О почти комплексных структурах на шестимерных произведениях сфер Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 4

Физико-математические пауки

2009

УДК 514.76

О ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫХ СТРУКТУРАХ НА ШЕСТИМЕРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ СФЕР

Н.К. Смолепцев

Аннотация

В данной статье рассматриваются почти комплексные структуры на сфере Я6 и на произведениях сфер Я1 х Я5, Я2 х Я4 и Я3 х Я3, которые естественно возникают при их вложении в алгебру октав Кэли. Показано, что все они являются пеиптегрируемыми. В каждом случае получены выражения фундаментальной формы ш через калибровки пространства К7, вычислен тензор Нейенхейса. Показана невырожденность формы йш и построены новые особые почти комплексные структуры па произведениях сфер.

Ключевые слова: шестимерпые многообразия, почти комплексные структуры, числа Кэли. векторное произведение.

1. Предварительные сведения

Хорошо известно [1], что на ориентируемом шестимерном подмногообразии М в алгебре Са чисел Кэли может быть определена почти комплексная структура при помощи трехместного векторного произведения. Такая почти комплексная структура Кэли достаточно активно изучается в случае сферы Б6 С К7 = 1т (Са), [2-6]. Структуры Кэли па произведениях сфер Б1 х Б5, Б2 х Б4 и Б3 х Б3 пока не столь популярны. Напомним, что на произведениях нечетномерных сфер имеется комплексная структура, определенная Екманом и Калаби [7] (см. также [8]). Для произведений четномерных сфер ситуация значительно сложнее. Единственный нетривиальный случай существования почти комплексной структуры на произведениях четномерных сфер дает произведение

Б2 х Б4

интегрируемой почти комплексной структуры в настоящее время открыт как для Б2 х Б4 Б6

туры 1 на Б6 со стандартной метрикой д0 неинтегрируемы [5]. В работе [10] показано, что пеиптегрируемыми будут почти комплексные структуры 1, ортогональные относительно метрик, близких к стандартной. Среди ортогональных почти комплексных структур 1 на (Б6, д0) почти комплексная структура Кэли 1С занимает особое место. В работе [4] показано, что для структуры Кэли объем многообразия 1С(Б6) в пространстве ортогональных комплексных структур в К8 является минимальным среди всех других ортогональных почти комплексных структур на Б6. В работе [11] для структуры Кэли 1С на сфере Б6 получены явные выражения для фундаментальной формы и ее внешнего дифференциала через калибровки пространства К7, найден тензор Нейенхейса через тройное векторное произведение и показано, что фундаментальная форма ш является собственной для оператора Лапласа.

1.1. Числа Кэли. Пусть Са - алгебра чисел Кэли, то есть чисел вида х = = х0 + х1в1 + • • • + х7в7, где хг € М, а числа в1,..., в7 - мнимые единицы. Правила

их перемножения определяются следующей таблицей:

е1 е2 е3 е4 е5 е6 е7

61 — 1 е3 —е2 е5 —е4 —е7 е6

б2 —ез —1 е1 е6 е7 —е4 —е5

ез е2 —е1 —1 е7 —е6 е5 —е4

64 —е5 —е6 —е7 —1 е1 е2 е3

е5 е4 —е7 е6 —е1 —1 —е3 е2

еб е7 е4 —е5 —е2 е3 —1 —е1

е7 —еб е5 е4 —е3 —е2 е1 —1

Если х0 = 0, то число К эли х называется чисто мнимым. Будем записывать число Кэли х в виде х = х0 + X, где х0 - действительная часть и X = х1в\ + + • • • + х7в7 - чисто мнимая часть. Алгебра Кэли Са имеет операцию сопряжения: х = х0 — X, которая обладает свойством ху = ух и позволяет определить естественным образом скалярное произведение и норму: (х, у) = (ху + ух)/2, |х|2 = хх. Формула XхУ = (ХУ—УХ)/2 определяет векторное произведение в пространстве 1т (Са) чисто мнимых чисел Кэли.

Алгебра чисел Кэли Са неассоциативна, то есть (ху)г = х(уг). Ассоциатором называется выражение [х,у, г] = (ху)г — х(уг). Ассоциатор кососимметричен по всем аргументам, что сразу следует из следующих хорошо известных свойств алгебры Кэли:

(хх) у = х(ху) х(уу) = (ху) у х(ух) = (ху) х [х,х,у] = 0, [х,у,у] = 0, [х, у, х] = 0, а также (хх)у = х(ху), х(уу) = (ху)у, то есть [х, х,у]=0 и [х, у, у] = 0;

— тождеств Муфанг: ((ху)г)у = х(угу), (хух)г = х(у(хг)), (ху)(гх) = х(уг)х;

— иордановости: (хху)х = хх(ух), то есть [хх, у,х] =0.

