CC BY
31
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И
Том VI 1975
№ 5
УДК 532.526.3
О ПОЛНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ
СКОРОСТЯХ
В. А. Кузьминский
Рассматривается задача гидродинамической устойчивости ламинарного течения в пограничном слое относительно малых возмущений при сверхзвуковых скоростях набегающего потока. Получены значения температуры охлаждаемой поверхности и параметра, определяющего интенсивность отсоса, обеспечивающие стабилизацию течения до сколь угодно больших чисел Рейнольдса.
1. При сверхзвуковых числах М набегающего потока, близких к единице, когда фазовая скорость возмущений мала, задача полной стабилизации рассматривалась в работе [1]. С ростом числа М набегающего потока фазовая скорость возмущений увеличивается и вязкие слои для возмущений, критический и пристеночный, становятся асимптотически различимы. Попытка рассмотрения этого случая посредством поиска решения в виде ряда по малому параметру была сделана в работах [2, 3]. Рассмотрим задачу о полной стабилизации ламинарного течения в пограничном слое для случая, когда пристеночный и критический вязкие слои асимптотически различимы, последовательным применением метода сращиваемых асимптотических разложений.
Задача устойчивости решается в классической линейной постановке. Обозначим 8, L, М, X, с толщину пограничного слоя, характерную длину невозмущенного течения, число М, длину волны и безразмерную фазовую скорость возмущений. Предположим:
-Г^-ТГ-C~°W’ ма~0(1). ■ (1)
Из (1), вместе с обычными предположениями теории пограничного слоя Прандтля Res = — 1, следует:
a Res > 1. (2)
В соответствии с (1) и (2) возмущенное движение имеет пять характерных областей с различным поведением решения (фиг. 1).
Амплитуды волновых возмущений должны удовлетворить одно-
родным граничным условиям
х* -> оо) ^ О, СО* („**, 0) = 0 (3)
и однородной линейной системе уравнений. Зависимость вязкости от температуры предполагается линейной.
Здесь и в дальнейшем звездочкой помечены размерные величины, черточкой сверху — характеристики невозмущенного стационарного течения, штрих сверху означает дифференцирование по безразмерной координате, нормальной к обтекаемой поверхности,
индексом „оо“ помечены характеристики невозмущенного течения на внешней границе пограничного слоя. Ограничимся случаем нейтральных возмущений (1шб' = 0). Рассмотрим область 5 (фиг. 1) с характерными масштабами х2~Х и введем переменные
и функции:
= л'* = Ху5, Ut* = lt, л:* = 8 Res х0, u*—Uf5(yb)eu
tt2 = Uy5 (Уь)^!, р* = Poo гь (Уь) е1> Т* — Тсо 65 (уъ) еи ^
р* =р*соР5(У5)еи ui = U + o(b/L), ulL = Wv(x0, уй),
Р*1Рсо = p*/plo — Т*/Т*0о =1+о (8/Z.), ех = ехр 2 ni(x — ct),
где р, р, Т, ци и2 — возмущения давления, плотности, температуры, продольного и поперечного компонентов скорости.
Подставляя (4) в линеаризованную систему уравнений движения И отбрасывая члены порядка о(Х//,) и меньшие, для амплитуд возмущений в области 5 получим систему уравнений:
Решение системы (5), удовлетворяющее первому условию (3) для дозвуковых возмущений (с>1—М-1), имеет вид:
Фиг. 1
*/б + ?б + i о - с) (р* - ез) = Т М2 (1 - c)fb “Ь Рь = О,
2 М2 (1 - с) ?5 + = О, 65 + (T- 1)М2(1 -c)ft = 0.
/в = Л е2, <Р5 == ^/[1 --М2(1 — С)2}-1'2 *2,
б5 = — л (т— 1)М2(1 _ _____________
Ръ — — ЛтМ2(1 — с)е2, е% = ехр [—2«1/1 —М2(1 — cfyb\,
где А — постоянная интегрирования, ? — cjcv.
Решение (6) получено из невязкой системы (5) и не может удовлетворить второму граничному условию (3). Поэтому рассмотрим область 4 (фиг. 1) с характерными масштабами х*— X, х2 ~ 8 и введем переменные и функции:
х\ = Ьуі} «і =■ Ьу4 (у4)е,, и2 = аи^(уь)еи Т* =т1в4(у4)еи Р* =Р*ооРі(Уі)Єи и*-=и™(х0, у і), U2Re?J = Uv{x0, у і),
Р* П + о (8//,)], "р* = р^ор(*0. Уі), Т* = Т*т Т (х0, у4).
