Об устойчивости асимптотического профиля скорости при отсасывании воздуха из пограничного слоя на пластине в случае сверхзвукового обтекания Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ и А Г И Т о м X/ 19 80

М 6

УДК 532.526.3

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ ПРИ ОТСАСЫВАНИИ ВОЗДУХА ИЗ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛАСТИНЕ В СЛУЧАЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ

В. Ф. Бабу ев, В. А. Кузьминский

Приведены результаты исследования устойчивости ламинарного пограничного слоя с асимптотическим профилем скорости при отсасывании на плоской пластине, обтекаемой сверхзвуковым потоком. В рамках линейной теории гидродинамической устойчивости выяснено, что па теплоизолированной поверхности рассматриваемый профиль скорости обладает по отношению к малым плоским возмущениям устойчивостью до сколь угодно больших значений числа Рейнольдса, определенного но толщине пограничного слоя в диапазоне чисел 1,35^ 5,2 при изменении числа Прандтля от 0,7

до 1,4.

Отсасывание воздуха из пограничного слоя через проницаемую поверхность как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях набегающего потока повышает устойчивость ламинарного течения в пограничном слое. Имеющиеся опытные данные свидетельствуют о том, что с помощью отсасывания воздуха из пограничного слоя можно обеспечить ламинарное обтекание поверхности при больших числах Рейнольдса

Когда на плоской пластине, обтекаемой под нулевым углом атаки, скорость отсасывания по длине пластины является постоянной, то на достаточно большом расстоянии от ее носка формируется так называемый асимптотический профиль скорости |1|, который является точным решением уравнений пограничного слоя.

Известны работы, содержащие исследования устойчивости этого профиля в несжимаемой жидкости. В них показано, что при равномерном отсасывании могут быть достигнуты большие, но конечные значения числа Рейнольдса |2].

В работе [3] получено, что при сверхзвуковых скоростях потока с помощью отсасывания воздуха из пограничного слоя можно

обеспечить устойчивость ламинарного течения по отношению к бесконечно малым возмущениям до сколь угодно больших значений числа Рейнольдса. Это показано на примере семейства автомодельных решений пограничного слоя с распределением скорости внешнего течения по степенному закону.

Ниже проводится анализ устойчивости пограничного слоя с асимптотическим профилем скорости при равномерном отсасывании газа для случая сверхзвукового обтекания плоской пластины.

1. Асимптотический профиль скорости в пограничном слое на плоской пластине, обтекаемой сверхзвуковым потоком, при наличии отсоса газа, а также соответствующий профиль температуры получены в работе [4] и могут быть представлены в безразмерном виде:

где м. V, О, р —размерные продольная и поперечная составляющие скорости, температура и плотность газа в пограничном слое соответственно; [1 — вязкость газа; у — размерная координата по нормали к обтекаемой поверхности: ^— показатель адиабаты, принимаемый равным 1,4; М — число М набегающего потока; о = сру^5Дое— число Прандля; и — размерная скорость набегающего потока; индексы IV и ,оо“ означают соответственно величины на обтекаемой поверхности (у — 0) и в набегающем потоке.

Соотношения (1) и (2), полученные в предположении линейной зависимости вязкости от температуры, являются точным решением уравнений пограничного слоя и описывают исходное стационарное движение, устойчивость которого и рассматривается ниже. В выражения (1) и (2) входит безразмерная температура поверхности Т„ = 6^ 9^, которая является параметром задачи.

2. Используя возможность варьирования величины Т№, поставим задачу об устойчивости асимптотического профиля скорости следующим образом: существует ли какое-либо конечное значение температуры обтекаемой поверхности пластины, при котором рассматриваемое стационарное движение газа в пограничном слое будет устойчивым относительно малых нестационарных двумерных возмущений до сколь угодно больших значений числа Рейнольдса, определенного по толщине пограничного слоя, при сверхзвуковых скоростях набегающего потока. Это задача о полной стабилизации ламинарного течения путем охлаждения поверхности. Такая постановка задачи оказывается чрезвычайно удобной при исследовании устойчивости асимптотического профиля скорости в пограничном слое, возникающего при равномерном отсосе. Она позволяет использовать разработанный ранее математический аппарат [5] и достаточно просто определить характеристики устойчивости асимптотического профиля в случае теплоизолированной поверхности пластины.