Напомним еще ряд свойств алгебры Кэли: (ху, гу) = (х, г) (у, у), (хт, у) = = (х, ут), (тх, у) = (х, ту), (хи)у + (ху)и = 2х(и, у), и (ух) + у(их) = 2х(и, у).

1.2. Векторное произведение в М7 = 1т (Са). Пространство М7 = 1т (Са) мнимых октав наследует из Са скалярное произведение (X, У) и векторное произведение X х У, которые определяются как вещественная и чисто мнимая части произведения мнимых чисел XУ:

) = — Ие^У), X х У = 1т^У).

Это сразу следует из формулы: ху = (х0у0 — (X, У)) + х0У + y0X + X х У. Легко видеть, что векторное произведение X х У билинейно, кососимметрично и ортогонально каждому их сомножителей. Отметим также, что ортогональные чисто мнимые числа Кэли X и У антикоммутируют, поскольку для них XУ = X х У.

Смешанное произведение определяется равенством (XУZ) = (X, У х Z) = (X х х У, Z) и представляет собой кососимметричную 3-форму <, которая называется ассоциативной калибровкой [12] пространства М7 = 1т(Са):

) = (X, У х Z). (1)

Если 1Мрчг = йхр Л йхч Л йхг , то калибровка < имеет следующее представление:

< = ^123 — ^167 + ^257 — ^356 + ^145 + ^246 + ^347- (2)

Тройное векторное произведение определяется равенством

[XУZ] = (X х У) х Z — )У + (У^ )X = —X х (У х Z) + ^^ )У — (X,У (3)

Оно связано с ассоциатором формулой [X, У, Z] = ].

Нам потребуются также следующие свойства векторного произведения, которые сразу получаются из равенства (3). Если п,У,£ € К7 и тел и У, £ ± п, то

(п х У) х £ = -п х (У х £) - (У, £)п.

Если п — чисто мнимый вектор единичной длины, то для любого £ € М7

п х (п х £) = —£ + (п, £)п.

Отсюда следует, что для любых X, У € М7 имеет место равенство

(п х X, п х У) = (Х,У) — (X, п) (У, п).

Коассоциативная калибровка [12] пространства К7 = 1т (Са) - это внешняя 4-форма ф, определенная равенством

ф^, У, Ш) = 2 (X, [У, Ш]) = (X, [У£Ш]). (4)

Калибровка ф имеет следующее представление в стандартных координатах К7: ф = Ш4567 — Ш4523 — Ш416З — Ш4127 + Ш2367 + Ш1357 + Ш1256. (5)

Легко видеть, что формы < и ф связаны соотношением ф = *<, где * - оператор Ходжа.

1.3. Векторное произведение на алгебре Кэли. Напомним, что векторным (г-местным) произведением на п-мерном евклидовом пространстве V называется [1] полилинейное отображение Р : Vг ^ V, г = 1,...,п, обладающее свойствами:

(Р(х1,. . ., хг), хф =0, г = 1,. .., г,

||Р(х1,... ,хг)||2 = det((xj, х^*)).

Одноместное векторное произведение на V есть ортогональная комплексная структура 1. Двухместное векторное произведение существует только в размерности 3 и 7. На семимерном пространстве V двухместное векторное произведение изоморфно введенному выше векторному произведению на пространстве 1т (Са)

Са

векторное произведение определено формулами:

Р(х, у, г) = — (ху)г + (х, у) г + (у, г)х — (г, х)у, (6)

Р1(х, У, г) = — х(уг) + (х,у)г + (у, г)х — (г, х)у,

Легко видеть, что операция сопряжения определяет антиизоморфизм этих векторных произведений: Рфх,у, г) = —Р(х,у, г). Поэтому в дальнейшем мы будем Са Р

л ой (6).

Из свойств векторного произведения сразу следует, что 4-форма

Ф(х, у, и) = (Р(х, у, г), и) (7)

является кососимметрической. Если х = 1,а х = X и у = У - чисто мнимые, то формула (6) определяет векторное произведение па К7: Р(1,У,£) = У£ + + (У,£) = У х 2. Поэтому Ф(1,У,£,и) = (У х V) = <(У, и). В случае,

когда все векторы X, У, Z, V являются чисто мнимыми и взаимно ортогональными, то Ф(X,У, Z,U) = ((X х У) х Z,U) = ф(X,У, Z,U). Следовательно, имеет место формула

Ф = йх0 Л р + ф, (8)

где <р и ф - введенные ранее ассоциативная и коассоциативная калибровки. Легко также видеть, что форма Ф является антиавтодуальной: *Ф = —Ф.

Понятие векторного произведения естественно определяется и на римановых многообразиях. При этом имеет место следующее свойство.

