К теории нестационарного пространственного свободного взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XII

19 8 1

М 6

УДК 532.526

К ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО СВОБОДНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

И. И. Липатов

Исследовано возмущенное пространственное нестационарное течение в режиме свободного взаимодействия ламинарного пограничного слоя с внешним невязким дозвуковым иди сверхзвуковым потоком. Выведены уравнения, описывающие подобное течение, получены численные решения линеаризованной системы уравнений. Выявлен факт возникновения при свободном взаимодействии течения, подобного вихревому течению Тэйлора — Гертлера.

1. Экспериментальные исследования, а в дальнейшем теоретический анализ, основанный на изучении асимптотических решений уравнений Навье—Стокса [1, 2], позволили выявить и описать такой режим течения, при котором в результате взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком индуцируется самосогласованное распределение давления. Для подобного режима течения в работе [3] предложен термин — „свободное взаимодействие”.

К течениям со свободным взаимодействием относятся течения в локальных областях вблизи точек отрыва пограничного слоя, если отрыв начинается с гладкого участка контура обтекаемого тела, а взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком до точки отрыва является слабым. Режим свободного взаимодействия реализуется также при взаимодействии слабых ударных волн с пограничным слоем, обтекании угловых точек контура тела, при сверхзвуковом и дозвуковом обтекании задней кромки пластины и во многих других случаях. Обзор некоторых задач, решенных в рамках теории свободного взаимодействия, приведен в работе [4].

Исследования нестационарных течений в пограничном слое с самоиндуцированным давлением дали возможность отметить связь между теорией устойчивости и асимптотической теорией свободного взаимодействия [5]. Результаты изучения пространственного течения с самоиндуцированным распределением давления представлены в работах [6, 7], в которых рассмотрено обтекание малых неровностей, находящихся на дне ламинарного погранич-

ного слоя, в предположении, что возмущенное течение описывается линейной системой уравнений. В настоящей работе исследованы нестационарные пространственные течения со свободным взаимодействием. ,

2. Рассматривается обтекание плоской поверхности потоком вязкого сжимаемого газа. Пусть на расстоянии I от передней кромки расположена область возмущенного ламинарного течения с самоиндуцированным распределением давления. Декартова система координат выбрана таким образом, что направление оси ОХ совпадает с направлением скорости невозмущенного набегающего потока., величина которой равна £/ет,. а ось OZ параллельна плоской поверхности. Предполагается, что число Рейнольдса достаточно велико, т. е. выполнен предельный переход

Re * оо, Re = poo£/ooZ/iJ.oo, (1)

где рм — плотность невозмущенного набегающего потока, (*«, — коэффициент вязкости, соответствующий невозмущенному набегающему потоку.

Ниже для декартовых координат, компонентов вектора скорости, плотности, давления, энтальпии, коэффициента вязкости и времени приняты следующие обозначения: xl, у/, zl, U^u, U^v, Umw, Poo p, Poo Uhp, UlH, JJ.oo[A, It/Uoa соответственно. Согласно теории свободного взаимодействия, в возмущенной области течения можно выделить три характерные области. Размеры всех областей в направлениях ли z совпадают и равны по порядку величины s3/4(e = Re_1/2); следует отметить, что эти размеры больше, чем толщина пограничного слоя перед областью взаимодействия (8—е), и меньше, чем расстояние от области возмущенного течения до передней или боковых кромок.

Размер области / в направлении, перпендикулярном поверхности, при конечных значениях числа М совпадает по порядку величины с размерами в направлении осей х к z, В области 1 содержатся струйки тока сверхзвукового или дозвукового невязкого слабовозмущенного течения. Пограничный слой на дне области 1 представляет собой характерную область 2. Возмущенное течение в областях 1 и 2 оказывается невязким, поэтому в рассмотрение вводится область 3 с толщиной, равной г5/4, лежащая на дне области 2, где влияние сил вязкости становится сравнимым с силами инерции. Продольная скорость в этой пристеночной области меняется в главном члене, соответственно в основном порядке меняется толщина вытеснения, определяющая изменение возмущения давления.

В области 1 независимые координаты и функции можно представить в виде:

х — 1 -f-e3/4Xi; y=e3,4yi', £ = s3/4z1; t = e.1i2t1-

p= I/yM^-M1'2Pn + . . p= 1 -MI/2Pn+ • - •;

u = 1 -J- s1/2 йц v — e1/2 vtl;

w = ei/2 Wn . >. /г = 1/(y — 1) ML + s1/2 .

где Moo — число M в невозмущенном набегающем потоке, ? — отношение удельных теплоемкостей.

