О полной стабилизации течения в пограничном слое при небольших сверхзвуковых скоростях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м V 1 9 74 №2

УДК 532.526.3

О ПОЛНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ НЕБОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

В. А. Кузьминский

Получены значения температуры охлаждаемой поверхности и параметра отсоса, обеспечивающие при небольшой сверхзвуковой скорости потока на внешней границе устойчивость ламинарного течения в пограничном слое относительно малых двумерных возмущений до сколь угодно больших чисел Рейнольдса.

1. В работах [1—3] проведены расчеты характеристик полной стабилизации течения в пограничном слое. В этих работах используется предположение о том, что фазовая скорость возмущений достаточно велика, чтобы вязкий критический слой и вязкий слой на стенке были асимптотически различимы при стремлении числа Ие к бесконечности. Это имеет место при умеренных и больших сверхзвуковых скоростях потока на внешней границе пограничного слоя. Когда число М внешнего течения близко к единице, фазовая скорость возмущений становится малой, и оба вязких слоя совпадают. Этот случай и рассматривается в настоящей статье.

Предположим (например, [4]), что нестационарные возмущения имеют вид

Я1 = £о (•**> ■*;) ехр [2ти (х* - сТ)/Х] и являются малыми

(е0<1. К|~0(1)).

Здесь ер, тк, с*, X, х\, х\, — параметр, характеризующий величину амплитуды; амплитуда; фазовая скорость (с* = с* + ¿с*); длина волны возмущений; пространственные координаты вдоль и по нормали к стенке и время соответственно. Звездочкой помечены размерные величины, а черточкой — характеристики основного стационарного течения в пограничном слое. Предполагается е0 настолько малым, что для описания возмущений достаточно линеаризованной системы уравнений движения газа.

Вместе с граничными условиями

o>k(x*v х'2 - со)-* 0, ю4(л:„ 0) = 0 (1)

для амплитуд возмущений получается задача на собственные значения. В случае нейтральной устойчивости (с* = 0) может существовать минимальное число Re = ReKp>0, являющееся собственными значением, такое, что при BcexRe<ReKp течение является устойчивым. Величина ReKp зависит от граничных условий для основного течения, в частности, температуры стенки или скорости отсасывания газа через поверхность тела. Рассмотрим задачу отыскания таких граничных условий, при которых ReKp оо, т. е. задачу о полной стабилизации ламинарного течения.

2. Перейдем к построению решения задачи. Полагаем:

Rer'<«<l, с = -^<1,М~0(1), (2)

2тс§ г т

где а = -у-; 8 и и — толщина пограничного слоя и скорость на его

внешней границе; Res — число Рейнольдса, образованное по толщине 8 и параметрам течения на внешней границе; М — числоМ.

Первое условие в соотношениях (2) означает, что рассматриваются возмущения с длиной волны существенно большей, чем толщина пограничного слоя, и существенно меньшей характерной длины обтекаемого тела. Соотношения (2) позволяют упростить систему уравнений движения в различных характерных областях течения. Решение будем искать методом сращиваемых асимптотических разложений. Из вида возмущений следует, что характерным масштабом изменения в направлении х* является длина волны к.

Фиг. 1

Рассмотрим область 3 (фиг. 1) с масштабами л:* ~ X, х2 > 8. Вводим в этой области переменные и функции:

Ъ=иФ,(у,)еи р*=7»рл{уь)еи Т*-Г*08 (уг)еи (3)

?* -=рхГв(у3)е1, е1 = ехр2ы(х — >

где р, р, Т, су, ии и2 — возмущения давления, плотности, температуры; удельная теплоемкость, продольный и нормальный компоненты скорости возмущений соответственно. Индексом оо помечены характеристики невозмущенного течения на внешней границе

62

пограничного слоя. Подставив (3) в систему уравнений движения и отбрасывая члены порядка (a Reí)-1 и меньшие, для амплитуд в области 3 получим систему уравнений:

*/В + Ф; + *(1-С)(Л-О3)=О,

ТМ2( 1 -С)/3 + /73 = 0,

гтл^(1-с)Ф3 + />з = 0,

í(i-c)e3+(T -!)(//, + ag=o.

(4)

Решение системы (4), удовлетворяющее первому условию (1) для дозвуковых возмущений (с>1— М-1, см. [5]), имеет вид:

/3 = Л<?2, Ф3 = М /1-М2(1 -с)2 е2, 63 = - Л (Т - 1) М2 (1 - с) е2,

р3 = - Л(1-с)тМ^2, е2 = ехр(- V"! -М2(1 -с)*.у3),

(5)

где Л — постоянная интегрирования, у = ср/сТ1.

