом г. Поэтому
СЬп(Ж + Жг) = (й(г))БЬп(Ж + Жг),
где
й(г) = йгад(г, 1,..., 1).
Поскольку БЬп над евклидовым кольцом и над полем порождается трансвекциями, то редукция по модулю 3 дает гомоморфизм р! группы СЬп(Ж + Жг) на собственную подгруппу (й(г))8Ьп(9) индекса 2 группы ОЬп(9) (см. доказательство леммы 6 ниже). На этот пример указал второму автору статьи М. А. Всемирнов еще в 2017 г.
Далее, как и в примере 1, линейную группу типа Хп над конечным полем из q элементов будем обозначать через Xn(q).
Лемма 5. Группа PSLn(2) является гомоморфным образом групп SLn(Z + iZ) и PSLn(Z + iZ).
Доказательство. Поскольку фактор-кольцо (Z + iZ)/I по идеалу I, порожденному элементом 1 + г, изоморфно полю из двух элементов и группы SLn(Z + iZ) и SLn(2) = PSLn(2) порождаются трансвекциями в силу леммы 1, то гомоморфизм рj : SLn(Z + iZ) ^ SLn(2) сюръ-ективен. Все диагональные и, в частности, скалярные матрицы лежат в ядре гомоморфизма pi. Поэтому существует гомоморфизм группы PSLn(Z + iZ) на группу PSLn(2). □
Лемма 6. Группа PSLn(9) является гомоморфным образом групп SLn(Z + iZ) и PSLn(Z + iZ).
Доказательство. В евклидовом кольце свойство элемента р быть простым эквивалентно условию максимальности порожденного им идеала, а простое число р £ Z остается простым элементом в кольце Z + iZ тогда и только тогда, когда р = 4k — 1 (см., например, [1, с. 440, 441]). Поэтому фактор-кольцо (Z + iZ)/I по идеалу I, порожденному элементом 3, изоморфно полю из девяти элементов. Группы SLn(Z + iZ) и SLn(9) порождаются трансвекциями в силу леммы 1, следовательно, гомоморфизм pi : SLn(Z + iZ) ^ SLn(9) сюръективен. С другой стороны, имеется гомоморфизм ж группы SLn(9) на группу PSLn(9). Поэтому композиция ■кор задает гомоморфизм SLn(Z+iZ) на PSLn(9), а поскольку все скалярные матрицы лежат в ядре гомоморфизма ■к о р, то существует гомоморфизм PSLn(Z + iZ) на PSLn(9). □
Ниже используются следующие сокращения: аь = ЪаЪ-1, [а,Ь] = aba-1b-1.
3. Доказательство теоремы 1
Случай SL2. В группе SL2(R) над любым коммутативным кольцом с единицей характеристики, отличной от 2, есть только одна инволюция diag(—1, —1), поэтому она не порождается никаким множеством инволюций.
Случай PSL2. Группа PSL2(9) не является (2 х 2, 2)-порожденной [4]. Поэтому в силу лемм 4 и 6 группа PSL2 (Z + iZ) также не является (2 х 2, 2)-порожденной, но она порождается тремя инволюциями
а =0 -), ^ =( —-И 7 = 0 о),
никакие две из которых не перестановочны. Действительно, пусть М = (а,Р,7). По лемме 2а) две матрицы
01)=ар
и
(о0=
порождают группу РБЬ2(Ж) и, в частности, матрица лежит в подгруппе М. Следовательно, в М лежит и матрица
{Л г °0)= ^
Четыре последних матрицы порождают всю группу РЗЬ2(Ж+Жг) в силу леммы 2б).
Случаи БЬз, БЬ4 и РБЬ4. Группы РБЬ3(2) и РБЬ4(2) не являются (2 х 2, 2)-порожденными [3], поэтому в силу лемм 4 и 5 группы БЬ3(Ж + гЖ), БЬ4(Ж + гЖ) и РБЬ±(Ж + гЖ) также не является (2 х 2,2)-порожденными.
Группа БЬ3(Ж + гЖ) (= РБЬ3(Ж + гЖ)) порождается тремя инволюциями, никакие две из которых не перестановочны. В качестве порождающих можно взять инволюции
/ 1 0 0\ / -1 0 0\ / 0 0 1\
а = I 1 -1 О I , 0 = I 0 -10 I , 7 = I 0 -10 I .
