CC BY
34
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIV Тэ1Гз
№ 6
УДК 532.526
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
В. Н. Тригу б
Показано, что при продольном обтекании длинного цилиндра (такого, что толщина пограничного слоя сравнима с радиусом) потоком вязкой несжимаемой жидкости наличие малых неровностей или изломов на поверхности может приводить к взаимодействию пограничного слоя с внешним потенциальным потоком. Выяснена асимптотическая структура взаимодействия и решена линейная задача для пристеночного слоя при обтекании изломов. Установлено, что при взаимодействии на тонких осесимметричных телах возмущения затухают вверх по потоку экспоненциально.
При продольном обтекании длинного цилиндра на расстоянии
я2 £У
Ь------—от торца (а — радиус цилиндра, £/м — скорость набегаю-
щего потока, V — коэффициент вязкости) толщина пограничного слоя становится сравнимой с радиусом цилиндра. Предметом настоящей работы является рассмотрение возмущений такого течения, вносимых малыми неровностями или изломами на поверхности. Этот случай является более общим, так как влияние толщины слоя будет учитываться в главном приближении, а переход к тонкому слою при необходимости может быть осуществлен после установления структуры взаимодействия. Под взаимодействием подразумевается ситуация, когда продольный градиент давления в вязком'пристеночном слое индуцируется толщиной вытеснения этого слоя. Именно при достижении возмущением величины, способной вызвать взаимодействие, следует ожидать появления отрывных зон.
Взаимодействие исследуется в рамках трехслойной схемы, впервые предложенной в работах [1, 2] для сверхзвуковых плоских течений. Асимптотическое описание явления в осесимметричном случае осложняется наличием особенности в разложении потенциала при г -*■ 0. Это приводит к усложнению структуры асимптотических разложений, но одновременно упрощает краевую задачу для главного приближения, так как взаимодействие становится локальным, причем локальные возмущения затухают вверх по потоку экспо-
ненциально. Таким образом, взаимодействие на осесимметричных тонких телах в несжимаемой жидкости во многом сходно с взаимодействием плоского сверхзвукового пограничного слоя и значительно отличается от плоского дозвукового, где проявляется нелокальность [3].
1. Постановка задачи. Пусть на расстоянии Ь—а“^е- от начала цилиндра находится неровность или ряд изломов. Полагаем, что длина возмущения (т. е. отклонения формы поверхности от цилиндрической) конечна и мала по сравнению с Ь. Результаты затем можно обобщить на случай достаточно быстро затухающих возмущений.
Введем цилиндрическую систему координат (г, г) с осью 2, направленной по потоку вдоль оси симметрии. Все размеры отнесем к характерному расстоянию Ь, компоненты скорости — к невозмущенному значению ее над областью взаимодействия Vе, возмущения давления — к р^Д где р —плотность жидкости. Число Рейнольдса Ие — = ~ полагаем стремящимся к бесконеч-
ности.
Введем функцию тока 6 так, чтобы гиг —------= (и —
аксиальная скорость, V — радиальная), и перейдем в уравнениях Навье — Стокса к независимым переменным (ф, 2). (Отметим, что все результаты могут быть получены и в переменных г, 2, однако в ряде задач переменные <!>, г оказываются более удобными.)
ди
~дГ
д_
дг
ди
ду
V
- ъг др дЬ = г2 и А. (аг2
ЁЕ- д'Ь = Е2 к ■ч „ д(т)
11 дг »' дг 1
И- дг ' и
д^и дг2
+ 0
д2 V дг*
(1.1)
Члены вида О в дальнейшем нам не понадобятся. Усло-
вимся также о следующих обозначениях: ^ означает, что про-
г=1
цесс построения членов указанного вида можно продолжать сколь угодно долго. Пусть по определению 0*(тл) означает, что при т -* 0, п > 0, для любого >>0 О (•:л+с') О* (хп) 4^ О ((тл-в). Тогда члены вида 1п^(1 /т), тл1п(1п1/х) и т. д. можно обозначить 0*(тл).
