О температурном граничном условии в задаче устойчивости пограничного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IV 197 3

№ 2

УДК 532.526.3

О ТЕМПЕРАТУРНОМ ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

В. А. Кузьминский

Рассмотрена схема теплообмена между обтекаемой поверхностью и газом в пограничном слое. С использованием этой схемы получено граничное условие для флуктуаций температуры в линейной задаче об устойчивости ламинарного течения. Приведен расчет характеристик предельной устойчивости ламинарного пограничного слоя на охлаждаемой плоской пластине при сверхзвуковых скоростях потока.

В линейной теории устойчивости ламинарного течения в пограничном слое сжимаемой жидкости граничное условие для флуктуаций температуры зависит от характера теплообмена между газом и обтекаемой поверхностью. В ранних работах по теории устойчивости принималось условие исчезновения температурных возмущений на поверхности. В работе [1] рассмотрена одна из возможных схем теплообмена и получено краевое условие, которое при низких частотах возмущений приводит к исчезновению теплового потока на поверхности от возмущений, а при очень высоких частотах сводится к старому условию исчезновения температурных возмущений.

В настоящей статье рассмотрена схема теплообмена, отличная от схемы [I], и получено граничное условие, учитывающее как возмущения температуры, так и вызванные ими в процессе теплообмена тепловые потоки.

1. Постановка задачи предельной устойчивости принципиально совпадает с предложенной в работе [1]. Обозначения и индексация, в основном, аналогичны.

Граничное условие для возмущений температуры имеет вид:

(1)

где <7 — зависит от волнового числа а, параметра с и условий теплообмена.

В данном случае задача устойчивости является однородной краевой задачей для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и условие ее разрешимости дает уравнение для собственных значений в виде

/ЗЩ! /ьш ■Рfъw

?зге/ 9501 + Я = 0, (2)

0' ш с

где I/7. Ф, в}, {/в, <Рз> 9з}, {/б> Ъ> 9б}—любые линейно-независимые решения системы уравнений для возмущений, удовлетворяющие граничным условиям при уоо (см. [!]). Сохраняя главные члены в (2), получим

Фзто

/зц1

+

/зто

5® , т ?5то в—■ т шз ~д—

'}50!

1

' +

5т

(3)

7 — Ученые записки ЦАГИ № 2

97

где

ww (и + iv)

Здесь р(г) — функция Титьенса [1].

Используя выражения (4), запишем уравнение (3) в виде

И — 1 + IV = -f- ІХі,

(5)

где хг = тг (а, с, г), %і = х,• (а, с, г) — действительные функции, определяемые из (3), а — действительная величина.

Рассмотрим нейтральную устойчивость для дозвуковых возмущений. Тогда параметр с принимает только действительные значения и удовлетворяет неравенству

Функции х, и х; при г Ф 0 ограничены во всем диапазоне изменения входящих параметров. Поэтому из действительной части уравнения (5) следует, что

при с Сщш = 1 — величина а -> 0.

Из мнимой части уравнения (5) для отыскания максимального с получаем соотношение V (с) = [х,- (с)]шах, где правая часть — максимальное значение т; по аргументу г при фиксированном с. Это справедливо, по крайней мере, для умеренных сверхзвуковых чисел М набегающего потока. При этом могут найтись такие значения Тщ и <?, что

при конечном гфО, т. е. значения, при которых максимальная и минимальная величины с совпадают при Re6-»оо. Это означает, что кривая нейтральной устойчивости смещается в область бесконечно больших чисел Res при фиксированном значении a Rea. Соотношение (7) является исходным для расчета характеристик предельной устойчивости.

(6)

При а < 1 (см. [1])

~f— О (1) —{— О (а2),

(7)

2. Перейдем к рассмотрению граничного условия для температурных возмущений. Пусть пластина толщиной Л омывается сверху пограничным слоем. Под пластиной имеется полость, ограниченная снизу идеальным теплоизолятором. В ней движется жидкий или газообразный теплоноситель (фиг. 1). Теплоноситель компенсирует тепловые потоки, проходящие через пластину, и поддерживает требуемое значение Тт на ее поверхности. Влиянием скорости теплоносителя на

теплообмен пренебрегаем. Процесс теплообмена в пластине можно описать нестационарным уравнением Фурье

8 — характерный размер пограничного слоя, ст> Тт> ^7п — соответственно теплоемкость, удельная плотность и теплопроводность пластины, принимаемые постоянными, а0х — коэффициент теплопередачи между пластиной и теплоносителем,

Т0х — температура теплоносителя,

— малый параметр, характеризующий амплитуду возмущений. Направления осей координат показаны на фиг. 1. Решение задачи (8) —(10) будем искать в виде

Подставляя (И) в (8), получим два уравнения для невозмущенной стационарной температуры и для нестационарного возмущения:

2

/—теплоноситель, 2—-идеальный теплоизолятор Фиг. 1

(8)

с граничными условиями

(9)

(10)

безразмерный коэффициент температуропроводности пластины, принимаемый постоянным,

Т = Т (у) + чЬ(у)е^х~с(\

(П)

• Решая уравнения (12) и (13) с граничными условиями (9) и (10), получим для возмущенной температуры в пластине выражение

Tw +

1 h_ d0 + 5

У + ei *

1 +-rth(ki4-

ch (А,у) + —.*° v в/ sh (Л, jf) -IL + th ktS

Ja(x-ct)

Возмущенный тепловой поток в пластине при у — 0 имеет вид

Q.W- ^ (-5r)j-=o“ Im± + JL

dn _r 8

' el ^1

■+xv

i (h ^

rfo

(15>

Возмущенный тепловой поток в пограничном слое при_у = 0

Ош (0 = - (*-|^)у=0 = т'ш + (С В* + Т*. в;)

гДей = ^-Г+^-°0(з;)егаМ),

1 00 •< 00

*оо> Тоо ~ некоторые характерные значения коэффициента теплопроводности в. слое и температуры.