(7)
Подставив (7) в линеаризованные уравнения движения и отбрасывая члены порядка о (а2) + о (Ь/Ь) для амплитуд возмущений в области 4, получим систему уравнений:
і/і + ?4 + і (® — с) (рА - Є4/Г) — <р4 Т'/Т = О, т М2 [і (со — с)/4 + да' <р4] + іТрц = 0, р\ — О, г(да — с) 04 + Т' ср4 + (у — 1) Г(//4 +- <рі) = 0.
(8)
Возмущения в области 4 как и в области 5 описываются невязкими уравнениями, но давление с указанной точностью остается постоянным. Выбор нужного решения системы (8) определяется условиями асимптотического сращивания с решением (6) системы уравнений (5) области 5. Соответствующее решение можно найти в замкнутой форме и записать в виде
<р4 = Аі{іі) — с) У1 С)2 - 4~ А і (да — с) (1 — £)(——---
— У 1п (Уі -Ус) + «|»" (уі - уе) [1п {уг-Ус) — 1]+[М2—(1 -сГ2]Уі+
00 1 + | ¥” {У1—Ус)[\п{Уь—Ус)-Ц(1{у1—ус)\, (9)
Уі- Ус
Р*= ~Ау Ма (1 — с),
/4 = і [да' ср4 — М 7'(1 — с)] (да — с)-1,
64 = Я,'<р4(вд-с)- (Т—1)ММГ(1-с),
где Ф(Л) = (Л— Л)2-с)“2 — (1 — с)-2], у{=Л|»=с.
Внутри интервала оо>у4>0 при у} = (,у4 — ус) -»0 амплитуда продольной скорости возмущений /4 имеет логарифмическую особенность, а амплитуда температурного возмущения 04 — алгебраическую, порядка ч\~1. Чтобы устранить эти особенности, предположим, что в окрестности точки Уі=Ус существует область 3 (фиг. 1), толщиной порядка є8§, в которой инерционные члены одинаковы по порядку с вязкими, т. е. известный вязкий критический слой. Тогда е3 = (а ИЄб/2 те)-’/3. Введем в области 3 переменные и функции
езУз“*)> «1 = и*2 = аШзЪ (ув)еи | ^
Т* = Т*х ез (у,) еи и\ = ида (х0, у4), Г* = Г ^ Г (х0, у4). |
Системы уравнений (5) и (8), описывающие решение в областях 5 и 4, выписаны с точностью до членов порядка о (а2) + о(Х/£).
С этой же точностью найдены соответствующие решения. В области 3 параметром разложения является &3 — (Х/1)1/3. Чтобы обеспечить достаточную точность решения в этой области, необходимо получить несколько первых членов асимптотического ряда. Поэтому решение в области 3, структура которого по е3 определяется внутренним представлением решения (9) области 2, следует искать в виде
(Од = ш30 + “31 1п £3 + Ш32 + 0)33 £3 1п £3 . . , (11)
где ш3у = {?з;(Уз)> Л/СУз), ез7(.Уз)}, У' = 0, 1, 2....
Подставляя (10) и (11) в систему уравнений движения и ограничиваясь в (И) первыми тремя членами, получим
и = А(\-с)
Ф3 = Л/(1 — с)
, *'(1 ~с)Т,
Тси)с-Тс^с ,, ' . ,гЛ г (1 — Рг) ^ ,
-------То—--- (1п Е-1п — іИі)------------—---- /?2 —
Тс*>с
2®;2
-Г +
38
да'Уі —М2(1—с)2
тс™с ~ Тс™с
•ш'}
а(1 - сУ
Уз 1п £3 —
, - \ , Тс^0
~ь------Уз 1п I + —-----------Г
к*
кх-шс
, = Л(1-с)
_ | , . Тстс \ т ^1—м*(1-с>*
Яз + Уз °»Ч +Т7Т5- + С
2 тй>„
а (1 — с)3
Уз
і Ріку ТСТС
, \
Ко + Чг (Т'с щ — Тс ™с) (ІП £3 — Рг /?5 — 1п А^)
с3ТсТс (2Т
-Т--------------т ^3
Г с 2 іус
‘ Рг Т'с2 п Рг (1 — Рг) 7(
7Т> КА
С Г) - V" -1-е г,
г\л Г5 /Те
Тс т
_ '2 "Г
2 Т:
„'2
— (Т — 1) М2 Г,
- , теп’ /1-м» (1-е)*
03 + 2^ 4 -------------------------------------
, (12)*
где (-с) ч-/?6(1:) —частные решения соответствующих уравнений:
/?о — гРгт/?0 = 1, /?1"” — = 1, /?2 " — гт/й = Яо,
Д'з —гРгт/?3 = т2Д0, /?;-/Ргт/?4=/?0, /?5-гРгт/?5=/?ь } (13)
Яв — гРг т/?в = /?2, удовлетворяющие при _у3 -* -|- оо (-и -(- оо) условиям:
/?„->• О, ^-гЧОпх— 1), /?2 -> I (Рг т)-1, /?3 —» — Рг—
■/?*-> Рг-2т-з. /?6^(1_1пх)Рг-1, /?6->-Рг-2х-',
= (2 кЮс/Тс)113, 1 = а, = |Ф"'У1(1П7|— 1)^7],
о
°3 = °1 + [М2 — (1 — С)~2]ус, Рг—число Прандтля.
