Исследование влияния ультразвукового акустического поля на отрыв пограничного слоя на профиле Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XXI 19 90

№ 6

УДК 532.526.2.011.7

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМА НИЖНЕЙ ВЕТВИ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ В ТРАНСЗВУКОВОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

С. Н. Тимошин

Построен специальный вариант трансзвуковой теории нестационарного взаимодействия ламинарного пограничного слоя на плоской пластине с внешним потоком при больших числах Рейнольдса. Показано, что ■развитая теория описывает асимптотическую форму нижней ветви кривой нейтральной устойчивости в околозвуковом диапазоне изменения числа Маха набегающего потока.

1. Постановка задачи. Предварительные оценки. Рассмотрим характеристики устойчивости ламинарного пограничного слоя на продольно обтекаемой полубесконечной плоской пластине в окрестности нижней ветви нейтральной кривой при больших значениях числа Рейнольдса. Набегающий поток будем считать однородным, а течение в целом — плоскопараллельным.

Трехслойная асимптотическая теория нестационарного взаимодействия пограничного слоя с внешним потенциальным потоком описывает свободные колебания вблизи нижней ветви кривой нейтральной устойчивости в потоке несжимаемой жидкости [1—3]. Установленный в работах [4, 5] закон подобия позволяет непосредственно распространить результаты, полученные для несжимаемой жидкости, на случай дозвукового течения газа [6]. В частности, если в качестве единиц измерения принять параметры набегающего потока и расстояние от передней кромки пластины до рассматриваемого сечения пограничного слоя, то для фазовой скорости и длины волны на нижней ветви нейтральной кривой в дозвуковом течении оказываются справедливыми соответственно оценки:

с = О (Ие-1/8 (1 М2)_1/8), кх = О (Ие-378 (1 — М2)-3/8), (1)

■где М<1 и Ре^>1 — соответственно число Маха набегающего потока и характерное число Рейнольдса.

Переход к сверхзвуковым скоростям набегающего потока сопровождается резким изменением характеристик устойчивости вблизи яижней ветви нейтральной кривой. Так, аналогичные (1) оценки, полученные в приближении параллельного течения для первой неустойчивой моды в сверхзвуковом потоке имеют вид [7]:

с-=\-М-' + оО), Д* = 0(1); М>1, Яе^оо. (2)

Попутно заметим, что из соотношений (2), строго говоря, следует непригодность параллельного приближения для исследования устойчивости сверхзвукового течения возле нижней ветви нейтральной кривой яе только при конечных, но даже при бесконечно больших значениях числа Рейнольдса.

Понятно, что наиболее существенное изменение формы нижней ветви нейтральной кривой происходят в околозвуковом диапазоне чисел Маха. Можно надеяться, что это изменение будет описываться трансзвуковой теорией взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Однако известный к настоящему времени вариант подобной теории [8], реализующийся в диапазоне |М—11 =0(1?е~1/5)> вряд ли способен решить поставленную задачу. Дело в том, что существенным элементом указанной теории является нелинейность движения в потенциальной части области взаимодействия, в то время как задача об устойчивости пограничного слоя по отношению к малым возмущениям представляется линейной. Построение альтернативной теории взаимодействия является целью настоящей работы.

Следует подчернуть, что сказанное относится исключительно к плоскопараллельным течениям: пространственный аналог обычной

трехслойной теории взаимодействия, описывает незатухающие волны, распространяющиеся в плоскости пластины под углом к направлению невозмущенного потока, в широком диапазоне чисел Маха [9, 10].

Установим на уровне оценок интервал изменения числа Маха, в котором результаты дозвуковой теории (1) теряют пригодность. Напомним, что при дозвуковых скоростях область взаимодействия состоит из трех слоев, причем нестационарность проявляется лишь в самом нижнем, пристеночном вязком слое. В основной части пограничного слоя и в потенциальной области течения движение имеет квазистацио-нарный характер. Покажем теперь, что при достаточно малой величине 1—М>0 нестационарность будет проявляться не только в вязком подслое, но также и в потенциальной части области взаимодействия. Для этого оценим характерное время, за которое малые возмущения передаются на расстояния порядка длины области взаимодействия Ах порознь в вязком подслое и в потенциальном потоке.