\00 -1 ) \ 0 г 1 ) \1 0 0)
Положим М = (а,Р,^). Наша задача — установить равенство М = БЬз(Ж + гЖ). Вычисления показывают, что
(а?)2 = 1з!(г), ^(аР)2^ = Ьз(г),
(а^а/З)2 7)) 2 = *2эН), $2з(-г)Мг)] = t2l(1),
^21(1)7 = Ьз(-1), Ъ2\(- 1)а = йгад(1, -1, -1),
1 0 0 о\ 0 100 1 0 0 0
1 —1 0 0 , ¡3 = 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 —1 0 0 0 0 1 , 7 = 0 1 0 0
V0 0 01 0 010 V 0 0 —1
^{(Иад(1, —1, —7 = (Иад(—1, —1,1), (Иад(—1, —1,1) Р = 132(г), ^32(1)1 = ^12(—г), Ыг)^2з(г)]= Ы—1), [Ыг)Мг)]= Ы—1),
Ы (1),Ьз(1)] = Ь23(1).
Итак, мы получили все трансвекции ^(1(г), где г,] = 1, 2, 3,г = ]. Поэтому М = БЬз(Ж + гЖ) в силу леммы 2б). Что и требовалось показать.
Группа БЬ^^Е+гЖ) порождается тремя инволюциями, никакие две из которых не перестановочны. Следовательно, и группа РБЬ^^Е + гЖ) обладает такими порождающими. В качестве порождающих можно взять инволюции
а =
Действительно, вычисления показывают, что
а1 = г31(1)сИад(1, —1, —1,1),
аа< = Ы—1)Ы1), (аа1)? = Ы—1)112 (1),
а1 (аа*)? а* = Ы1)Ы.—1)Ы.—1),
(оР (аа7 )Р )2 = 1ъ2 (—1)-
Далее сопрягая полученную трансвекцию Ьз2(—1) мономиальными матрицами р и 7 и коммутируя результаты сопряжения, получим все трансвекции (1), г,] = 1, 2, 3, 4, г = ]. Действительно,
Ы — 1)1 = Ы — 1), Ы—1? = Ы—1), Ы1? = Ы1), Ы1)(аа< )-1Ы—1)= Ь1 (—1), (аа< )Ы—1)= Ы—1),
[¿31 (1),Ь4(1)]= Ы(1),
(Ы1)? = 112 (1),
[¿41 (1), ¿12(1)] = ¿42(1),
[¿21 (1), ¿14(1)] = ¿24(1),
(¿34(1))^ = ¿43 (1),
[¿14(1), ¿43(1)] = ¿13(1).
В силу леммы 2а) группа БЬ4(Ж) лежит в подгруппе М = (а, 7). Так как матрица 7 есть произведение трансвекции ¿41(2) на мономиальную матрицу из БЬ4(Ж), то ¿41(2) € М. Сопрягая ¿41(2) мономиальными матрицами из БЬ4(Ж), получим, что все трансвекции ^(г), г,] = 1, 2, 3, 4, г = ^, лежат в М. В силу леммы 2б) М = БЬ4(Ж+гЖ). Что и требовалось показать.
Случай БЬ5. Группа БЬ^(Ж + гЖ) порождается тремя инволюциями, никакие две из которых не перестановочны. В качестве порождающих можно взять инволюции
/ 1 0 0 0 0\
а =
г -1 0 0 0
0 0 -1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Р =
00001 00010 0 0 10 0 01000 10000
7 =
/ 0 0 0 1 0\ 00100 01000 10000 00001
Покажем, что группа М = ) совпадает с БЬ5(Ж + ¿Ж). Пусть
= р. Будем записывать матрицы из М в виде произведения транс-векций и диагональных инволюций. Так,
а = 121(г)йгад(1, -1, -1,1,1),
оУ = г32(г)йгад(1,1, -1, -1,1), (аа^)2 = ¿31 (1), ((аа^)2)^2 = ¿53 (1), [¿53 (1),«31(1)] = ¿51(1).
