О пространственных течениях около неровностей на поверхности осесимметричного тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м XXIV 1993

М 1

УДК 532.526—3

О ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЧЕНИЯХ ОКОЛО НЕРОВНОСТЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА

Вик. В. Сычев

Рассмотрено стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса около тонкого осесимметричного тела, имеющего на своей поверхности трехмерную неровность. Исследуются режимы обтекания, при которых имеет место взаимодействие течения в трехмерном пограничном слое с внешним потенциальным потоком. Получены решения линеаризированных краевых задач для области взаимодействия.

Асимптотическая теория взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком для трехмерных стационарных течений около пространственных неровностей, расположенных на поверхности обтекаемого тела, была впервые развита в работах [1, 2]. В [1] рассматривалось обтекание пространственной неровности, которая лежит на плоскости, а ее поперечный размер совпадает по порядку величины с продольным размером области взаимодействия для полностью двумерного течения. В [2] было исследовано течение в круглой трубе, имеющей на некотором отрезке пространственную деформацию. Изучение течений несжимаемой жидкости со стратификацией во внешней области и при гипер-звуковых скоростях набегающего потока были посвящены соответственно работы [3] и [4, 5]. В [6] рассматривалось течение на режиме, когда отсутствует вытесняющее действие вязкого подслоя во внешнюю область (компенсацио'нный режим), причем был обнаружен эффект передачи возмущений вверх по потоку от неровности, который, как известно [7], не имеет места в плоском случае. Этот режим был рассмотрен также в [4, 8, 9]. Новый тип взаимодействия (продольно-попереч-ное взаимодействие), присущий, в отличие от перечисленных выше, только трехмерным течениям, и который реализуется при обтекании пространственных неровностей, лежащих на искривленной поверхности, был изучен в [10, 11].

Во всех упомянутых работах решения сформулированных краевых задач строились путем их линеаризации. Решения исходных нелинейных задач получены в [12—16]. Так, в [12] и [13] это было сделано для течений на компенсационном режиме, соответственно, около неровно-

Рис. 1

сти, имеющей периодическую структуру в поперечном направлении, и для свободно развивающегося пограничного слоя, а в [14—16] — для пограничного слоя несжимаемой жидкости со взаимодействием.

В работах [17—19] (см. также [8, 9]) была представлена классификация различных режимов течения в зависимости от геометрических размеров неровностей.

В описанных выше работах изучались главным образом внешние задачи для неровностей, расположенных на плоскости. Настоящая работа посвящена рассмотрению трехмерных течений со взаимодействием около неровностей, лежащих на поверхности тонкого осесимметричного тела. Тем самым дается обобщение результатов теории взаимодействия для осесимметричных течений, развитой в работах [20—26]:

1. Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости около тонкого осесимметричного тела, помещенного в однородный набегающий поток под нулевым углом атаки. Пусть поверхность тела представляет собой для простоты круговой цилиндр и на расстоянии / от его носовой части имеется пространственная неровность (рис. 1).

Обозначим через lx, 1г, 0 цилиндрические координаты, через и^и, UooV, UooW и Poo + pUcc2p—соответствующие проекции вектора скорости и давление. Ось Ох будем считать совпадающей с осью симметрии тела, а начало системы координат — с его передней кромкой. Здесь и0о, Роо — скорость и давление в набегающем потоке, р — плотность жидкости. Число Рейнольдса Re = Uoo//v, где v — коэффициент кинематической вязкости.

Будем полагать, что радиус тела rw = lr06 по порядку величины больше, чем характерная толщина пограничного слоя, т. е. 6 = = 6(Re)->-0, 6>0(Re-1/2) при Re—>-оо; r0 = const. Обозначим через е и сгб масштабы для продольного и поперечного размеров неровности, а HRe~112—для ее максимальной высоты, причем e = e(Re)->0, h = = h(Re)—>-0 и o = o (Re) <0(1) при Re-»-oo. Тогда решение для пограничного слоя перед неровностью с помощью преобразования Степанова—Манглера сводится к задаче Блазиуса о плоском течении около пластины и при л:—1->----0:

«^о(У); г-= r0h + Re-1'2.у, U0(oo) =1,1 = аоУ + 0 (У4) при У-+0, а0 = 0,3321. |

Изменения скорости и давления, вносимые в поток неровностью, согласно результатам теории взаимодействия, передаются на внешнюю

границу пограничного слоя. При этом область взаимодействия, охватывающая неровность, имеет трехслойную структуру (см. [27, 28]).

