О ПОРОЖДАЕМОСТИ ГРУППЫ $PSL_n(Z)$ ТРЕМЯ ИНВОЛЮЦИЯМИ, ДВЕ ИЗ КОТОРЫХ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 68-74

УДК 512.544.2

О ПОРОЖДАЕМОСТИ ГРУППЫ РБЬМ (2) ТРЕМЯ ИНВОЛЮЦИЯМИ, ДВЕ ИЗ КОТОРЫХ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ1

Я. Н. Нужин

Доказано, что проективная специальная линейная группа PSLn(Z), п ^ 2, над кольцом целых

чисел Z тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны,

когда п ^ 5.

Ключевые слова: кольцо целых чисел, специальная линейная группа, порождающие элементы.

Основным результатом статьи является

Теорема 1. Проективная специальная линейная группа РБЬп(2), п ^ 2, над кольцом целых чисел 2 тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п ^ 5.

Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны, будем называть (2х2,2)-порожденными, причем не исключаются случаи, когда какие-то две или даже все три инволюции совпадают. Ясно, что если какая-то группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2х2,2)-порожденной группой, то она также не будет (2х2,2)-порождена. Поэтому в силу гомоморфизма РБЬп(2) на РБЬп(2п) утверждение теоремы для п = 2, 3, 4 вытекает из того, что группы РБЬ2(7), РБЬ%(2), РБЬ4(2) не являются (2х2,2)-порожденными [1]. Для п ^ 5 порождающие тройки инволюций, две из которых перестановочны, группы РБЬп(2) выписываются явно, причем, если п = 2(2к + 1), то порождающие тройки инволюций берутся из БЬП(2). Таким образом, при п ^ 5 и п = 2(2к + 1) получаем более сильное утверждение: группа БЬП(2) является (2х2,2)-порожденной. Ранее [4] М. К. Тамбурини и П. Цукка доказали (2х2,2)-порождаемость группы БЬП(2) при п ^ 14. Теорема 1 анонсировалась в [2].

1. Обозначения и вспомогательные результаты

Здесь фиксируются некоторые специальные элементы из общей линейной группы ОЬп(2) над кольцом целых чисел 2. Для элементов из РБЬп(2) будем также использовать матричную запись, считая при этом два элемента равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу из БЬп(2).

Как обычно, через ¿¿^(к), к £ 2, I = ], будем обозначать трансвекции, т. е. матрицы Еп + квц, где Еп — единичная (п х п)-матрица, а е^ — матричные единицы. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [3, с.107]).

© 2008 Нужин Я. Н.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00824.

Лемма 1. Группа 5ХП(2) порождается трансвекциями Ьц(1), г = г, ] = 1, 2,..., п. Пусть

т =

I 0 0 0

0 0 0

0 0 1

01 10 00

^ =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

1 0 0

\ 1 0 ... 000/ \ 0 0 ... 010/

Матрица т — инволюция, а ^ имеет порядок п и действует сопряжениями регулярно на следующем множестве трансвекций:

М = {¿1„(1), Ъ+н(1), г = 1, 2,..., п - 1}.

Коммутируя между собой трансвекции из множества М, можно получить все трансвек-ции (1). Следовательно, множество М порождает группу 5ХП(2). Более того, справедлива

Лемма 2. Группа 5ХП(2) порождается одной из трансвекций

М1), ¿¿+1г(1), ¿п-1п(1), ¿¿¿+1(1), г = 1, 2, . . . , п - 1,

и мономиальной матрицей п^ для любой (1, — 1)-диагональной матрицы п с условием, что п^ € ЙХП(2).

Здесь и далее под (1, — 1)-диагональной матрицей понимается диагональная матрица с элементами ±1 по диагонали.

В следующем параграфе наряду с матричной записью элементов из групп (2) и Р5ХП(2) будем использовать терминологию групп Шевалле, рассматривая 5Рга(2) и Р<5Рга(2) соответственно как универсальную и присоединенную группу Шевалле типа

Ап-1.