По лемме 3а) трансвекция ¿51(1) и мономиальная матрица р порождают группу БЬ5(Ж), в частности, в М лежит диагональная матрица Мад(1, -1, -1,1,1). Следовательно, в М лежит и трансвекция
¿21(г) = айгад(1, -1, -1,1,1).
Таким образом, трансвекции ¿51 (^,¿21(2) и мономиальная матрица р лежат в М. По лемме 3б) М = БЬ5(Ж + гЖ).
Случай РБЬб. Группа РвЬ6(Ж + ¿Ж) порождается тремя инволюциями, никакие две из которых не перестановочны. В качестве порождающих можно взять инволюции
а =
/000 0 0 -1 \
0 0 0 0 -1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
7
1 0 0 0 0 0
1 -1 0 0 0 0
1, -1, 1, 1, 1)*21(" -1) = 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 -1 0 0 00
1 0 0 0 0 0
г 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 ,
0 0 0 -1 0 0
0 г -1 0 0 0
где
0 0 0 0 0 -1
1 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0 0 0 1
0
В силу построения матрицы лежат в группе БЬб(Ж + гЖ), а их
квадраты являются скалярными матрицами. Поэтому образы матриц а, в группе РБЬб(Ж + гЖ) являются инволюциями.
Покажем, что группа М = совпадает с РБЬ6(Ж + гЖ). Пусть
в = 7а =
0 0 0 01 0
0 0 0 00 -1
1 0 0 00 -г
0 1 0 00 0
0 0 -1 00 0
0 0 0 1 -г 0
= йгад(1, -1,1,1, -1,1)
0000 1 0
0000 0 1
1000 0 0
0 10 0 0 0
0010 0 0
0001 0 0
Тогда последовательно получаем следующие равенства р? = <Иад(1,1,1, —1, —1,1)и2(г)из(—1), Р&4 = йгад(1,1,1, —1, —1,1^42(1^52(1), рв р°4 = г4з(1^52(1), (Рв р04 у = Ы1)Ы—фб5(—1), [Р, (РвР04)в] = 124(1), г24(1)в2 = гвз(г),
= 125(1)1з5( — 1), $25 (г^35( — 1)^ез(г)} = t65(i),
Ыг)" = Ыг),
$12(1),124(1)]= 114(1), (1и(г)Рв4 )2 = 112 (1), [112 (1),г24(1)]= Ь4(1),
Ы1)а = Ы1),
(Рв Рв4) 114 (—1)165(1) = ы—г), = 141(1)151(1), $24(1),141(1)151 (1)] = 121(1), $41(Ы1 (1),Ь2(1)]= 142(1)152(1), Р ^ Ы—г^52(—1) = Мад(1,1,1, —1, —1,1), Мад(1,1,1, —1, —1,1)ар = Ь21(—1), [Р'Р94,121(1)]= 151(1)-$51 (1),Ь2(1)]= Ь52(1),
Ы^52(1^52( — 1) = ^42 (г), МО" = 1з5(—г), 1б4(г)а = Ьз(г),
[Ыг)М—г)] = Ы1),
$65 (1)М1)]= Ы1), 161 (1)" = Ьб(—1),
[$64 (—),ЫШ24 (1)Г = Ьз(1)-
Таким образом, все трансвекции вида ^(1) лежат в подгруппе М. Далее,
М1)в = ¿31(1),
¿31(1)" = ¿46(1),
[¿21 (1)^1,(1)]= ¿2, (1), 3> 2,
[[*64Н),*42(г)],*2,-(1)] = ¿6^ (1), 3 =2, 6,
[¿51(1), ¿1, (1)]= ¿5,(1), 3 = 1, 5,
[¿31 (1), ¿1; (1)]= ¿3, (1), з = 1, 3,
[¿46(1), ¿6^'(1)] = ¿4^'(1), 3 =4, 6.
Таким образом, в группе М лежат хотя бы одна трансвекция вида Ьгз(г) и множество трансвекций
т = (¿16(1), ¿г+1г(1), г = 1, 2, 3, 4, 5}.
Поэтому М = РБЬ6(Ж + ¿Ж) в силу леммы 3в). Теорема 1 доказана.