Анализ течения в этой области начнем с рассмотрения вязкого пристеночного подслоя, имеющего толщину порядка высоты неровности, которую будем предполагать малой по сравнению с поперечным размером неровностей: /гИе ~|/2 <0(стб).

Исходя из баланса инерционных и «вязких» членов с градиентом давления и учитывая, что течение в общем случае должно быть трехмерным, а приходящий к рассматриваемой области профиль скорости при у-*-0 имеет вид (1.1), представим решение для подслоя в виде

А:

,1/3.

Х-.— 1 = гх*, г — г0Ь +

и = &113и0(х*,у*,г*) = а-13 Не~,/2г>0 (л:*,)/*,г*)

ед ^ зае-23од0(х*,;у*,.г*) - г • •

Р = ^13Ро(х*, у*, г*) +

(1.2)

Подставив эти разложения в исходную систему уравнений Навье-Стокса, приходим к уравнениям трехмерного пограничного слоя:

и,

и

°<Эл:* ^ 0

дю0

°дх*

ди„

ду*

дт0

ди0 др0

ди,

дх*

дVr,

0 дг

дт,

дг

дх*

'° I о дри

• ~о дг*

о_ I , дпо ' ду* дг*

= 0,

Ори . ду*'

= 0,

д'иц

ду *2 •

д"т0 ^ ду’

(1.3)

которые содержат параметр

Возможны по крайней мере три различных режима течения в зависимости от £20: Яо=1, ^о-^О, Оо-*00, каждый из которых и будет исследован.

2. Начнем с рассмотрения случая, когда в (1.3), (1.4) значение йо=1, т. е. е = стб, так что продольный и поперечный размеры неровности суть величины одного порядка.

Условия прилипания на поверхности тела и сращивания с приходящим к области взаимодействия профилем скорости (1.1) имеют вид

u0 = v0 = w0 = 0 при у* =/о(**,*•); и0^а0У*, ъ0 — 0, даи-^0, р0 = Р(х*,г*)-+ 0 при X* -*■ — оо.

Функция [о{х*, г*) определяет форму неровности, которую будем полагать изолированной: ?о-*~0 при |х*|->-оо.

В основной части пограничного слоя, где у = 0( 1), в главном приближении сохраняется профиль скорости (1.1). Это определяет асимптотическое разложение решения системы (1.3) при у*->оо (см. [1]):

(2.1)

«О = а0у* + А (х*, г*) + О (у* ), дА

бх

-,у* + 0(1), Ь0==-?^-г2- + О(у*-3),

О

— _!_ | А -> О при л** — —оо..

а0

(2.2)

Переходя в этом разложении к переменной у из (1.1) и используя

(1.2), находим, что в основной части пограничного слоя решение может быть представлено в виде

а “ *Му) + «1/3£Л (**. у, г*) +...,

Л

г-2/3 Ке-1,2 у^х*,у, 2*)+

V ==

© = г2/3 Ц7] (Л*, у, 2*)+...,

/» = б2/3Д(д:*>1у>2*)+... .

Подставив (2.3) в исходную систему уравнений, получим:

-1 дА

(2.3)

л

с/,-

л

\^ =

аё'А (х*, 2*) и'0 (у), О, = -ао"1ио (у), Р1==Р(х*, г*).

___П(х* г*1»

и0(у) и^х > 2 >'

(2.4)

Это решение, в силу (2.2), при у-*-0 удовлетворяет условиям сращивания с разложением (1.2) для подслоя и при л;*->—оо — с приходящим профилем скорости (1.1).

Для замыкания системы соотношений в области взаимодействия необходимо рассмотреть течение в ее внешней части, где г—г0б = О(е). Из выражений (2.3), (2.4) и (1.1) при у-+оо следует, что здесь

/• = г08 + ег*, 8 = --,

й = 1 + £2%! (х*, г*, г*) + ..., у = г-23^е~112‘д1(х*, Г*, 2*)+..., Т1) = г113‘Я)1(Х*, Г*, 2*)-)-..., р = (х*, Г*, 2*) + ... .