Теорема 1 [1]. Пусть Рм - г-местное векторное произведение на рима-новом многообразии М, а N - ориентируемое подмногообразие коразмерности к в М. Тогда Рм определяет (г — к) -местное векторное произведение РN на подмногообразии N по формуле

PN (Xl,...,Xr-k) = Рм (п1,...

где п1,...,пк - локально определенный ортонормированный базис нормального расслоения к подмногообразию N.

Из этой теоремы следует, что любое семимерное ориентируемое подмногообразие М7 в алгебре Са = М8 имеет двухместное векторное произведение, а любое шестимерное ориентируемое подмногообразие N С М8 имеет почти комплексную структуру (одноместное векторное произведение), определенную формулой 3 (X ) = Р (пит^).

2. Почти комплексная структура Кэли

Возьмем разложение Са = М8 та две ортогональных плоскости Са = Ер © Еч, р + д = 8, причем так, что первая плоскость Ер содержит вещественную ось пространства Са. В каждой плоскости Ер и Еч рассмотрим единичную сферу Бр-1

и Б9-1. Их произведение Бр-1 х Б9-1 является шестимерным ориентируемым под-М8

ную формулой 3(X) = Р(n1,n2,X), где п1(х) = х £ Бр-1 и п2(у) = у £ Б4-1 - нормальные векторы сфер, а X - касательный вектор к произведению сфер. Поскольку второй вектор п2 — чисто мнимый и все векторы п1, п2 и X взаимно ортогональны, то по формуле (6) получаем следующую формулу для почти комплексной структуры на произведении сфер:

)= Р(щ,^^) = (nln2)X, X £ Т(п11„2)Бр-1 х Б4-1. (9)

Формула 3(X) = (n1n2)X определяет комплексную структуру во всем проСа п = п1 п2 любого X £ Са имеем: ) = n(nX) = (nn)X = —X. Легко видеть, что

Л (п1) = п2, 3 (п2) = —п1.

Поскольку п1 и п2 являются ортогональными и п2 — чисто мнимый, то

Р(nl,n2,X) = (nln2)X + (п2, X)п1 — (п1^)п2.

Поэтому получаем следующее выражение для оператора почти комплексной струк-Са

3(X) = Р(п1, п2, X) — )п1 + (т^)п2, X £ Са. (10)

Отсюда, в частности, следует, что

да ),щ) = — (^п2) и (J(X ),п2) = (X, п1).

Оператор 1 комплексной структуры на Са зависит от векторов (п1,п2) € € Бр-1 х Б9-1. Легко видеть, что его можно продолжить па открытое всюду плотное множество Ер'9 в Са, являющееся произведением плоскостей Ер и Е9 с выкинутыми нулями:

Ер'9 = (Ер \{0}) х (Е9 \{0}) С Са. (И)

Элементы пространства Ер'9 будем записывать в виде х = (х1,х2), где х1 € Ер и х2 € Е9. Для каждой точки х € Ер'9 определены два ортогональных единичных вектора

х1 х2 п1(х) = Й-Л , п2 (х) = й-й.

||х1У ||х2 У

Тогда оператор 1Х почти комплексной структуры на восьмимерном многообразии Ер'9 в точке х = (х1,х2) определим по той же формуле

даНМхЫхМ, X € ТхЕр'9 = Са. (12)

Определение 1. Почти комплексную структуру 1 па Ер'9 = (Ер \ {0}) х х (Е9\{0}) С Са, определенную формулой (12), будем называть почти комплексной структурой Кэли.

Найдем выражение тензора Нейенхейса N(X, У) = 2([JX, 1У] — [X, У] — — 1 [X, 1У] — 1 [ JX, У]) структуры Кэли на Ер'9. Для вычисления N(X, У) нам потребуется производная Я* (1) тензорного поля 1 в направлении вектора X: Я*(1 )(У) = Я*((п1п2)У) — (п1п2)(ДхУ). Поскольку пространство Ер'9 является открытым подмножеством в К8, то можно отождествить векторы X, У с параллельными векторными полями па Ер'9 и тогда Я*(1)(У) = Я*(п1п2)У. Производная единичных векторов п^ и п2 в направлении вектора X = ^1^2) в точке х = (х1, х2) находится простым дифференцированием единичных векторных полей п1 п2

¿п^) = 77^7 (Xl — (X, п1)п1), ) = 77^7 (X2 — (X,n2)n2),

||х1У ||х2У

Поэтому из формулы Я*(1)(У) = Я*(п1п2)У = (¿^^)п2 + п^^^))У получаем следующее выражение для производной почти комплексной структуры Кэли па Ер'9:

Я* (1)(У) = ^ №п2)У + (n1X2)У — (н^ + (п1п2)У.

