Взаимодействие вибрирующего скачка уплотнения с пограничным слоем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XIX 1988

№ 5

УДК 532.526.5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВИБРИРУЮЩЕГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

С. Н. Тимошин

В рамках асимптотической теории течений вязкого газа при больших числах Рейнольдса рассматривается задача о взаимодействии вибрирующего скачка уплотнения с ламинарным пограничным слоем. Амплитуда и частота вибрации, а также интенсивность скачка подобраны так, чтобы течение в вязком подслое области взаимодействия описывалось нелинейными нестационарными уравнениями пограничного слоя. Показано, что в случае высокочастотных колебаний скачок воспринимается пограничным слоем как стационарный, но более сглаженный; в частности, давление в скачке повышается непрерывно. Течение со взаимодействием при наличии сглаженного скачка исследовано в линейном приближении.

1. Постановка задачи. Наиболее простое и вместе с тем достаточно полное описание физических явлений, возникающих при падении ударной волны на ламинарный пограничный слой, было получено в результате применения асимптотических методов к решению уравнений динамики вязкого газа при больших числах Рейнольдса Яе [1—3]. Оказалось, что характер течения во многом определяется процессом взаимодействия пограничного слоя с внешним сверхзвуковым ^потоком. Многочисленные примеры течений со взаимодействием содержатся в указанных выше работах; кроме того, в обзоре [4] изложена теория взаимодействия для течений несжимаемой жидкости.

Если интенсивность падающей на пограничный слой ударной волны достаточно велика, то область взаимодействия располагается на некотором расстоянии вверх по потоку от точки падения, причем в области взаимодействия реализуется самоиндуцированный переход от безотрывного обтекания к течению с развитой зоной отрыва [5, 6]. В предельном случае ударных волн малой интенсивности реализуется либо полностью безотрывное обтекание твердой поверхности, либо течение с локальными зонами возвратных токов в пристеночной части пограничного слоя; при этом область взаимодействия окружает точку падения ударной волны.

Задача о взаимодействии слабого скачка уплотнения с перепадом давления Др = 0(Ке~1/4) с пограничным слоем (точнее говоря, эквивалентная ей задача об обтекании излома контура тела с )углом того же порядка малости) была рассмотрена в работе [7], где решение получе-

но в линейной постановке. Интенсивность скачка уплотнения, при которой происходит зарождение отрывной зоны в пограничном слое, указана в работе [8]. В дальнейшем были созданы эффективные численные методы исследования нелинейных режимов течения, со взаимодействием, позволяющие, в частности, воспроизводить картину линий тока в вязком подслое при наличии локальных зон отрыва [9—11].

Если характерные параметры задачи периодически меняются со временем с частотой порядка Йе1/4, то в области взаимодействия реализуется нестационарный режим течения [12]. Некоторые особенности течения вблизи точки излома контура тела в случае периодически изменяющегося угла излома рассмотрены в работе [13].

В настоящей статье предполагается, что скачок уплотнения имеет постоянную интенсивность, однако точка падения скачка на пограничный слой колеблется с высокой частотой около некоторого среднего положения. Подобная ситуация возникает, например, в том случае, когда над плоской пластиной установлен колеблющийся тонкий клин, острие которого направлено навстречу набегающему потоку (рис. 1).

Для последующего анализа локальных процессов в пограничном слое достаточно задать лишь частоту колебаний, перепад давления на скачке и зависимость координаты точки падения скачка на пограничный слой от времени, поэтому конкретный механизм генерации колеблющегося скачка оказывается несущественным.

Рассмотрим ламинарное обтекание полубесконечной плоской пластины однородным сверхзвуковым потоком совершенного газа при больших характерных числах Рейнольдса. Предположим, что на окружающий пластину пограничный слой падает слабый скачок уплотнения, причем точка пересечения скачка с ,пограничным слоем совершает моногармонические колебания около своего среднего положения. Введем ортогональную декартову систему координат Ь(х, у), связанную с передней кромкой пластины (см. рис. 1), где Ь— расстояние между передней кромкой и средним за период положением точки падения скачка. Составляющие вектора скорости в этой системе координат обозначим через £/«,(«, у), давление через р^р, плотность — роо р, динамический коэффициент вязкости — и,*, |д., энтальпию — коек. Индексом оо отмечены параметры невозмущенного потока. Число Маха набегающего потока обозначим через М, отношение теплоемкостей газа через х. Если Т— период колебаний, то время обозначим через

Рис. 1

(2 я) ‘77. В указанных безразмерных переменных уравнения Навье— Стокса можно представить в виде:

Л=/>/Р, ^ (Л).