Предполагается, что амплитуда возмущений, которые задаются в виде бегущей плоской волны, достаточно мала, и их рас-

(1)

(И-1)М«8

2(2--)

пространение в потоке описывается системой линейных уравнений. В поцессе решения этой системы уравнений с соответствующими граничными условиями возникает задача на собственные значения. Анализ условия разрешимости этой задачи, когда на безразмерную фазовую скорость возмущения с накладывается условие с — ] — 1/М, позволяет получить условие полной стабилизации рассматриваемых возмущений, которое является исходным для отыскания необходимого значения безразмерной температуры обтекаемой проницаемой поверхности пластины и имеет вид

штрих означает дифференцирование по координате у, индекс „с“ означает, что величина рассматривается в точке у=;_ус, где скорость невозмущенного стационарного движения равна фазовой скорости возмущений (ю = с).

Подробности анализа, в результате которого получено соотношение (3), и необходимые ссылки приводятся в работе |5].

Принимая во внимание соотношения (1) и (2), из (3) получим для искомой величины температуры кр обтекаемой поверхности, обеспечивающей полную стабилизацию рассматриваемого ламинарного течения, кубическое уравнение

'У$(С— 1 1 М) — "шах,

(3)

где

(7-1)Ц-^+ Гу | ;

2{Г2-1)(УТТт+Ттс«'а) ’ С=1 — 1 М;

(4)

где

/<, = V ® — 2- (V2 — 1)(1 — 2з) V * (М — 1) М-2® |М (1 --VI) л. Ус],

К, = (7 - 1)(М - 1)* - 2* (V 2 - 1) (М - 1) [Л4 + Л + А,\, (5)

*,= - 2* (У 2— 1)(М - 1) [Л; + Д, + А9\,

—2* (К2- 1)(М-1М,.42Лз

и

1 (7-1)» , (7 ~ ») =

(6)

ЛГ 2 (2 - •) 2 (2 - з) Ма-г ’

А

(8)

(7)

Простой вид соотношения (4), которое является условием полной стабилизации ламинарного течения, позволяет исследовать все свойства решения, что является редким случаем в теории гидродинамической устойчивости.

Решение уравнения (4) описывает в плоскости (Г^р, М) некоторую кривую Т^-р = /(М, з), которая является границей области полной стабилизации. Прежде всего ясно, что при фиксированных М и з уравнение (4) имеет не более трех корней. Корень

этого уравнения 7'к,кр = 0 определяется из условия К< = 0.

Из соотношений (5) — (7) следует, что при значении числа М, равном единице, незавасимо от числа Прандтля существует корень 7'в,кр = 0. Из соотношения (8) также следует, что корень Г* кР *= 0 соответствует и области более высоких значений числа М. В частности, при числе Прандтля, равном единице, получаем значение числа М = 8,583. Это значение совпадает с

полученным из условия полной ста-

билизации при отсутствии вязкости г>«(с~ 1-1/М, Тш = 0) = 0.

Исследования показали, что в окрестности числа М = 1 для Т^,кр имеется один действительный корень и два комплексных сопряженных. При значении числа М, в точности равном единице, имеет место трехкратный действительный корень уравнения (4) Т =0

1 XV кр -

3. На рис. 1 представлена рассчи-Рис. 1 танная по уравнению (4) зависимость

Га,кр при значении числа Прандтля з=1 (сплошная кривая). В результате расчетов выяснено, что в диапазоне чисел 1<М<6,8 для Та,кр существует один действительный положительный корень и два комплексных сопряженных корня. В диапазоне 6,8 <М С 8,583 имеется три действительных корня: один положительный и два отрицательных; при числах 8,583<М< < 12,7 все три корня действительны и отрицательны; и, наконец, при М>12,7 получается один действительный отрицательный корень и два комплексных сопряженных. Аналогичная структура расположения корней уравнения (4) имеет место при числах Прандтля, не равных единице.

