О локальных трехмерных возмущениях потока с малым поверхностным трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXI 2 000

№1—2

УДК 532.526.5

О ЛОКАЛЬНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ПОТОКА С МАЛЫМ ПОВЕРХНОСТНЫМ ТРЕНИЕМ

М. А. Кравцова, Вик. В. Сычев

Рассмотрено трехмерное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса около малых пространственных неровностей, расположенных на прямолинейных стенках расширяющегося канала. В качестве невозмущенного потока берется известное двумерное течение Джеффри — Гамеля при значении полуугла раствора диффузора, близком к критическому, при котором поверхностное трение равно нулю. Получено решение линеаризованной задачи, описывающее отрывные течения около неровностей, построены картины линий поверхностного трения с присущими им особенностями типа «узел — седло».

Изучению течений жидкости и газа при больших числах Рейнольдса (Яе —> оо) около малых трехмерных неровностей посвящено большое число работ. (См. обзоры [1], [2] и статьи [3], [4], в которых содержится обширная библиография.) Начало этим исследованиям было положено в работах [5], [6] для неровностей на плоской поверхности и стенках круглой трубы. В дальнейшем эти результаты были распространены на течения с более сложной геометрией и на нестационарный случай, когда форма неровностей зависит от времени. Во всех этих работах невозмущенный поток обладал конечным (безразмерным) поверхностным трением.

В данной статье рассмотрено стационарное обтекаение малой трехмерной неровности, когда поверхностное трение в невозмущенном потоке мало. В качестве последнего берется известное течение Джеффри — Гамеля [7] от источника, расположенного в точке пересечения двух прямолинейных стенок (рис. 1), при значе-

Рис. 1. Схематическое изображение структуры течения при 2 = 0

нии полуугла раствора а, близком к критическому (а = а0(Ие)), при кото-

ром трение на стенках обращается в нуль.

Изучению таких течений в двумерном случае посвящены работы [8], [9]. В первой из них это сделано на основе асимптотического анализа уравнений Навье — Стокса при Ее -» оо, а во втором — путем их численного решения. Интерес к таким течениям обусловлен, в частности, тем, что они обладают свойством стационарной неустойчивости, т. е. малые изменения формы стенок диффузора (при а близких к а0) приводят к очень большим изменениям структуры течения в целом и тем самым выводят решение из класса возможных решений Джеффри — Гамеля.

1. Решение Джеффри — Гамеля, которое является точным решением уравнений Навье — Стокса, имеет вид [7]

Здесь ити, ити, итм> — проекции вектора скорости на оси Ьг, 0, Ьг цилин-

жидкости; а — полуугол раствора, так что значения у-± 1 определяют положение стенок. В качестве характерной скорости ит взято ее максимальное значение в плоскости симметрии (у = 0) при Ьг = Ь, а характерного размера Ь — расстояние от источника (начало системы координат) до точки, в малой окрестности которой находится трехмерная неровность. Число Рейнольдса 11е = итЬ/\, V — коэффициент кинематической вязкости.

Пусть Яе —> оо и угол а близок к критическому значению а0 = р^2 Не”1/2, Р0 = 10,3128 [7]. Тогда искомые функции в (1.1) представимы в виде следующих асимптотических разложений [8]:

где — малый параметр (А [ = А1(Ке)->0 при 11е-»оо), определяющий степень отклонения течения от критического состояния.

Известно также, что

и = г ХР(у), V = м> = 0, р-г 2Р(у), 0 = ау.

(1.1)

2

дрическои системы координат; ритр — перепад давления, р — плотность

(1.2)

(1.3)

и вблизи стенок, т. е. при >> —> ±1 + О

(1.4)

Таким образом, в приходящем к неровностям двумерном потоке поверхностное трение мало и равно + 60А1 + 0(^1) ПРИ у = ±1, т. е. на нижней стенке оно положительно (Ь0 > 0), когда полуугол раствора меньше критического, а при а > а о (й0 < О, р, > 0) вблизи стенок лежат области возвратного течения.

