Численное исследование пространственного обтекания неровностей при компенсационном режиме взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXI : 2 О 00 '

М3—4

УДК 532.526.2

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОБТЕКАНИЯ НЕРОВНОСТЕЙ ПРИ КОМПЕНСАЦИОННОМ РЕЖИМЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

И. В. Виноградов, И. И. Липатов

Исследованы трехмерные течения вблизи локальных пространственных неровностей, расположенных на дне ламинарного пограничного слоя. Для рассмотренного класса неровностей характерен так называемый компенсационный режим, при котором распределение давления вблизи неровности индуцируется в результате взаимодействия пристеночного течения с дозвуковой областью пограничного слоя. В результате применения спектрального метода найдены численные решения задачи, описывающие локальные пространственные отрывные течения.

Проблема исследования обтекания неровностей на поверхности тела имеет отношение к широкому кругу явлений в атмосферных пограничных слоях около элементов рельефа или сооружений, а также в пограничных слоях на поверхности летательных аппаратов [1]. Исследования такого рода приобретают новый импульс в свете современных тенденций в аэродинамике, а именно в области изучения новых способов управления течением в пограничном слое для уменьшения поверхностного трения и теплопередачи, а также управления отрывными течениями.

Анализ отдельных режимов локальных течений вблизи неровностей в ламинарных пограничных слоях проведен в работах [2]—[9]. Классификация возможных режимов течения приведена в работе [10]. Вместе с тем, численные решения нелинейных задач получены лишь для трансверсально периодических течений [11]. Кроме того, остается открытой проблема обоснования корректности математических моделей.

Данная статья посвящена исследованию течения вблизи пространственных неровностей при компенсационном режиме взаимодействия. Соот-

ветствующая краевая задача для этого режима сформулирована в работе [6].

1. Постановка задачи и оценки масштабов. Пусть на поверхности плоской пластины на расстоянии / от ее передней кромки находится небольшая пространственная неровность. Пластина обтекается равномерным

дозвуковым или сверхзвуковым потоком вязкого газа при (М^ -1) ~ 1 и

больших, но докритических числах Рейнольдса Ке^ = р00и00//|а00 =в р, и и ц — плотность, скорость и динамический коэффициент вязкости соответственно, индекс оо относится к величинам в набегающем потоке). Введем декартову систему координат, в которой ось х направлена вдоль пластины параллельно скорости невозмущенного потока, ось у — по нормали к пластине, а ось г — перпендикулярно осям х и у. В дальнейшем все линейные размеры относятся к /, составляющие скорости и, V, м> ( вдоль

2 1 осей х,у,г) — к , давление р— к РооМ^, энтальпия Л — ккШ)ари

ц — к рда и Цда соответственно и используются только безразмерные переменные. Характерными размерами неровности являются: толщина а, длина Ь и ширина с.

Рассмотрим обтекание неровностей, для которых длина и ширина одинаковы по порядку величины Ь ~ с . Очевидно , что предельные задачи для асимптотически разных величин, характеризующих длину и ширину, могут быть получены в результате соответствующих предельных переходов из рассматриваемой краевой задачи.

Предполагается также, что характерные протяженность и высота неровности превосходят по порядку величины толщину пограничного слоя.

У

В соответствии с методом сращиваемых асимптотических разложений необходимо ввести в рассмотрение область 1

Рис. 1

/ (рис. 1), имеющую асимптотически оди-

____ наковые размеры во всех измерениях.

Можно показать, что в указанной области 2 при малых величинах относительной

~ толщины неровности течение характери-

О

зуется одинаковыми по порядку величины возмущениями компонентов скорости, давления и плотности, которые определяются величиной вертикальной скорости на внешней границе пограничного

слоя. Оценку для этой величины можно определить как отношение характерной высоты неровности к длине: Ар~у~а/Ь .

Имея оценку для возмущения давления, можно определить порождаемое им изменение толщины вытеснения пограничного слоя. Продольная скорость вблизи поверхности в невозмущенном пограничном слое на высоте, сравнимой с высотой неровности, и~а/г.