Поскольку течение в вязком подслое заведомо нестационарно, то время прохождения возмущений через вязкий подслой оценивается, в силу (|1), как Дг1 = Ах/с = О (Ке~1/4(1—М2)-1/4). В потенциальном течении возмущения имеют акустический характер. Как известно, медленнее всего происходит передача возмущений вверх по потоку, скорость распространения акустических волн в этом направлении са = = 0(1—М-1). Поэтому максимальное время прохождения акустических волн через область взаимодействия оценивается как Ма= Ах/са = =0 (Не_3,8(1 —М2)~3/8(1 —М-1)-1}. Сравнивая оценки для А? и Л4 видим, что в дозвуковом течении, удовлетворяющем условию 1—М=О (1), возмущения распространяются гораздо быстрее в потенциальной части течения, чем в вязком подслое. Иными словами, потенциальный поток успевает почти мгновенно подстроиться под изменения параметров

вязкого подслоя. Этим и обусловлена квазистационарность течения в потенциальной части области взаимодействия при дозвуковых скоростях. Однако в трансзвуковом диапазоне, а именно при (1 —М | = 0(^е~119), характерные времена распространения возмущений в вязком подслое и в потенциальном потоке совпадают по порядку величины, т. е. при указанных числах Маха течение как в вязком подслое, так и в потенциальной части области взаимодействия будет нестационарным.

Одновременное проявление нестационарности в двух частях области взаимодействия составляет принципиальную особенность данного режима течения. Согласно (1), при |М— 1 | = 0(Не~1/9) имеем

с = 0( Яе-У9), Лх = 0(Ие~1/3), М=0(Яе~219). (3>

Опираясь на оценки (3) можно перейти к подробному исследованию течения в области взаимодействия.

2. Формулировка задачи для области взаимодействия. Пусть область взаимодействия располагается на расстоянии I от передней кромки пластины. В дальнейшем используется безразмерная декартова система координат ху, начало которой совпадает с кромкой, а ось х направлена вниз по потоку вдоль пластины; все линейные размеры отнесены к I. Отметим индексом оо параметры невозмущенного потока и обозначим через М, р^и^р, рсор, Щих, х,

Рг, Ие = Рсо «оо 1/Роо соответственно число Маха в набегающем потоке, составляющие вектора скорости вдоль осей х и у, давление, плотность, динамический коэффициент вязкости, удельную энтальпию, время, отношение удельных теплоемкостей газа, число Прандтля, число Рейнольдса. Газ предполагается совершенным.

Для формального описания течения в области взаимодействия введем малый параметр е = Ке~1/18 и положим М=1+ггМ,„ х — \-\.&'1'хл,^ = еН1, (Мь хи ^l)=:0(l).

Здесь и в дальнейшем Индекс у независимых переменных указывает порядковый номер рассматриваемой области. Коэффициенты разложений зависимых переменных снабжены двумя индексами: первый указывает номер области, а второй — порядковый номер члена асимптота^ ческого разложения. Как обычно, поле течения внутри области взаимодействия разбивается на три подобласти. Подбирая амплитуду возмущения давления с таким расчетом, чтобы окончательная задача оказалась нелинейной, представим решение в области потенциального течения в виде:

У=*гЪУи Л —0(1). «= 1 +е*Ии + *в«1* + — »

v = вьvn + г'!vll2 + ..., р = *~' М-2+е4/?1, +е6/?12+ - >

Р = 1 + £4 рп + е6 р12 + ... , /г = 1 + £4Й,1-(-е6Л]2 +... .

Подставляя разложения (4) в уравнения движения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим дифференциальные уравнения для определения возмущенных функций первого и второго приближения. В первом приближении решение выражается через одну произвольную функцию—потенциал скоростей — в форме:

_ д*С*1. УкА) У\. Ь)

М11— Шх • д* ’

Ри==Рп = Щи ^п==(х

Рассматривая уравнения для возмущенных функций второго приближения, получим в качестве условия разрешимости соответствующей системы уравнение для потенциала:

д2

2-^- + 2М, 2

‘ -*1 дх\ ду\

■ 0.