* В (12) и ниже индексом с помечены характеристики невозмущенного движения в точке, где. на (у) = с.
Вязкий критический слой расположен в окрестности точки, где чю = с. Между этой точкой и стенкой существует область 2 с характерными масштабами в которой справедливы
соотношения, аналогичные (7), и амплитуды возмущений, с точностью до членов порядка о (а2)-)-о (X//,) удовлетворяют системе уравнений (8).
Давление в областях 4, 3, 2 постоянно и из условий асимптотического сращивания следует:
/>4 = />3 =Р2=— Л?М2(1 -с). (14)
Принимая во внимание (14) и сращивание с решением (12), запишем решение уравнений для возмущений в области 2 (У2<С.УС) в виде:
Ъ = А1(\- с)'(да - с) [ У-1 с)- + -(пг^г — ф' 1п (у2 — ус) +
+У[(Уг-Ус) 1п (У2—Ус) — (Уг —Ус)\ + °1 + [М2 - (1 -с)~*]у2 —
У*~УС
— ] У"{Уг-Ус)[\ъ(У%—Ус)-ЧЧУ2—Ус^\>
■ и *
(15)
/2 — \т' ?2 + А (1 — с) Т] (те; — с)-1 , е2 = (!^Ъ-(т-1)0-с)А№Т,
где Ф = (у2 — усУ [Т (те; — с)~2 - (1 — с)~*].
В соотношениях (15) 1п(_у2—Ус) — 1П Уг —Ус—^ и выбор
ветви логарифма при сращивании определяется поведением функций /?!(т) в (13) при т —> — <х>. С помощью использования асимптотических свойств функций Ханкеля в работе [4] показано, что для Я1 СО = Ях Г (х) + Шг I (*) имеет место /?; т = те — , |т^+00 = те.
Отсюда следует, что сращивание решений в областях 2 и 3 осуществляется при выполнении условия 1п(у2—Ус) — ^п(Ус— у2) — №, т. е. п = 1.
В области 2 решение описывается невязкой системой уравнений, поэтому решение (15) не может удовлетворить граничному условию на стенке. Рассмотрим вблизи стенки область 1, толщиной г4 8, где инерционные члены порядка вязких, т. е. вязкий пристеночный слой, Тогда $1 = (а Неб)~1/2. Введем в этой области переменные и функции:
-*2 = е18.У1’ ч*1^иА(У1)еи и*2 = аг1 £/<?, (у^) е1> р* =ри.р4 (у,) еи Т* = Г»0! еи ~и\ = и™ (х0, Уг),
Р* = Ко [1 + О (8/1)], Р* -»(4 р (х0, у2), Т* = ТпТ (х0, ,уя).
(16)
В соответствии с внутренним представлением решения в области 2, в области 1 решение следует искать в виде
= Яю (Уг) еГ' + Ян (Уд + Яп (Уд *1 +•
4—Ученые записки № 5
(17)
С точностью до членов порядка о (а2) + о (е2) решение для амплитуд возмущений, сращиваемое с (15), в этой области имеет вид
/х = ВекУ'
А(1-с)
91!
— |л*(1 -с)сС1-
1В
екУ'
к V.