Решение (5) не удовлетворяет второму условию (1). Рассмотрим область 2 (фиг. 1) с масштабами х\— X, х\— 8 и введем переменные и функции:

х\ = 1х, л:*3 Res = xQ, t*=U~nt, х*2 = Ъу2, и\ = Uf2(y2)eu 1Ь = иаФг(у2)еи Т* = ГМуг)еи р* = р*рмеи Р* = Рnr2(y2)eu u\ = Uw{x0, у2), ulRe¡ = Uv(x0, у2), р* = р^ р(х0. Уг)> Т* = Т*со Т (х0, у2).

(6)

Подставив (6) в линеаризованную систему уравнений движения и отбрасывая члены порядка (а бег)-1 + а2, для амплитуд возмущений в области 2 получим систему уравнений:

+ % + i (® - с) (р2 - УТ) - Ф2Т'/Т = о, ТМ2 [i {w - с) f2 + W' ф2] + iTp2 = О, р\ = О, t(w-c) б2 + Т' Ф2 + (Т - 1) Т (if2 + Ф;> = О,

(7)

где штрих означает дифференцирование по у2.

Выбор нужного решения системы (7) осуществляется условиями асимптотического сращивания с решением (5) системы уравнений (4) области 3. Соответствующее решение системы (!) имеет вид

/>2 = --ЛтМ2(1-с), /2 = i [w' Ф2 — i (1 — с) АТ\ (w — с)-1, 62 = IT' Ф2 (w - с)-1 - (т - 1) ЛМ3 Т(1—с),

Ф2 = i A (w - с) {Vi ~ М2 (1 - cf (1 - сГ1 а-1 + (1 — с) [ф (у2 - уХ1 ~

- Y ln (у2 -уе) 1 + (1 - с) (у2 - ус) Г [!п (у2 ~ус) - 1] -

00

-у2 (1 - с) [(1 - с)~2 - М2] + (1 - с) J ln (y2-yc)-\]{y,-yc)dy2},

(8)

где

Ус = У2 |«=г, t = (Уз —Ус)2 [Т2 - с)~2 - (1 - сГЧ-

Здесь и ниже индексом с помечены величины, соответствующие значению координаты у2 такому, где тю = с.

При т) = у2 — ус 0 амплитуда продольной скорости возмущений /2 имеет логарифмическую особенность, а амплитуда температуры 6 2—алгебраическую, порядка Чтобы устранить эти особенности и удовлетворить второму граничному условию (2), предположим, что вблизи обтекаемой стенки существует область 1 (фиг. 1), толщиной порядка е8, в которой инерционные члены одинаковы по порядку с вязкими. Из этого следует с~0(е), & ==■ (2я/аИе)1/3. Последнее означает, что вязкий критический слой (окрестность точки у2—ус) совпадает асимптотически с вязким пристеночным слоем. Введем в области 1 переменные и функции

(9)

Хх — \Х, х2 = еЪуи с = и^и/^у^е^ р* = рюг1(у,)е1)

и* = и™ (лг0, уг), и2 Ие 8 = 13ъ (х0, у2), р* = р^ р (д;0, у,), .

т* = ГооТ(х0, у2), где с0 — О (1).

В соответствии с внутренним представлением (см. [6]) решения (8) будем искать /и Фг, 0! в области 1 в виде

Я\ = Яи £ 1 + Яи 1п £ + Яи + Яи е 1п г +... .

(10)

Подставляя (9) и (10) в систему уравнений движения и полагая для простоты число Прандтля равным единице, получим (см. приложение):

Л

А ТС™С~Т(™С

1пе +

¿Тс №щ, Тур яУщ ни Т а»'

с ' т ""и.

(/?2 — I 1п К) — <ЗхИ)'с

•V 1 — М2 (1 — С)2

А+в

= 1А

. Т„ 9„-Т91В ,

— I-—--- /XI

Тс , Тстс-Тст . Те Ти -Н--7-72-- У 1п £ + Т^-г- Яг -

гхе>( /гни/ кттмс

Тсс0

у (____, „ Тс™с

н «1®; +

2т

'2

+

■У 1—М'(1 - су 1ТС

& Тчд

X

Х(/?2 ~1у\пк)

+В

I Ш но.

Т1„™т г, Щ3 -;---т-

&Тип>„ - ■ *

& Тц

ЯГ,

(И)

Я?

70} Ш \1$) 1С р Ш

2 Т-

тМъ-

Тс ( 1 + /у/?2) 27*0) да да

+

ТСТШ /ю.

т„„ да,

ти

1Я)„

Тс «V , ЧУ'" 1 — М2 (1 - с)2 '

2®

4-

'2

да.