(2.5)

При взаимодействии внешнего потока с пограничным слоем вытесняющее действие последнего и изменения давления являются взаимообусловленными, т. е. составляющая вектора скорости V и давление при г* = О (1) — величины одного порядка. Это означает, согласно

(2.5), что е = Не~3/8.

Рассмотрим сначала случай, когда о-Ю при Ие-^оо. Поскольку при этом величина радиуса цилиндра 6 = есг1 = Не-3/8 <т-1>0(Н~3'8),т.е. по порядку величины больше продольного и поперечного размеров неровности, мы приходим в главном приближении к задаче об обтекании пространственной неровности, лежащей на плоскости, которая была рассмотрена в работе [1]. Действительно, подстановка (2.5) в систему уравнений Навье—Стокса приводит к уравнению Лапласа для

потенциала вектора скорости, решение которого определяет связь между функциями Р(х*, г*) и <4(л:*, г*) (см. [1]). При этом, в силу того, что 8 = 3/8а—1 < 0(1) и а -+■ 0, находим: а > О (Ие-3'8),

5>0(Не-3'8).

Пусть теперь а=1, т. е. неровность, имеющая высоту 0(Ке-5/8) (см. (1.2)), охватывает всю поверхность цилиндра или ее конечную часть по углу 0 на отрезке х—1 = 0(Не~38). В этом случае (е = 6 = =Не_3/8)подстановка (2.5) в исходную систему уравнений дает следующее уравнение для потенциала:

Из сращивания решений (2.3), (2.4) и (2.5), (2.6) при у-*-оо и г*-*-О находим, что

Здесь также выписано условие затухания возмущений на внешней границе рассматриваемой области.

Будем обозначать через /* (со) фурье-изображение функции f(x):

Тогда, как известно [29], решение уравнения (2.6), удовлетворяющее внешнему краевому условию в (2.7), имеет вид

где Кп (I «) | г) -- модифицированная функция Бесселя второго рода и я-го порядка, с„(ш) и (1п (<о) остаются произвольными. Удовлетворяя краевым условиям при г = г0 в (2.7), находим связь между фурье-изображениями коэффициентов ряда Фурье функций Р(х*, г*) и А (х*, г*):

Ол - 0r-i г Or fi и* * ’

(2.6)

r = r0 + г*.

(2.7)

при г — г0; <рО при д:‘2 + г3-> со.

ОО

—со

со

?* = [СП (®) cos + dn (ш) sin АГ„ (IШI Г), (2-8)

n=0

Эта система соотношений замыкает задачу для области взаимодействия. Заметим, что в частном случае, когда течение осесимметрично (я = 0), мы приходим к задаче, рассмотренной в [24, 25].

Аффинные преобразования

х* = ао514Х, у* = акГ3V, г* — а5"5,4Д /0 — а^3,470> ) и^аТи, v,=-aTV, Р = а^Р, (2-Ю)

Л = аУ4Д’, Е) — ао~1;2£>, г0 = 5/4 Го )

позволяют исключить постоянную а0 и для функций £/ (X, У, 2), ¥(Х, У, Z),... в (2.10) приходим к краевой задаче вида (1.3), (2.1),

(2.2), (2.9), в которой а0=1 и г0 заменено на г*. Решение этой нелинейной задачи, описывающей течение в вязком подслое области взаимодействия, представляет большие математические трудности. Поэтому, представляя выражение для формы неровности в виде [а=

— Н0Р()(Х, Z) и считая И малым параметром, произведем линеаризацию:

и = У + ни + ..., ■V=*HV \ ..., Ш^-1№ '■ ..., )

Р=НР+..., А =■ НА -4-..., 0 = НВ+... . (

(2.11)

Если теперь Р0(Х, 2) и вместе с ней искомые функции в линеаризованной задаче разложить в ряды Фурье, причем для Р0, и, V, Р, А вида

Р, - У вп {X) со* + Сй (X) вт Щ-Го го

и для УР и О вида

(X, У)8тПА IУп(Х, V) С08 ПЛ

п=0 ° " °

(2.12)

(2.13)

то для коэффциентов этих рядов получается следующая краевая задача:

у 11/1 лРп

Ж ' "■ Ж

у п___ п р

дУ*

дХ

'о

<тп

ип~-Оп(Х), Уп~Шп=-- 0 при У — 0; и„-*Ап(Х), УГ„ ^Бп(Х) при У -»■ со; (ип, Уп, Рп, А„) - 0 при X - —оо;

Аг.