2. Область завихренного потока. Предполагается, что длина области взаимодействия Д(г), (Д -*• 0 при е 0) велика по сравнению
с толщиной завихренного слоя: —^0 при $->0. Величина
Д (г) будет получена в дальнейшем при сращивании с вязким подслоем. Для рассмотрения слабо возмущенного движения в завихренной области совершим предельный переход г — Ь.х, ^ —
т6 > г, т -» 0, ф, х, I* фиксированы, в уравнениях (1.1) при следующих асимптотических разложениях функций по т;
= £/0(ф) -ЬтМп2 4'Х(1п'Т') 1+1 СЛ/(■*>. Ю + О* (х6);
Р\ I (х> Ф) + 0:й(т6);
г= 1
-г =К=Я0(ф) + **1п4-Е(1п
1 = 1
1 \-i+l
Ко I
+ ^1п*4Е/?11.(т4-) 1+1 + о*(х6),
г»
т31п4-Х(1п4-)1+1 ^0/+^1п2 4-Х
1=1
1 \-*Ч1
/ = 1 \
(2.1)
+ 0*(х6).
Порядки величин в разложениях выбраны из условия сращивания с внешним потенциальным потоком. Наличие бесконечных цепочек логарифмически близких членов при степенях связано с тем, что вытесняющее воздействие нижнего подслоя индуцирует градиент давления в двух порядках: главном и логарифмически малом; давление в логарифмически малом порядке воздействует на область вязкого подслоя и индуцирует вновь некоторое вытесняющее воздействие и т. д. Таким образом, от взаимодействия всегда остается логарифмический „хвост“ в следующем приближении. Логарифмическое „зацепление" через граничные условия является типичным для асимптотических разложений в осесимметричных течениях [4, 5]. Масштаб времени Ь выбран так, чтобы нестационарные члены входили лишь в уравнение нижнего слоя.
В результате указанного предельного перехода получаем следующие линейные уравнения для членов разложения (2.1):
Р\ I + ^Я I — 0; дЯ>1
дРи
п. др\ г ^ Уп г_]
и’ ------------------------------------------
У01 = и,
___________. у . — и 1 .
0 дх ’ 1' 0 дх ’
2
дх ’
д (/?0 г)
0;
I +/ — к-\-1
(Л
(2.2)
Определим некоторые функции, которые однозначно задаются начальным профилем Ь0(^):
ф 00
г,
а(Ф)= [
«у
Ф
<«=-/
1
_________________________
2 (ф + 8) /?о
йф; 8 — ^ (ос);
г 1п (Ф + 3)
'-Щ 2 и3 о
(1Ь.
ю
Относительно начального профиля і/0 (о) полагаем следующее:
при ф -*• оо ио -* 1 экспоненциально; при ф -* 0 ио — а.
/2Фе
—— п / —-—
+ О (Ф).
Последнее означает, что разложение профиля ио до взаимодей-
ствия при г -*■ а имеет вид £7,
Отметим,
что при 6 -> со Ги Р2, /*, стремятся к нулю экспоненциально.
Выпишем лишь те решения уравнений (2.2), которые понадобятся в дальнейшем. Для единообразия записи определим А0 = О
Аі Вь 1 А\ -Аі Р? ъ
я.,= -ж; к'>=-іг-ї 2 1Г + 1Г ♦ -'’.<« +
0 *Ч> ^ (+/=*+! *М) “о
- (ф + °) (1п (Ц> -)— 8) — 1) + Рз
/72(Ф)+4-1п (Ф +5)
; уоі=-аі
и0
Уч = ио-
сьс
;
А
^/-1
£/о
-н-1п('{| + 8) + ^,(ф)
(2.4)
здесь Н1 — 2ф + 2Р0 (■]>); Лг, £г, />“. — неопределенные функции от х, £*; штрих означает дифференцирование по х.
Для сращивания с потенциальным потоком потребуются разложения при <]> -> оо:
1
#п=Г4-0 хЧп
V — х3 1п •
: = 1
а = 1 4- х41п2
2
;=1
1п —
і
1п — 1 \—г+і
-І + 1
А,
+ 0й (х5);
1п 2
— р0и(х)+л:_ і —2—1п г
+
+ 0*(х6).
