CC BY
10УДК 512.544.2
И.А. Тимофеенко
ПОРОЖДАЮЩИЕ ТРОЙКИ ИНВОЛЮЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП РАЗМЕРНОСТИ 2 НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ
Сибирский федеральный университет
Установлено, что группа РОЬ2 (2 + И) порождается тремя инволюциями и не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.
Ключевые слова: кольцо целых гауссовых чисел, линейная группа, порождающие тройки инволюций.
Постановка задачи
Пусть ОЬ2 (2 + 2г) — группа всех обратимых матриц размерности 2 над кольцом целых гауссовых чисел 2 + 21, где г -корень из -1, 8Ь2 (2 + 2г) — её подгруппа матриц с определителем 1, а РОЬ2(2 + 2г), РЖ2(2 + 2Г) — их фактор-группы по центру соответственно. В данной статье для линейных групп размерности 2 над кольцом целых гауссовых чисел рассматриваются следующие задачи:
А. Порождается ли данная группа тремя инволюциями? ((2,2,2) - порождаемость). Б. Порождается ли данная группа тремя инволюциями, две из которых перестановочны? ((2x2,2) - порождаемость).
1. Группа (2 + 21)
В группе 8Ь2(2 + 2г) единственная инволюция
(-1 о ^
V0 -Ъ,
поэтому справедливо
Предложение 1.1. Группа (2 + 21) не порождается никаким множеством инволюций.
2. Группа ОЬ2(2 + 2г)
В группе ОЬ2(2 + 2г) у любой инволюции определитель может быть равен только ±1. Но в ОЬ2 (2 + 2г) есть матрица, определитель которой равен г, например,
(г 0 >
V0 1, .
Значит, справедливо
Предложение 2.1. Группа ОЬ2(2 + 2г) не порождается никаким множеством инволюций.
© Тимофеенко И.А., 2012.
3. Группа РОЬ2 (2 + 2/) В следующих предложениях для элементов группы РОЬ2 (2 + 2Т) используется матричная запись, при этом два элемента считаются равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу, (а нескаларная матрица является инволюцией, если её квадрат равен скалярной матрице).
Предложение 3.1. Группа РОЬ2 (2 + 2/) порождается тремя инволюциями
a =
( 0 1 Л
V1 0J
ß=
(0 i Л
V1 0J
Доказательство. Элементы
7 =
(1 0 Л
V1 "1J
aß =
(1 °Л
v° i J
ßa =
(i °Л
v° 1j
(aß)2 =
(1 ° Л
v° "1J
(ßa)2 =
("1 ° Л
V 0 1J
порождают диоганальную подгруппу PGL2 (2 + Zi), а элементы
7(aß)2 =
(1 0 Л
v1 1J
a7(aß)2a =
(1 1Л
v0 1J
(ßa)17ßa(aß)2 =
(1 0 Л
V i 1J
a(ßa) l7ßa(aß)2a =
(1 Л
v0 1J
порождают все трансвекции. А так как РОЬ2 (2 + 2/) порождается всеми своими диагональными элементами и всеми трансвекциями , то взятые три инволюции порождают всю группу. Предложение доказано.
Лемма 3.1. Для любых трёх нецентральных элементов а,(,у из ОЬ2(С), удовлетворяющих следующим условиям:
1) а/ = (За,
2) элементы а2,(2,у2 лежат в центре ОЬ2(С), справедливо равенство
а 1уа = 3 1у(.
(1)
Доказательство. Из теоремы о жордановой нормальной форме следует, что любой элемент из группы ОЬ2 (С) с точностью до сопряжения имеет вид
либо
Г1 01
V 0 и у
Гг Л
V 0 t,
где t, и е С . Заметим, что элемент
Г1
V0 О
имеет бесконечный порядок, а это невозможно в силу того, что любой элемент из центра ОЬ2(2 + 2г) имеет конечный порядок. Так же t Ф и в силу нецентральности элементов.
С точностью до сопряжения в О^ (С) можно считать, что
а =
Г t 01
V 0 и J
3 =
Га Ь1
с й
где а, Ь, с, й е С. Причем в силу перестановочности первых двух элементов,
а( =
Г at Ы1 Г at Ьи 1
Vси йиJ
V ^ йи J
= (а.
то есть
Ы = Ьи, \Ь(г - и) = 0, си = ^ I с(1, - и) = 0
Возможны два варианта: 1) г = и, 2) Ь = с = 0. Вариант 1) не подходит, так как элемент а нецентральный (г ф и). Следовательно,
Р =
(а 0 л V 0 ё у
а ф ё.
Из условия 2) леммы следует, что
а2 =
г2 0 ] (v
0 и
0 л
0 v
У . у
.2 , 2
для некоторого V е С. Отсюда г = и , следовательно, г = -и, а значит,
(г 0 л
а =
V0 -О
Аналогично
Р =
а
0 л
V 0 -а у
Далее, пусть
7 =
(я х^
.У
тогда
(я х Л (г 0 Л (я
а 7а =
0 (-г)-1
^ V
У 2
V0 -гу
-х
У
а- 0 0 (-а)-1
я х
У
Л (
а
0 Л
V 0 -а у
= Р7
Лемма доказана.