(5)

В основной части пограничного слоя, в соответствии с требованием сращивания решения с решением во внешней потенциальной области, представим функции течения в виде: '

у = є9 у2 , (*!, V*,, ^,) ==і о (1) ,

И = «о (Уг) + ®2 и2 (хи уг, + ... , V = е5 «2 ^2, + ...,

р == х-1 м-2 + е* рг {хи у2, + ... ,

Р = Ро Ы + ?2 (*1, у2, *,)... ,

Л = А0 СУз) + Л2 (*„ у3, *,) + ... •

(6)

Здесь ы0, ро и Н0 — соответственно распределение продольный составляющей вектора скорости, плотности и удельной энтальпии поперек пограничного слоя непосредственно перед областью взаимодействия. Решение уравнений для коэффициентов разложений (6) можно выразить через неизвестную пока функцию А {хи и) в форме:

и.

■ а „ =

Луа

М

дх1

«о > Рг = Рг (*і, Іі) >

Рг

£Ро

йЛо

^5

(7)

Воспользовавшись тем, что ы0^1 при У2-^+°°, получим (в результате сращивания асимптотических разложений для давления и поперечной составляющей вектора скорости в двух рассмотренных областях) следующие краевые условия для уравнения потенциала (5):

_у,=0: р- = — рг(хиі1),^- =

дхх

дУі

дЛ(хи Л) дх1

(8)

Дополнительное соотношение между функциями р2 И Л получается в результате рассмотрения движения в вязком подслое области взаимодействия, где решение представляется в виде:

и ■■

V-

(-«І. Уз, *0 + ••• ,

0 = М.~2 + е4р3 (хи іх) + ... , р = р„Н- ..., (А = 11в,+ ...

(9)

Постоянные р№ = р0(0) и [х«,=цо(0), так же как и невозмущенное напряжение трения Хю=ёи0/йу2{0), определяются конкретным режимом течения в исходном пограничном слое. Подстановка (9) в уравнения движения приводит, с учетом условий сращивания с решением (6), (7), а также условия прилипания на твердой поверхности, к следующей Краевой задаче:

[—

л*

.Уз

ди3 диЛ др3 02 и3

+ UЗT- + V3— = — — + р» —2

дх,. ду3} дх1 ду3

Н- ~~ “ 0, Р» — Рг(хі> Ъ) > дх! дуг

-* -)- °°: и3 — Х^ у3 Хю А (хг, ;

у% = 0 : «з = г>3 = 0 .

(Ю>

Система уравнений и краевых условий (5), (8), (10) в совокупности образуют искомую краевую задачу для области взаимодействия* Введем основной для дальнейшего параметр подобия

т = 2,/9^2/9 Х»2/э РГ М,

и выполним аффинные преобразования вида:

х1 = 2

-1/3 -1/3 ,-4/3

Р^;1/3 А-,

Уз:

-4/9

2/9

У1 - 2"7/9 ^ Х"1^ р^1'" У!,

иа = 2_1|Э Рш у (А, Л,

Щ = 21/9Х£9 р-5/9 1/ (А', У, Т) ,

р3=р2 = 2~2/9 цГхГ РГ Я (А, Г) ,

Л = 2“1/9 ц^9 Х-7/э р-4/9 5 (*, Г),

? = 2~5/9 ^ Х"8/9 р-2'9 Ф (X, Уи Т).