Подстановка (2) в систему уравнений Навье — Стокса и предельный переход (1) приводят к уравнениям теории малых возмущений для сжимаемого потока:

ди\ , <Эрп , дх>и

dx-i

+

М2с

дРп

dxt _ дрп

+

дхх дРп

ду\

дх.

= 0:

dv1

dwu , дРи

дхх

i = 0;

— 0;

дх,

дип

дх1

дРи

= 0; (|Мот — 1| —-О (1)).

(3)

дхг ’ дхх 1

Система уравнений (3) описывает квазистадионарное возмущенное невязкое течение. Масштаб изменения функций по времени определяется по величине скорости и длине возмущенной области. Из системы уравнений (3) можно получить следующее уравнение для возмущения давления:

дх2

ду\

дг\

(4)

Для дальнейшего анализа необходимо получить связь между распределением возмущения давления рп и распределением вертикальной скорости ■Уц при уг 0, т. е. на внешней границе пограничного слоя. Решение системы уравнений (3), устанавливающее подобную зависимость, приведено в работах [8, 9]. Ниже проводится исследование частных решений вида

f—fo (У) ехР (ал: ш2:)> (5)

где а и со в общем случае принимают комплексные значения.

Решение уравнений (4), удовлетворяющее условию затухания возмущений при ух -> ОО, имеет вид

рп = С ехр[- (а2 [30 — 0)*)Wyx + aXi + Ш2,], (6)

где

p0 = ML —1; Real [а2

Наконец, искомое соотношение между возмущениями давления и вертикальной скорости для решений (5) имеет вид

Ри(х1г о, ги ^) = ^п(х1, 0, ги ^)«(«2Р0 —“2Г1/2- (7)

В области 2 координаты и функции течения можно представить в следующей форме:

х = 1 + £3/4л:2; _у = еу2; 2 = е3/422; 1 = г!2;

р— 1/тМсо + e1/2/?2i + • • •; р = Рго+£l/4Р21 + • • •; и = и2о + е,/4«21 + • • •; г» = да == е1/2 W4

(8)

^21 “Г • ■ ^ = ^20 ~Ь ®1/4^21 + • • •

Предельный переход (1) после подстановки (8) в уравнения Навье — Стокса дает следующую систему:

дрп

дип

Р20 «20 -^Г-

ди%

■ ?20 V2l

= 0;

<Эу2

:0;

ди31 . dv21 <ЭР21 аР20

Рго 'д,. + Рго + н2о + ®2Г

длг2 г о д_у2

<?P21 I _^Р20

й

20 -

+ V.

дх2 = 0.

<^2

;0;

= 0:

(9)

Ее решение можно записать в виде

«21 (*2, Уз, г2, 4) = ^-(у2)А (х2, г2, г2>);

^21 (-*-2) У21 ^2» ^2) = ---- «20 (^2) ----~ ■

Наконец, для масштабов координат и функций течения в области 3 верны формулы /' \

* — 1 + £3/4 л3; .У = **'1Ул> 2 = е3/4 23; і = г1/2 г53; р — 1/тМІо + г1/2Рзі + р = Рги + ®1/2 Рзі +' • • •;

й = е,/4% + ...; ?/ = е3/4г>31-|-. .

/г = ^№ +$1/4/г31 + . . да = г1'4 ®31.

(И)

Для главных членов разложений функций течения после подстановки (11) в уравнения Навье — Стокса получается следующая система уравнений:

І“*4-о и -^4-о V -^4-о го а а*Цм •

д*з ^ Рга “31 (З^сз + ^31 ду3 +Р® 31 дг3 + <Элг3 “ ду2 '

дл>‘

д»зі

ді>31 , да>3,

ОУі

+

дг,

РЛі 0;

3

. дт^ ( <?ш3| г д®«1 , д2 ио*\

щГ + р-Ив1Ж + Рв®811л'

<?г3 1 с*г3

дРт

, 2 дУз

<Э;Уз

= 0.

(12)

Краевые условия определяются при сращивании решений в области 3 с решениями в областях 2 и 1 и с решением для невозмущенного пограничного слоя:

где а

®п'С*1. 0, ?і, А) =

й?М20 (0)

«31 “*■ а (Уз “Ь А)\ вд81 -г- 0; _у3 -> оо; «зі «-^зї ®зі ^0; — °°>

«зі == -®»і = »ц = 0 при з/3 = 0; ал

[03)

дхп

(Хь, г2, ^) = (а2р0 — “2)1/2а_1р31.

Введение замены переменных

*.-“*( \МІ - Ц 3,8; _уз =у р-2 «-3)1/4 |Д^ _ ! 1-1/8.