В частности, в точках произведения сфер Бр-1 х Б9-1 мы имеем: ||х11 = ||х21 = 1, поэтому

Я*(1 )У = ^1п2)У + (nlX2)У — ((X, п1) + (X, п2))(п1п2)У.

Для векторов X, У, ортогональных Бр-1 х Б9-1 получаем:

Я* (1)(У ) = (Xln2)У +(nlX2)У. (13)

Напомним, что нижний индекс у векторов X! и X2 обозначает компоненты вектора X, соответствующие разложению (11) пространства Ер'9 в прямое произведение.

Вычислим теперь все слагаемые тензора Нейенхейса N) = 2([JX,JY] —

— [X,У] — Л[X,ЛУ] — Л[JX,У]) структуры Кэли на Ер'д в точках произведения сфер и для векторов X, У, ортогональных произведению сфер. Поскольку X, У параллельные векторные поля, то [X,У] = 0. Для остальных слагаемых имеем:

[JX, ЛУ] = Бах (ЛУ) — Вау ^)) = Вш (Л)У — Вау (Л^ =

= ((JX )Ш2)У )2)У — ((ЛУ ^^ + (п1(ЛУ )2^,

Л [X, ЛУ] = Л (Бх (ЛУ) — в ЗУ X) = Л (Вх (Л )У) = Л (^^У + (п^У), ЛУ] = Л(ВахУ — Ву ^)) = —Л(Ву (Л^) = —Л((У1 п2^ + (п^^).

Получаем следующее выражение тензора Нейенхейса в точках произведения сфер Бр-1 х Б4-1 для векторов X, У, ортогональных произведению сфер:

N(X, У) = 2{(((JX)Щ2 + nl(JX)2)У — ((ЛУ)Ш2 + т(ЛУда —

— Л (^2)У — (У+ (п^У — (п1У2^)}. (14)

Л

Ерявляется неинтегрируемой.

Вычислим также (Вх(Л)У, Z) в точках произведения сфер и для векторов X, У, Z, ортогональных произведению сфер через векторное произведение. Если в

Ру

мый, то Р(х, у, г) = (ху)г + (х, у)г + (у, г)х — (г, х)у. Поэтому (ху)г = Р(х, у, г) —

— (х,у)г — (у,г)х + (г, х)у. Тогда для Вх (Л)У = ^^^У + (п^2)У имеем:

^1п2)У = Р ^у п2, У) + (У, Xl)n2, (п^У = Р (п1, X2,У) — (X2, У)п1. Поэтому

Вх (Л )У = Р ^^У) + Р (nyX2, У) + (У, Xl)n2 — (X2, У )пу

Если ^ ^ ^^^^^ ^^^^^^^ произведению сфер в точке х, то

(Вх(Л)У, Z) = Ф^у п2, У, Z) + Ф(nyX2, У, Z). (15)

Теорема 2. Почти комплексная структура К эли Л на Ер'д является ортогональной и неинтегрируемой. Ее фундаментальная форма ) = (JX,У) ■имеет вид:

ш^У) = Ф(п1,'2, X, У)+ п1 Л ПП2(X, У), (16)

п1 п2

лярного произведения к векторным полям п1(х) и п2(х) на Ерл.

Доказательство. Ортогональность Л следует го свойства (nX, пУ) = = (п, п) (X, У) = (X, У), тогда п = п1п2 . Поскольку открытое множество Ер имеет единые координаты из М8, то тензор Нейенхейса N(X,У) = 2([JX, ЛУ] —

— [X, У] — Л [X, ЛУ] — Л [JX, У]) может быть вычислен непосредственно по формуле Щк = 2(Л*д}1Л1к — — Л*д уЛ* + Л*дкЛ*-). Для того чтобы воспользоваться

этой формулой, достаточно оператор умножения Лх(X) = ^^ X записать в

1|х1||||х2||

виде матрицы, действующей па столбец координат вектора X, и провести явное вычисление компонент ^к ■ Легко видеть, что квадраты компонент тензо-

х

для доказательства неинтегрируемости 1 достаточно показать, что хотя бы в одной точке значение тензора У) = 0. Тогда N = 0 почти всюду па Ер'9. Можно

использовать формулу (14) для нахождения тензора Нейенхейса в точках произведения сфер и для векторов X, У, ортогональных произведению сфер. Пусть, например: п = 1, п2 = в5, X = Xl = еь У = У1 = в2. Тогда ^П11„2)(еь в2) = = 4е3 — 4е6 = 0.