Кп М г0

р;н, о’п = Рп (X).

(2.14)

Здесь и+п=-и- = ип и т. д. и = - йп ~ Оп.

2— «Ученые записки № 1 17

Решение задачи (2.14), как обычно (см. [1, 2]), находится с помощью преобразования Фурье. В результате для фурье-изображений функций давления и трения на поверхности тела (хх = ди/дУ \ у=о,

= д'№/дУ\| у_о получаем:

«о (<<°)2 0*„ (“)

р________ _____________

" а0 | со | К (») + (ї'®)7/3- № (і«>)1/3 ’

ххп = [Ро (Н2/3 'Ь То (*«>)'4/3] К Н,

ч'гп =* 7,Л/(*Ш)-1/Зя;и, | а^(г‘и>),/3 | < у , о1

К

АГ„ (| о* 1

0 “ 1 Г М 0)

уі;.(0)

, а0= — ЗДг(0),

о)

Чо;

~ Л^*(р0 -4- т,)» 7і =

2тса„

3]/У ’

(2.15)

где /4,(0) и /1/(0) —значение функции Эйри и ее производной в нуле.

Из полученных выражений (2.15) можно найти асимптотическое представление решения при |^|->оо. Так для я = 0

Р0 = ]/2лГоОо (0) (— Х)~3 + ...,

*хо=Ут гоРД(0)Г при Х^-

___*2 / \

р« ='- VI -7Г °;<°>г (т) Х~'т^ + -•

™г;Р„о; (в) г (н) . „р„ х

-оо.

оо

(2.16)

и для п> 1

_______ 2я + 1

Г' 1

0«(0)

—(2"+ !■) ,

^я=То^оГ(2я + ^ (-*)

Т2-Л = 7іМ0Г (2я 4-®.|(_(2И+3) 4-... при X->—со,

^=/£^-Г(ї)^10/3 + -'-—у" ^ ^ с: (о)г (-§-) а--^8+...,

*г«=У2і чОп (0) Г (|) *-в/з + ... при X ■

(2.17)

00.

Таким образом, с увеличением п степень распространяющихся вверх по потоку возмущений ослабевает.

Рассмотрим в качестве примера неровности вида: бп(Х) =

= ехр(—Х2/2). Совершив обратное преобразование Фурье (2.15), находим:

Рп^ук [0)5/3 Т»М [(2^0 + /3 5,) сскаХ + 5, 81птА’] йш,

*хп= ( «>1'3(Рощг — Та) Т М С*пН X

О

о

X Нл + 1/ 3 5|) созюА' — (]/ 35о + 5,) бш шХ\ </«),

хг„ = *й£- Г о^Т(т) 0*п (ш) [{V3 50 4- Л',) соз шЛ” +

V 2п •'

Г П

+ (50 + 1^3 5^ з!п шА']

Т~х = 5о + V3 ЗД + 5?, 50 = а0ш^К (ш),

5, = -(«* +ЛГ*), с; = ехр(-у).

На рис. 2—4 представлены графики этих функций при различных Го для значения п = 3.

3. Обратимся к рассмотрению режимов течения для предельных значений параметра й0 в (1.4).

Пусть Йо-Ч), т. е. е<0(о6) и поперечный размер неровности превосходит продольный по порядку величины. В этом случае мы очевидно приходим к квазидвумерному течению, детально рассмотренному в [30]. Действительно, в силу того, что из второго уравнения (1.3) выпадает дро/дг*, значение ш0 = 0. Разложения (1.2) остаются в силе, но при этом ш = е1/3йо/2аУ1 (**, у*, г*) + .... Подстановка этих разложений в исходную систему уравнений показывает, что функция м)1{х*, у*, г*) находится независимо от решения задачи нулевого приближения, в ко-

Рп

0,1

'ВЦ

г

/ \ 0,04

« -2 -1\\о 1 / X 4

ч --0,04 /

-ОД

-0,12 .V/

Рис. 4

торой г* играет роль параметра. Из анализа основной части пограничного слоя и области внешнего потока следует, что рассматриваемый режим взаимодействия имеет место при е = Не~38 (см. [30]). Соответствующее решение может быть получено в результате предельного перехода Го->-оо в (2.15).