Здесь S2 = 2%LI{Utx> Т) — число Струхаля. Re = poo U^L/poo— число Рейнольдса. В системе уравнений (1) опущены некоторые слагаемые, не участвующие в дальнейшем анализе.

Подберем параметры задачи так, чтобы при больших числах Рейнольдса течение в окрестности точки падения скачка уплотнения описывалось нестационарной теорией взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Для этого нужно положить [12]: S = e_1S0, е =

= Re“1/8->0, S0~l. Возмущение давления, создаваемое скачком уплотнения на внешней границе пограничного слоя зададим в виде:

/>=1+еа/>0//р-=-? — acos/J. (2)

Здесь /?0 = const>0, а = const, Н (х) — функция Хевисайда: Н(х) = О при х < 0, Н(х) — 1 при х^О. Согласно (2) амплитуда колебаний точки падения скачка по порядку величины равна О {Las.3), при этом скорость перемещения скачка равна 0(UmaSls).

2. Течение в области взаимодействия. Рассмотрим движение газа в области взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, которая, как обычно, имеет трехслойную структуру. В области потенциального движения (область 1 на рис. 1) решение представляется в виде:

1 + e8jc,, з; = г3у1, (хи 0 = 0(1),

(и, v, р, р, А) = ( 1, О, 1, 1, 1 ) + £2(«i. ’Ои Ри Pi. Ь)

Подстановка разложений (3) в систему уравнений (1) приводит к системе линеаризованных уравнений стационарного потенциального течения, решение которой, с учетом соотношения (2), дает:

Vi (х„ 0, t) = (М8~-‘)1/2 \Р\ (■*!. О, t) - 2р0 Н{х^—а cos /)]. (4)

Представление решения в основной части пограничного слоя, в которой y2 = ys~4 = 0(l) (область 2) имеет вид:

И r== MjQ (У2) “Ь ®^21 (*^1* t) “Ь ••• ' ® ® ^21 Узг t) ~Ь >

р = 1 +e*/?2i(x„ Уг, *)+•••> Р=Р2о(У2) +sPsi(*i> _У2> 0+ h = A2Q (Уг) ~Ь £^2i (Л-н Уг% О “Ь •

(3)

Функции ы2(ъ Р2о и /і2о характеризуют течение в пограничном слое непосредственно перед областью взаимодействия. После подстановки разложений (5) в систему (1) с учетом условий сращивания с решением (3), (4) получим

Рн = Р\(х» 0. t) = —дА(хі, t)/dxu

(М2 — 1)1/2

и

хМ2

[А + 2/?0 (Xj — a cos t) И (Xj — a cos £)]

dy-2 '

(6)

Остается рассмотреть движение в вязком подслое области взаимодействия (область 3). Здесь уз = ув~5=0(1), и решение представляется в виде:

и = еи3(х1, у3, t) + ..., v — e3v3(xu ys, t) + ...,

P — 1 + &2Рз (■*!> Уз< t) -f- ... , [A = [A0 -j- ••• > P — Po + •

(7)

Здесь |Ло=Ц2о(0), ро=р2о(0). Краевая задача для неизвестных коэффициентов разложения (7) включает уравнения нестационарного пограничного слоя с обычными для теории взаимодействия краевыми условиями:

& и3

с2 ди3 , I ди3 , ди3\ . I др3

5оРо д( + Ро I + —

ди3 , dv3 __ п _ dA(xut) 1 _ da2f, (0)

dxt 1 ду3 ~~и’ П — dXl ’ rfy2 ’

«з = = 0, (уд — 0); и3 -*■ Ху3, (л:! — оо),

“з = * IУз + —№ + 2Po(xi — а cos t)Н(х, —

\ хМ2

— a cos 0] I + о (1), (у3 -* + оо).

Выполним аффинные преобразования вида:

Xi = ^1/4 х-5/4р^,/2(м2 -1)~3/8 а:.

