К устойчивости ламинарного пограничного слоя при сверхзвуковых скоростях потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м II 197 1 М3

УДК 532.526.3

К УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ПОТОКА

М. А. Алексеев, В. Ф. Бабу ев, В. А. Кузьминский

Для автомодельных решений уравнений сжимаемого ламинарного пограничного слоя, аналогичных решениям Фокнера и Скэн для несжимаемой жидкости, рассчитаны критические значения температуры поверхности и скорости распределенного по поверхности отсасывания воздуха, соответствующие условиям полной стабилизации течения в ламинарном пограничном слое по отношению к малым двумерным возмущениям.

Хорошо известен вывод линейной теории аэродинамической устойчивости о принципиальной возможности обеспечить при сверхзвуковых скоростях внешнего потока стабилизацию ламинарного течения в пограничном слое по отношению к малым плоским возмущениям до бесконечно больших значений числа Рейнольдса. Этому вопросу посвящен ряд работ, в которых при различных допущениях производился расчет критических значений температуры поверхности плоской пластины, соответствующих полной стабилизации ламинарного пограничного слоя [1] —[3]. Сведения относительно возможности сохранения ламинарного обтекания до бесконечно больших значений чисел Рейнольдса путем распределенного по поверхности отсасывания воздуха из пограничного слоя до настоящего времени отсутствовали.

Обтекание крыльев сверхзвуковым потоком отличается от обтекания плоской пластины. На большей части поверхности крыла имеют место отрицательные, а в тех областях, куда попадают скачки уплотнения, местные положительные градиенты давления. Целью настоящей статьи является определение критических значений температуры поверхности и скорости распределенного отсасывания, при которых достигается полная устойчивость ламинарного пограничного слоя с градиентом давления в сверхзвуковом внешнем потоке. Наличие критических значений температуры поверхности и скорости распределенного по поверхности отсасывания дает теоретическое обоснование возможности обеспечить ламинаризацию обтекания крыла при сверхзвуковых скоростях.

Расчеты проводились на ЭЦВМ БЭСМ-ЗМ для семейства автомодельных решений сжимаемого ламинарного пограничного слоя, аналогичных решениям Фокнера и Скэн в случае несжимаемой

3—Ученые записки № 3

33

жидкости при степенном законе изменения скорости внешнего тече -ния; учитывались и температурные флукту'ации в соответствии с постановкой задачи в работе [3].

Когда число Рг =1, система уравнений двумерного ламинарного пограничного слоя с помощью преобразования Дородницына — Стюартсона

х у

Е = сГрбОа_й 7]=Г_^1Р_Лу. и =

3 р0а0 J а0р0 а6

О

р_^Е^(у± + ир.)., $ = -£-- 1

С р* аг V дх I На

и преобразования

£/ = &(?)*'(С); 5 = 5(С}; С = 0ъ = АР=9

сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений У" + <Р?" = £К'Р'3-1-5); 5" + <р5' = 0 (1)

с граничными условиями

? (°) = <Р®; ?' (°) = 5 (°) = яр' — 1; 5 0 при С оо. (2)

Здесь и, V, р, р, Т, а, V — компоненты скорости в пограничном слое, давление, плотность, температура, скорость звука и кинематиче-

и2

ский коэффициент вязкости соответственно; Н = срТ-\--^------пол-

ная энтальпия; С—постоянная в законе изменения вязкости с тем-

т

пературой — — С ; А и ^ — постоянные величины, а индексы „0“, !*о . ■* о

„8“ и относятся к условиям торможения, условиям на внешней границе пограничного слоя и на стенке соответственно.

Параметр р следующим образом связан с градиентом давления

др

и числом Ма во внешнем потоке:

х — 1 ж 2 \с1р

1 + о м I }ах г

| а6рьйх.

Параметр <рда определяется через скорость распределенного по поверхности отсасывания:

иь рз У [м аьРд$

Положительные значения <рда соответствуют отсасыванию воздуха из пограничного слоя, а отрицательные — вдуву.

Температура поверхности Тш связана с параметром следующим образом:

Т„ = Т9 {1+ 1=±-Мав)(1 + 3*).

Положительные значения соответствуют нагретой стенке, отрицательные — охлажденной, а 5^ = 0 — адиабатической поверхности.

Решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2) описывают широкий класс течений в сжимаемом ламинарном пограничном слое и позволяют исследовать влияние на его устойчивость таких важных параметров, как число Мг, градиент давления, температура поверхности и скорость распределенного отсасывания.