Лемма 3.2. Любая подгруппа М, порожденная тремя нецентральными инволюциями из группы РОЬ2(2 + 2г) над кольцом целых гауссовых чисел 2 + 21, две из которых перестановочны, имеет следующую структуру:
где
М =<7,5>-<а,Р>, а2 = р2 =72 =82 = {ар)2 = а7а8 = р7р8 = 1.
(2) (3)
Более того, подгруппа М и группа М либо конечна, либо М =<7,8>П <а,р> ,
где "□ "- полупрямое произведение групп, группа слева от "□ " является ядром полупрямого произведения.
Доказательство. Рассмотрим три нецентральные инволюции а, (у группы РОЬ2(2 + 2Т), первые две из которых перестановочны. Тогда их прообразы при гомоморфизме ОЬ2(2 + 2/) ^РОЬ2(2 + 2/) удовлетворяют условиям из леммы 3.1. Следовательно, верно равенство (1), которое гомоморфизм преобразует в ауа = (у/ = д. Поэтому равенства (3) верны.
В силу равенств: ау = 5а, (у = д(, (5 = у/ любое слово из подгруппы М имеет один из следующих четырех видов:
у5 ... уд£, у5 ... у5ув, 5у5 ... уд£, 5у5 ... уду£,
где £ = \,а,Р,аР.
Следовательно, выполняется и равенство (2) и, более того, подгруппа
< у, д >=< уд > □ <у>
нормальна в М . Покажем, что группа М либо конечна, либо М =< у,д >□ <а,Р>.
Любой элемент из подгруппы <у,5 > имеет вид (уд)к или (у5)ку.
Если (уд)к е<а,(>, то (уд)2к = 1 и, следовательно, группа М конечна.
Пусть (уд)ку е<а/ >. Тогда (уд)ку = а,3,а( или 1. Если (уд)у = а, то в силу тождества д = ауа получаем равенство (ду)к д = а(уд)к уа = а. Отсюда (уд)2к+1 = (уд)ку(ду)кд = аа = 1 и, следовательно, группа М конечна. Случай (уд)ку = Р подобен. Если (уд)ку = а/ ,то (уд)к = а(у. Отсюда
(уд)2к = а/уа/у = рауару = (д/у = ((урру = уу = 1 и, следовательно, группа М конечна. Лемма доказана.
Предложение 3.2. Группа РОЬ2 (2 + 2/) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.
Доказательство. В любой порождающей тройке инволюций группы РОЬ2(2 + 2/) не может быть центральной инволюции, в силу простоты группы А, которая является гомоморфным образом группы РОЬ2 (2 + 2Т) . С другой стороны, группа А6 не может быть гомоморфным образом группы М из леммы 3.3. Следовательно, группа РОЬ2(2 + 2/) не может порождаться тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Предложение доказано.
4. Группа Р8Ь2(2 + 2г)
Предложение 4.1. Группа Р8Ь2 (2 + 2/) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.
Доказательство. Известно [2], что Р8Ь2(9) не порождается тремя инволюциями две
из которых перестановочны. А так как существует гомоморфизм Р8Ь2(2 + 2г) ^ Р5Ь2(9), то Р8Ь2 (2 + 2г) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Предложение доказано.
5. Группа (2 + 2г)
Через (2 + 2г) обозначим подгруппу матриц из ОЬ2(2 + 2г) , определитель которых равен ±1.
Предложение 5.1. Группа (2 + 2г) порождается тремя следующими инволюциями:
а =
(0 1Л
V1 0у
Р =
(-1 0 Л
V1 +г 1 у
7 =
(-1 0 Л
V г 1 у
Доказательство. Так как
7Р =
(1 0 Л
V1 1 у
а7Ра =
(1 1Л
V0 1 у
и ёвг(а) = -1, то (а,Р,7(а,7Р,а7Ра) = ОЬ2 (2). Следовательно,
(а,Р,7)ъ8 =
(-1 0 Л
V 0 1у
а так как
и
87 =
(1 0 Л
Vг 1 у
а87а =
(1 О
V0 1 у
то {а, Р, 7) = (2 + 2г).
Выводы
Пусть G - одна из следующих групп:
ОЬ2 (2 + 2г), РОЬ2 (2 + 2г), Ж2 (2 + 2г), РЯЬ2 (2 + 2г).
Тогда ответы на приведенные ранее задачи для группы G указаны в табл. 1, где "+" означает положительное решение, "-" - отрицательное решение, "?" - ответ неизвестен.
Таблица 1
Задача GL2 (Z + Zi) PGL2 (Z + Zi) SL2 (Z + Zi) PSL2 (Z + Zi)
(2,2,2) - + - ?
(2 x 2,2) - - - -
Библиографический список
1. Нужин, Я.Н. Порождающие тройки инволюций линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел / Я.Н. Нужин, И.А. Тимофеенко // Владикавказский матем. журнал. 2009. С.59-62.
2. Нужин, Я.Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики II // Алгебра и логика. 1997. № 4. С. 422-440.
Дата поступления в редакцию 31.01.2012
I.A. Timofeenko
GENERATING TRIPLES INVOLUTIONS OF LINEAR GROUPS OF DIMANTION 2 OVER GAUSSIAN INTEGER
Siberian Federal University, Krasnoyarsk
It is proved that the group pgl2 (Z + Zi) is generated by three involution and it is not generated by three involutions, two of which commute.
Key words: gaussian integers, special linear group, generating triples.
