Пространственное обтекание малой неровности ламинарным пограничным слоем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Т о м XI 1 9 8 0 М2

УДК 532.556.533

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОБТЕКАНИЕ МАЛОЙ НЕРОВНОСТИ ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

И. И. Липатов

Исследовано пространственное обтекание неровности, находящейся на дне ламинарного пограничного слоя, в режиме слабого гиперзвукового взаимодействия. Найдены законы подобия, получены результаты численного интегрирования линейной задачи.

1. Малые возмущения формы поверхности летательного аппарата могут приводить к существенным изменениям функций течения, например, вызывать отрыв пограничного слоя или преждевременный переход ламинарного режима течения в пограничном слое в турбулентный.

Обтекание плоской неровности, находящейся на дне ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, изучалось в работах [1—3]. Оказалось, что в зависимости от соотношения характерных размеров неровности — длины и высоты и параметров течения — чисел М, Ие, температурного фактора и других могут реализоваться различные режимы обтекания. Так, если характерные размеры неровности — длина и высота — совпадают по порядку величины с характерными продольным и поперечным размерами возмущенной области с нелинейными изменениями продольной скорости в течении вблизи точки отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, реализуется режим „свободного взаимодействия“. Этот режим характеризуется тем, что распределение давления, влияющее на течение в главном порядке, определяется как формой неровности, так и индуцируется за счет изменения толщины вытеснения пограничного слоя. Кроме того, оказывается, что влияние сил инерции и сил вязкости одинаково по порядку величины в области с характерным размером по нормали к поверхности, равным толщине неровности.

В настоящей работе исследован подобный режим, реализующийся при трехмерном обтекании неровности.

2. Рассматривается обтекание плоской поверхности потоком вязкого газа. Пусть на расстоянии I от передней кромки расположена малая неровность, причем расстояние от неровности до боковых кромок поверхности по порядку величины не менее /. Предполагается, что взаимодействие ламинарного пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком слабое, т. е. рассматривается предельный переход

М -* со; Ие -» оо; 0; (у = Мт — М2 Ие^1^2), (1)

где М — число М, Ие — число Рейнольдса, Ке0— число Рейнольдса, построенное по параметрам внешнего невязкого течения и значению коэффициента вязкости, вычисленному при температуре торможения.

Предполагается ниже, что существует стационарное предельное решение уравнений Навье — Стокса. Асимптотические решения уравнений Навье —Стокса

при предельном переходе (1) исследовались в работе [4], где изучено плоское течение. В [4] было показано, что характерные размеры области свободного взаимодействия определяются следующим образом:

Дх ~ у 3/4; Ду ~ у.5'4 М-1 (2)

(в работе для координат, давления, плотности, компонентов скорости, энтальпии коэффициента вязкости приняты следующие обозначения: х1, у1, г/, РооР*

“со“- “оо “оо “юЯ> Л>^)-

Рассматривается обтекание неровности с одинаковыми характерными размерами в направлениях х и г и равными по порядку величин длине области

'Ч

/І. У і

/ , / 7і

S/\ / *

¡£ |/

У Z

Рис. 1

„свободного взаимодействия“ в плоском течении, а характерная толщина неровности совпадает с соответствующим размером области свободного взаимодействия в плоском течении. Схематическое изображение картины течения представлено на рис. 1.

3. В течении вблизи неровности можно выделить три характерные области. Поперечный размер внешней области течения (область /) определяется из характеристических соотношений Ду1~Д*М~1. Область 2 включает в себя основную часть струек тока над неровностью в пограничном слое, т. е. Ду2~хМ-1» и, наконец, примыкающая к стенке область 3 — характерный поперечный размер, который равен по порядку величины толщине неровности Ду3 ~ х5/4 М-1. Можно предположить, что в рассматриваемом пространственном течении сохраняются порядки величин функций течения, характерные для плоского течения, тогда оценка для поперечного компонента скорости w следует из уравнений сохранения импульса и неразрывности.

Функции течения в области 1 можно представить в следующем виде:

р ~ -¡^(-~+х12Ріі + - • •); р ~ і + х1,2Рп + • ■ •; |

и ~ 1 + у!/2/М2 un-f-... ; v ~ х1/2/Мг/ц; \ (3)

w ~ V.1/2/M2 wn + . ..; h ~ -JL xl/2 hu^j . j

Подстановка разложений (3) в систему уравнений Навье — Стокса и предельный переход (1) приводят к следующей системе уравнений:

д^п + <fon = 0. <Ьц + дрп _ о ¿рп + = 0

дхх dxt ’ Лс, дуі ’ dxt ду, ’ і dpn _ dpu ' dwn dpi, і

дхх дхі 9 дх1 dz{

Необходимое в дальнейшем решение системы (4) имеет вид

pn(xlt О, г,) = vn(xlt 0, г,). (5)

Функции течения в области 2 представимы в следующей форме:

1

м*( т + *1/2^+•••)>•

Р20 + г12 Р21 +.. •;

и ~ и2о "г х1/4 и2\ + • • • > V ~ х1'2/^ + • • •;

12) ~ Х^ 2 ^21 + • . • ; Н ~ /^20 ~(~ Х^4 ^21 “}"••••

Подстановка (6) и последующий предельный переход (1) в системе уравнений Навье — Стокса дают следующую систему уравнений:

ди2Х (1и20 дип ду21

Р20 «20 Л + Р20 ^21 —"7---------------------- = -1- - = 0:

дхс

Р20 «20

дни

21

¿У 2 др

21

дх2 дг2 Решение системы (7) имеет вид

= 0;

^21(^2» У2’ ?2) = - и2о(У2)

дх2 ' ду2

^ = о.

