CC BY
17УДК 512.542+512.544
Я.Н. Нужин
ПОРОЖДАЮЩИЕ МУЛЬТИПЛЕТЫ ИНВОЛЮЦИЙ
Сибирский федеральный университет
Приводится краткий обзор результатов о порождающих множествах инволюций с определенными свойствами конечных простых групп и линейных групп над кольцом целых чисел Z. С использованием неравенства Скотта находится минимальное число порождающих инволюций i(G) группы G, произведение которых равно единице, в случаях, когда G совпадает с одной из следующих групп PSL (2") , PSU3 (22"), SL6 (Z).
Ключевые слова: конечная простая группа, линейная группа, кольцо целых чисел, порождающие тройки инволюций.
Порождающие мультиплеты простых групп
В силу известного результата У. Фейта и Дж. Томпсона любая конечная группа нечетного порядка разрешима. Поэтому конечная простая неабелева группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. С другой стороны, минимальное число порождающих инволюций конечной простой неабелевой группы не меньше тройки. В 1978 г. А. Вагнер [1] заметил, что для группы PSU3(9) минимальное число порождающих инволюций равно 4. Впоследствии оказалось, что она является единственной конечной простой неабелевой группой, не порождаемой тремя инволюциями, см. работы Г. Миллера [2], Ф. Дала Вольта [3], Г. Малле, Дж. Саксла, Т. Вейгеля [4] и автора [5]. В [4] также была сформулирована задача.
A. Для каждой конечной простой неабелевой группы G найти минимум числа сопряженных порождающих инволюций ic (G) таких, что их произведение равно 1.
Задача А и следующая записаны автором статьи в "Коуровской тетради" [6, вопрос
14.69].
Б. Для каждой конечной простой неабелевой группы G найти минимум числа порождающих инволюций i(G) таких, что их произведение равно 1.
Очевидно, i(G) < ic(G) и, если группа порождается тремя (сопряженными) инволюциями, то i (G) < 6 (соответственно ic (G) < 6). С другой стороны, из простоты группы G легко следует, что i(G) > 5. Таким образом, для любой конечной простой неабелевой группы G
5 < i(G) < 6, при G Ф PSU3 (9).
Для группы G = PSU3(9), в которой один класс сопряженных инволюций, В.В. Латышев c использованием пакета GAP установил равенства ic (G) = i(G) = 7 и даже указал явно в матричном виде такие семерки порождающих инволюций.
Задачи А и Б тесно связаны со следующим, уже решенным, вопросом В.Д. Мазурова [6, вопрос 7.30].
B. Какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны?
© Нужин Я.Н., 2011.
Действительно, если группа G порождается тремя (сопряженными) инволюциями а , ß, у, такими, что aß = ßa, то в качестве пятерки порождающих инволюций, произведение которых равно 1, можно взять aß,у,у,ß,а и тогда i(G) = 5 (соответственно ic(G) = 5 ).
Согласно классификационной теореме конечные простые группы исчерпываются следующими группами: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, группы лиева типа над конечными полями, 26 спорадических групп.
Для знакопеременных групп и групп лиева типа над конечными полями ответ на вопрос В дал автор данной статьи [5], [7-10]. Спорадические группы рассматривались рядом авторов различными методами, особых успехов здесь достиг А.В. Тимофеенко, его программы и компьютеры большой мощности позволили явно указать порождающие тройки инволюций, две из которых коммутируют, для 24 спорадических групп в их подстановочном представлении. В.Д. Мазуров [11] единообразно методами теории характеров получил ответ на вопрос В для всех спорадических групп.
Конечная простая группа G порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, тогда и только тогда, когда она отлична от следующих групп:
1) знакопеременные группы:
A , A7 , А '
2) группы лиева типа над полем характеристики 2:
PSL3(q), PSU3(q), PSLM), PSUt(q)\
3) группы лиева типа над полем нечетной характеристики:
PSL3(q), PSU3(q), PSL2(7), PSL2(9), PSp4(3);
4) спорадические группы:
Mu, M22, M23, McL.