Пусть на расстоянии г = 1 от начала системы координат вблизи плоскости 7 = 0 на верхней и нижней стенках диффузора находятся малые трехмерные неровности с продольным и поперечным размерами порядка в и высотой о(/гЯе-1/2), причем е = е(11е) -> 0 и к = /г(Яе) -» 0 при Яе —» со

(рис. 1). Как и в [8], ограничимся рассмотрением течений с зонами отрыва (если они возникают), локализованными около неровностей. Это означает, что течение здесь имеет трехслойную структуру, впервые исследованную в [10] для потока в канале с параллельными стенками. Неровности находятся внутри вязких пристеночных слоев с толщинами порядка /гЯе-1/2 (обл. 2 и 3, рис. 1), а между ними лежит обл. 1 локально-невязкого течения. В этой области оно является слабо возмущенным и поэтому при |г-1| = = 0(е), согласно (1.1), (1.2), в главном приближении профиль скорости определяется функцией Р0(у) из (1.3). Следовательно, в пристеночных

слоях, где | у +11 = О (И), согласно (1.4), (1.1), (1.2) и = о[к2) и составляющая градиента давления др/дг = 0(1). Из баланса инерционных и «вязких» членов в системе уравнений Навье — Стокса находим, что к - 8 .

В рассматриваемом случае продольный и поперечный размерь! неровностей суть величины одного порядка и поэтому из уравнения неразрывности следует, что в пристеночных слоях - о(ъ2).

Таким образом, на основании проведенных оценок решение в обл. 2 и 3 может быть представлено в виде следующих асимптотических разложений:

а2Ке = р0+А1р1, /г = Д,=81|/4, г-1 = гх, а“10 = у = ±1 + б^4>’±, г = гг, и = г^2щ{х,у±,г) + о[гх!2\

V = е_1,/4 Ле~1//2 Од {х,у±,г) + о{г~х^ Яе-1/2),

’ = г[12ч>ъ(х,у±,5) + о{гх12),

-

(1.5)

Р = + еро (х’У±>*) + °(£)-

6

Здесь и ниже знаки плюс и минус относятся соответственно к верхнему и нижнему слоям. Заметим также, что значение параметра Ах из (1.2) положено равным в1/4, поскольку [8] при А, больших по порядку величи-

ны, чем е1/4 вблизи неровностей реализуются течения, которые описываются решениями задач для потоков с конечным трением.

В результате подстановки (1.5) в систему уравнений Навье — Стокса приходим к уравнениям трехмерного пограничного слоя:

± ди0 , с-\/2,.± 3«о , ...± 9Ио , Фо _о-1 924 —+ р0 ао ^— + м;о -гг- + -г~-Ро :т~

“о

дх

ду±

дї дх

дуі

+ Щ

дх

ду±

дг дг ду2

дио , 0-1/2 З&о ди»п + Ро

дх

ду± дг

0 -О, ^- = 0.

ду±

(1.6)

Условия прилипания в обл. 2 и 3 суть

«о = уо = = °> У+ = /± (*>*),

(1.7)

где функции /±{х, г) определяют форму неровностей. Будем полагать, что /+(*, £)-»0 при Xі +г2 ->оо. Из сращивания с решением для невозмущенного потока в соответствии с (1.1), (1.2), (1.4) находим, что при х■

-00

-^У-+Ь$у_, Ио ->-у(-^+)2+йо(->,+ ),

Фо

дх

г я

,± ...± дР0

дг

•0.