Перейдем теперь к анализу течения при йо-*-00- Согласно (1.3) в области вязкого подслоя в этом случае др0/дг* = 0. Следовательно, необходимо рассмотреть следующий член разложения для давления в

(1.2). В результате получаем, что

Р = г2,3Л> (**. У*> г*) +• е2/3йо_1Р1 (х*. У*, г*) +••• (3.1)

и подстановка (1.2), (3.1) в систему уравнений Навье—Стокса дает: ип

дио , .. ди0 ди0 др0 а»п„

+ г>о 1- ^ — '

о дх*

дто дх*

ду*

Мл

Т, _ ^»о

0 О I ^1= ду*2 ’

дх

- + * 1

ду0 ду*

дюр

дг*

■О,

дро _ др0 _ др

ду*

дг*

^ =0 ду*

(3,2)

Краевые условия на поверхности тела и при х*—>— оо, у*-уоо

Л

определяются выражениями (2.1), (2.2), в которых р0 = Р(х*), р1 =

Л

= Р(х*, г*) и Р(—оо) =0. Тогда в основной части пограничного слоя

и

^оЫтбшЦ(х4, у, 2*)+...,

v = *-WRe-ч2V1^x*, У, 2*)+-. ® = в8«->/з 1Р,(**, у, 2*)+..., р—£1гРх(х*, у, г*) + . . . [ у, г*)+ ...

(3.3)

л л

и соответствующее решение имеет вид (2.4), причем Рх — Р(х*), Р,= Р(х*, г*).

Для замыкания системы соотношений в области взаимодействия, рассмотрим течение в ее внешней части. Остановимся на случае, когда а=1, т. е. исследуем по-существу ту же задачу, что и выше, но для тела с меньшим радиусом: б<0 (Ке~3'8).

В отличие от режима течения рассмотренного в п. 2, в силу того, что 8>0(б), в данном случае, как и для осесимметричных течений при б<0(Ие ~3'8) [20, 25], сращивание асимптотических разложений во внешней области и основной части пограничного слоя проводится при у-+-оо и г = е_1г-^0. Решение (2.8) для потенциала, содержащее функции Бесселя, при г-»-0 имеет особенность вида =0(г~1), л> 1. Вследствие этого решение во внешней области будем искать в виде

х

1

г**, г— гг, 0 —Го ’г*,

:6**+ 2 {*„?„(**. Г, 2*)+...,

11 = 0

дер 1 ду

а' — Т1- , ЧЮ — — .

дг ' г дЬ

д<?

Р-Тх'

(3.4)

где Цп = |Яп(Ре)->0, Цп<0(е), Цп+1 = 0(|Хп) При Ке~>00.

Подставляя это разложение в систему уравнений Навье—Стокса для функций фп (х*, г, 2*), приходим к уравнению вида (2.6) и его решение, удовлетворяющее внешнему краевому условию (2.7), совпадает с (2.8). Используя разложение для функций Бесселя при, малых значениях аргумента и выражения (2.4), произведем сращивание разложений (3.3), (3.4) при у-+оо и г-*-0. В результате получаем замыкающие соотношения:

Наиболее важным здесь является тот факт, что в ряде Фурье функции А (х*, г*) отличной от нуля остается лишь нулевая гармоника.

Таким образом, течение в вязком подслое области взаимодействия описывается решением краевой задачи (3.2), (2.1), (2.2), (3.5), кото-

Л !/2 — ~

рая в результате замены переменных (2.10) вместе с Р= ао Ро, Р— = Ло/2/э1 приобретает вид

V — -1. у!Ш-и дХ^ у дУ

лг

дХ

дР,

' д У* ’ дг дУ- ’

ЁУ-.Л.*?. +ш=0.

дХ ^ дУ ^ дг и’

и-~= V=1г=о при к4/0(X, нр0(х, гу,

и-+У +А (X), У ¥5 [X, г) при ) ->■ оо; и -+ У, (V, ХР, А, Рл) ->0 при X -со;

дР,

дИ

ах.

(3.6)

Полагая значение Н малым, произведем линеаризацию задачи

(3.6), представив решение в виде (2.11), и разложим далее функции /го, и, V, Рх и Ъ в ряды Фурье, соответственно вида (2.12) и (2.13). В результате для коэффициентов этих рядов получается следующая задача:

у ди„ .і» , ііРр ¥ Тх + + 1х

у<№п

' дХ '

— Р

* * л

дЧГп ~ дУ* д*Жп дУ- ’

дип

+ ^ + 4 и/„ = 0;

дХ[дУ г

ип=-Оп(Х)! Уп= ЧУа = 0 при У = 0;

и0 + А0(Х), и„~* 0, УШп^Оп{Х), л>1 при У-оо;

(£/„, Уа, ХГП, Рп, Л0) -* 0 при X - -оо;

Р0 --гІА'о(X), 0'„ = 4 РП(Х).