+ я я,

+

/?б +

2(т-1)

М2 М!„

к

Т-Ш) да

С д цу

1пк

гу/?1 —

2(Т~1)

М2 тю„,

2£да'„ \те>'

Ц) \ Ц)

Т

о

Т

11»

+

Из

2 кТ,

(П)

где /?!(у) — частное решение уравнения Щ'" — 1у—0, экспоненциально убывающее при у + оо, Я-г(у) #ъ(у) — частные решения неоднородных уравнений

/?2

гу/?2= 1,

/?3

(

2т \ т \

У I с0 | 2Тт ( У ,

Со да.

у 2ГШ

2да1,

.У

¿с0 Тт т"т

/?5 - /у/?ь = Нг +

от г

V)

2да„;

/?1 +

яг,

27*

^ 1 тп

туИ 1

Яб - г'у/?6 = Я3,

2 ч1/3

Со

(12)

¿ = (2 ктш/Ку1а,

здесь 5 и Л —постоянные интегрирования. Штрих над Яп(у) означает дифференцирование по у. Индекс чю означает величины на стенке.

Давление в области 1 с точностью О (а3) является постоянным и определяется из первого уравнения (8). Соотношения (11) представляют с относительной точностью О (а2) О (е21п е) амплитуды возмущений, имеющие место в области 1 и удовлятворяющие первому условию (1). Удовлетворяя второму условию (1), получим уравнение для собственных чисел задачи устойчивости. Отбрасывая

5-

Ученые записки ЦАГИ № 2

65

в этом уравнении члены 0(е^1пг) и разделяя действительную и мнимую части, получим:

•V 1 — м2(1 - С)2

Ф.

_ + 1с_ ( ЪТ*>

2да12 ш'

2 Т„

с) ТС -Ч

V

( ( ч

»1) , Тс Ттг

1 •ш / ТВ) '

Т и>

12} , В

4-

т / IV

Iг

но \1!) д 4 да

Т... \ Тст , - Т. ш)г ьс

(1п к - Еи)--' г 1п А-

+

Е1г + гФ, Еи -+ ф,. Ег + фг Е,),

сТ„

Ф,-

(1 — с)

Е1Г + Ф/ + г (Сг - СнЬ.а) +

(13)

(14)

где

р = Фг - ЕХг + Ф,(Я„ + Егг~>) - Ф,(£и + Ег г-1),

Ф (г) = Ф,+ /Ф< = (1 -/Т1, б(г) = + = —Т7 —г/7']-1,

г = Ас Ие В)~1/3 >0, £ (г) = Я, + 1Е1 = /?3 (у! = 0),

(г) = Еи + 1Еи = (уг = 0), £2 (г) = £2г + = = 0),

Е {¿) — функция Титьенса [4] и [7]. Значения Ф(г), Я (г), Ех(г) и Е2(г) приведены в таблице.

Фг

Ег

Е^г Ец

Ег г

~2 I

0 0 0 —0,9390 0 1,5708 -0,7507 — 1,2877 0

0,5 —0,6194 -0,8741 — 1,8828 0,3539 2,1942 -0,6368 — 1,1676 —0,4432

1,0 +0,8061 -2,6055 -3,1145 0,6047 2,7066 -0,3312 -0,8594 —0,7473

1,5 2,3858 —1,4382 -4,5598 0,6707 3,0432 0,0756 —0,4878 -0,8453

2,0 2,4392 -0,4126 -6,1283 0,5290 3,2051 0,4842 -0,1777 —0,7656

2,5 2,1520 +0,2334 —7,7441 0,1978 3,2424 0,8264 0,0060 -0,5969

3,0 1,6895 0,5487 —9,3608 -0,2827 3,2192 1,0813 0,0704 -0,4281

3,5 1,2503 0,5411 — 10,9614 -0,8712 3,1839 1,2630 0,0635 -0,3082

4,0 1,0111 0,3522 -12,5465 -1,5383 3,1592 1,3986 0,0348 -0,2419

4,5 0,9608 0,1700 —14,1228 -2,2660 3,1479 1,5711 0,0)22 -0,2104

5,0 0,9958 0,0727 -15,6958 —3,0469 3,1448 1,6114 0,0021 -0,1936

5,5 1,0342 0,0456 — 17,2681 -3,8762 3,1445 1,7048 0,0000 —0,1801

6,0 1,0487 0,0469 — 18,8403 —4,7505 3,1444 1,7915 0,0005 —0,1668

6,5 1,0461 0,0494 —20,4125 —5,6666 3,1441 1,8717 0,0009 —0,1542

7,0 1,0390 0,0467 -21,9844 —6,6213 3,1436 1,9460 0,0009 -0,1430

7,5 1,0340 0,0413 -23,5561 -7,6117 3,1432 2,0150 0,0007 -0,1333

8,0 1,0301 0,0364 —25,1276 -8,6355 3,1429 2,0795 0,0005 -0,1250

Следуя [5], из (13) и (14) в предположениях (2) для задачи полной стабилизации получим

Res ос, а - 0, с 1 — М-1, (15)

^o(f) = Vx при с=1-М-', (16)

где v0(c) — левая часть (14); тшах — максимум правой части (14) по аргументу г.