Фундаментальная 2-форма почти комплексной структуры 1 на Ер'9 находится достаточно просто из формулы (10) для 1:

сда, У) = (У) = (Р(щ, п2, X) — (п2, X)щ + (щ, X)п2, У) = = Ф(п1, п2, X, У) + (п1, X)(п2,У) — (п1,У)(п2,X) =

= Ф(щ, п2, X, У) + п? Л п?^, У).

где Ф(х, у, ад) = (Р(х,у, г), ад) - введенная ранее кососимметрическая 4-форма на алгебре Са, а символами п? и п2 обозначены линейные формы, дуальные к

векторным полям п1(х) и п2(х) на Ер'9 относительно скалярного произведения.

□

3. Шестимерные произведения сфер в Са = К8

Почти комплексная структура Кэли на открытом множестве Ер'9 С К8 при ограничении па подмногообразие Бр-1 х Б9-1 определяет на нем почти комплексную структуру, которую также будем называть именем Кэли. Точку х € Бр-1 х

х Б9-1 естественно представить в виде двух компонент: х = (п1, п2), где п1 € Бр-1 п2 € Б9-1

вектора X € ТХ(Бр-1 х Б9-1) имеем ^^) = Р(п^^^) = (п^^.

Теорема 3. Ортогональная почти комплексная структура Кэли 1 на Бр-1 х х Б9-1 является неинтегрируемой. Фундаментальная 2-форма на Бр-1 х Б9-1 и ее внешний дифференциал имеют соответственно вид:

да, У) = Ф(п1, п2, X, У), (17)

¿да, У, £) = Ф(Xl, п2, У, £) + Ф(У1, п2, X) + Ф(£1, п2, X, У)+

+ Ф(п1, X2, У, £) + Ф(п1,У2, X) + Ф(п1, £2, X, У), (18)

где п1 € Бр-1, п2 € Б9-1, а нижние индексы 1 и 2 у векторов X, У, £ € ТХ(Бр-1 х х Б9-1) обозначают компоненты этих векторов, касательные к Бр-1 и Б9-1 с оо т в етственно.

Для ковариантной производной V* 1 на Бр-1 х Б9-1 имеет место следующее выражение

(V*(1 )У, £) = Ф^ь п2, У, £) + Ф(щ, X2, У, £).

Почти комплексная структура Кэли 1 на Бр-1 х Б9-1 является покомпонентно приблизительно кэлеровой, то есть имеют место следующие равенства:

V* (1 ^ =0, V* (1 № = 0,

для любых векторов, касательных только к одному из сомножителей в произведении Бр-1 х Б9-1, то есть векторов вида X = ^^ 0) и X = (0^^.

Доказательство. Поскольку Бр-1 х Бд-1 (почти) голоморфно вкладывается

в пространство Ер'д, то выражения тензора Нейенхейса, фундаментальной формы

Л

ченных для пространства Ер,д, считая, что все векторы X, У, Z ортогональны

нормальным векторам п1 и п2 . Таким образом, на Б1р-1 х Бд-1 тензор Нейенхейса

Л

Для фундаментальной 2-формы, учитывая, что X, У ортогональны п1 и п2, имеем:

Шх^, У) = У) = (Р(п1, п2, X) — (п2, X)п1 + (п1, X)щ,У) =

= (Р (п1, п2, X), У) = Ф(п1,п2, X, У).

Найдем внешний дифференциал формы ш по формуле

¿ш^, У, Z) = Xш(У, Z) + Уш^, X) + Zш(X, У) —

— ш(^,У ]^) — ш([У^ IX) — ш(^^ ],У).

Векторы X,У,Z £ Тх(Бр-1 х Б4-1) удобно считать продолженными на Ерл как параллельные векторные поля, тогда их скобки Ли будут пулевыми. Поскольку вектор X = (X1, X2) ортогонален к п1 и п2, то ¿п1^) = X1 и ¿п2^) = X2, Поэтому

Xш(У, Z) = X Ф(п1,п2,У, Z) = Ф^щ, У, Z) + Ф(п1, X2,У, Z).

Остальные компоненты вычисляются аналогично. Складывая их, получаем ¿ш.

Формула для ковариантной производной Ух Л установлена ранее как формула (15). Из (15) и кососимметричности Ф легко получается, что Ух1 (Л)X1 = 0, Ух2 (Л)X2 = 0 для векторов вида X = (X1, 0) = X1 и X = (0, X2) = X2 . Это свойство естественно назвать покомпонентной приблизительно кэлеровостыо, то есть

Б р- 1

отдельно к Б1д-1. Для общего век тора X это свойство не выполняется, что легко проверяется прямыми вычислениями. Теорема доказана. □

3.1. Почти комплексные структуры 3-форм. Поскольку все рассматриваемые нами шестимерные произведения сфер не являются снмплектнческн-

ш

тур Кэли не являются замкнутыми, ¿ш = 0. Н. Хитчин в работе [13] показал, что в шестимериом случае для 3-формы имеет смысл понятие невырожденности и каждая 3-форма определяет оператор, который может быть почти комплексной структурой. Естественно рассмотреть вопрос о невырожденности 3-формы ¿ш

ш

¿ш

Бр-1 х Б4-1. Сначала напомним основные построения Хитчина.