Пусть Ф — система корней типа А; с базой П = {п, Г2,..., Г;}, I = п — 1. Группа Шевалле А; (2) (универсальная или присоединенная) типа А; над кольцом целых 2 порождается своими корневыми элементами хг (1), г € Ф. Для любого г € Ф и Ь = 0 положим

пг (¿) = хг (¿)х-г (—¿-1)хг (¿), пг = пг (1), (—1) = п;.

Отображение

Ь»+1«(Ь) ^ (¿), г = 1, 2,..., I, Ь € 2,

продолжается до изоморфизма группы 5Рга(2) на универсальную группу Шевалле А; (2), а выписанные выше мономиальные матрицы т и ^ являются соответственно прообразами элементов адо и ад из группы Вейля ^ при естественном гомоморфизме мономиальной подгруппы N на группу где адо (г) € Ф- для любого г € Ф+, а ад = адГ1 адГ2 . ..адп. Здесь Ф+ — положительные корни, а Ф- — отрицательные корни. Поэтому лемму 2 можно переформулировать в терминах групп Шевалле. Лемма 3. Группа Шевалле А; (2) порождается любым корневым

х±п (1), Г € П, х±(Г1+_+п)

и мономиальным пт элементами, если ад = адГ1 адГ2 ... адп. В статье приняты следующие сокращения:

(1)

а6 = баб 1, [а, 6] = аба 16 1

2. Порождающие тройки инволюций при п ^ 5

Пусть т и ^ такие же как в первом параграфе. Матрицы т и

т^ =

0 0 . .1 0 0

1 0 . .0 0 0

0 0 . .0 0 1

являются инволюциями, но не всегда лежат SLn(Z) (это зависит от их размерности). Подберем (1,-1)-диагональные матрицы ni и П2 так, чтобы матрицы niT и П2Т^ лежали в SLn(Z), а их образы в PSLn(Z) были бы инволюциями. Выбираем ni, П2 следующим образом:

при n = 4k + 1 (=5, 9,...) ni = П2 =

при n = 2(2k + 1) + 1 (= 7,11,...) ni = -E„, n2 = En

при n = 4k (=8,12,...) ni = En, n2 = diag(En_i, -1);

при n = 2(2k + 1) (= 6,10,...) ni = diag(-E2fe+i, E^+i), n2 = En.

Пусть а = ¿2i ( 1)tn_in( 1) diag(-1,En_2, -1), при n = 5, 6,

а = i2i(1)in_in(1) diag(1, -1, -1, En_6, -1, -1,1), при n ^ 7,

в = niT, при n ^ 5,

Т = п2т^, при n ^ 5.

Утверждения следующей леммы проверяются непосредственно. Лемма 4. Пусть а, в, Т — такие как и выше. Тогда:

1) ав = ва;

2) a, y — инволюции из SLn(Z);

3) в — инволюция из SLn(Z), если n = 2(2k + 1);

4) если n = 2(2k + 1), то в2 = -En и, следовательно, образ в является инволюцией в PSLn(Z).

В следующих параграфах 3-5 показывается, что инволюции а, в, Т порождают группу PSLn(Z) при n ^ 7, n = 6 и n = 5 соответственно. Далее будет полезно следующее замечание. В силу построения вт = пз^ для некоторого (1, - 1)-диагонального элемента пз. Поэтому по лемме 2 доказательство теоремы 1 можно свести к проверке предположения следующей леммы.

Лемма 5. Если группа, порожденная инволюциями а, в, Т, содержит одну из транс-векций

tin(1), ti+ii(1), tn_in(1), tii+i(1), i = 1, 2,..., n - 1, в терминологии групп Шевалле один из корневых элементов

x±n (1), Ti е П, Ж±(п +_+п)(1),

то она совпадает с группой PSLn(Z).