Г¥~ е* *”'] 6-' +
+ А1( 1 — с) |^>ге4, — М2с+ £]* _)_ в ? [ 5 *« , /л /]
« [ 4С2 * \
3 Тт чю
/с
Т ТО1
2(т- 1)М2и;;
+ £>
/=■,
71'
■о/
а
I* |
4 с
4 Рг
77РРГл+<-Ч«к: +—
2Г
ей УРг
в, = Ое* ^ У вГ1 — л (1 - с) [<эг; + (т - 1) М2 Т.] +
В
2(Т-1)М2<
У1 4 с
б* ^Рг>',
Т
2Т ю Л?М2(1 — с),
1
7\у <2=
+ (1пл— 1)
-у;*Крг^+^
Р1=Р2 =
л/"±_ Р = { (£У1 “ 1) (2 А:2)-1 е*У1 при Рг = 1,
У 2’ 0 I Рг [Аг2 (1 - Рг)]"1^ при Рг^-1,
Тст’с-Тстс
1К--------тз------(- ^
_ , у\ — М2(1—С)2 ,
+------а (Г—с}*---- +
Зу[
С2
(г
\ I -и)
, 2 ‘ /»
с2
.2*
С3
Т®с + 2 7'а,®„
4 Т но чя)ц
' С
, ^2 == ^ Ф "' (<») (1 — 1п ш) й<Л,
Ус-^2>0,
(18)
Л, В, О — произвольные постоянные интегрирования.
Соотношения (6), (9), (12), (15) и (18) представляют асимптотическое решение исходной системы уравнений для возмущений, удовлетворяющее граничному условию при х*2 -+оо и справедливое вблизи обтекаемой поверхности. Оно содержит три произвольные постоянные и должно удовлетворить на обтекаемой поверхности _у1==0 (х’=0) второму граничному условию (3), которое в терминах амплитуд возмущений в области 1 имеет вид
1» = 0. (19)
Соотношения (19) дают линейную однородную алгебраическую систему уравнений для постоянных А, В, Г) и условие ее разрешимости доставляет уравнение для собственных чисел задачи устой-
F W Р л 1 W F2 w
ф. 1 W Фг w = 0, (20)
01 но 02 w
чивости:
где входящие величины определяются из (18) при у1 = 0.
2. Перейдем к формулировке и решению задачи полной стабилизации. Соотношение (20) полностью определяется решением задачи для возмущений в области 1, которое получено с точностью до членов о (а2) 4-о (е^). Попытка учесть члены более высокого порядка малости при предположениях (1) приводит к необходимости привлечения в уравнениях для возмущений членов, содержащих продольные производные от компонентов невозмущенного течения;
в частности, в
уравнении неразрывности член о(е2) содержит ^,
дхх
и задача устойчивости становится двумерной, что существенно усложняет решение. Опуская в (20) члены о (а2)о (в-*) и меньшие из (20), получим
Q
kc + £i +
тт с
twV*
+ si
(1
0 (21)
для произвольного числа Прандтля.
В работе [1] рассматривается задача полной стабилизации для малых значений фазовой скорости возмущений, что соответствует значениям чисел М, близким к единице. Из анализа приведенного в [1] условия разрешимости задачи на собственные значения при малых я и с следует, что для задачи полной стабилизации должно выполняться
а 0, Яее -* оо, с 1 — М-1, (21а)
так, что пои этом
a Res
, У1— М2(1— С)2 t
const, —-------------------->- const.
(216)
Условие разрешимости (21) в настоящей работе получено в предположении, что фазовая скорость возмущений с порядка единицы, и ввиду сложности выражения (21) не удается показать, что отсюда можно получить решение задачи полной стабилизации (21а) и (216). Однако численное решение этой задачи в постановке <21а) и (216) позволяет найти собственные значения, что свидетельствует о существовании решения.
Действительная часть(21) определяет значение второго из указанных выше пределов (216), а из мнимой части получаем условие разрешимости предельной задачи устойчивости:
v0 (с — 1 — М" *) = 1
шах»
где
«о(Ф
KCWw (Тс W, — тс W.)
Tw W
'3
2 (/2-1) TWV Pr +
при этом є^і/Ргс3'2 (Г^/Рги;® + Г^с)"-1. Соотношение (22) является исходным для расчета характеристик полной стабилизации ламинарного течения и справедливо для сверхзвуковых чисел М при условиях (1) и произвольном значении числа Прандтля.
В качестве примера расчета рассмотрена предельная устойчивость ламинарного течения в пограничном слое на плоской пластине при сверхзвуковой скорости набегающего потока для двух случаев: непроницаемая охлаждаемая поверхность и теплоизолированная поверхность с распределенным отсасыванием.