Тогда при нелинейном изменении скорости можно выразить эту величину и изменение толщины пристеночной области через возмущение давления

и~Дг/~Д/?|/2 у ~ Ау ~ еЛр|/2.

Следовательно, вертикальная скорость на внешнй границе пограничного слоя индуцируется как за счет формы неровности, так и за счет изменения толщины вытеснения пограничного слоя. Можно показать, что в главном члене изменение толщины вытеснения определяется изменением толщины пристеночной области. Тогда оценка для возмущения давления имеет вид

Ар ~ (а/Ь) + гАр^2 /Ь.

Легко убедиться в том, что это соотношение имеет смысл только при

2 2

определенном соотношении между размерами неровности Ыа~Ъ /в .

2 2

Если Ь /е « й/а, приходим к противоречию ■— изменение толщины вытеснения порождает большее по порядку величины возмущение давления, чем исходное возмущение давления, которое вызвало изменение толщины вытеснения. Решение проблемы найдено в работе [8], где показано, что при выполнении последнего неравенства возмущения во внешнем потоке в главном приближении отсутствуют. На практике это означает, что оценка для возмущения давления следует из условия компенсации (нулевого суммарного изменения толщины вытеснения пограничного слоя)

аГЪ~ еАр^ 2 /Ь, Ар ~ а2 /е2.

Следует отметить , что в этом случае анализ решений в областях 1 и 2 (область 2 включает в себя струйки тока в пограничном слое над неровностью, рис. 2) необходим только для постановки граничного условия на внешней границе области 3. Этот анализ проведен в работе [8] и ниже опущен. Полученные соотношения следует дополнить предполагаемым в данной работе условием одинакового по порядку величины влияния сил вязкости и инерции, которое следует из рассмотрения уравнения для про-

1 / 3

дольного импульса: а-еЬ .

Условие существования компенсационного режима взаимодействия приобретает тогда

т 3/4 вид: Ь« 8 .

Аналогом условия взаимодействия в этом случае является условие отсутствия возмущений в областях 1 и 2 , которое определяет продольную скорость на внешней границе области 3 [6]:

и ~ Ауг~1 +о( 1),

где А безразмерное напряжение трения на поверхности в невозмущенном пограничном слое выше по потоку от неровности.

Данное условие получается в результате сращивания решений в областях 2 и 3. Поскольку решение в области 2 имеет вид

/ Ч п/ ч <*и0 ЛВ

и = и0(у2) + В(х,г)-—-, у2 =-и0—Г.

ау ах

отсутствие возмущении на внешней границе пограничного слоя означает, что 5 = 0.

Из этого условия выводится соотношение между возмущением давления и вертикальной скоростью на внешней границе области 3, которое использовано ниже.

2. Краевая задача. В области 3 с характерными размерами

1/3

х~Ь, у ~zb , z~с вводятся следующие асимптотические разложения:

_ Л/3.,1/3 -1/3.1/3, ^ Л/3,,2/3 -2/3oA-l/3„ ^

и —A \xw pw b W3+..., v — A \xw pw zb V3+.

p = 1/yM2 + ^4/3Ц2/3РІ,/3Й2/3/>з + ..., p = pw + ...,Ц = |!w + ....

(1)

При подстановке разложений (1) в уравнения Навье — Стокса и при

1/3 3/2 3/4

условии выполнения предельных соотношений а~гЬ ,£ <Ь<е , с * Ь получается, что течение в области 3 в первом приближении описывается уравнениями пространственного пограничного слоя для несжимаемого газа:

дх3 дуъ дг3

/) = 2>2/с2.

Граничные условия имеют вид:

щ=уъ=м>з=0 при у3 = }гР(х3,г3),

Щ Уз, м>3, /?з_,0, при х3 ->-оо, г3 ->+оо,

(3)

Ниже индексы у функций и координат опущены.

Краевая задача (2), (3) содержит два параметра подобия £> и /г. Первый из этих параметров определяется отношением характерных длины и ширины неровности. Можно показать, что при стремлении этого параметра к нулю краевая задача (2), (3) сводится к задаче, описывающей двумерное течение.