4. Заключение
Объединяя теорему 1 настоящей работы вместе с указанными выше результатами статей [2; 6; 9; 10], заключаем, что для БЬп(Ж + гЖ) и РБЬп(Ж + гЖ) остаются нерешенными только следующие задачи о порождении данных групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны, или просто тремя инволюциями.
Задача 1. Порождаются ли группы вЬ5(Ж + гЖ) и РБЬ6(Ж + гЖ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны?
Задача 2. Порождается ли группа БР6(Ж + гЖ) тремя инволюциями?
Задача 3. Порождается ли группа 5Хю(Ж + гЖ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны, или даже просто тремя инволюциями?
Авторы глубоко признателены рецензенту за указанные опечатки и полезные замечания, которые несомненно способствовали улучшению текста статьи.
Список источников
1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М. : Наука, 1977.
2. Левчук Д. В. О порождаемости группы PSL7(Z + гЖ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Вестник НГУ. 2009. Т. 9, № 1. С. 35-38.
3. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 2. С. 192-206. https://doi.org/l0.1007/2FBF02001358
4. Нужин Я. Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 4. С. 422-440.
5. Нужин Я. Н. О порождаемости группы PSL„(Z) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавказский математический журнал. 2008. Т. 10, № 1. С. 68-74.
6. Нужин Я. Н. Тензорные представления и порождающие множества инволюций некоторых матричных групп // Труды ИММ УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 133-141. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-3-133-141
7. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М. : Мир, 1975.
8. Супруненко Д. А. Группы матриц. М. : Наука, 1972.
9. Levchuk D. V., Nuzhin Ya. N. On generation of the group PSLn(Z + гЖ) by three involutions, two of which commute // Журнал СФУ. Серия: Математика и физика. 2008. Т. 1, № 2. С. 133-139.
10. Tamburini M. C., Zucca P. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute // J. of Algebra. 1997. Vol. 195, N 2. P. 650-661.
References
1. Kostrikin A.I. Introduction to algebra. Moscow, Nauka Publ., 1977.
2. Levchuk D.V. On generation of the group PSL7(Z + iZ) by three involutions, two of which commute. Bulletin of Novosibirsk State Univ., 2009, vol. 9, no. 1, pp. 35-38.
3. Nuzhin Ya.N. Generating triples of involutions of Chevalley groups over a finite field of characteristic 2. Algebra and Logic, 1990, vol. 29, no. 2, pp. 192-206. https://doi.org/10.1007/2FBF02001358
4. Nuzhin Ya.N. Generating triples of involutions for Lie type groups over a finite field of odd characteristic. II. Algebra and Logic, 1997, vol. 36, no. 4, pp. 422-440.
5. Nuzhin Ya.N. On generation of the group PSL„(Z) by three involutions, two of which commute. Vladikavkaz. Math. J., 2008. vol. 10, no. 1, pp. 68-74.
6. Nuzhin Ya.N. Tensor representations and generating sets of involutions of some matrix groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 133-141. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-3-133-141
7. Steinberg R. Lectures on Chevalley groups. Moscow, Mir Publ., 1975.
8. Suprunenko D.A. Matrix groups. Moscow, Nauka Publ., 1972.
9. Levchuk D.V., Nuzhin Ya.N. On generation of the group PSLn(Z + iZ) by three involutions, two of which commute. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2008, vol. 1, no 2, pp. 133-139.
10. Tamburini M.C., Zucca P. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute. J. of Algebra, 1997, vol. 195, no. 2, pp. 650-661.
Об авторах
Гвоздев Родион Игоревич,
студент, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, [email protected]
Нужин Яков Нифантьевич, д-р
физ.-мат. наук, проф., Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, [email protected]
Шаипова Татьяна Борисовна,
аспирант, Красноярский научный центр СО РАН, Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, [email protected]
About the authors Rodion I. Gvozdev, Student, Institute of Mathematics and Computer Science, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, [email protected]
Yakov N. Nuzhin, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Institute of Mathematics and Computer Science, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, [email protected]
Tatyana B. Shaipova, Postgraduate, Krasnoyarsk Scientific Center SB RAS, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation, [email protected]
Поступила в 'редакцию / Received 27.12.2021 Поступила после рецензирования / Revised 24.03.2022 Принята к публикации / Accepted 07.04.2022