Пусть V - 6-мерное вещественное векторное пространство, ^ - форма объема на V и Л^* — 20-мерное линейное пространство кососпмметрпческпх полилинейных 3-форм па V. Для фор мы О £ Л^ * и вектора V £ V возьмем внутреннее произведение ьуО £ Л2V*. Тогда 1УО Л О £ Л5V*. Естественное спаривание внешним произведением V* ® Л^* ^ Л^* = М^ определяет изоморфизм А : Л5V* = V, и, используя это, мы определяем линейное преобразование Кц : V ^ V как

Кп^) = А(1„О Л О).

(19)

Другими словами, = ^П Л П. Определим А(П) € К как

А(П) = ^г К2.

Определение 2. Форму П будем называть невырожденной, если А(П) = 0.

В работе [13] показано, что линейное преобразование обладает следующими свойствами: ^ = 0 и = А(П)/й.

Теорема 4 [13]. Предположим, что А(П) = 0 для П € Л3У*. Тогда

• А(П) > 0 тогда и только тогда, когда П = а + где а, в _ вещественные разложимые 3 -формы и а Л в = 0;

• А(П) < 0 тогда и только тогда, когда П = а + а где а € Л3(У? ® С) есть комплексная разложимая 3-форма и а Л а = 0.

Из этого предложения следует [13], что если А(П) > 0, то она лежит в )-

орбите формы ^ = 01 Л 02 Л 03 + 04 Л 05 Л 06 для базиса 01,..., 06 пространства V?, А(П) < 0

^ = а + а, а = (01 + ¿02) Л (0з + ¿04) Л (05 + ¿0б).

В случае А(П) < 0 приведенная выше форма имеет вид: ^ = 2(0135 — 0146 — 0245 — — 0236) , где = 0г Л 0^ Л 0Й .

20-мерное вещественное векторное пространство Л3У? содержит инвариантную квадратичную гиперповерхность А(П) = 0, которая делит Л3У? па два от-

А(П) > 0 А(П) < 0 3-формы, лежащей в первом множестве, сопряжена группе БЬ(3,К) х БЬ(3,К), а в другом случае - группе БЬ(3, С).

А(П) < 0 3 П 3

а € Л3(У? ® С) и структуру комплексного векторного пространства на вещественном векторном пространстве V следующим образом. Поскольку = = А(П)/й, тогда если А(П) < 0, комплексная структура /^ на V определяется формулой

ь = т=щ (20>

Са

Отметим, что, в отличие от Б6, та произведении сфер Б1 х Б2т-1 существует комплексная структура, она была открыта Хопфом [14]. Калаби и Экман нашли комплексную структуру на произведении любых нечетномериых сфер (см. [7] и [8]).

Как известно [9], на произведении четномерных сфер почти комплексная структура

Б2 х Б4

Б6, Б3 х Б3, Б1 х Б5 Б2 х Б4

Б6 Б6

Са Са =

= Ке(Са) х 1т (Са) = К х К7. Получаем Б0 х Б6 = { — 1, +1} х Б6 - два экземпляра стандартной единичной сферы Б6 в пространстве К7 чисто мнимых чисел Кэли. Будем рассматривать один экземпляр {1} х Б6 = Б6 С К7. Почти комплексная структура Кэли 1 па Б6 определяется следующим образом. Если п = п(х) -единичный нормальный вектор в точке х € Б6, тогда 1х : ТХБ6 ^ ТХБ6 есть умножение на п слева: ) = п х X. Очевидно, что структура 1 является ортогональной. Хорошо известно, что структура 1 неинтегрируема, то есть N(X, У) = 0.

Пусть w(X, Y) = (JX, Y} - фундаментальная 2-форма, соответствующая J. Она имеет очень простое выражение через векторное произведение:

w(X,Y) = (n х X, Y} = (n, X x Y}. (21)

По классификации Грея Харвеллы [15] почти эрмитовых многообразий, многообразие (S6, J) принадлежит классу W1 = NK приблизительно кэлеровых многообразий (nearly Kahler). Напомним, что это такие многообразия, что VX(J)X = 0, или 3Vw = dw. В работе [15] установлены следующие свойства приблизительно кэлеровых многообразий:

¿w = 0, |Vw|2 = 1 |dw|2 = 16|N|2 = s - s*,

где w - фундаментальная форма, N - тензор Нейенхейса и s, s* - скалярные кривизны.