В линеаризованной постановке при граничных условиях, требующих обращения в нуль на стенке флуктуаций температуры, .характеристики устойчивости сжимаемого ламинарного пограничного слоя определяются из следующего уравнения [2], [3]:

и (а, с) - 1 + IV (а, с) — .ф, (г, с) + {г, с), (3)

где

IV ■

1 + ®

^+% = -

и 'т С /2 а + а Vl

■М5(1

■С? hb

7• /i 8-f-aT/ 1 — М|(1 — с)3/х, F{z) + k{c)G(z)

1

1 +Ч<0

F(z)-

Twc

Twuw

G(z)

Здесь /l5,/25,/l3 и /2а— значения во внешнем потоке двух линейно независимых решений „невязкого* уравнения для малых возмущений и их производных;

/а Re

3

Т

/V

ГТГ-

dy

?/з

М?с*

Р(2) ~ универсальная функция ;аязких“ решений для флуктуаций скорости (функция Титьенса);

—2 С

||vtm^[4(/C)3/2

00 ___________

■ТЛ '

sj щиш

00

6(2)— универсальная функция „вязких* решений для флуктуаций температуры,

— I.—,/Г(я:) — г (г)’

Ие — число Рейнольдса,

Ив:

где а —волновое число возмущений; с = сг-\-1с1 (для нейтральных возмущений ^ = 0); и (у) и Т(у) — безразмерные профили скорости и температуры невозмущенного течения в пограничном слое; индекс „с“ относится к значениям в точке, где и = С.

Уравнение (3) является характеристическим для малых возмущений, распространяющихся с дозвуковой скоростью относительно

внешнего невозмущенного потока, у которых сг > 1---. Чтобы

построить кривую нейтральной устойчивости с, (а, Йе) = 0 для течения в сверхзвуковом пограничном слое с заданными профилями и (у) и Т(у), зависящими от условий на стенке и во внешнем потоке, необходимо найти такие значения а, Ие и сг которые, удовлетворяют характеристическому уравнению (3).

При малых значениях волнового числа а приближенно можно записать [2]:

и (а, с) ^ и0 (а, с) -

К,г-

и' ш с

+

V (а, с):

У\

■М|(1

-с)2

а (1 —

: ®0 (с) =

с)2

и уи С

1-а

У і — МІП —с?

(1-

иЧЄІ с

■су

й

Ніг

и_

т

(4)

где Кл

і

М ?(£/■

с)2

йу и Нл

(и-су

йу.

(и-с)2 *“М J т

о о

Для физически реальных течений в пограничном слое функция является ограниченной. Минимальное значение с на ней-

1

тральной кривои равно 1 — -до-, а максимальное значение с определяется ИЗ соотношения г'о (с) = [Ф/(с)]шах, Где [фг(с)] шах соответ-ствует максимуму этой функции по аргументу г при фиксированном значении с. Результаты расчетов показывают, что с уменьшением температуры поверхности кривые ъй(с) в плоскости (•»„, с) смещаются вверх и что при достаточно низких значениях по крайней мере в ограниченных по числу М* областях, для

с >> 1 — до- величина 'Ро(с) может быть положительной [2]. Аналогичное поведение кривых ъ0(с) имеет место и при увеличении по абсолютной величине отрицательных градиентов давления во внешнем потоке или увеличении скорости распределенного отсасывания, поэтому могут быть такие критические значения этих параметров, определяемые из соотношения

^0 (с) — [Ф/(с)]тах, (5)

где с-'-Ж>

при которых минимальное и максимальное значения с на кривой нейтральной устойчивости совпадут.

Разрешая первое соотношение (4) относительно а, находим, 1

что, когда с -* 1 —

М6

волновое число а-9-0. Далее, поскольку

максимум функции ф, по г достигается при конечных значениях 2,

при с —* \ — число Ие -* оо, и вся кривая нейтральной устойчивости сг(а, Ие) = 0 смещается в область бесконечно больших значений чисел Рейнольдса. Отметим, что в этом предельном случае приближенные соотношения (4) становятся точными, так как ошибка в них имеет порядок а2.

Таким образом, для расчета критических значений температуры стенки, градиента давления и скорости распределенного отсасывания может быть использовано уравнение (5). Входящие в это уравнение профили скорости и температуры выбирались из решений системы уравнений (1) с граничными условиями (2). Для

р = 5^-в,Зви

б)

\ _ А = ст\^в1 * 0

А»

Ч N

- / ч

м '£р=0л 7£

г / * А У' “Л \

// // \ \

/ > / \

/ / А ч~ N

/ /а и у \ £г=! \

/ А г \ >

у У \ \

г N

/ \ \ \

Г \ —Л

10

7 Мз

Фиг. 2

Фиг.