Соотношение (16) обеспечивает смещение всей кривой нейтральной устойчивости в область сколь угодно больших значений чисел Res и является исходным для расчета характеристик полной •стабилизации.

3. В качестве примера расчета рассмотрена устойчивость ламинарного течения в пограничном слое на плоской пластине при сверхзвуковой скорости на внешней границе для непроницаемой охлаждаемой поверхности и для теплоизолированной поверхности с распределенным отсосом. Зависимость вязкости от температуры принимается линейной.

В случае охлаждаемой поверхности из (16), вычислив правую часть, получим

, , г

Т —

1 W кр -

М2

М —0,916

-(М - 1).

(17)

Формула (17) дает в зависимости от числа М значение температуры поверхности пластины Тт кр, при котором имеет место стабилизация ламинарного течения в пограничном слое до сколь угодно больших значений числа Res. Это соотношение справедливо при условии

(М —1)/M~0(s), (18)

что имеет место при небольших сверхзвуковых скоростях потока на внешней границе пограничного слоя. Зависимость Гдакр(М) является однозначной.

кр /

/ )

/ > У

/А t / /

/ / ✓ *

ч / ✓

\ / / / У

Ii /

/ > /

1 Л У -данная paSama(n) --[S]

// /

Л | | 1

1.0

г,5 2,0 м.

Фиг. 2

1,0

Тир —

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1 -данная работа (19) --[J]

\ 1

1

1 /

\ /

/

V ✓

ч S

\

ч ч,

1,5 2,0 М

Фиг. 3

В случае теплоизолированной поверхности с распределенным отсосом из (16) получим

fw кр = jy[ __ J 1 (19)

где ?w— — pwvw (2 Re*0)"2 — параметр отсоса.

Формула (19) дает значение параметра отсоса <рдакр, при котором ламинарное течение в пограничном слое на теплоизолированной поверхности пластины стабилизируется до сколь угодно больших значений числа Res. Это соотношение справедливо при условии (18).

На фиг. 2 и 3 проведено сравнение результатов данной работы (сплошная линия) с результатами [3] (пунктирная линия), рассчитанными по соотношениям работы [2].

Неоднозначность TWKp(М) и большое отличие в значениях <PWKP(M) работы [3] по сравнению с результатами данной работы обусловлены неприменимостью соотношений работы [2] при небольших сверхзвуковых скоростях.

В заключение автор выражает благодарность А. В. Зубцову и В. И. Пономареву за полезное обсуждение работы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В соответствии с (10) решение в области 1 ищем в виде А — /ю 8-1 + /и 1п £ + /12 + /и е In в + ...,

Ф<

: ф10 е-1 + фа In £ + Ф12 + ф13 £ In S

(20)

В1 = е10в-1 + 8И Ine

'12

-f 813slne + . . .

Подставив (9) и (20) в линеаризованную систему уравнений движения, получим для определения функций /1;-(у), Ду), ^ ¡(у) (у = 0, 1,2) системы уравнений:

¿/к

/гФ

ю:

= 0, /ш —гу/ю = 0,

б ю — гу010

кТ„

ф

10!

(21)

/12 — iyf12 =

ifП + А®!

6и

iyBn г/12 + ^ф12 =

:0, /п -г'у/и= 0, кт'

Ф

in

k

'10,

ф

10

IT'

w kT

к. 1 я*

уА

ИТ.

27\„

kT

ю

(22)

■W I у | Co

k w'w,

y/io-

(23)

+

(¿У2/ю - 2/;n - У/io).

+ ^ Ф10+ (23)

Разрешая системы уравнений (21)—(23) и удовлетворяя условиям асимптотического сращивания с внутренним представлением решения (8), получим (11).

1. Dunn D. W„ Lin С. С. On the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid, JAS, vol. 22, No 7, 1955.

2. Reshotko E. Transition reversal and Tollmlen-Schlichting instability, The Physics of Fluids, vol. 6, No 3, 1963.

3. Алексеев M. А., Ба буев В. Ф., Кузьминский В. А. К устойчивости ламинарного пограничного слоя при сверхзвуковых скоростях потока. „Ученые записки ЦАГИ", т. И, № 3, 1971.

4. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости, М., изд. иностр. лит., 1958.

5. Lees L. The stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid. NACATR, No 876, 1947.

6. Ван-Дайк M. Методы возмущений в механике жидкости. М , „Мир", 1967.

7. М i 1 е s J. W. The hydrodynamic stability of a thin film of liquid in uniform shearing motion, J. F. M„ vol. 8, p. 4, 1960.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 22[ V 1973 г.