В соответствии с принятой линейной зависимостью вязкости от температуры течение в пограничном слое описывается известной системой уравнений (например, [5]) и граничных условий:
<рда+<рср" = 0, 7" + а[<рГ' + ( т — 1)М2ср"2] = 0, )
9(0) = ?„, ?'(0) = 0, Тф) = Тш, (23)
<р' -> 1, Т 1 при С -*• оо, |
где <?' = w(y2y, С — автомодельная переменная. Система уравнений из (23) инвариантна относительно двухпараметрической группы преобразований
9 + VV?, т^§ + дцт-1), С-С?-1'2
с параметрами группы q и р. Это свойство позволяет посредством
решения задачи Коши (при последующем специальном выборе зна-
чений q и Р) получать решение краевой задачи (23). Таким образом были получены характеристики невозмущенного течения, необходимые для решения задачи устойчивости.
Результаты расчетов соответствуют числу Прандтля, равному единице. На фиг. 2 представлены значения температуры обтекаемой поверхности TWKр (сплошная линия), при которых имеет место стабилизация пограничного слоя на охлаждаемой плоской пластине до бесконечно больших чисел Res, в зависимости от числа М. Эта
зависимость является однозначной. Участок кривой, соответствующий числам М, близким к единице, получен автором в работе [11. Два участка кривой описывают решение в различных асимптотических областях по величине фазовой скорости возмущений. На этой же фигуре прерывистой линией нанесены взятые из [6] результаты расчета Тткр (М) по соотношениям, используемым в [3], которые дают неоднозначную.зависимость для чисел М<2. Неоднозначность в [6] объясняется тем, что решение, построенное для умеренных чисел М при использовании только главного члена, распространяется в область М, близких к единице. Если учесть следующее приближение, что сделано в данной работе, то учитывается как раз член, важный при числах М, близких к единице, и решение становится однозначным в соответствии с результатами работы [1].
На фиг. 3 представлены результаты расчета по соотношению (22) величины параметра распределенного отсоса <рдакр, при котором ламинарное течение на теплоизолированной пластине стабилизируется до бесконечно больших чисел Рейнольдса, в зависимости от числа М (сплошная кривая, М^1,4). В работе [1], в примере расчета значений критического отсоса сделана ошибка. После исправления ошибки формула имеет вид:
?шкр = 0,188 (М — 1Г1(Р^кр , где <рю и ср^ удовлетворяют уравнению Блазиуса из (23).
На фиг. 3 в данной работе приведены результаты расчетов по указанной исправленной формуле (сплошная кривая, М^1,4) и по соотношениям работы [3] (пунктирная кривая). Указанная формула для параметра отсоса получена при пренебрежении членами порядка г^Чпв!, а значения для М^1,4 получены при опускании членов порядка е2. В результате проделанных расчетов выяснено, что при выборе в качестве характерной толщины пограничного слоя 8 расстояния, на котором скорость на внешней границе отличается от единицы на один процент, величина г1 ^ 0,0625 во всем диапазоне изменения параметров, участвующих в расчете для случая охлаждения. Для случая отсоса 0,043.
Используемый в работе асимптотический метод решения задачи требует, чтобы &1 -> 0 в области решения. Априори выяснить этот вопрос не удается. Однако полученное решение показало, что в диапазоне параметров задачи, участвующих в расчете, существует точка, в которой значение е1 строго равно нулю (в случае охлаждения эта точка соответствует Тт 0, М -* 5,725; в случае отсоса— <рт-+ оо, М —* оо). Поэтому полученное решение следует рассматривать как строгое асимптотическое разложение по параметру г, в окрестности указанной точки.
V г
/
1- соотношение (22)
\* г-из 1
Г 3-161 /
1 1
\ /у
л
\
1,0 2,0 М
Фиг. 3
1. Кузьминский В. А. О полной стабилизации течения в пограничном слое при небольших сверхзвуковых скоростях. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.
2. Dunn D. W„ Linn С. С. On the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid, JAS, vol. 22, N 7, 1955.
3. Reschotko E. Transition reversal and Tollmlen-schlichting instability, The Physich of Fluids, vol. 6. N 5, 1963.
4. T о 11 m i e n W. Ober die Entstehung der Turbulenz, Nachrichten der Gesselschaft der Wissenschaft zu GOtingen, Math-Physic Klasse, 1929.
5. Лойцянский JI. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Изд. физ.-мат. лит., 1962.
6. Ал е к с ее в М. А., Бабу ев В. Ф., Кузьминский В. А. К устойчивости ламинарного пограничного слоя при сверхзвуковых скоростях потока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 3, 1971.
Рукопись поступила 12/IX 1974