В новых переменных задача о взаимодействии примет следующую* форму:

дТ дХ дУ дХ дУ2 '

^ + ^=0, дХ дУ

У = 0: и= 1/=0, У-* + оо :и-У^В(Х,Т);

д2 Ф дг Ф д2 Ф

-----Ь т---

дХдТ дХ2

дВ (X, Т) дХ

(11)

Остановимся на некоторых общих свойствах сформулированной задачи. Как и ожидалось из качественных соображений, нестационар-ность проявляется одновременно в двух частях области взаимодействия в вязком подслое (уравнение Прандтля) и во внешнем потоке (уравнение потенциала). В связи с этим нужно сказать, что при описании стационарных процессов задача (11) сводится к хорошо изученной теории сверх- или дозвукового взаимодействия (см., например, [11, 12]). В самом деле, если в (11) д/дТ=0, то уравнение для потенциала решается и дает связь между давлением Р(Х) и толщиной вытеснения вязкого подслоя — В(Х) либо посредством формулы Аккерета при пг>0, либо в форме интеграла тонкого профиля при т<0, после чего задача о взаимодействии принимает стандартный вид.

Отметим далее, что краевая задача (11) имеет простое решение,, соответствующее невозмущенному течению в пограничном слое:

и=¥, 1/ = Р=£ = Ф = 0 . (12>

Для исследования более содержательных физических процессов в постановку задачи нужно включить некоторые нетривиальные краевые условия, а также условия вверх и вниз по потоку для уравнений пограничного слоя и условия вдали от области взаимодействия для уравнения потенциала. Как правило, полный набор краевых условий бывает очевиден в каждом конкретном случае. В частности, в задаче об устойчивости пограничного слоя по отношению к бесконечно малым возмущениям необходимо для уравнения потенциала потребовать затухания возмущений вдали от твердой поверхности; решение задачи, в целом можно считать, например периодическим по продольной координате либо по времени.

3. Вывод дисперсионного соотношения. Нейтральные волны. Рассмотрим малые возмущения исходного пограничного слоя (12) с характерной амплитудой 6<1. Ищем решение задачи о взаимодействии, в традиционной для теории устойчивости форме:

{С/, U, Р, В, Ф} = {¥, О, 0, 0, 0} -j- § exp [i (kX — o>7)] X

X {£/, (У), V, (Y), Pu B„ Ф, (У,)} + О (8*). (13)

Волновое число k и частота и принимают, вообще говоря, комплексные значения. Подставляя разложения (13) в уравнения и краевые условия (11) и пренебрегая членами порядка б2, приходим к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

*(£ У-«,){/,+ + ikU, + ^ = 0,

ил0)=vi(0) = 0, Ux (+ оо) = Bt;

<РФХ ЙФЛО) ^ '

(<о k mk2) = 0 , ik Вх = — ,

р, = - (0).

Условию затухания потенциала возмущений <Di вдали от твердой поверхности можно удовлетворить лишь в том случае, если комбинация mk—mk2 не является действительной отрицательной величиной. Тогда, удовлетворяя граничным условиям при У4=0 с помощью решения уравнения потенциала, ограниченного по модулю при У^+оо, получим связь между постоянными Bi и Pj (так называемое условие взаимодействия) :

k2 B^^k-mk2)'/2 Рх . (15)

При выводе (15) предполагается, что квадратный корень в правой части равенства имеет положительную действительную часть.

Обратимся теперь к движению в вязком подслое, которое описывается первыми двумя уравнениями и соответствующими условиями В; задаче (14). Используя стандартную процедуру [1—3], получим второе соотношение между Bi и Ри которое можно записать с использованием, функции Эйри Ai(z) и ее производной Ai7(z) (см., например, [13]):

+ оо

В, Ai' (2) = Pi (ik)113 j A\ (s) ds, z = — -J- (ikУ'3. (16>

Регулярная ветвь функции (ik)1/3 фиксируется условием | arg (ik) I < я.