(3.7)

Здесь и^~1П = ип и т. д., \УЇ

РЇ = — Оп= Д,-

При п = 0 приходим к задаче для осесимметричного течения, которая была решена в работах [20, 31, 32]. Здесь, как и для других задач теории взаимодействия, характерным является эффект распространения возмущений вверх по потоку от неровности.

Для всех следующих коэффициентов рядов в (3.7) (я>1) возникает задача о течении «в компенсационном режиме»: 0 при К-»-оо.

Ее решение, как обычно (см. [28, 1]), строится с помощью преобразования Фурье. В результате получаем:

где схо, уо, VI и N определены в (2.15). Эти выражения, как и следовало ожидать, могут быть получены путем известного [25] предельного перехода при г*-^0 из решения (2.15).

На основании (3.8) находим, что при Х^оо

в то время как (для неровностей с б’ (0) =сопз!) согласно [32] при я = 0: Ро=0 (X"16'3) и та' 0=О (Аг-И/3). Таким образом, как и в общем случае (см. (2.16), (2.17)), здесь пространственные возмущения затухают вниз по потоку медленнее чем осесимметричные.

Обратное преобразование Фурье (3.8) дает:

Полученные выражения указывают, что здесь, как и для плоских течений [7], в масштабе х—1 = 0(е) распространение возмущений вверх по потоку отсутствует. В качестве примера рассмотрим неровности вида:

(3.8)

= (0) г(£)дм/з + ...,

^ = /?Л10*( 0)г(£)*-7/» + ...,

(3.9)

0 при А' < О, X > 1

ИйХ{\—Х) при 0<А<1.

Тогда, на основании (3.9), находим.-

(ЗЛО)

І О, Х<0 -Р1 = --*1 0 < : 1

І 5’»- А'13, А' >' 1;

О, *<0

2 “ 5

_3 2

І^'з - І-Л'5'3, 0< ^<1 З (52/з _{_ А'2'3) + | (55/3 - Л'5'3), Х>\;

Тг =

0, X < 0

~Х2'\ 0 <Х < 1

2 (52.3 •

А2/3), X

где 5 = Х—1. На рис. 5 представлены графики этих функций.

Интересно, что если в решений отсутствует нулевая гармоника, то возможен еще ОДИН режим течения СО взаимодействием при йо-^-ОО и 0=1. Действительно, пусть в (3.4) фр = 0, тогда в результате сращивания разложений (3.4) и (3.3) получаем:

Л Л

где Рп{х*), Ап (х*)-коэффициенты рядов (2.9) и р0—р (х*)~=А0(х*) — = 0. Этот режим соответствует обтеканию „длинных" неровностей (1?е-3/8 < О (з) < 1) специального вида, для которых в представлении (2.1‘2) СТо" (Л) >= 0,-т. е. когда деформация поверхности цилиндра не приводит к изменению площади его поперечного сечения.

(З.И)

Таким образом, течение в вязком подслое описывается решением задачи, в которой по сравнению с рассмотренной в п. 2 условие взаимодействия вместо (2.9) имеет вид (3.11) и в уравнениях отсутствует продольная составляющая градиента давления. После преобразований

(2.10), линеаризации (2.11) и представления функций в виде рядов Фурье (2.12), (2.13) приходим к задаче (3.7), в которой: при У->-оо

Уп А„ (X), Ря = -^-А'я(Х), п 1

и Р0 (X) = А0 (X) = в0 (X) = 0. В результате решения этой задачи находим:

а0(/Ш)2О;Н П~~а0М + № (/о>)|/3 ’

т:*Хп~{оМ2{Ш)~4/3Ри«>),

•4, = Т>^М-,/3 РпП, то = -(Ро + Т.).