(1.8)

Для сращивания асимптотического представления функции и в (1.5) с профилем скорости Р0(у) в обл. 1, согласно (1.4), необходимо, чтобы

ио =~2

(+У±)2 +о(| ,у±|2) при у± ->+оо. Тогда из (1.6) непосредственно следует, что

У- ->со: и0 = ^-у2 + (х,5>_ + 0(1),

м>0 =Ш(х, 1)у_ 2 + О у+ -> -00: = -^(-у+ )2 - А+ (лг,У)(-у+)+ 0(1),

’И;

■0*+(х,7)(-у+)-2 +0{{-у+У3);

л

і

дро

а л л дг

-00

СІХ.

(1.9)

ны, чем е1/4 вблизи неровностей реализуются течения, которые описываются решениями задач для потоков с конечным трением.

В результате подстановки (1.5) в систему уравнений Навье — Стокса приходим к уравнениям трехмерного пограничного слоя:

± ди<

Щ

;о

дх

дю?

+ Ро1/2°о +

ду±

ди.

«о + Ро1/2°0 + "о

о , Фо _о-1 д2Щ

~яХ’

ду±

Эм'о ± ди'о Фо о-1

йг дх

ду±

дг

- + -

5«0 п—1/2 ЗОп* ' + Ро

-1/2

дм>п

дх ‘ и ду± й£ Условия прилипания в обл. 2 и 3 суть

= 0,

дг

м

ду±

Ро‘

0.

Ф±

(1.6)

«о = г>о ='и;о = О, У±=/±(х>^

(1.7)

где функции /±(х,г) определяют форму неровностей. Будем полагать, что /+(х, г)—>0 при х2 + £2 —>оо. Из сращивания с решением для невозмущенного потока в соответствии с (1.1), (1.2), (1.4) находим, что при

X -» -00

«О + %У-> «О ->~~(-У+)1 +Ь${-у+),

Фо

дх

± дР&-

дг

0.

(1.8)

Для сращивания асимптотического представления функции и в (1.5) с профилем скорости Р0(у) в обл. 1, согласно (1.4), необходимо, чтобы

м0 (+^±)2 +о(| _у±|2) при у± ->+оо. Тогда из (1.6) непосредственно следует, что

у_ -> со: М0 =^-у1 + А_ (х, 7)у_ + 0(1),

щ=0:(х,1)у12 + 0 у+ -» -00: и$ = Ц-(- у+ )2 - А+ (х, г)(- 7+) + 0(1), ■

«■5 =о;(1,гХ->>+)-2+о((-г+)-3);

’И;

01 =-± [М*.

а0 J — 00

дг

(1.9)

Функции А±(х, £) произвольны, известно только (см. (1.8)), что А± > +Ь0 при X —> -00 .

Рассмотрим теперь течение в основной части диффузора (обл. 1). Переходя в (1.9), (1.5) к внешней переменной у, определяем вид асимптотического разложения решения в этой области:

Будем рассматривать течения в предположении, что размеры неровно-

При выполнении этого условия давление поперек обл. 1 в главном приближении не меняется [8]. (Необходимое замечание относительно режима

Производя сращивание (1.10), (1.11) при де-»-оо, г —» 1 - 0 с разложением (1.1), (1.2) для невозмущенного потока и при у± -> + ад, у-»+1 + 0 с разложением (1.5) для обл. 2 и 3, находим:

2. Сделаем транспозиционное преобразование Прандтля и аффинные

г-\ = гх, у = 0(1), г = єі,

v = г 3/4 Ые '/2 (х, у, і) + о(є 3/4 Яе ^2),

(1.10)

™ = г!¥1*(х, у,г) + о{ъ), р = -~ + гР^ (х, у,г) + о (є).

О

стей по порядку величины больше, чем Яе 4//и: е11/4 Яе-> оо при Яе-> оо.

течения с £ = Яе 4/,п будет сделано ниже в п. 4.) Действительно, подставив (1.10) в систему уравнений Навье — Стокса, получаем:

—00

Ф = ^00, А±=а08*(х,ї) + Ь0, р;=Ро=Рх*=Р*(х,Е). (1.12)

преобразования:

У- =У- -/-(*,*)> Щ =у0 -Р.