Второй параметр подобия пропорционален отношению порядков величин сил инерции и сил вязкости в области 3. При больших значениях этого параметра вблизи неровности возникает локально невязкое течение, соответственно при малых значениях параметра в течении вблизи неровности преимущественное влияние оказывают силы вязкости.

Можно показать, что сформулированная задача представляет собой задачу о смазке для случая, когда величина зазора асимптотически больше, чем высота неровности.

Анализ начнем с исследования решения рассматриваемой задачи при малых значениях параметра И, которые можно искать в виде

Соответствующая линейная система уравнений при £> = 1 имеет вид

и - у + Ьи +..., V = ИУ +..., р=ЪР+..., м>=1г1¥ +....

I г I “ _ ^

дх дх Оу2 д1¥ дР д2Ш

дх дг ду2 ’

ди дУ дЦт

-----------)-------------(-----------

дх ду дг

Дифференцируя первое уравнение этой системы по х и у, а второе уравнение по 2 и у и складывая, получим следующую систему:

Из анализа этой системы уравнений непосредственно следует, что нетривиальное решение для функции 5 существует, если ^ ^ О или если не равна нулю конвективная производная функции Я (след за неровностью), даже при ненулевом значении производной этой функции на поверхности. Тогда в любой точке поверхности вне неровности и следа за ней, решение этого уравнения имеет вид

Для компонентов скорости II и Ш в этом случае получается следующая задача, которая описывает квазидвумерное течение в области вне неровности и следа за ней:

В случае нелинейного режима течения ситуация является более сложной, но и здесь можно выделить условие, связывающее лапласиан давления и нормальную производную функции 51, анализируя локальное течение вблизи некоторой точки на поверхности. Область влияния в нелинейной задаче определяется субхарактеристиками, которыми являются в рассматриваемом случае линии тока [12]. Тогда можно сформулировать следующее предположение о том, что условие равенства нулю вертикальной скорости выполнено для течения вне неровности и для тех точек на плоскости хг , которые не пересекают проекции линий тока, проходящих над неровностью. В общем случае вертикальная скорость принимает ненулевые значения в следе за неровностью, а также в области отрывного течения вблизи неровности. Ниже этот вывод подтвержден расчетными исследованиями.

55 _ д2У

У-^ = ТТ’ 5 = ~ГТ

& ду2 ’ ду2 ’

8(х,у,г) = 0, У(х,у,г) = 0.

дх Ох Оу * ’

д1¥ дР д2Ш >;-т- + 1Г = —Т-»

дх дг Оу2 ’

ди

дх дг

дг ду

Остановимся на вопросе о распространении возмущений вверх по потоку. В соответствии с выводами многих работ в компенсационном режиме отсутствует передача возмущений в двумерных течениях (в трехмерных течениях распространение возмущений имеет место). Можно показать, что в возмущенном течении, кроме области компенсационного взаимодействия, имеется и более длинная область свободного взаимодействия. Такая область возникает и при рассмотрении пространственных течений, но там ее влияние сказывается лишь в следующих приближениях, поскольку возмущения затухают непосредственно в области компенсационного взаимодействия. В двумерном же течении такая область обязательно присутствует, и изменения давления в ней оказываются соизмеримыми с изменениями давления в области компенсационного взаимодействия. Величина давления непосредственно перед неровностью в общем случае не равна нулю и определяется из условия, что ниже по течению от области компенсационного взаимодействия возмущения должны затухать. Все это следует, например, из рассмотрения линейного решения для режима свободного взаимодействия при стремлении протяженности неровности к нулю [3].

3. Численное решение. Для решения задачи (2) использовался спектральный метод, предложенный в работе [13]. Позднее этот метод был использован для расчета продольно-поперечного взаимодействия [14]. Применение этого метода и позволило впервые получить решения нелинейных задач для компенсационного режима для неровностей произвольного вида. Этот метод допускает также обобщение на нестационарный случай [15], [16]. Применим транспозиционное преобразование Прандтля:

х-х, у=у-Р(х,г), г=г, и=и,

~ дг ~ ~

у=У-и--------М = Р = Р

дх дг

(знак ~ далее опускаем ). Уравнения не изменятся, а граничные условия примут вид:

и = у = = 0, .у = 0,

и —> у , V, М>, р -» 0 , X —> -00, 2 -» ±00 ,

и —> у + Р(х, г), м?0, у—><х>.