(3.12)

Функция Р*п(ю) не имеет полюсов в плоскости со с разрезом вдоль положительной мнимой оси. Следовательно, как и при продольно-попе-речном взаимодействии на выпуклой поверхности [11], здесь отсутствует передача возмущений вверх по потоку от Неровности. При Х-*-оо, согласно (3.12), асимптотическое представление решения имеет вид (2.17). Заметим также, что выражения (3.12) можно получить из (2.15) при /г> 1 предельным переходом:го 0, Го = 0(ш’/3).

В результате обратного фурье-преобразования (3.12) получаем:

Х = №Х, (?„ = е„(^), Рп^М-‘Р°(Х), *Ха = М-1Т°х(Х), т*я = ЛМ7^(*);

со 00

Рй—та^Ф0{£)Оп{Х—()^, Т°х = — /гаото]* Ф1(0Ол(А —

О О

оо

Ф2Ц)(Тп{Х - /и0 = ^а0;

О

оо 00

ф .... I ......ф „г^(^ + а0),-^/г

0 _! <?(«) 31*) а8>

о о

ОО

Ф2 = [ аЯ/3(д1/3с?+)ао)е~Д< с1з, я = + «V’'» + 0,1

Возьмем в качестве примера неровности вида (3.10) с Л0 = 1; графики функций/50 (Х),Т°х(Х), Т"2(Х) представлены на рис. 6.

Итак, проведенный анализ показывает, что для обоих режимов течения при 6<0(Ке~3/8) пространственная («> 1) деформация поверхности не приводит к распространению возмущений вверх по потоку.

-0002

о.пвч

П,№

о

Рис. 6

В заключение заметим, что в рассматриваемом случае (йо-^00) при о->0 приходим к течению с поперечным взаимодействием [17, 10], соответствующему обтеканию вытянутых по потоку узких неровностей, лежащих на плоскости. При этом в (3.1), (3.2) значение ро=0 и рассмотрение области внешнего потенциального потока при г—6г0 = = 0(аб), е= (сгб 1?е,/2)~3 и о£>0(Не1/2) приводит к выражению

замыкающему задачу для области взаимодействия.

4. Проведенный анализ показывает, что общий случай режима взаимодействия, как и для осесимметричных течений [21—25], реализуется при обтекании неровностей на теле с радиусом порядка Ие~3/8. Другие из описанных режимов могут быть получены путем предельных переходов при/*0^00 и Го (см. п. 3). Кроме того, следует заметить, что увеличение и уменьшение длины неровности будет приводить в вязком подслое (как, например, для плоских течений [33]) соответственно к течению с заданным распределением давления и «в компенсационном режиме». Заметим также, что, как и при обтекании трехмерных неровностей на плоскости [1], для которых характерно более медленное по сравнению с двумерным течением затухание возмущений вниз по потоку, в данном случае пространственные возмущения затухают медленнее осесимметричных. Если же сравнить возмущения, вносимые пространственной неровностью в плоский и осесимметричный пограничные слои, то оказывается (см. [1] и (2.17)), что в обоих случаях продольная компонента трения тх = 0\Х\ ~и/3) при А-*— оо и тх=0(Х~513) при X—>-оо, в то время как давление при Х~^оо в осесимметричном случае затухает быстрее.

Автор благодарит А. И. Рубана и С. Н. Тимошина за внимание к работе и ряд полезных замечаний.

(см. [10])

— СО

1. Smith F. Т., Sykes R. I., Brighton P. W. M. A two-dimensio-nal boundary layer encountering a three-dimensional hump//J. Fluid Mech. — 1977. Vol. 83, pt. 1.

2. S m i t h F. T. On entry-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes//J. Fluid Mech. — 1976. Vol. 78, pt. 4.

3. Sykes R. I. Stratification effects in boundary layer flow over hills//Proc. Royal Soc. London, ser. A.— 1978. Vol. 361, N 1705.

4. Липатов И. И. Обтекание локальных пространственных неровностей на дне ламинарного пограничного слоя в режиме слабого гипер-звукового взаимодействия//Труды ЦАГИ, — 1980, вып. 2079.

5. Липатов И. И. Пространственное обтекание малой неровности ламинарным пограничным слоем//Ученые записки ЦАГИ,— 1980. Т. 11, № 2.

6. Smith F. Т. Pipeflows distorted by nonsymmetric indentation or branching//Mathematika, — 1976. Vol. 23, pt. 1, N 45.

7. Боголепов В. В., H е й л а н д В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа//Труды ЦАГИ, — 1971, вып. 1363.