у3^^п-3/4 р-1/2 (М2 — l)-1/8 Y,

«3 = pl/4 >.14 р-1/2 (М2 __ 1)—1/8 Ut

v3= t*30'4Wp-M(M2 - I)1'8 V,

A = X-a/4 р-1/2 (M2 - I)-5/8 xM2B,

a = tx-1/4 x-5/4 p-i/2(Ma — l)-3/8 a0,

^ = 2po ^1/4x_1/4 P0_1/2 (M* — 1 )1/8 X_1 M_2> p = s0 (M2 - 1)_1/8.

В новых переменных краевая задача (8) принимает форму:

2

д В d*U

(8)

_______ __ ди_,

dt г " дХ г * ЗУ дХ* ~~ дF2 ’ дХ + ~~ ’

U= V = 0, (Г = 0); U-+ Y, (X -> — оо),

U = Y + В(Х, t)-\~iG(X — a0cost) + о(1), (K-^-foo), І G(X)=XH(X). j

Можно показать, что краевая задача (9) описывает также течение вблизи вершины клина с углом раствора порядка О (г2), установленного на пластине острием навстречу набегающему потоку и испытывающего моногармонические колебания вдоль потока.

Своеобразие рассматриваемого режима течения заключается в том, что внешнее воздействие на пограничный слой — скачок уплотнения — имеет фиксированную интенсивность, однако положение скачка периодически изменяется со временем. Если частота колебаний мала (Р<1), то в главном приближении задача сводится к стационарной с параметрической зависимостью решения от времени. Ниже рассматривается предельный случай колебаний скачка с большой характерной частотой.

3. Предел высокочастотных колебаний. Исследуем поведение решения задачи (9) при р—»оо, (у, а0),~|1. Полагая (X, У)~1, представим функции течения в вязком подслое в виде:

(£/, V, В) = (ио, V., В0) + Р~нии V» Вх) + .... (10)

Из уравнения импульсов в системе соотношений (9) следует, что в главном приближении течение является стационарным: ди0/д1 = 0. Рассмотрим краевое условие на внешней границе вязкого подслоя для главного приближения:

ио = У В0 (X, {) + •уб (X — а0 оов ^) + о (1), (У -*■ + оо). (11)

В силу периодического по времени характера течения функции Во и й можно представить в виде рядов Фурье:

СО

{О,В0} = ^е^{От(Х), В0т(Х)}, (12)

Ш — —оо

где при | X \ < а0

0'Я(Х)-

— агссоэ (— —\, т —0,

% \ а0) ’

У.. |стагссо5 ^ , тфО.

(13)

При \Х\>а0 О'0(Х) = Н(Х), От(Х)=0, (тф 0).

Штрихом отмечены производные от функций по своему аргументу. В силу равенства ди0/д1 = 0 из (11) следует, что

В0т(Х) = -чОт{Х), тфО, (14)

и краевое условие на внешней границе вязкого подслоя принимает форму:

и0^У + В00(Х) + чО0(Х) + о(\), (У- + ^о)- (15)

Рассмотрим уравнение импульсов для коэффициентов второго приближения в разложениях (10):

ди\ I [г ди0 . ж/ д[/о В(,______д2 и$

~дГ~^и°Ж ' ^

Условие периодичности решения по времени в совокупности с соотношениями (12), (14) дает:

оо

и, = £ иш (X, У), иХт = ^ £ <га (X), тф 0. (17)

/Я=—оо

Функция и10(Х, У) остается неопределенной. Заметим, что, согласно (13), коэффициенты ряда (17) имеют особенности в точках Х=±а0, например, С/1 т= 0((Х -4- а0)_1/2), Х-+ — а0 + О. Дополнительный анализ показывает, что сглаживание указанных особенностей происходит в малых областях с продольным размером X—|с0|=О(р-1), причем осциллирующая составляющая решения не влияет на стационарное решение в главном приближении.

Из уравнения (16) в силу периодичности течения следует также дифференциальное уравнение для функций главного приближения, которое в совокупности с краевым условием (15), условиями прилипания на твердой поверхности и требованием затухания возмущений вверх по потоку приводит к искомой краевой задаче для вязкого подслоя в главном приближении:

11 ди° I 1/ ди°

ип

д, _д»и0 00 дУ2

ди0 <эк0_п

дХ + дУ ~~ и’

Г + 500(^) + ТЄ0(^) + о(1), (У

и<> = Ц> = о, (К=0),

і/0-*У, (Х-+-ОС).