(2.5)
Как и в случае плоского слоя, в главном приближении -щ- =0, однако уже в логарифмически близком следующем приближении
др
д'Ь
Ф 0.
3. Внешний потенциальный поток. Предполагается, что завихренная область при 6 -* оо переходит в потенциальный поток. Рассмотрим цилиндр, где г~г и завихренность отсутствует. Совершим предельный переход 2 = Ах, г = Ду, х 0, х, у фиксированы при следующих разложениях функций:
= 1 + х4 Іп-^Х (1п
і=і
И? (X, у) + О* (х®);
=х41п ~г X (1п 4”) г+1'г/°('х> у) + о*(тв).
Решение уравнения Лапласа можно выписать в виде потенциала источников, распределенных на оси г = 0:
Здесь 5,- — неизвестная интенсивность распределения.
Для сращивания с завихренной областью требуется разложение скоростей при у —0. В [6] приводится разложение потенциала при у-»0 для финитного распределения источников на отрезке
Нетрудно показать, что при предположении достаточной гладкости (отсутствие разрывов 2-й производной) и достаточной скорости затухания при х -* ± оо разложения скоростей при у -> 0 имеют вид:
4. Нелинейная задача для вязкого слоя на теле. Малые возмущения давления в завихренном потоке оказывают нелинейное воздействие в области малых скоростей при О (т41п2т). Потребовав, чтобы в уравнениях для нелинейной области присутствовали вязкие члены, замкнем задачу определения Д и т через е;
1
(3.2)
—СО
[(X - с)2 + у»] 2
[0, /]:
(3.4)
=--------- Г ЗГ (?) зі§п {х — £) 1п | х —
4тс Vі
)
Сращивание (2.5) и (3.4) дает:
(3.5)
gi-^ = —^ [ А‘~х 5‘£п (х ~' •) іп I х — ^ I
—со
71п3 — ; Д = т® 1п3
Разложения функций при предельном переходе г = а + ет:31пУ* г=-^-х; а -» 0, х, у фиксированы, имеют вид:
и = х21п 4“2 (1п "Т") 1 + 1 и((х’ У’ ^) + 0*(т4); 'и = т51п24-2(1п У, <*) + 0*(-г7);
(4.1)
р = т4ш4-2(1п4")!+1 р>(л:’ **) + °*(х6)-
Совершив предельный переход (4.1), получим уравнения для вязкого нелинейного слоя. Для нахождения граничных условий краевых задач следует провести сращивание разложений (4.1) и
(2.1), учитывая, что при ф -* О
2^2
— + О (1п ф); Р2 = Р2 (0);
Р3=- ^(0)+-^1п8
— + О (1п ф).
Еа2
2фе
(4.2)
Представим краевые задачи в окончательном виде, проведя предварительно преобразование подобия:
и,-* I—У а1 и--, 7 oJvi\ а~Ту;
(4.3)
а * х; А^(^-)7 АС,
<* -*■ а 7
позволяющее исключить все параметры в главном приближении, а затем преобразование Прандтля, чтобы поставить условие прилипания при у = 0:
и^и-с, vl■*vi + F,uc У-+У + Р-, А1^-А1 — Р\ А1 А с, х ->■ х;
здесь Р(х, /)— форма неровности;
да1 . ди.
ди
^т=А^-рл
, & «1 . ^ -эрг*
<Э«А , д_(«! ЫА) , | Йн, _ , (?!И4
ду * ду Рь > ду2
дх
2- («/ *, /*1
дм,-
дх
+ ®|
дщ ду I ’ дх
ди;
+ ^У = °;
А-1 2 | ]' ^*-1 ^ ^
I, —СО
й\
- \ (6) Ш (5-*)#};
X
[1 = 2 (0) + 1п
1 5 ~|
Г2
тт\
(4.5)
при у = 0 и1 = ?',■ = 0; при х ^ — со А1-> 0; при у -> оо их .-*- у + ик^ Ак\ г = 1, . . .; к — 2, . .