«о = . 50 = 3«0^0 Р0 К±’ *0 = «0^0^.

р$ = Р'=а&40Р, /±=10Р±, 5'= Х,05. ^=а04 Д Х0=(9оо2Ро3)1/и-

Это приводит задачи (1.6) — (1.9), (1.12), решения которых описывают течение в вязких пристеночных слоях, к виду

и

дХ

+г

±81У*

аг+

ас/* дР д21/±

+ ------------+-

52 ах ЭК2

„+50^ ^+5^* „,+ 30* а/’ а2РГ*

и--------\-у~—-----\-уу------1---= -

дХ

дУ+

ас/1 д¥± дШ1

дХ дУ± д2

дг эг аг±2 = 0;

у±=0-М±=У±=Иг±=0;

Х_>_оо:С/±_>1к2+0 7 —-И,

2 ± 0 ~ дХ

V*, РГ±,—,8

дг

—>0;

Г± -> оо: и1 = 17+2 +1±(X, 2)У+ + М+ (X, 2) + о(г± 1),

\¥±=Э{Х, г)¥+2+о(г±3);

Ь+ ~ —5 — Р+ + Од, Ь_ — 8 л- Р_ + £^о,

* дР

М,

=4(4-По).

£> = -2

I

32

Ж.

(2-1)

2

Здесь О0 =Ь0а$1Х~01 — параметр подобия, который определяет поверхностное трение в приходящем к неровностям потоке. Нетрудно видеть, что задачи для верхнего и нижнего слоев совпадают. Поэтому и решения этих задач, как и в [10], [8]}должны совпадать, т.е. Ь+ = Ь_(Х,2\ и тогда согласно (2.1)

Я = -1[^+(ЛГ, Я)+ *’_(*,£)],

1± =|[^_(х,2)-^(х,2)]+а0.

(2-2)

Однако это так, если только решение в каждой из областей единственно. Это важное обстоятельство было впервые отмечено в работе [11], посвященной изучению внутренних течений с конечным поверхностным трением. В этой же работе была обнаружена неединственность решений.

Задачи (2.1) нелинейны, и их решения могут быть получены только численно. Исключение составляет (как и в [10]) антисимметричный слу-

Рассмотрим решение линеаризованных задач. С этой целью представим форму неровностей в виде Р± = НС+(Х,2) и будем считать, что параметр Н мал. Одновременно будем полагать, что параметр подобия П0 является малой величиной порядка Н. Это представляется интересным, поскольку приближает течение к критическому состоянию с О о =0. Итак, при Н —> 0 решение задач (2.1) может быть представлено в виде

Внося это разложение в (2.1), приходим к следующим задачам для функций первого приближения:

чай: и±=У^/2 + П0У±, У± =1Г± =0, Р = Х.

р±=но±(х,г), о0 = я®1> с/1 = |г±2 + ни? + н2Щ + о(я3),

У± = НУ? + Н2Г2* + о(н3),

(2.3)

эрх аУг дх ду+

¥+ дРГ? дРх эУг 2 дХ + дг~ ду+ ’

(2.4)

Ь ] — — 5і — Ст+ + со і, Ь і = 5| + Сг_ + со ],

X

В

Согласно результатам работы [12] (см. также [13]), единственное решение этих задач есть

и?=Ц{х,г)у±, у* = — щ± = рх = о.

дХ 2

(2.5)

Функция ^ (X, 2) в (2.4) при этом остается произвольной. Тогда для функций второго приближения в (2.3) получаем задачи:

г? аи! +уу± + Щ+Ц1[± аЦ _ а2и}

2 дХ

1±у2

дХ 2 1 дХ дУІ

Г± дЩ | дР2 ^ д2Ш2± дЩ | дУ? | дУГ? о

2 дХ д2 дУ+ ’ дХ дУ± д2

¥+ = 0: и2 = V2 = = 0;

X—» -со:

2 |-»0;

дХ ’ д2

¥± -» ад: и£ = +Я2(X, 2)¥± + & (X, 2) + о^"1), К2±=В2(Х,2)¥±-2+о(г±-2);

в±=^2-со2^, В2=-2{ ~^Х.