23 = 2(Р| М|о - 1|-3/8; Лі = Р^2 а1/2 |Мет - 1|+»2; г>31 = V(а314 ^ рда1/г) |МІо — 1|1/8; «31 = ^(а^2)1/41М2 - II"1/8;

®31 = (ац, р™ 01/41моо - 1 [_1/8; Л - Л (а-3 ^ р" >4 |М^_ 1 [• і3=Т (рша3/2 [4и2)-1 |Мм — 1Н/4.

-1/8.

(14)

преобразует систему уравнений (12) и краевых условий (13) к виду

ди ' ГГди _і_ \ґди і 17/ ди дР — д* и

дТ ^ дХ + дУ + дг ^ дХ дУ2

дТ

дУ

дХ

дР

дг

(Г~ \У д У2

ди , дУ . дЧ/ п дх т дУ ' дг —и;

дР

дУ

— 0;

(15)

£/->У + А; при У-* оо;

и -* У; И7 -> 0; при X — оо ^ — солеї); £/= У = М7 = 0 при 7 = 0;

<Й

дХ

:(<х2 Ро-Ш2)1/2^-1?.

Будем искать решение задачи (15) в виде малых возмущений к исходному решению, описывающему течение в пристеночной области пограничного слоя:

и —У -у с0/, (У) ехр (ах + 0>г+сту, Р = С0 ехр (?Х + + сТ);

1/= С0/, (У) ехр («Л'+шг + сГ); и7'=Со/1(У)ехр(а^' + іо2 + сТ),

(16)

где С0 С 1.

Проведем замену переменных

Л

0)2

/ь Л—~5ізЛ> /з— /«; у

„2/3 У1. ^ а5/ЗУ2. а •'«> а1/3

У.

(17)

Тогда подстановка формул (16) и (17) в систему уравнений (15) позволяет получить следующую систему уравнений:

(^+т\)/і +1 =Л;

(у+т,)72-71 = 7;'-,

/і (0)=/г(0) = / (оо) = 0; Л(°)"а>';

,2/3

/2 (оо) = — -з-

а)2

1/2

(18)

(М^о — 1) “2 |М1— 11

где Т1 = са—У3.

Решение первого уравнения системы (18) выражается через функции Эйри [10]:

/: = ^сГлпГ,)0 “ + Л / 1В‘'(Гх) АМ~ 31 (7!) Л (Г°]

3 1 3 Г,

со

где у,= г+Тй с3=(кЛ)"1; Л= 1 ллч)^.

Решение для функции /2 с учетом краевого условия при У = О и условия ограниченности при V оо имеет вид

7; +/2=(1 + -5-)и; ('ля-^иг,);

(О2

/2=(1 + -£г)и;(г1)]-1 р,сч)**ч

мы

+

г,

+ ■

. С3 А1 ( ГО [5г(П)Лд71>-5г;цлг(^)1^

(19)

г,

Наконец, дополнительное краевое условие, полученное при сращивании с решениями в областях 1 я 2, позволяет получить дисперсионное соотношение, устанавливающее связь между собственными значениями:

Л

а2

<«2

„2/3

Л (7\)

(Л2

(О2

I (М2-1) а2 |М^ — 11

1/2

(20)

3. В настоящей работе получены решения системы уравнений (18), которые соответствуют действительным положительным собственным значениям а, действительным собственным значениям С и действительным или чисто мнимым собственным значениям 0).

На рис. 1 представлены зависимости ш(а) для трех значений параметра 7\: — 1; 0; +1. Пунктирные кривые соответствуют решениям при числе М, равном 0,5 и 1,5. Сплошные кривые-описывают режим течения при слабом взаимодействии исходного пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком. Предельный переход Мго -» оо в системе уравнений (18) приводит, как это следует из сравнения с результатами работы [7], к системе уравнений, описывающей режим течения при слабом взаимодействии пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком вне области свободного взаимодействия.

Анализ системы уравнений (18), описывающей стационарный режим течения (Т1 — 0), показывает, что каждому положительному собственному значению а соответствуют два, отличающихся знаком, собственных значения со, действительных или чисто мнимых. При а<“*, где а* — собственное значение для решения, описывающего плоское стационарное течение с взаимодействием [Н], собственные значения со действительны. Следует отметить, что линия постоянных значений собственной функции при действительных собственных значениях а и со параллельна плоскости X и оси 02 (в плоском течении), а при уменьшении а до нуля в пределе совпадает с характеристиками в сверхзвуковом внешнем невязком течении (о = + а (М^—1)1/2. Оказывается, что при действительных значениях а и со(а>0) решение существует лишь при Моо>1. При а>а^. собственные значения СО чисто мнимые, решение в этом случае существует во всем исследованном диапазоне изменения чисел М.