J

S6 через векторное произведение (подробные вычисления см. в [11]).

Лемма 1. Калибровка f при ее ограничении на сферу обладает свойством:

f (JX, Y, Z) = f (X, JY, Z) = f (X, Y, JZ). Доказательство.

f (Z, JX, Y) = (Z, JX x Y} = (Z, -n x (X x Y) - (X, Y)n} = = (Z, -n x (X x Y)} = -(Z x n,X x Y} =

= (n x Z,X x Y} = (JZ, X x Y} = f (JZ, X, Y).

Лемма 2. Пусть f и ф - ассоциативная и коассоциативная калибровки пространства R7. Тогда для любых X, Y, Z, касательных к сфере S6 имеет место равенство

i^(X,Y,Z ) = -f(JX,Y,Z),

где in внутреннее произведение с вектор ом нормали n(x). Доказательство.

^ф^, Y, Z) = (n, [XYZ]} = (n, -X x (Y x Z)} =

= -(n x X, Y x Z} = -f(JX, Y, Z).

Пусть *S - оператор Ходжа на сфере и e|S - ограничение дифференциальной формы в в R7 на иодмногообразие S6.

w

Кэли J мо S6 и ее внешний дифференциал dw обладают свойствами:

w = inf, dw = 3f |s , (22)

*s w = ф|я, *s dw = -3 ^ф, dw(X, Y, Z) = 3 ьф( JX, Y, Z), dw( JX, Y, Z) = dw(X, JY, Z) = dw(X, Y, JZ), dw(X, JY, JZ) = -dw(X, Y, Z).

Найдем ковариантную производную тензора J. Поскольку n(x) = ж, то для любого касательного вектора X G TxS6 имеем: Dnx(X) = X. Тогда из равенства (VX J)Y = pr(DX(JY)) = pr(DX(n x Y)) = pr(X x Y), где pr - проекция на

Tx S6

(VX J)Y = X x Y - (n(x), X x Y)n = X x Y - u(X, Y)n.

Теорема 6. Тензор Нейенхейеа N(X,Y) почти комплексной структуры J ■имеет вид

N(X, Y) = -8 n x (X x Y).

Доказательство. Требуемое утверждение сразу следует из формулы (14). Можно также использовать формулу g(N(X,Y),JZ) = 4g((VZJ)X,Y) + + 2dw(Z, JX, JY) — 2du(Z, X,Y), установленную в книге [7] (с учетом разницы в определении внешнего произведения и фундаментальной формы), последнего равенства теоремы (5) и формулы для (VX J)Y. □

Теорема 7 [11]. Фундаментальная 2-форма и почти комплексной структуры Коли является собственной для оператора Лапласа:

Аи = 12 и.

3.2.1. Почти комплексная структура, соответствующая 3-форме du.

и S6

форма Q = du имеет вид Q = , где ip = и\23 — и167 + и257 — и356 + и\45 +

+ и246 + u347 ^ ассоциативная калибровка пространства R7 = Im (Ca) (напомним, что upqr = dxp A dxq A dxr).

Найдем оператор Kq для каждой точки сферы. Рассмотрим сначала точку e7 G S6. Касательное пространство имеет ортонормированный базис векторов ei, e2, e3, e4, e5, e6 и форму объема ^ = u\23456. Ограничение формы = du на Te7 S6 имеет вид:

= 3(ui23 — U356 + U145 + и24б).

В силу инвариантности формы Qer относительно подгруппы изотропии SU(3) С С G2 , действующей па Te7 S6, достаточно вычислить значение Kq на одном векторе, например, KQ(e1):

lei ^e7 = 3bei (ui23 — U356 + U145 + и24б) = 3(u23 + U45).

lei ^e7 A Qer = I8ui2345 = —I8ie6 U123456.

Поэтому KQ(e1) = —I8e6 = I8e7 x e1 = 18J(e^. Отсюда следует, что IQe = Je7. Из инвариантности почти комплексной структуры Кэли J и формы Q относп-

G2 S6

IQe7 = Je7 имеет место те только в точке e7, но и в любой другой точке сферы.

Вывод. 3-форма Q = du на S6 невырождена всюду и определяет почти комплексную структуру Iq на S6, совпадающую с почти комплексной структурой J

S3 x S3

S3 S3

вложенное в Ca = М8 следующим образом. Сфера S3 является единичной в координатной плоскости М4, состоящей из чисел вида x = = x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3, а вторая сфера S3 - единичной в другой координатной плоскости М4, состоящей из чисел вида y = x4e4 + x5e5 + x6e6 + x7e7.