(2.6)

Вновь, используя результаты работы [12], находим, в частности, что

♦* 900

р; =

,(/*)^2е±*(М) ■, 23/2 Г(5/4)

\к2+12) ’ 0 ^ Г(3/4)’

(2.7)

и это решение единственно. Здесь и ниже звездочки обозначают фурье-изображение функции:

Р2 = | \Рг(Х,2)ечкХ~йгШ2.

Из решения (2.7) следует, что 0+ -0.~(Х,2), и тогда из (2.6) получаем:

Функция 82{Х,1) в (2.6) остается произвольной и, как известно [12], может быть определена из рассмотрения следующих приближений в (2.3). Проведенный анализ показал, что Б2{Х,2) = 0. Можно показать также, что в разложении (2.3) нет промежуточных членов и 8п(Х,2)-0 при

Таким образом, как и в [11], в силу единственности полученных решений линеаризованных задач, выражения (2.8) соответствуют (2.2) при малых Я. Иначе говоря, найдено решение линеаризованной задачи (2.1) о течении с неизвестным заранее градиентом давления и заданной толщиной вытеснения (2.2). Задачи этого типа хорошо известны как для двумерных [14], [15], [10], так и для трехмерных течений [6], [16], [17]. В дальнейшем, поскольку решения для верхнего и нижнего слоев при малых Н совпадают, знаки плюс и минус в обозначениях будут опущены и речь для определенности будет идти только о нижнем слое (обл. 2).

Кроме распределения давления (2.7) из решения задачи (2.6) получаются (см. [12], [18]) следующие выражения для поверхностного трения:

Заметим, что решение (2.5), (2.8) для первого приближения совпадает с решением для плоского течения [8] и I играет здесь роль параметра. Поэтому картины линий тока для различных форм неровностей С±{Х, 2) и со1; приведенные в [8], относятся и к рассматриваемому трехмерному течению.

Решение (2.7) — (2.9) для функций второго приближения позволяет установить характер затухания возмущений на больших расстояниях

Ь\2 = £]2 (X, I). Наконец, вспоминая выражение для этих функций в (2.4), имеем:

1\ = ц=ьх= -[в. (х, г) - о+ (х, г)]+ш,, 5]=_1[с_(х,г) + с+(х,2)].

(2.8)

п > 2.

_ V" Гт/гч1/4 эе0 0*)1/4/2 ~21/4 К1К)

(2.9)

от неровностей. Аналогично тому, как это было сделано в [5], [19], находим, что при X2 + 22 —> оо

р2 = +..., т* = +...,

Х2=щ2~9^п%)+..., $=х/2, т = агс1ё^, 2>0,

(2.10)

Это представление справедливо всюду (включая ось симметрии 7 = 0 при X —» - оо) вне так называемого коридора — области, расположенной непосредственно за неровностью. Здесь, т. е. при 2 = 0(1) и

Нетрудно показать, что при 2^> оо и > оо разложения (2.11) и (2.10) сращиваются между собой.

Полученные результаты (см. (2.10)) указывают на то, что, как и для других задач теории трехмерного пограничного слоя с заданной толщиной вытеснения и неизвестным заранее градиентом давления, имеет место распространение возмущений вверх по потоку [6]. Для соответствующих двумерных течений (см. [8]) такого распространения возмущений, как известно [14], нет.

3. На рис. 2, 3 представлены линии постоянных значений функций Р2(Х,2) и тг(Х,2), которые получаются путем обратного фурье-преоб-разования выражений (2.7) — (2.9). Расчет был произведен для неровностей вида

(2.11)

00

Щ(2) = \й{Х,Т)йХ.