Для нахождения числа i(G) остается исследовать исключительные группы из указанного выше списка. Первый результат в данном направлении получила в 1999 г. Т.В. Дубин-кина [12], установив равенства
i( PSL3 (2n)) = i( PSU3 (22n)) = 6.
Заметим, что группы PSL3 (2n) и PSU3 (22n) имеют по одному классу сопряженных инволюций, поэтому для них i = ic.
В 2001 г. для исключительных знакопеременных и спорадических групп число i(G) было найдено А.В. Тимофеенко [13] и В.А. Шмидтом [14] с использованием пакета GAP. Оказалось, что i( A) = 5 и i(G) = 6, если G является одной из групп
A, A, Mi, M22, M23, McL.
В диссертации Дж.М. Уорда 2009 года [15] (см. также [6, примечания к вопросу 14.69]) число ic(G) найдено для знакопеременных, спорадических групп и для групп PSLn (q), при нечетном q, а для n > 4 при дополнительном ограничении q ^ 9, кроме того, для n = 6 еще и при q ф 3 (mod4). Сформулируем его результаты.
Число ic равно 6 для групп ми, ми, м22, м23, McL, для остальных спорадических групп оно равно 5.
Число ic равно 6 для групп Л7, Л, Лг, для остальных знакопеременных групп Лп при " > 5 оно равно 5.
Заметим, что по сравнению с числом i среди знакопеременных и спорадических групп количество групп, для которых число ic равно 6, увеличилось на два; это группы Л12 и
м12 .
Число ic равно 5 для групп PSLn (q) при " > 4, " Ф 6 и нечетном q Ф 9.
Если q нечетно, то ic (PSL (q)) = 5 при " = 1 (mod3) и ic (PSL (q)) = 6 при " = 0 или 2 (mod 3).
В группах PSL (q) один класс сопряженных инволюций, поэтому для них i = ic = 5 при </Ф 7,9, а если <7 = 7,9, то i=ic=6 в силу изоморфизмов PSL2{1) □ PSL3(2), PSL2(9) I A() и указанных выше результатов.
Таким образом, задача А еще далека от полного решения, а задачу Б осталось рассмотреть только для групп
PSL4(2m), PSUA(22m), PSU3(p2m), p > 2 (с учетом изоморфизма PSp4(3) □ PS!I4)).
Порождающие мультиплеты линейных групп над Z
Здесь рассматриваются аналоги вопросов Б и В для групп sl , PSL , gl , PGL над кольцом целых чисел Z .
Группу G будем называть (2,2,2) -порожденной ( (2 х 2,2) -порожденной), если она порождается тремя инволюциями (соответственно тремя инволюциями, две из которых перестановочны).
В 1890 г. Р. Фрике и Ф. Клейн [16] установили, что группа PSL2 (Z) является свободным произведением групп порядка 2 и 3 . Группа SL2(Z) имеет единственную инволюцию diag (-1,-1). Поэтому группы SL2 (Z) и PSL2 (Z) не порождаются никаким множеством инволюций. М. Тамбурини и П. Цука [17] показали, что группа SLn (Z) при " > 14 является (2 х 2,2) -порожденной. Автор [18] доказал, что группа PSLn (Z) тогда и только тогда (2 х 2,2) -порождена, когда " > 5. В [19] методом работы [18] установлен аналогичный результат и для группы GLn (Z). Порождающие множества инволюций линейных групп размерности 2 и 3, 4 рассматривались соответственно в [20] и [21].
Суммируя приведенные выше результаты и учитывая, что в [18] порождающие инволюции группы PSLn (Z) при " Ф 2(2r +1) выбирались из SLn (Z), получаем следующее утверждение.