Отметим то замечательное обстоятельство, что краевая задача для главного приближения тождественно совпадает с задачей для вязкого подслоя в затопленной плоской струе в несжимаемой жидкости [7]. Это означает возможность перенесения результатов исследования одного явления на другое.
5. Линейная задача для главного приближения. Линейные задачи для уравнений взаимодействия плоского пограничного слоя с дозвуковым и сверхзвуковым потоком исследованы в [8].
Будем полагать, что возмущение Р стационарно и настолько мало, что поток слабо отличается от сдвигового. Для простоты считаем, что это излом; ввиду линейности задачи, суммируя решение для изломов, можно получить решения для разнообразных конечных по длине возмущений
р =
0; х <0, кх\ х^0.
(5.1)
В дальнейшем рассматривается только главное приближение. Пусть и^у =])(?', где № — мало. После линеаризации
получим:
д№
■ V
дУ
д2 Г ду2
дГ
= Ап
ду дх
= 0;
1/= Ц7 = 0 при у = 0; Ш -> А при у ^ оо,
(5.2)
«
Выполняя преобразование Фурье Ф = ] е~‘юх Ф (х)с1х, получаем
— оо
систему уравнений:
Ык — гoJ3 А;
дУ
ду
IV = V — 0 при у = 0; IV ->■ А при у -> оо.
(5.3)
Решение этой системы, ограниченное при у -> со, имеет вид:
__ у г '
№ = В (ш) | А! (гм)3 у йу,
о
где А1 (г) — функция Эйри [9].
Из условия на верхней границе получаем В (ш) = З(г'ш)3 А;
д2 №
из условия на нижнеи границе
Л = к
ду3
= г'м/г-|-£«3 Л следует:
(5.4)
ЗА1,(0) + (ги>)
Выбор разреза в комплексной плоскости, а также пути интегрирования при обращении Фурье-преобразований указаны на рис. 1.
О
и)
О
Рис.
О
При х<0 интегрирование ведется в нижней полуплоскости с единственным полюсом на мнимой оси, при х > 0 — в верхней полуплоскости с двумя полюсами и по краям разреза.
В результате получаем:
Л =---------ечх\ при х<0;
№ г т
°) =
—к-
еч*.
На рис. 2 представлены графики возмущений давления и коэффициента трения на стенке для излома, расположенного
в начале координат. Вычисляя интегралы при х = 0, можно убедиться, что возмущение давления р —— А" + Т7" в точке излома непрерывно вместе с первой производной; возмущение коэффициента трения на стенке непрерывно, но его производная бесконечна.
Полученные распределения возмущений существенно отличаются от распределений при обтекании плоского излома как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях немонотонным поведением в области за изломом. По-видимому, такое явление
характерно для осесимметричных течений и связано с пространственным растеканием жидкости над вязким подслоем.
Автор благодарит В. Я- Нейланда за внимание, проявленное к работе, и обсуждение результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. НейландВ. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.
2. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation. -Proc. Roy. Soc. A, 1969, vol. 312.
3. Сычев В. В., Рубан А. И. Асимптотическая теория отрыва
ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. — Успехи механики, 1979, т. 2. № 4.
4. G 1 а и е г t М. В., L i g h t h i 1 1 M. J. The axisymmetric boundary layer on a long thin cylinder. — Proc. Roy. Soc., London A. 230, 1955.
5. Stewartson K. The asymptotic boundary layer on a circular cylinder in axial incompressible flow. — Quart. Appl. Math. 13, 1955.
6. Goldstein S. Lectures on Fluid Mechanics, Wiley, New York, 1960.
7. S m i t h F. Т., D u с k P. W. Separation of jets or thermal boundary layers from a wall. — Quart. Journ. Mech. and appl. Math., 1977, vol. XXX, p. 2.
8. Stewartson K. On laminar boundary layers near corners.—
Quart. Journ. Mech. and Appl, Math., 1970, vol. XXI11, p. 2.
9. Справочник по специальным функциям. /Под ред. М. Абра-
мовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.
Рукопись поступила 20jIV 1982 г.
2 —«Ученые записки ЦАГИ» № 6