Фиг. 4

Oi

со

Фиг. 5

заданных значений трех из четырех входящих в задачу параметров Мб, р, и определялось то значение четвертого параметра,

при котором с—\ — является корнем уравнения (5).

Два примера решения характеристического уравнения (5) показаны на фиг. 1а, б, где для заданных значений Р = 0, срда = 0, а также = — 0,3696 и 0,6145 определялись значения числа Мб,

при которых с — 1 — -д^- являются корнями этого уравнения. При

— — 0,3696 характеристическое уравнение имеет два корня, а при 5^ = — 0,6145 — четыре корня. Как было показано в работе [3], это соответствует двухпетлевому характеру зависимости критической температуры поверхности пластины от числа М5.

Автомодельные решения (1), (2) получаются, когда число Рг=1. Желательно было выяснить, как влияет число Рг на критические значения параметров, соответствующие условиям полной стабилизации ламинарного течения в пограничном слое. На фиг. 2

показана зависимость = /(Мб) для плоской пластины ф = 0)

при двух значениях числа Рг = 1,0 и 0,75. Кривая, соответствующая числу Рг = 0,75, взята из работы [3]. Видно, что в наиболее интересном с практической точки зрения диапазоне чисел 1<Мб<3,5 влияние числа Рг оказывается сравнительно небольшим и не изме-

няет характера зависимости = /(Мб). При числах Мб >4 оно

становится уже весьма значительным.

На фиг. 3 приведены результаты расчетов критического отношения температуры поверхности к статической температуре внешнего потока при числе Рг = 1 и значениях формпараметра [3=—0,1; 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5 и 1,0, соответствующих различным градиентам давления во внешнем потоке. Обусловленный влиянием температурных флуктуаций [3] двухпетлевой характер зависимости

{ =2 ) =/(М«) сохраняется при всех значениях параметра р. Гра-

\ 3 / кр

диент давления наиболее сильно влияет на критическое отношение температур в диапазоне чисел 1,0<М5<2,5 (верхние петли кривых на фиг. 3), а также при числах Мб >3,5 (нижние петли кривых на фиг. 3). В этих диапазонах чисел М5 увеличение по абсолютной величине отрицательного градиента давления бо внешнем потоке приводит к повышению устойчивости ламинарного пограничного слоя, полная стабилизация которого осуществляется при более высоких значениях Т^/Гв, чем на плоской пластине. При значениях параметра (3>0,5 полная стабилизация ламинарного пограничного слоя может иметь место и на адиабатической поверхности, когда = Тй. В частности, при р = 1 это будет в диапазоне чисел 1,36 < Мб ■< 2,04.

Результаты расчетов критических значений безразмерной скорости распределенного отсасывания, соответствующих полной стабилизации ламинарного пограничного слоя по отношению к малым двумерным возмущениям, показали, что зависимость сртокр (Мб) также имеет две ветви, показанные на фиг. 4 для случая [3 = 0 и

— 0,5

Одна ветвь находится в области небольших сверхзвуковых чисел Мб, а другая — в области больших чисел Мб. Этот случай одновременного охлаждения поверхности и отсасывания воздуха через нее приведен здесь для иллюстрации общего характера зависимости ф^крСМб), поскольку для пограничного слоя на проницаемой адиабатической поверхности вторая ее ветвь смещается в сторону очень больших значений <?т.

На адиабатической поверхности влияние отсасывания на устойчивость ламинарного пограничного слоя наиболее сильно проявляется в самом интересном с практической точки зрения диапазоне чисел 1<Ма-<3. Приведенные на фиг. 5 результаты расчетов критических значений безразмерной скорости распределенного отсасывания показывают, что в одном диапазоне чисел Мб для полной стабилизации ламинарного течения в пограничном слое требуются сравнительно небольшие расходы отсасываемого воздуха, которые уменьшаются с ростом по абсолютной величине отрицательного градиента давления во внешнем потоке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Van Drist Е. R. Calculation on the stability of the laminar

boundary layer in a compressible fluid on a flat plate with heat transfer.

JAS, v. 19, No 12, p. 801—813, 828, 1952.

2. Dunn D. W. Lin С. C. On the stability of the laminar boun-

dary layer in a compressible fluid. JAS, v. 22, No 7, p. 455-477, 1955.

3. ReshotkoE. Transition revesal and tollmien-schlichting instability. The Phys. of fluids, v. 6, No 3, p. 335-342, 1963.

Рукопись поступила ЩХІІ 1970 г.