Для групп SL , PSL , gl , PGL над кольцом целых чисел ответы на вопросы об их (2,2,2) и (2 х 2,2) -порождаемости, а также на вопрос о минимальном числе порождающих инволюций, произведение которых равно 1, известен, исключая лишь группы SL6 и sl0. Результаты собраны в табл. 1.
Таблица 1
G (2,2,2) (2 x 2,2) i (G)
sl2 - - -
psl2 - - -
gl2 + - 6
pgl2 + + 5
sln, PSLn, GLn, PGLn, n = 3,4 + - 6
sln, n > 5, n * 6,10 + + 5
SL6, SL10 ? ? ?
PSLn, GLn, PGLn, n > 5 + + 5
В следующем параграфе доказывается, что г(8Ь6(2)) > 6 и, следовательно, группа 8Ь6 (2) не является (2 х 2,2) -порожденной .
Аналоги вопросов Б и В представляют интерес для всех групп Шевалле над над кольцом целых чисел. В частности, в "Коуровской тетради" автором записан следующий вопрос.
Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел 2 порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны? ([6, вопрос 15.67])
Неравенство Скотта и его применение
Пусть неприводимая подгруппа О общей линейной группы ОЬп (К) над полем К порождается элементами g,...,gí, с условием = 1. Через ё(gi) обозначим размер-
ность подпространства неподвижных элементов Уп(gi) = (V е Уп | gjv = V}, где Уп — линейное
пространство размерности п над полем К. В силу результата Л.Л. Скотта [22, теорема 1] выполняется неравенство
d(gl) +... + d(gk) < (к-2)и. (1)
Следующий результат получен в [12], здесь приводится короткое его доказательство с применением неравенства (1).
Теорема 1. г( Р8Ь3 (2п)) = /(РШ3 (22п)) = 6.
Доказательство. Группы 8Ь3(2п) и ОЬ3(2п) имеют по одному классу сопряженных инволюций с представителем
g =
(10 0 ^ 0 1 0 1 0 1
у
Очевидно, ё(g) = 2. Отсюда любая неприводимая подгруппа из ОЬ3(2п) не может порождаться пятью инволюциями, произведение которых равно единице, в силу неравенства (1). Центр группы ОЬ3 (2п) нечетен, поэтому для групп Р8Ь3 (2п) , Р8Ц3 (22п) число I (О) равно пяти тогда и только тогда, когда оно равно пяти для некоторых их (неприводимых) прообразов в ОЬ3 (2п). Остается заметить, что для конечной простой группы О, отличной от Р8из (9), справедливы неравенства 5 < I(О) < 6. Теорема доказана.
Теорема 2. i(SL6 (Z)) > 6.
Доказательство. Любая инволюция из SL6(Z) сопряжена в группе GL6(C) (над полем комплексных чисел) с одной из следующих трех инволюций:
a = diag(-1,-1,1,1,1,1),
b = diag(-1,-1,-1,-1,1,1),
c = diag(-1,-1, -1, -1,-1,-1).
Ясно, что если элементы gx,...,gk из GL6(C) порождают неприводимую подгруппу, то элементы ,.,±g также будут порождать неприводимую подгруппу. Очевидно, d(a) = 4, d(b) = 2, d(c) = 0, d(bc) = 4. Поэтому d(g) +...+ d(g5) > 20, если g,...,g5 являются инволюциями из SL6(C) и их произведение равно единице. Если подгруппа, порожденная элементами g,...,g5 неприводима, то правая часть неравенства (1) равна 18. Таким образом, i(SL6(Z)) > 6. Теорема доказана.
Из теоремы 2 вытекает
Следствие. Группа SL6 (Z) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №09-01-00717.
Библиографический список
1. Wagner, A. The minimal number involutions generating some threedimensional groups / A. Wagner // Boll. Un. Mat. Ital. 1978. Vol. A 15, .5. P. 431-439.