-ОО

в+=0, в_=}10ехр(-Х2/2-г2/2)

(3.1)

при И0 =-1, <й1 = 1/4 и й0 = I, ос»! =-3/8. (Сплошная линия соответствует положительным значениям, штриховая — отрицательным, значком 0 помечены линии нулевых значений.) Сходство соответствующих рисунков, несмотря на различие к0 и со,, объясняется тем, что решение зависит от их

комбинаций: /*о и /г0со 1.

а) б)

Рис. 2. Изолинии функции Р2(Х, I): а — й0 = -1, ш, = 1/4, интервал значений Д = 0,05; б— й0 = 1, Ш] = -3/8, Д = 0,1

а) б)

Рис. 3. Изолинии функции т,(Л\ 2): а— й0 = —1, со, =1/4, Д = 0,01; б— А0 = 1, со, =-3/8, Д = 0,03

Особый интерес представляет построение картины предельных линий тока или, как их называют, линий поверхностного трения в случае, когда имеет место течение с отрывом. Уравнение этих линий в используемых обозначениях имеет вид

— = Н^~ + 0(Н2), (3.2)

<Ж тх ' ’ У ’

где поперечная составляющая х2(Х,2) определяется выражением (2.9), а продольная хх =Ь^{Х, 2) (см. (2.5), (2.8)). Значение Я в (3.2) полагалось равным 1/3.

а)

б)

Рис. 4. Картина линий поверхностного трения: а — й0 = -1, со! = 1/4, 2> 0; б— й0 = 1, <о] = -3/8, 2> 0

Как известно, в точках одновременного обращения в нуль составляющих поверхностного трения возникают особенности. На рис. 4, а представлена картина предельных линий тока для неровностей вида (3.1) при /г0 = -1 и со, = 1/4. В этом случае приходящий к углублению (й0 < 0) поток обладает положительным поверхностным трением (со, > 0) и, согласно (2.8), тх = Ь(Х,2) = 0 на окружности радиуса р0 = (21п2)|'/2 =1,1774. На линии симметрии 2 = 0 (где т2 = 0 ) в точках отрыва и присоединения (X = + р0) возникают особенности типа «узел». Кроме того, на этой окружности при небольших отрицательных значениях X возникают симметрично расположенные относительно оси 2 = 0 особенности типа «седло». (Стрелки на рис. 4 указывают направление течения.)

При обтекании бугорка (й0 >0), согласно (3.1), (2.8), Ьх(Х,2) может обращаться в нуль только при со, <0, т. е. когда в невозмущенном потоке вблизи стенок имеет место возвратное течение. Картина линий поверхностного трения для этого случая при /г0 = 1, со, =-3/8 дана на рис. 4,6.

Окружность, на которой Ьх(Х,2) = 0ь имеет радиус =-(2.1п(4/3))^2 = = 0,7585, и в точках ее пересечения с осью симметрии возникают особенности типа «седло». На этой же окружности при X > 0 лежат (симметрично относительно оси 2 = 0) особенности типа «фокус». Таким образом, (см. рис. 4) как и в других задачах теории трехмерных течений с областями возвратных токов (см. [16], [20], [18], [21]), линии отрыва и присоединения, в соответствии с концепцией Лайтхилла [22], являются асимптотическими для линий поверхностного трения и начинаются и заканчиваются в особых точках.

4. Проведенный анализ течений около пространственных неровностей был ограничен рассмотрением главных членов разложений (1.5), (1.10). Изучение следующих членов, учитывающих изменение давления поперек обл. 1, позволяет установить, что (как и в плоском случае [8]) со, ^0, и решение (в этом следующем приближении) имеет особенность на линии обращения в нуль продольной составляющей трения: Ц (X,2) = 0. Наконец, рассмотрение решения при е = Яе-4/11 (см. п. 1), когда уже в главном приближении в (1.10) становится существенным поперечный градиент давления дР* /ду, как и в [8], указывает на то, что при малых значениях Н возмущения вниз по потоку (X -> оо) не затухают. Таким образом, при столь малых значениях величины поверхностного трения в невозмущенном потоке (л, = С^Яе'1/11 я)), течение становится чрезвычайно чувствительным к малым возмущениям и проявляет свойства стационарной неустойчивости [9].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований РАН (код проекта 97-01-00354).