Физический смысл имеет только ветвь кривой с положительными значениями Та,кр в диапазоне 1<М<.8,583. Полная стабилизация ламинарного течения осуществляется при температуре поверхности 7'„,< Та Кр, т. е. ниже кривой Тп,кр(М).

На этом же рисунке пунктирной кривой показано распределение температуры теплоизолированной поверхности 7\., = Т0. Видно, что на тенлоизолираванной поверхности пластины асимптотический профиль скорости в пограничном слое при отсасывании обладает устойчивостью до сколь угодно больших значений чисел Рейнольдса в диапазоне чисел 1,395<М<3 при числе Прандтля,

равном единице. Более того, так как кривая Т'а = Г0 лежит ниже кривой 7'а1Кр(М) в указанном диапазоне изменения чисел М, то имеется определенный запас устойчивости.

С целью изучения влияния изменения числа Прандтля на условия полной стабилизации были проведены расчеты в диапазоне 0,7 < о <1,45. Выяснено, что с увеличением числа Прандля существенно уменьшается диапапон чисел М, в котором наблюдается полная стабилизация рассматриваемого профиля скорости в пограничном слое, как это видно на рис. 2.

При значении числа Прандтля, равном или превышающем величину 1,4, на теплоизолированной поверхности область полной стабилизации отсутствует; это показано на рис. 3, где в зависимости от числа М представлено отношение температуры полной стабилизации Ттср к адиабатической температуре Г, в указанном выше диапазоне чисел Прандтля. Видно, чти диапазон чисел М. в котором на теплоизолированной поверхности осуществляется полная стабилизация асимптотического профиля скорости в пограничном слое при отсасывании, существенно зависит от числа Прандтля. Эта зависимость представлена на рис. 4, где область полной стабилизации в плоскости параметров (з, М) заштрихована.

В отличие от случая дозвуковых скоростей, где устойчивость асимптотического профиля достигается при больших, но конечных

I

J

Рис. 3

S M

3 f M

Рис. 4

значениях числа Рейнольдса, при сверхзвуковых скоростях обтекания имеется довольно широкая область изменения числа М, в которой на теплоизолированной поверхности достигается устойчивость при сколь угодно больших значениях чисел Ие с определенным запасом устойчивости. Это обстоятельство позволяет надеяться, что уже на конечном расстоянии от носка пластины ламинарный пограничный слой при равномерном отсасывании будет устойчив до больших чисел Ие. Поэтому результаты данной работы могут быть использованы для расчета пограничного слоя на проницаемой поверхности с целью стабилизации ламинарного обтекания при сверхзвуковых скоростях потока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ш л н j т и к г Г. Теория пограничного слоя. М., .Паука",

1974.

2. Huges Т. Н., Reid W. Н. On the stability of the asym-

ptotic suction boundary-layer profile. J. .Eluid Mech.", vol. 23, p. 4, 1965.

3. Алексеев М. А., Бабуев В. Ф., Кузьмин-

ский В. А. К устойчивости ламинарного пограничного слоя при сверхзвуковых скоростях потока. .Ученые записки ЦАГИ‘, т. 2,

.V: 3, 1971.

4. Lew Н. G., Fanucci J. В. On the laminar compressible boundary layer over a flat plate with suction or injection. JAS, vol. 22, N 9, 1955.

5. Кузьминский В. А. О полной стабилизации течения

в пограничном слое при сверхзвуковых скоростях. .Ученые записки ЦАГИ\ т. 6, N* 5, 1975.

Рукопись поступила I2jlll 1979 г.