2. Miller, G. On the groups generated by two operators /G. Miller // Bull. Amer. Math. Soc. 1901. Vol. 7. P. 424-426.
3. Dala Volta, F. Grouppi sporadici generati da tre in involuzion / F. Dala Volta // RILS A 119. 1985. P. 65-87.
4. Malle, G. Generation of classical groups / G. Malle, J. Saxl, T. Weigel // Geom. Dedicata. 1994. Vol. 22, .2. P. 675-685.
5. Nuzhin, Ya.N. Generating elements of simple groups and their applications / Ja.N. Nuzhin // Proceedings of III International Conference on algebra of memory M.I.Kargapolov (23-28 August, 1993) - Berlin - New-York: Walter de Gruyter, 1996. P. 101-120.
6. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). - 17-е изд., дополненое. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010.
7. Нужин, Я.Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, 2. С. 192-206.
8. Нужин, Я.Н. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Математические заметки. 1990. Т. 51, 4. С. 91-95.
9. Нужин, Я.Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. 1997. T. 36, 1. С. 77-96.
10. Нужин, Я.Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. 1997. T. 36, 4. С. 422-440.
11. Мазуров, В.Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, 1. C. 193-198.
12. Дубинкина (Моисеенкова), Т.В. Об одном свойстве групп PSL3(2") , PSU3(22") // Вестник Красноярского гос. техн. ун-та. - Красноярск: КГТУ, 1999. Вып. 16. С. 19-34.
13. Тимофеенко, А.В. О строго вещественных элементах конечных групп // Фунд. и прикл. ма-тем. 2005. Т. 11, 2. С. 209-218.
14. Шмидт, В.А. О порождающих множествах инволюций знакопеременных и спорадических групп // Материалы XXXIV науч. студ. конф.: сб. ст. - Красноярск: КГУ, 2001. С. 139-144. (J.Ward, PhD Thesis, QMW, 2009)
15. Ward, J.M. Generation of simple groups by conjugate involutions / J.M. Ward. PhD Thesis. -Queen Mary college, University of London, 2009.
16. Fricke, R. Vorlesungen uber die Theore der Elliptischen Modul Funktionen / R. Fricke, F. Klein. -B. 1,2. - Leipzig: Teubner, 1890, 1892.
17. Tamburini, M.C. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute / M.C. Tamburini, P. Zucca // J. of Algebra. 1997. Vol. 195, 2. P. 650-661.
18. Нужин, Я.Н. О порождаемости группы PSLn (Z) тремя инволюциями, две из которых перестановочны //Владикавказский матем. журнал. 2008. Т. 10. Вып. 1. С. 68-74.
19. Ахмедова, Ш.А. Порождающие мультиплеты группы GLn (Z) / Ш.А. Ахмедова, Я.Н. Нужин //
Алгебра, логика и приложения: труды межд. алгебраической конф. - Красноярск. 20010. С. 70.
20. Нужин, Я.Н. Порождающие тройки инволюций размерности 2 над кольцом целых чисел /Я.Н. Нужин, И.А. Тимофеенко // Владикавказский матем. журнал. 2009. Т. 11. Вып. 4. С. 59-62.
21. Моисеенкова, Т.В. Порождающие мультиплеты инволюций групп SLn (Z) и PSLn (Z) // Труды института математики и механики УрО РАН. Т. 16. №3. 2010. C. 195-198.
22. Scott, L.L. Matricies and cohomology // Ann. of Math. V. 5. 1977. C. 195-198.
Дата поступления в редакцию 20.10.2011
Ya.N. Nuzhin GENERATING MULTIPLES INVOLUTIONS
We give a brief overview of the results about generating sets of involutions with certain properties of finite simple groups and linear groups over the ring of integers Z . Using the Scott inequality it is found the minimal number of involutions i(G) of a group G, whose product is equal to unit, when G coincides with one of the groups PSL (2"),
PSU3 (22"), SL6 (Z).
Key words: Finite simple group, linear group, ring of integers, generating triples of involutions.