+ оо),

(18)

Сформулированная краевая задача описывает установившееся течение со взаимодействием, обусловленное падением «размытого» скачка уплотнения на пограничный слой. Закон изменения давления в скачке определяется функцией бд^), которая показана на рис. 2

(кривая 1) вместе с коэффициентами при более высоких гармониках:

— 0\(Х) и С2(Х) (кривые 2 и 3). Таким образом, вибрирующий с большой частотой скачок уплотнения воспринимается пограничным слоем как стационарный, но несколько более сглаженный. В частности, согласно (13), давление в падающем скачке повышается непрерывно, однако градиент давления в точках Х=±ао+0 оказывается бесконечным.

4. Решение задачи о взаимодействии в линейном приближении.

Рассмотрим подробнее свойства решения краевой задачи (18) в том случае, когда интенсивность падающего скачка уплотнения мала: у<1. Представим функции течения в виде:

(£/о, ^0. А>о) = (Г, о, 0) + т (д7> о) + о (т*).

Пренебрегая в уравнении (18) слагаемыми порядка /у2, получим линеаризованное уравнение пограничного слоя относительно функции тока ф, решение которого (подобно тому, как это сделано в работе [7]) можно построить с помощью преобразования Фурье по переменной X. В частности, распределение возмущения трения на пластине г(Х) = = дЧр/дУ2(Х, 0) можно выразить через функцию Бесселя первого рода /0(г), а также через значения функции Эйри-А! (г) и ее производной в нуле [14] в следующей форме:

При выводе соотношения (19) было использовано легко проверяемое равенство:

Значения интеграла Фурье (19) были найдены по формуле трапеций с использованием полиномиальной аппроксимации функции Бесселя. Суммирование выполнялось в интервале |&|<50 с шагом Д/е = 0,02.

Результаты расчетов представлены на рис. 3, где показаны графики функции т(Я) при. Оо=0; 0,5; 1 (кривые 1—3 соответственно), а также функция 2 т(аоХ) при ао=20. Заметим, что увеличение постоянной а0 (характеризующей амплитуду колебаний скачка) сопровождается увеличением минимального значения т(^). Это означает, что интенсивность вибрирующего скачка уплотнения, при которой происходит зарождение отрыва в пограничном слое, оказывается выше, чем в случае неподвижного скачка.

(19)

а, = 3-^>, &0 = 13 АГ (0) И аг£ т | < я.

00

/0 (а0 й) = ]“ о; (X) ехр (- 1кХ) йХ.

—ос

-2

а

г к

I

-11

Рис. 3

Можно отметить также существенное различие в поведении кривых х(А') при больших и малых значениях а0. Это различие становится особенно наглядным в предельных случаях а0 0 или а0 оо. Предположим вначале, чтоа0С1. В силу равенства У0 (а0 к) = = 1—я2&2/4 + О(а^), а0 -+ О, из выражения (19) получим:

2

* (*] = Т, (А-) + ~ (X) + О (а<), а0 - О, X ~ 1. (20)

Главный член разложения соответствует решению задачи для неподвижного скачка (кривая 1 на рис. 3.). Можно показать, что (X) — (0) = О (X213), X -*■ + 0, поэтому разложение (20) оказывает-

ся непригодным в области Х = а0Хи Лг,~1, а0 -> 0, где напряжение трения представляется в виде:

т (*) = ^ (0) +а2/3(*,) + .... (21)

После несложных преобразований Для производной от второго члена разложения можно получить следующее выражение:

З1'2 (±\ Г ,, Н(Х1-и)Чи ....

н№)“ я 1з/3 (АГ1-м)1/3(1— и’»)1''2' ' ’

—1

Здесь Г (г) — гамма-функция Эйлера, Н (г) — функция Хевисайда. Согласно выражениям (21), (22) минимальное значение возмущенного трения достигается в точке Хх = — 1 (X = — а0); при Х:>—1 трение монотонно возрастает. Нетрудно видеть, что если Х1 -[-оо, то ти = 0(Х2/3), что согласуется с поведением решения при X—1,

X -> 0. /

Рассмотрим теперь другой предельный случай а0 -> + со. Полагая Х = а0Х1, А'1~1, & = а(^15, в—1 и выполняя под знаком интеграла в (19) формальный предельный переход а0 + оо, получим представление решения в виде:

х(Х) = а-21 зт,^) + ..., т/Л_31/29, Г_________н^-и)йи_______,\Х,\ф\.