Анализ численных решений системы уравнений и краевых условий (18) или соотношения (20) показывает, что решение существует в ограниченной области изменения параметра св2/а2^1. Следует отметить, что при со2 = — а2 (1т и = + а) возмущение продольной скорости на внешней границе области 3 отсутствует; тогда, согласно соотношениям (10), отсутствуют возмущения и в основной части пограничного слоя и во внешнем невязком потоке. Соотношение 1т со = + а описывает также зависимость ш (а) при больших значениях а во всем исследованном диапазоне изменения числа М. Оказывается, что в этом случае увеличение толщины вытеснения пограничного слоя, вызванное положительным индуцированным градиентом давления в продольном направлении, компенсируется уменьшением толщины вытеснения за счет растекания в поперечном направлении. Подобный эффект компенсации в плоском течении может возникать при некоторых режимах обтекания локальных неровностей и изучен в работе [13].

Решения, соответствующие чисто мнимым собственным значениям со, подобны решениям, описывающим вихревое движение Тэйлора—Гертлера [12], возникающее в узкой пристеночной области с масштабами, определяемыми формулами (11). Решение Тэйлора — Гертлера получено при исследовании течения вблизи вогнутой поверхности, появление неустойчивости в таком течении связано с влиянием центробежных сил. Результаты настоящей работы свидетельствуют о том, что возмущенное периодическое по Z течение может возникнуть также и при обтекании плоской поверхности в результате взаймодействия пограничного слоя с внешним невязким дозвуковым или сверхзвуковым потоком.

Решения системы уравнений (18) при чисто мнимых собственных значениях ш могут быть использованы для построения глобального решения в области, примыкающей к донному срезу (Х = 0), на котором задан малый перепад давления Р0(2). Например, распределение возмущения давления описывается формулой

оо

Р(Х, 2) — | [С0 (ю) соэ со 2 + П)й (со) эш со2] еаХйи>,. о

где

I 00 ~ 1 00 ■'

QM — ~ j* Ро (Z) cos т ZdZ; D0 (щ) = —- j Р0 (Z) sin u>ZdZ.

—со —oo

Подобным образом при известной зависимости а = а(ш, с) может быть получено решение и для нестационарного распределения давления на донном срезе. При <в = 0 решение системы уравнений (18) описывает плоское настационарное течение. Приведенные на рис. 1 собственные значения а(со = 0) и соответствующие им собственные значения с совпадают с аналогичными собственными значениями, приведенными в работе [5]. На рис. 2

изображен также ряд нестационарных решений, соответствующих отрицательным значениям параметра Тх = с/а2/3.

Рассмотрение приведенных результатов показывает, что распределение возмущений функций течения, задаваемое в виде /=/0exp(a,Y4~c Т) и порождаемое плоской бегущей волной, должно приводить или к образованию периодической структуры в поперечном направлении, или к появлению плоских волн, бегущих под некоторым углом к направлению распространения исходной волны.

В заключение автор считает приятным долгом выразить благодарность В. Я- Нейланду за обсуждение проблемы и ценные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейл анд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4.

2. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation.

„Ргос. Roy. Soc.“, A., vol. 312, N 1509, 1969.

3. С h а р m a n D. R., Kuehn D., Larson H. K. Jnvestigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect ot transition. NACA Rept., N 1356, 1958.

4. ГогишЛ. В., НейландВ. Я. Степанов Г. Ю. Теория двумерных отрывных течений. „Итоги науки. Гидромеханика", т. 8. 1975.

5. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном по-

граничном слое с самоиндуцированным давлением. ПММ, т. 41, вып. 6, 1977. 4

6. Smith F. Т., Sykes R. I., Brighton P. W. M. A two-dimensional boundary layer encountering a three-dimensional hump. J. „Fluid Mech.“, vol. 83, p. 1, 1977.

7. Липатов И. И. Пространственное обтекание малой неровности в режиме слабого гиперзвукового взаимодействия. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 2, 1980.

8. Ф е р р и А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953.

9. С и р с У. Р. Общая теория аэродинамики больших скоростей. М., Воениздат, 1962.

10. Абрамовитц М., С т и г а н И. Справочник по специальным функциям. М., „Наука", 1979.

11. Light hi 1 1 М. J. On boundary layers and apstream influence.

II. Supersonic flows without separation. „Proc. Roy. Soc.“ A., vol. 217, N 1131, 1953.

12. Ill л и x т и н г Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука*, 1969.

13. Боголепов В. В., Н е й л а н д В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1363, 1971.

Рукопись поступила 24\1Х 1980 г.