Сравнивая (15) и (16), получим искомое дисперсионное соотношение, связывающее волновое число и частоту собственных колебаний пограничного слоя:

+ СО

С«в к — от*2)1/2 АГ (2) = к? (/£)1/3 Г А1 (5) <&, 2 = - — Щ113. (17)

J к

2

Покажем, что среди корней дисперсионного соотношения (17) •содержится нейтральный, у которого волновое число и частота имеют действительные значения ((Ог = &г = 0). Для этого введем фазовую скорость с=ко/£ и выполним аффинное преобразование вида с = ас*, И = — а~3к*.Теперь уравнение (17) можно записать в виде:

+ оо

)&*| (г&*)1/3[А1'(;г*)]—1 | А1 (5) Ыз = а4 Уас* - т, г* =— с* (Иг*)1'3. (18)

г*

В работах [1—3] было показано, что дисперсионное соотношение для параметров собственных колебаний в потоке несжимаемой жидкости

+оо

1*1 (/6)1/3 [А1' (г) ]-» ^ М(5)с18=1 , г=-с (г£)1/3

г

имеет при действительных к>0 единственный действительный корень с=со=(йо/ко, (о=1Шо=2,298, & = £0= 1.0005. После подстановки указанных нейтральных параметров в уравнение (18) получим соотношение между величиной а и параметром подобия т:

а8 (а с0 —^ т) — 1 . (19)

Разрешая уравнение (19) относительно а=а(т), определим параметры нейтральной волны для уравнения (17) по формулам &„ = —>сГ3&о, сп — ас0, <лп = спкп. Зависимости кп, шп и сп от параметра т показаны на рисунке. Численная проверка показала, что уравнение (17) имеет единственный нейтральный корень. Кроме того, знак производной Лт/^к>0, вычисленной для действительных & в нейтральной точке

Рйс. 1

£ = &„, (о = «п, указывает на то, что найденный корень соответствует именно нижней ветви кривой нейтральной устойчивости.

Параметры нейтральной волны имеют существенно различные асимптоты при т->± оо. Так, при переходе к дозвуковому режиму обтекания пластины (т-э—оо) из соотношения (19) получим:

кп = (-т?'8 Л0 + Ь( -т)“3/4 + • • • •

О

Отсюда, вспоминая, что т = 0 ((М—1)Ке1/э), имеем известную оценку для длины нейтральной волны в дозвуковом течении:

Дх = О (Ие-3/8 (1 — М)-3/8).

В случае сверхзвукового течения (т-*+°о) асимптотическое представление нейтральных параметров имеет вид:

сп = т + /ге~8 со + ... ,

kn = т~3 с0 3 — 3т 12 + ••• ,

Д* = 0((М—1)3), Re_1/9<CM — 1 <С 1 •

(20)

Первая из формул (20) показывает, что в сверхзвуковом режиме обтекания пластины фазовая скорость нейтральной волны близка к скорости распространения звуковой волны во внешнем однородном потоке газа. Кроме того, при переходе к сверхзвуковому течению происходит резкое увеличение длины нейтральной волны (соответственно — уменьшение волнового числа).

Автор благодарит А. И. Рубана за обсуждение результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. S mith F. Т. On the nonparallel flow stability of the Blasius boundary layer. — Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 1979, vol. 366, N 1724.

2. Жук В. И., Рыжов О. С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости — ДАН СССР 1980, т. 253, № 6.

3. М и х а й л о в В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5.

4. Р ы ж о в О. С. Уравнения нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением — ДАН СССР, 1977, т. 234, № 4.

5. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением — ПММ, 1977, т. 41, вып. 6.

6. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое — ПММ, 1981, т. 45, вып. 6.

7. Гапонов С. А., Маслов А. А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. — Новосибирск: Наука, 1980.

8. Р ы ж о в О. С. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока. —

ДАН СССР, 1977, т. 236, № 5.

9. Жук В. И., Рыжов О. С. Об устойчивости свободновзаимодей-ствующегй пограничного слоя — ПММ, 1981, т. 45, вып. 3.

10. S m i t h F. T. On the first-mode instability in subsonic, supersonic and hypersonic boundary layers. — J. Fluid Mech., 1989, vol. 198.

11. Нейла нд В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа. — Успехи механики, 1981, т. 4, вып. 2.

12. Асимптотическая теория отрывных течений./Под ред. В. В. Сычева. — М.: Наука, 1987.

13. Справочник по специальным функциям./Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

Рукопись поступила 5/Х 1989 г.