3. Доказательство теоремы 1 при п ^ 7

Пусть а, в, 7) т, П1, П2, Пз такие как и в параграфах 1 и 2, п ^ 7 и I = п — 1. Тогда а = жГ1 (1)ж-п(1)ЛГ2(—1)ДГг-1 (—1), в = П1Т, 7 = П2т^, п = в7 = Пз^-

Вычисления показывают, что при I ^ 6

а

ап = хГ2 (±1)хГ1+—+п (±1)^гэ (—1)Л,П (—1), хГз (±1)х-п (±1)^Г4 (—1)Лг1+-+п (—1),

п2 =

[а, ап ] = хп+г2 (±1)хГ1+—+гг-1 (±1),

([а, ап]ап ) = х^+^+гз (±1)хг2(±1)х^+гз(±1)хГ2+^+п_1 (±1),

в = (([а,аП]а^ )2)п = хГ2+Гз+Г4 (±1)хгз (±1)хгз+Г4 (±1)хгз+-----+Г1 (±1),

[в, [а, ап]] = хГ1+Г2+Гз (±1)хГ1+Г2+Гз+Г4(±1)хГ1+—+п (±1). Пусть I ^ 7. Тогда

[а, [а, аП]]] = хг1+-+гг_1 (±1),

[а, [в, [а, ап]]]в = х-п—.-п(±1),

[[в, [а, ап]], [а, [в, [а, ап]]]в] = хГ1 (±1).

Таким образом, в силу леммы 5 теорема 1 доказана для п ^ 8.

Пусть I = 6. Используя предыдущие вычисления, справедливые при I = 6, получаем

[а [а аП]]] = хг1+-----+г5 (±1)хг 1 +Г2 +Гз +Г4 (±2),

[а, [в, [а, ап]]]в = х^-----гв(±1)х-Гз-Г4-г5-гв(±2),

[[в, [а, ап]], [а, [в, [а, ап]]]в] = хГ1 (±1)хГ1+Г2 (±2), (хп (±1) хГ1 +Г2 (±2))п = хг2 (±1)хг2+гз (±2),

[хГ1 (±1)хп+Г2 (±2) , хГ2 (±1)хГ2+Гз (±2)] = хГ1+Г2 (±1)хГ1+Г2+гз (±2), [О^ хГ1+Г2 (±1)хГ1+Г2+Гз (±2)] - хг1 +Г2 (±2).

Сейчас легко получаем, что корневой элемент хг1 (1) лежит в группе, порожденной инволюциями а, в, 7, и остается только воспользоваться леммой 5. Таким образом, для п ^ 7 теорема 1 доказана.

4. Доказательство теоремы 1 для п = 6

В этом параграфе наряду с матричной записью элементов из группы ) будем

использовать и терминологию групп Шевалле. Это удобно для быстрого контроля матричных вычислений, хотя в некоторых длинных произведениях (коммутаторах), для того чтобы точно указать знак у коэффициента трансвекции (корневого элемента), входящей в правую часть равенства, без матричного представления трудно обойтись.

Пусть а, в, 7, т, П1, П2 такие как и в параграфах 1 и 2. Тогда при п = 6

П1 =^(-1, —1, —1,1,1,1), П2 = Еп, ( —1 0000 0 \

а

11000

0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

V 00000 —1 /

= хг1 ( — 1)х-Г5 ( — 1)Лт1 + -+Г5 (—1)

в=

0 0 0 0 0 —1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 —1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 —1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 = П1т, 7 = 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

/ 0 00 0 0 —1 \

—1 00 0 0 0

0 —1 0 0 0 0 = в7

п - 0 01 0 0 0 П1т ■ =

0 00 1 0 0

V 0 00 0 1 0

= П2т^ = т^,

Г5 •

= П1^г1Н-----+г5 ( — 1)Лг2+гз+г4 ( —1)Лгз ( —1)пг1 пг2 ■ ■ ■ п

Пусть М = (а, в, 7). Вычисления показывают, что

аП = хг2 (±1)хГ1+-----+Г5 (±1)^гз ( — 1)Лг5 ( —1),

2

аП = хгз (±1)х-п (±1)^г4 ( —1)^г1 +-----+Г5 ( —1),

[а, ап ] = хп+г2 (±1)хг1+—+г4 (±1),

[а, ап ]п = хг2+гз (± 1) хг2 + +г5 (±1),

2

[а, ап ]п = хгз+г4 (±1)х-п-г2 (±1),

з

[а, ап ]п = хг4+г5 (±1)х-г2-гз (±1).