-1

(23)

Главный член разложения (23) имеет особые точки ^ = + 1. Например, *с2 = 0 при Хг < — 1, т2~(Л-, + 1)_1/6 при Хх -*— 1+0. Если же X! -> + 1, то т2 — | Хх — 1 I-1/6. Наличие подобных особенностей указывает на неправомерность представления решения в виде (23) в малых окрестностях особых точек. В самом деле, при больших значениях аргумента функция Бесселя имеет асимптотическое представление вида:

оо.

Соответственно для напряжения трения (19) имеем приближенное равенство

00

/

ехр р ^гХ + а0 I к | — ^ + ехр р |'кХ — а0 ] к | +

(2 ™0)1/2 ' | к I1'2 (/Л)1'8 [(г£)4/3 - »„]

йк. (24)

Положим Х = — а0 + Х2, Х2—1 и заметим, что

kX2, k>0,

у у. , , , ■ f kX2, k > О,

kX -t- а01 k I- j kx^ _ 2 ka^ k <

kX — an\k\ =

■ 2 ka0 -|- &A\,, A > 0, k < 0.

Используя приведенные равенства, представим выражение (24) в виде суммы двух интегралов по интервалам (—оо, 0), (0, +оо) и отбросим слагаемые, содержащие под знаком интеграла быстроосцил-лирующий множитель ехр(—i2kao). В итоге получим представление решения в виде:

ЦХ) = а^Ъ1(Х2)+...,

СО

Г exp (ikX2) dk

21

/ у \______U1 I слр yin.s\2f

{2>~~ (2 J {tkf*№)4,3

Из последнего выражения следует, что при Х2 -*■—ос функция T2i№) экспоненциально затухает; если Х2 +оо, то х21 ~ Х~1/6, что необходимо для сращивания с решением при Хг -»■ — 1 +0.

Аналогичный анализ решения при Х=а0-\-Xs, Хв—1 дает: x(X) = a-w х„(ДГ8)-h ,

, v . ' f exp (ikX3) dk_________

^22 И 3) — (2jc)1/2 J (_ik)■

— CO

Таким образом, при больших значениях параметра а0 возмущение трения i(X) имеет два минимума, которые по порядку величины равны 0(а~112) и достигаются вблизи точек Х=+а0. Этот вывод хорошо иллюстрирует кривая 4 на рис. 3(а0 = 20).

Автор благодарит В. В. Сычева и А. И. Рубана за внимание к работе и обсуждение результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. — Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1529.

2. Нейланд В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа. — Успехи механики, 1981, т. 4, вып. 2.

3. Smith F. Т. On the high-Reynolds number theory of laminar flows. — IMA J. Appl. Math., 1982, vol. 28.

4. P у б а н А. И., Сычев В. В. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. — Успехи механики, 1979, т. 2, вып. 4.

5. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

6. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation. —

Proc. Roy. Soc. Lond., A, 1969, vol. 312.

7. Stewartson K. On laminar boundary layers near corners. —

Quart. J. Meeh. Appl. Math., 1970, vol. 23, pt. 2.

8. H e й л а н д В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем. — Изв. АН СССР, МЖГ,

1971, № 4.

9. Jenson R., Burggraf O. R., Rizzetta D. P. Asymptotic solution for viscous flow past a compression corner. — Proc. 4th Int. Conf. on -Num. Meth. in Fluid Mech., Lecture Notes in Physics, Springer — Ver-lag, Berlin etc., 1975, vol. 35.

10. Рубан А. И. Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7, № 2.

И. Rizzetta D. P., Burggraf О. R., Jenson R. Triple-deck solutions for viscous supersonic and hypersonic flow past corners. — J. Fluid Mech., 1978, vol. 89, pt. 3.

12. ВгЛп S. N., Daniels P. G. On the viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillating plate. — J. Fluid Mech., 1975, vol. 67, pt. 4.

13. Huang М. K., Inger G. R. Application of unsteady laminar triple-deck theory to viscous — inviscid interactions from an oscillating flap in supersonic flow.—Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows, N.-Y., etc., Springer—Verlag, 1984.

14. Справочник по специальным функциям./Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

Рукопись поступила 9/IV 1987