Применим к полученной системе преобразование Фурье вида

+оо +оо

и (к, /, у)~------— Г \и(х,у,2)ехр(-Нсс-П2)с1хс1г

(2л)2 * *

\ / _оо —со

и введем переменную и = щ - у . В результате преобразованная система имеет вид (знак ~ опущен):

/Ли + V + Им> == 0,

**" ** ** ** ди ди ди^** **

и -гкуи -V -1кР — (и — + у—+м>—) = /2| ,

дх ду дг

** .. ** .>—** , ди ди 9м.** „**

м’ - гкуц> - иР - ( и— + V— + м>—) = /?2 ,

дх ду дг ****** и -V ~ц? = 0 , = 0,

** _ ** ** и —» Г , \Ь> -» 0, у -> СО .

Решение этой системы можно организовать так, что правая часть будет браться из предыдущей итерации, а все остальные соотношения, входящие в формулировку задачи о взаимодействии, целиком рассматриваются на новом итерационном слое. Умножим уравнение продольного импульса на к, а уравнение поперечного на /, сложим их и введем в рассмотрение функ* * * *

цию / = ки + 1м> (знак ** далее опускаем). Тогда получим одно уравнение, которое после дифференцирования по у имеет вид:

г-1куГ = (1кщит2)\ 1

ДО) = 0, /-(О) = Кк2 + 12)Р, /(00) = «г./ (

Введем в (4) функцию g = df|dy и представим решение в виде суммы решений однородного уравнения g^ и неоднородного g2: g - Pg\ + • Функции g\ а g 2 находятся из решения задач:

ё\ - = 0 ,

*К0) = /(*2+/*.), *!(“) = 0,

g2~ikyg2 ~ (kR\ + IR2 У ’

J_ iky

Теперь, интегрируя функцию g, получим значения / на текущей ите-

§2 (0) = °> 82 (°°) = (~—(kR\ + lR2 У )у=оо •

рации. Тогда Р = (№ - /2)1 где dy, а /2 = jg2dy. Затем из

О О

второго уравнения импульсов следует краевая задача для Фурье-изображения поперечной скорости:

м>" - гкум> = ИР + Т?2,

х^(0) = 0, и>(оо) = 0.

продольной

У

скорости

Функция / определяет Фурье-изображение

и = (/-/и>)/£, а V определяется выражением V = /с1у. Затем делается

О

переход от спектральных переменных к физическим и находятся нелинейные члены Я\, /?2 • Для перехода использовался алгоритм быстрого преобразования Фурье [17]. В итоге для сходимости 10'5 требовалось от 6 до 90 итераций в зависимости от глубины впадины. Параметр релаксации менялся от г = 1 при // = -1, до г - 0,5 при к - -3. Форма неровности зада-

2 2

валась функцией Р(х,г) = Иехр(-(х +г )). Расчетная сетка состояла из ЫХ х ЫУ х N2 - 64x26x32 узлов, шаг по соответствующим переменным Ах = Ал = 0,3, Ду = 0,4, И- 1.

На рис. 2 представлены распределения возмущения давления в области 3 в плоскости симметрии при различных значениях параметра к. Отрицательные значения этого параметра соответствуют течению около впадины на поверхности. Можно видеть, что увеличение ее глубины приводит к увеличению максимума возмущения давления. Эти распределения характеризуются также наличием двух минимумов, ниже и выше по течению от точки начала координат, где расположен центр неровности.

Следует отметить, что при возникновении области возвратного течения в распределении давления наблюдается тенденция к формированию области почти постоянных значений (плато). Подобные результаты для дозвукового течения получены в [13].

На рис. 3 показаны распределения продольного трения на поверхности. Можно видеть, что увеличение глубины впадины сопровождается уменьшением минимума продольного трения. Существует предельное значение глубины, при котором продольное трение обращается в ноль.

