CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VII 1976
№ 4
УДК 532.526:533.694.71/72
ОБТЕКАНИЕ ПЛАВНОЙ СТУПЕНЬКИ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОГО ГАЗА В РЕЖИМЕ СВОБОДНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Д. О. Лыжин
Рассмотрена задача об обтекании сверхзвуковым потоком небольшой ступеньки, установленной на плоской пластине. Найдено решение линеаризованной задачи, с помощью ЭЦВМ проведено численное решение нелинейной задачи для различных форм ступенек.
В классической теории пограничного слоя Прандтля [1] весь поток разделяется на область невязкого течения, описываемую уравнениями Эйлера, и пограничный слой — узкую область вязкого течения около поверхности тела. Известно, что этот вывод можно получить с помощью теории сращиваемых асимптотических разложений при использовании уравнений Навье — Стокса и двух типов предельных переходов 1?е -> со (1^е — число Рейнольдса). Первый предельный переход предполагает фиксированными обе координаты, второй — растягивает в Ие1/2 раз координату, нормальную к поверхности тела [2]. Однако существует много задач, в которых оказываются важными граничные условия и детали течения с масштабами, отличающимися от рассматриваемых в теории пограничного слоя. Например, в работе [3] развит подход к решению задач с большими продольными градиентами давления и обнаружено появление локально невязких областей течения.
В работах [4 и 5] рассмотрены течения около малых неровностей разных форм и размеров на поверхности тела, обтекаемого потоком вязкого газа.
Большой интерес представляет рассмотрение сверхзвуковых течений вязкого газа при больших значениях Ре в таких областях взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем, в которых градиент давления, индуцируемый изменением толщины вытеснения пограничного слоя, влияет на течение в вязкой части потока уже в первом приближении. '
Задачи о вязкой области течения и внешнем невязком потоке не разделяются и должны решаться одновременно. Наиболее известным решением этого типа является решение для области свободного взаимодействия, лежащей в окрестности точки отрыва пограничного слоя с гладкой поверхности. Такая задача была решена в работе [6]. Были определены масштабы области свободного
взаимодействия Дх ~ 1?е—3/8 , Ду—йе-5/8, получены уравнения и краевые условия для характерных областей течения с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений. Было также получено численное решение задачи.
В данной работе исследуется обтекание сверхзвуковым потоком вязкого газа плоской пластины, имеющей на конечном расстоянии от носка контур, искривленный в форме плавной ступеньки, имеющей масштабы зоны свободного взаимодействия. Течения описываются уравнениями, полученными в работе [6], с учетом того, что градиент давления индуцируется однопорядковыми эффектами изменения толщины вытеснения области „свободного взаимодействия” и кривизны контура тела.
Постановка задачи, получение уравнений и краевых условий. Рассматривается безотрывное ламинарное обтекание плоской пластины под нулевым углом атаки сверхзвуковым потоком вязкого газа. На расстоянии I от передней кромки контур тела представляет собой плавную ступеньку (фиг. 1), характерные размеры которой выбраны таким образом, чтобы соответствовать режиму свободного взаимодействия [7].
-10 -5 0X5
Фиг. I
Для исследования течения около ступеньки используется трехслойная модель [6, 7]. Индексом „0“ обозначены значения функций течения в невозмущенном набегающем потоке, но — на поверхности тела, е = 1?е—1/2. Индекс у функции будет соответствовать номеру области, в которой она порядка 0(1) при £ 0.
Все функции считаются безразмерными и отнесены к их значениям в невозмущенном набегающем потоке, кроме давления, которое отнесено к удвоенному скоростному напору, и энтальпии, отнесенной к квадрату скорости в невозмущенном потоке. Координаты отнесены к характерной длине I.
Область 1, в которой х~у~е3/4, представляет собой область невязкого сверхзвукового течения над окрестностью ступеньки.
Область 2 — основная часть пограничного слоя, в которой продольная скорость и~0(1), у ~ £, д:~е3^4, с линейными возмущениями всех функций течения.
Область 3 — вязкий подслой, изменение толщины вытеснения которого вместе с эффектом наклона ступеньки определяет распределение давления в рассматриваемой области х — г3/4, у—в514.
В работе [7] для области 3 получена следующая краевая задача (точки — дифференцирование по X, штрихи — по г():
/'" = Р (I + ГЧ2 -//") + £3/2 (/'/•' —//"); \ (1)
= И/'£/2-/£) + £3/2(/'£--/£'); \ _
р = €1/2 (<Я/А>0 = {£2 _ ев_ 2 £3/2 (ЩйХ) [ Пт (т) - К2/)]}/Нш (г, - /2у) ; (2)
-Т)-»-00 Т}—>со
/(X, 0) = /' (X, 0) = £ (X, 0) = 0; / (- оо, Ч) = 1)3/2; |
/"(Лг, со) = £'(Л", оо) = 1, ^(—оо, Т)) = -Г), }
6 = Р = | Рз | [2 (М2 - О1'2/^ а]1'2; т)?1'2 = ЛГ = п3 [2 (М2 _ I)1'2 а»/,*.]1-4 ;
5/ (X, т)) = ЧГ = ф3 [2 а (М2 - 1)1%ш I1/2; ё = А» (Р^2 <ЦЬр1»);
Х = х3{8 (М3 — 1)3/2 р* ^ ]1/4;
«[32 (М* — 1) л*/(*»]1/4,
в = йУт1<1Х = 03щ1 [2/14, л (М2 - I)1'2 ]1/2; :
здесь а = (duldy2)w—безразмерное напряжение трения в невозмущенном пограничном слое;
b = (dhldy2)w — безразмерный тепловой поток в невозмущенном пограничном слое;
Уз форма ступеньки;
83 w (х%) — угол наклона ступеньки;
Р, X, N, Yw, 6, Ф—переменные закона подобия, для них краевая задача (1) —(3) не содержит констант pw, a, b, \>.w, характеризующих конкретное течение; п — число Прандтля.