Сравнивая тепловые потоки (14) и (15), получим граничное условие для температурных возмущений в виде

0™ +

1 +

А

dQ

th k

h

А+,й(‘, 4

, = 0

при произвольных а и с.

В случае предельной устойчивости, т. е. при а -» 0, с -> 1 — получим

_1_

м

Re* -» со.

:0

ш 1 1 7

и, сравнивая ее с (1), получим значение

Г1 ,

я = -

<0.

г w ]_____________________

Т0л

(16>

Как следует из соотношения (15), граничное условие Tw§'w + T'w dw = 0 из работы [1] дает нулевой тепловой поток от температурных возмущений на поверхности пластины в предельной задаче устойчивости.

3. В качестве примера расчета исследуется устойчивость пограничного слоя на плоской пластине в сжимаемой жидкости при сверхзвуковой скорости набегающего потока. Зависимость вязкости от температуры линейна и число-Прандтля а = 1.

Течение в пограничном слое описывается решением известной системы уравнений 121:

Г" + //" = 0,

S" +fS' = о

•-f'w =S(oo) = 0, /'(оо) = 1, Sw = const. Здесь

с граничными условиями /и

f' = w, 7’ = (1 5) (1 ~~2~ М2) ~

— 1

- М2

Из соотношений (7) и (16) при различных значениях числа М и параметра q находятся значения безразмерной температуры поверхности кр, при которых достигается полная устойчивость двумерного ламинарного пограничного слоя по отношению к малым плоским возмущениям до сколь угодно больших чисел Рейнольдса.

&о=0

*о = — 0,2

М

W кр

м

1,045 0,396 0,061 0,490

1,066 0,494 1,077 0,554

1,207 0,814 1,098 0,620

1,460 0,988 1,125 0,689

1,740 1,061 1,165 0,763

1,830 1,052 1,231 0,846

1,740 0,872 1,284 0,895

1,620 0,767 1,285 0,896

1,417 0,595 1,900 1,160

1,330 0,521 1,913 1,126

1,280 0,341 1,720 0,875

1,667 0,589 1,593 0,754

1,818 0,666 1,469 0,644

2,000 0,750 1,324 0,540

2,967 1,064 1,702 0,632

3,102 1,092 2,208 0,890

4,030 1,092 2,590 1,053

4,550 0,912 3,240 1,240

4,864 0,736 5,725 0,000

5,040 0,608

5,725 0,000

b0=- -0,5 b0 = - 1,0 b0 = — со

м T'w Кр м Т-ц) Кр м T-w Кр

1,061 0,490 1,061 0,490 1,061 0,490

1,077 0,554 1,077 0,554 1,097 0,620

1,100 0,620 1,097 0,620 1,163 0,762

1,125 0,689 1,124 0,689 1,369 0,962

1,164 0,763 1,163 0,762 1,715 1,112

1,228 0,846 1,226 0,846 1,599 0,907

1,380 0,967 1,856 1,098 1,506 0,726

1,825 1,166 1,715 0,953 1,309 0,537

1,943 1,141 1,595 0,830 1,112 0,250

1,852 1,012 1,488 0,720 1,203 0,258

1,702 0,869 1,391 0,624 1,358 0,411

1,575 0,748 1,307 0,537 1,576 0,599

1,423 0,632 1,617 0,609 1,898 0,860

1,307 0,537 1,850 0,758 3,030 1,418

1,198 0,386 2,316 1,037 3,555 1,411

1,119 0,250 2,610 1,181 4,032 1,276

1,188 0,257 3,194 1,368 4,530 1,021

1,356 0,410 3,516 1,389 5,725 0,000

1,636 0,614 5,725 0,000

1,947 0,791

3,018 1,270

3,429 1,341

4,018 1,269

4,526 1,020

5,725 0,000

В расчетах удобнее использовать параметр Ь0, который связан с ? соотно-

. м/;

шением Ь0 —--------— .

(М — 1) <7 _

Результаты расчетов в виде зависимости 7’и,кр(М, 60) для значений = 0; —0,2; —0,5; —1,0 и — с» приведены в таблице и на фиг. 2. На этой же фигуре представлена температура адиабатической поверхности в зависимости от числа М.

Кривая 7'кікр(М) Для значения параметра 60 = 0 соответствует граничному условию 0ц, = 0. В рассмотренном диапазоне изменения параметра Ь0 сохраняется двухпетлевой характер зависимости. Но каждая петля меняется по-разному. Устойчивость пограничного слоя до сколь угодно больших чисел Рейнольдса достигается во внутренних областях каждой петли. _

Область на плоскости (Тш кр, М), охватываемая левой петлей, с уменьшением Ь0 от 0 до —0,5 увеличивается, достигая максимальных значений Тт Кр и М. При дальнейшем уменьшении Ь0 до —оо эта область охватычает меньшие Тщ кр и М. Правая петля занимает область, которая увеличивается с уменьшением 60.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dunn D. W., Lin С. С. On the stability of the laminar boundary layer in compressible fluid. JAS, vol. 22, No 7, 1955.

2. Лойцянский Jl. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физ-матгиз, 1962.

3. Reshotko Е. Е. Transition reversal and Tollmien — Schlichttng instability. Phys. Fluids, vol. 6, No 3, 1963.

Рукопись поступила 19jV 1972 г.