Так как корневые элементы хГ1+Г2 (£1) и хГ1+_____+Г4(£2), а также хгз+г4(£3) и х-г1-г2(£4)

перестановочны и их произведения лежат в М для любых £2, £4 = ±1 при подходящих £1, £3 = ±1, зависящих от £2, £4, то положив £4 = —1 и подобрав соответствующим образом £2, получим включение

5 — [а, ап][а, ап]п2[а, ап]-1 = хГ1+Г2(£2)х-г1-г2 (—1)хГ1+Г2(—£2) € М.

При £2 = 1, 5 = пГ1+Г2хГ1+Г2(—2), а при £2 = —1 5 = хГ1+Г2(—2)пГ1+Г2.

Рассмотрим только первый случай, второй рассматривается аналогично, нужно только 5 заменить на 5-1. В этом случае имеем

а5 = х-г2 (±1)х-г5 (±1)х-Г1-Г2 (±2)ЛГ1 (—1)Л(Г4)(—1), в - ([а,ап]пз ■ а5)2 = хГ4(±1)х-Г2-гз(±2),

вп = хг5 (±1)х-Гз-Г4 (±2),

ввп = (вп )в = х-Г1 (±1)хГ2+гз (±2), (ввп)п-1 = хг1 + +Г5 (±1)хг1+г2 (±2),

5((ввп)п-1 )±1 = пг1+г2хг1+-----+Г5 (±1),

(5((ввп)п-1 )±1)2 = Лг1+Г2 ( —1)хгз+Г4+Г5 (±1)хГ1+-----+Г5 (±1),

(5((ввп)п-1 )±1 )2 ■ (ввП)п-1 = Лл +Г2 ( —1)хгз+Г4+Г5 (±1)хг1+Г2 (±2),

((5((ввп)п-1 )±1 )2 ■ (ввп)п-1 )2 = хг1+г2(±4), (хг1+-----+г5 (±1)хг1+г2 (±2)) ' хг1+г2 (±4) = хГ1+-----+Г5 (±2),

(Жг1+-+г8 (±2))п = Ж-Г2 (±2), 2

[ап , (х-г2 (±2))] = Ж-п-Г2 (±2),

(х—Г1— Г2 (±2)) — ХГ1+Г2 (±2)) (Ж+п+Г2 (±2))П — ХГ2+Г3 (±2), ввп ■ (ХГ2+Г3 (±2))± — Ж-Г1 (±1).

Сейчас остается только применить лемму 5. Таким образом, для п доказана.

6 теорема 1

5. Доказательство теоремы 1 для п — 5

Пусть а, в, 7, г, П1, П2 такие как и в параграфах 1 и 2, а п = в7. Тогда при п — 5 матрицы П1, П2 единичные и, следовательно,

/ -1 0 0 0 0 \

110 0 0

а — 0 0 10 0

0 0 0 1 1

\ 0 0 0 0 -1 )

00010 00100 7 — т^ — 0 1000 1 0 0 0 0 00001

Вычисления показывают, что

[а, ап ] —

в — т —

П — ^ —

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

( 0 0 0 0 1 \

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

/ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

— 1 0 1 0 0 , [а, ап ]п — 0 0 1 0 0 ,

1 0 0 1 0 0 -1 0 1 0

V 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

( 1 0 0 0 0\ / 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 , [а, [а, ап]п]п 1 0 1 0 0

0 1 0 1 0 2 0 0 1 -1

V -1 - 2 0 0 1 V 0 0 0 0 1

[а, [а, ап]п] —

[[а,ап]п, [а, [а,ап]п]п_1] — ¿42(1), (¿42(1))^ — ¿25(1), [¿42(1),¿25(1)]в — ¿21(1).

Сейчас остается лишь применить лемму 5.

Литература

1. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика.—1990.—Т. 29, № 2.—С. 192-206.

2. Нужин Я. Н. О (2 х 2, 2)-порождаемости групп Шевалле над кольцом целых чисел // Межд. сем. по теории групп, посвященный 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина.— Екатеринбург, 2001.—С. 168-169.

3. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.—М.: Мир, 1975.—262 с.

4. Tamburini M. C., Zucca P. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute // J. of Algebra.—1997.—V. 195.—P. 650-661.

Статья поступила 16 января 2008 г.

Нужин Яков Нифантьевич Сибирский федеральный университет Красноярск, 660074, РОССИЯ E-mail: [email protected]