Заметим, что /" = т/т0, g' = qjq0, ср = Scj/2 (М2 — I)1/4, где х — напряжение трения, q — тепловой поток, ср — коэффициент давления; Су— коэффициент трения.
Представим Yxu = HF(X), тогда fl = dYxjdX = HdFjdX. В данной работе в качестве примера рассматривается следующая форма ступеньки:
д:
F (X) = У~Щк j е-ы‘ dt\ Ъ(Х)= Н Vkfr е~кх* ■, kH — 0(1).
—00
Асимптотическое поведение решения при X -> — оо и решение линеаризованной задачи. Интегрирование задачи (1) —(3) начинается при 5 = 0 и Х-^—со..
В работе [7] приведены разложения функций течения в окрестности этой точки для плоской пластины. Асимптотическая форма закона распределения давления при X -*■ —оо имеет вид
5 = С ехр (0,49 X). (4)
При форме ступеньки, рассматриваемой в работе, угол ее наклона много меньше 5 при X -+■—оо, поэтому в этой области наклон тела не будет влиять на распределение давления и асимптотическая форма (4) остается справедливой. Влияние наклона при интегрировании уравнений (1)—(3) будет проявляться во внешнем граничном условии (2) при приближении к ступеньке.
Константа С в формуле (4) при отрывном обтекании плоской пластины определяет положение точки отрыва. В данной задаче выбор значения С обеспечивает затухание возмущений вниз по потоку и выход функций течения на невозмущенный профиль.
Проведем линеаризацию уравнений (1) — (8), предполагая, что Н < 1. Перейдем к переменным ($, N), где N — -ф112, и запишем разложения для функций течения:
5 = т, / = т/2 5 + Я/(с, Л)/5, g = Nit112 + Яi(S, N)li112. (5>
Подставив разложения (5) в уравнения (1)—(3), учтя, что //< I, и возвратившись к переменным (А', ■>)), получим линеаризованные уравнения
= Р (l _/ + ч-£/') + I3/2(Yj/-' -/");
= Э (/' + g) —f—~g'^j + Z312 (yg- - /О;
й_ -S2-2t3l2f-'(X, °o) + I^p ' J> (X, 00) ;
f(X, 0) =/' (X,0) = g (X, 0) = 0; /(-00. 7))=0; /" (X, со) -oo) =0; g(- 00, Tj) = 0.
(6>
(7>
(8)
Результаты расчетов. Интегрирование нелинейных уравнений (1) с краевыми условиями (2) и (3) и линеаризованных уравнений (6) с краевыми условиями (7) и (8) производилось численно на ЭЦВМ. Интегрирование начиналось с достаточно большого отрицательного X. Давление в начальной точке выбиралось в соответствии с формулой (7). Уравнения интегрировались несколько раз по всей области с различными значениями С, т. е. с различными начальными значениями 6, с целью удовлетворить условию выхода решения на невозмущенный профиль при X + оо. Таким образом, осуществлялась .пристрелка* константы С. Результаты расчета на стенках Ь = Н /1 exp (— kX2) приведены на фиг. 2 — 4.
Для нелинейной задачи представлен случай Н = 4Y^\k, £ = 1/3. На фиг. 2 приведены распределения £(Х) для нелинейной задачи и $(Л") для линеаризованных уравнений; на фиг. 3 — распределения fw — 1 и соответственно/^,=(/^—1)///; и на фиг. 4— распределения (g'w — 1) и g'w = (g^ — l)IH. Полученные результаты
позволяют заключить, что плавная ступенька с углом наклона ~ s1/2 при обтекании ее сверхзвуковым потоком вязкого газа вызывает значительные изменения теплового потока и напряжение трения на стенке вследствие появления больших локальных градиентов давления. Высота стенки, записанная в размерных физических переменных, имеет вид
( .У «От ах = Я/*.5'4/[32(М2 - 1) р* а3К,]1/4.
В эту формулу входит безразмерный параметр Н. Другие безразмерные параметры могут появляться при задании функции F (X). В рассмотренном примере F (X) — /I / ехр (— кЩ dt, т. е. существует еще один безразмерный
—00
параметр к.
Задание Ник однозначно определяет форму стенки и картину течения. Выбор достаточно больших Н и больших k, что соответствует высоким и крутым ■стенкам, может приводить к отрыву потока.
В заключение автор выражает признательность В. Я. Нейланду за постановку задачи и внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прандтль Л. The mechanics of viscous fluids Duvand W. F. Aerodynamic Theory III, 1935.
2. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. М., .Мир-, 1967.
3. Нейланд В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения уравнений Навье — Стокса в областях с большими локальными возмущениями. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 4.
4. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1363, 1971.
5. Зубцов А. В. Влияние единичной шероховатости на течение жидкости в пограничном слое. „Ученые записки ЦАГИ“, 1971, т. 2, № 1.
6. Нейланд В. Я. К теории отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.
7. Н е й л а н д В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 1529, 1974.
8. Smith F. Т. Laminar flow over a small hump on a flat plate. J. Fluid Mech., vol. 57, pt. 4, 1973.
Рукопись поступила 24/Ш 1975 г.