дуг

дА(хь г2) _ дхо

йи

20

(7)

(8)

«21 (Х2> У2> г2) — А (Х2> г2)-

¿У2

Из сращивания решений в областях 1 и 2 можно получить

дА

Рп (*1. 2\) = Ап (*2> *а) = — -Т~ •

В области 3 функции течения можно представить в следующем виде:

(9)

1 / 1

№•

+ х1/2Рз2 + ... ; р

— р ЭД2 Г ТЛ)

и ~ X1'4 «31 + • • •; V ~ 7.3/4/Ми31

к ~ Ию-]- х1'4 А31 + ...; да ~ х1/4 о>з1 + ••

(10)

Тогда систему уравнений, полученную в результате предельного перехода (1), можно представить как

Р «Ч1

¿ЛГ

+ +РТО®31

дуз

ди>31 С^31

Р «31 ^ “Ь Р «41 ^ “Ь Р ^31

ш ^ 1 ¿Уз ®

ди31 ду2\ дтЗА

—— + —— ----------------— = 0.

дх3 ду3 дг3

¿«31 , др3 д2 м31

дг3 ^ дх3 ду\ '

дт31 , др3 ¿2^31

дг3 дг3 ¿>’3

(П)

Краевые и начальные условия определяются при сращивании решений в областях 7 и 2 и с решением в невозмущенном пограничном слое

«31 а (Уз 4* А) \

ъ»31 -> О

«31 аУ3 т31 -> О

«31 — 0 яу31 = 0

Уз

| + г2> 00’

1 дА

( Уз — &3 Рз\ — — т— •

J дх3

Введем замену переменных:

х3=Х(р а1а512^гт; Уз =

^з=2(р шв5/2^2)_1/2; р31

Р*'*№

у31 = V (а3'4 (х^/р^2); ш31 = )1/4;

«31 = ^(^То/Р™)1/4; Л = Л (д-з ^/р2 )1/4.

огда система уравнений и краевых условий преобразуется к виду

ди дР д2 и

гтди дЦ и— + У

дХ

дУ

гг д\У дУУ и—т + 1/-Т77 +

дг д\V

дХ

дР

и -> У + л 1Г-> о

дХ

У -> ОС;

дХ

ди дУ

дг дг д№

д У ^ д2 Г дК2’

¿Г

и = о

\У

дг

= 0;

= 0 1 ¿7 - У )

\ у = Д ; *2 22 со.

= 0] 117 -* 0 /

(14)

В настоящей работе получено численное решение задачи, соответствующей обтеканию малой в масштабах области 3 неровности, Д^ = ¿Д, где&<^1. В этом случае

и=>У+кП; У = кУ; \У = /г№; Р = кР\ Л = кЛ. (15)

Систему уравнений (14) представим тогда в виде

удП дХ ^

У д)У

дХ

дй дХ

и - А 1 ~й= 0

У оо; _

о ) \У = 0

дХ

д*и

дУ2

дР_

дг

д1У/_

д У2

дУ

дУ

д\V

Р= —

1 дг У = А; дЛ

дХ

0;

и -* 0 ¥ -> о

(16)

Рассматривалось обтекание неровности, форма которой имеет вид

_ехр(-*2-22).

(17)

Система уравнений (16) решалась численно с использованием метода конечных разностей. Схема имела первый порядок точности аппроксимации по переменным ^ и 2 и второй порядок точности аппроксимации по У.

Для нахождения неизвестного заранее распределения давления использовался релаксационный метод. Вначале задавалось распределение давления, по которому определялось ноле течения и, в частности, функция А (X, 2). Затем строилось новое распределение давления, и процесс счета продолжался до совпадения с необходимой точностью полученного и заданного распределений давления. На рис. 2 представлено распределение коэффициента давления, выраженного в переменных подобия

П5Г

Р=с,

V

2 с

/о

где Cfu—коэффициент трения в пограничном слое перед областью взаимодейст вия,

на рис. 3 и 4 распределения коэффициентов продольного и поперечного трения ■отнесенных К CfQ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боголепов В. В., Нейла нд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГ^, вып. 1363, 1971.

2. Smith F. Т. Laminar flow over a small hump on a flat plate. nJ.

Fluid Mech.\ vol. 57, 1973.

3. Лыжин Д. О. Обтекание плавной ступеньки сверхзвуковым потоком вязкого газа в режиме свободного взаимодействия. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 4, 1976.

4. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 1529, 1974.

Рукопись поступила 11 ¡XII 1978 г.