8. Боголепов В. В., Липатов И. И. Исследование пространственных локальных ламинарных течений//ПМТФ.— 1985, № 1.

9. Боголепов В. В. Исследование малых пространственных возмущений ламинарного пограничного слоя//ПМТФ.— 1987, № 5.

10. Рожко С. Б., Рубан А. И. Продольно-поперечное взаимодействие в трехмерном пограничном слое//Изв. АН СССР, МЖГ.— 1987, № 3.

11. Рожко С. Б., Рубан А. И., Тимошин С. Н. Взаимодействие пространственного пограничного слоя с вытянутым препятствием// Изв. АН СССР, МЖГ. — 1988, № 1.

12. Sykes R. I. On three-dimencional boundary layer flow over surface irregularities//Proc. Royal Soc. London, ser. A. — 1980. Vol. 373, N 1754.

13. Smith F. T. A three-dimensional boundary-layer separation// J. Fluid Mech.— 1980. Vol. 99, pt. 1.

14. Duck P. W., Burggraf O. R. Spectral solutions for three-dimensional triple-deck flow over surface topography//.!. Fluid Mech. — 1986. Vol. 162.

15. Smith F. Т., Edwards D. E. 3D interactive-boundary-layer flow over surface-mounted obstacles, at various medium-to-high Reynolds numbers//UTRC 88—35, United Technologies Research Center, 1988.

16. Bodonyi R. J., Duck P. W. A numerical method for treating strongly interactive three-dimensional viscous-inviscid flows//lnt. J. Corn-put. Fluids. — 1988. Vol. 16, N 3.

17. Боголепов В. В. Общая схема режимов пространственных локальных течений// ПМТФ. — 1986, № 6.

18. Боголепов В. В. Анализ режимов обтекания малых пространственных неровностей на поверхности тела//Труды ЦАГИ.— 1988, вып. 2376.

19. Боголепов В. В. Исследование режимов пространственного течения около искривленной поверхности//ПМТФ. — 1989, № 1.

20. Три губ В. Н. Взамиодействие пограничного слоя с внешним потоком при обтекании тонких осесимметричных тел//Ученые записки ЦАГИ, — 1983. Т. 14, № 6.

21. Huang М.—К., Inger G. R. Application of the triple-deck theory of viscous-inviscid interaction to bodies of revolution//,!. Fluid Mech. — 1983. Vol. 129.

22. К 1 u w i с k A., G i 111 e r P., Bodonyi R. J. Viscous-inviscid interactions on axisymmetric bodies of revolution in supersonic flow//J. Fluid Mech. — 1984. Vol. 140.

23. G i 111 e r Ph., К 1 u w i с k A. Triple-deck solutions for supersonic flows past flared cylinders//J. Fluid Mech. — 1987. Vol. 179.

24. Duck P. W. The effect of a surface discontinuity on an axisymmetric boundary layer//Quart. J. Mech. Appl. Math. — 1984. Vol. 37, pt. 1.

25. Т и м о ш и н С. Н. Ламинарное течение в окрестности линии излома поверхности удаленного тела вращения//Ученые записки ЦАГИ. — 1985. Т. 16, № 5.

26. Тимошин С. Н. Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком при продольном обтекании удлиненных тел вращения//Ученые записки ЦАГИ. — 1986. Т. 17, № 2.

27. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений//Труды ЦАГИ.— 1974, вып. 1529.

28. Stewartson К- Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies//Adv. Appl. Mech. — 1974. Vol. 14.

29. A d a m s М. C., Sears W. R. Slender—body theory—review and extension//J. Aeronaut. Sci.— 1953. Vol. 20, N 2.

30. Gittler Ph., Kluwick A. Interacting laminar boundary layers in guazi-two-dimensional flow//Fluid Dyn. Res. — 1989. Vol. 5, N 1.

31. Merkin J. H., Smith F. T. Free convection boundary layers near corners and sharp trailing edges//Z. angew. Math. Phys. — 1982. Vol. 33, N 1.

32. Merkin J. H. Free convection boundary layers over humps and indentations//Quart. J. Mech. Appl. Math.— 1983. Vol. 36, pt. 1.

33. Smith F. Т., Brighton P. W. М., Jackson P. S., H u n t J. C. R. On boundary-layer flow past two-dimensional obstacles//J. Fluid Mech. — 1981. Vol. 113.

Рукопись поступила 6/VI — 1991