Рис. 4 иллюстрирует зависимость минимума продольного трения на поверхности от параметра А. Можно предположить, что при больших значениях глубины впадины возникает предельное состояние, при котором минимум продольного трения стремится к конечному значению. При увеличении высоты неровности проявляются противоположные тенденции. В то же время для окончательных выводов необходимо проведение дополнительных расчетных исследований.

Было исследовано также возмущенное течение около финитных неровностей вида

Рис. 3

/•(*,*) = { г"’ Л-' Д2=*2+Г2.

’ [Лсо82(лЛ/2), Л<1,

Рис. 5

На рис. 5 представлена зависимость возмущения давления от координаты г при И = 1,5 в линейном и нелинейном случаях (сплошная линия соответствует нелинейному случаю) при различных значениях продольной координаты. Можно видеть, что в соответствии с полученными выше результатами влияние неровности сказывается на всем поле течения, в силу эллиптичности уравнения для возмущения давления.

На рис. 6 представлено распределение вертикальной скорости в плоскости, параллельной обтекаемой поверхности и находящейся на расстоянии у = 0,8 от нее. Можно видеть, что действительно вне неровности и вне зоны ее конвективного влияния вертикальная скорость равна нулю и возмущенное течение является квазидву мерным.

Установленный факт формирования слоистых течений около пространственных неровностей представляется весьма существенным. Рассмотренная модель компенсационного режима взаимодействия относится к широкому классу течений. Результаты, полученные на ее основе, могут быть применены при оценке эффективности управления течением в ламинарном пограничном слое.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 96-01-01537)*

1. Ш л и х т и н г Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука.— 1969.

2. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа//Труды ЦАГИ,— 1971. Вып. 1363.

3. Smith F. Т. Laminar flow over a small hump on a flat plate//J. FI. Mech.— 1973. V. 57, pt. 4.

4. S m i t h F. Т., S у k e s R. I., В r i g h t о n P. W. M. A two-dimensional boundary layer encountering a three-dimensional hump//J. F. Mech.— 1977. V. 83, pt. 1.

5. Липатов И. И. Пространственное обтекание малой неровности ламинарным пограничным слоем//Ученые записки ЦАГИ.— 1980. Т. 11, № 2.

6. Боголепов В. В., Липатов И. И. Исследование пространственных локальных ламинарных течений//ПМТФ.— 1985, №. 1.

7. Linn J., Rothmayer А. P. Viscous flows past short-scaled humps and surface blowing /Eur. J. Mech., В/Fluids. —1993. V. 12, N 3.

8. Smith F. T. Pipeflows distorted by non-symmetric indentation or branching//Mathematika.— 1976. V. 23, pt. 1, N 45.

9. S m i t h F. T. , W a 11 о n A. G. Flow past a two-or three-dimensional steep-edged roghness//Proc. Roy. Soc., London, ser. A.— 1998. V. 454.

10. Боголепов В. В. Общая схема режимов пространственных локальных течений//ПМТФ.— 1986, № 6.

11. S у k е s R. I. On three-dimensional boundary layer flow over surface irregularities//Proc. Roy. Soc., London, ser. A.— 1980. V. 373.

12.. Wang К. C. On the determination of the zones of influence and dependence for three-dimensional boudary-layer equations//.!. FI. Mech.— 1971. V. 48.

13. Duck P. W., Burggraf O. R. Spectral solutions for threedimensional triple-deck flow over surface topography//! Fluid Mech.— 1986. V. 162.

14. Kravtsova M. A. Numerical solution for a criss-cross interaction problem//Proceeding of Int. Workshop on advances in analytical methods in aerodynamics.— Poland.—1993.

15. Duck P. W. Laminar flow over unsteady humps: the formations of waves//J. Fluid Mech.— 1986. V. 160.

16. Duck P. W. The effect of small surface perturbations on the pulsatile boundary layer on a semi-infinite flat plat//J. Fluid Mech.— 1988. V. 197.

17. С о о 1 e у J. W., T u к e у J. W. An algorithm for machin calculation of complex Fourier series//Math. of Comput.—1965. V. 19.

Рукопись поступила 4/VI 1998 г.