1. S m i t h F. Т. On the high Reynolds number theory of laminar flows//IMA J. Appl. Math.— 1982. Vol. 28, N 3.

2. S m i t h F. T. Steady and unsteady 3-D interactive boundaiy layers//Int. J. Comput. Fluids.— 1991. Vol. 20, N 3.

3. Рожко С. Б., Рубан А. И. Продольно-поперечное взаимодействие в трехмерном пограничном слое//Изв. АН СССР, МЖГ.— 1987, № 3.

4. Сычев Вик. В. О пространственных течениях около неровностей на поверхности осесимметричного тела//Ученые записки ЦАГИ.— 1993. Т. 24, № 1.

5. S m i t h F. Т., S у k e s R. I., Brighton P. W. M. A two-dimensional boundaiy layer encountering a three-dimensional hump//J. Fluid Mech.— 1977. Vol. 83, pt. 1.

6. S m i t h F. T. Pipeflows distorted by nonsymmetric indentation or branch-ing//Mathematika.— 1976. Vol. 23, pt. 1, N 45.

7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.— М.: Мир.— 1973.

8. С ы ч е в В и к. В. О взаимодействии и отрыве для внутренних течений с малым поверхностным трением//Изв. РАН, МЖГ.— 1996, № 5.

9. Т u 11 у О. R. Nonlinear development of flow in channels with non-parallel walls//J. Fluid Mech.— 1996. Vol. 326.

10. S m i t h F. T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: part 1//Quart. J. Mech. Appl. Math.— 1976. Vol. 29, pt. 3.

11. В о r g a s M. S., P e d 1 e у T. J. Non-uniqueness and bifurcation in annular and planar channel flows//! Fluid Mech.— 1990. Vol. 214.

12. Stewart son K. Is the singularity at separation removable?//! Fluid Mech.— 1970. Vol. 44, pt. 2.

13. Duck P. W. Three-dimensional marginal separation//J. Fluid Mech.— 1989. Vol. 202.

14. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газаУ/Труды ЦАГИ—1971. Вып. 1363.

15. Боголепов В. В. Расчет взаимодействия сверхзвукового пограничного слоя с тонким препятствием//Ученые записки ЦАГИ.— 1974. Т. 5, №6.

16. Sykes R. I. On three-dimensional boundary layer flow over surface ir-regularities//Proc. Royal Soc. London, ser. A.— 1980. Vol. 373, N 1754.

17. Боголепов В. В. Исследование малых пространственных возмущений ламинарного пограничного слоя//ПМТФ.— 1987, № 5.

18. HackmuellerG., KluwickA. Effects of 3-D surface mounted obstacles on marginal separation//Separated Flows and Jets/eds. V. V. Kozlov, A. V. Dovgal.— Berlin: Springer — Verlag.— 1991.

19. Рожко С. Б., Рубан А. И., Тимошин С. Н. Взаимодействие пространственного пограничного слоя с вытянутым препятствием//Изв. АН СССР, МЖГ,— 1988, № 1.

20. D и с k P. W., BurggrafO. R. Spectral solutions for three-dimensional triple-deck flow over surface topography//.!. Fluid Mech.— 1986. Vol. 162.

21. ЗаметаевВ. Б,, СычевВик. В. О трехмерном отрыве около неровности на поверхности тела вращения//Изв. РАН, МЖГ.— 1995, № 3.

22. Llghthill М. J. Boundary layers and separation//Laminar Boundary Layers/ed. L. Rosenhead.— Oxford: Clarendon Press.— 1963.

Рукопись поступила 27/XII1998 г.