Считая число в1 комплексной мнимой единицей (в1 = ¿), отождествим первое пространство К4 чисел х = х0 + х1^ + х2в2 + х3ез с комплексными матрицами следующим образом:

/ ¿1

х = х0 + х1е1 + х2в2 + х3ез = (х0 + х~Ч) + (х2 + x3¿)e2 = г1 + г2в2 = ( —2 -^г I = иХ.

—г2 г1

При этом произведение ху чисел Кэли переходит в произведение матриц иХиу. Легко видеть, что сфера Б3 С К4 отождествляется с группой Би(2). Касательное пространство в единице Т1Б3 имеет базис из век торов е1, е2, е3. При отождествлении Б3 = Би(2) данному базису соответствует базис в касательном пространстве ТеБи(2) в единице е, состоящий из матриц:

Е = (0 —¿), Е = (—1 0), Е3 = (° 0) •

Б3

Vl(x)= ад)=(0 —0'¿) (—^ = =(—х1^ —x3,x2),

V2(x) = ¿Йх(Е2)= 01 ^ = (—^2 —^ =(—х2,х3,х0, —х1),

^3(х) = ад=(0 0) (—^^ ^ = (—? ¿г1) =( —x3, —Х2,Х!,Х0).

Легко видеть, что данные правоинвариантные поля получаются из векторов в1, е2, е3 при их умножении справа (как чисел Кэли) па элемент х €

Б3

Действительно,

в1х = в1(х0+х1е1+х2е2+х3в3) = —х1+х0в1—х3в2+х2в3 = (—х1, х0, —х3, х2) = У1(х),

в2х = в2(х0+х1е1+х2е2+х3в3) = —х2+х3в1+х0в2—х1в3 = (—х2, х3, х0, —х1) = Ъ^(х),

в3х = в3(х0+х1в1 +х2в2 + х3в3) = —х3 — х2в1х1в2 +х0в3 = (—х3, —х2, х1, х0) = ^3(х).

Аналогичным образом отождествим второе пространство К4 чпсел у = х4е4 + + х5в5 + х6в6 + х7в7 = (х4 + х5в1 + х6в2 + х7в3)в4 с комплексными матрицами следующим образом:

у = (х4, х5, х6, х7) = (х4 + x5¿, х6 + x7¿) = (ад1, ад2) = 2 — 1 ^ = •

Легко видеть, что сфера Б3 С К4 отождествляется с гр уппой Би (2). Касательное пространство Те4 Б3 в точке е4 имеет базис из век торов е5, е6, е7. При отождествлении Б3 = Би(2) данному базису соответствует базис в касательном пространстве ТеБи(2), состоящий из матриц = Е1,^2 = —£2,^3 = Е3. Тогда

Б3

^1(у) = (—х5,х4,х7, —х6),

^2(у) = (—х6, —х7,х4,х5), ^3(у) = (—х7,х6, — х5,х4).

Данные правоинвариантные поля получаются из векторов в у в3 при их умножении справа па элемент у £ Б3 . Действительно.

в\у = ву(х4в4 + х5в5 + х6вб + х7в7) =

= х4в5 — х5в4 — х6в7 + х7вб = (—х5, х4, х7, —х6) = Шу(у),

в2У = в2(х4в4 + х5в5 + х6вб + х7в7) =

= х4вб + х5в7 — х6в4 — х7в5 = (—х6, —х7, х4, х5) = Шу(у),

взУ = вз(х4в4 + х5в5 + х6вб + х7в7) =

= х4в7 — х5вб + х6в5 — х7 в4 = (—х7, х6, —х5, х4) = Шу (у).

Теорема 8. Ортогональная почти комплексная структура Кэли на Б3 х Б3 является неинтегрируемой. При естественном отождествлении произведения сфер Б3 х Б3 с группой Ли Би(2) х Би(2) почти комплексная структура Кэли 1 является правоинвариантной. При этом для базисных правоинвариантных векторных полей Уг и на группах-сомножителях имеют место равенства: = Уи Ш2 = У2, Ш3 = У3 ■

Доказательство. Для установления правоинвариантности структуры Кэли 1 достаточно показать, что оператор почти комплексной структуры 1 переводит правоинвариантные векторные поля Шг(у) в правоинвариантные векторные поля Уг(х). Пусть (х,у) £ Б3 х Б3. Как уже отмечал ось, пу(х) = х и п2(у) = у. В дальнейших вычислениях будем использовать следующие свойства:

• п\п2 ^ вг, п\ ± П2, П2 ^ вг, п\ ± П2 х вг П2 ^ П2 х вг для г = 1, 2, 3;

• иу = и х У — (и, У) для чисто мнимых октав и и у;

• п х (п х Z) = —Z + (п, Z)п, если п - вектор единичной длины;

• (X х У) х Z = —X х (У х Z)+2(Х^)У — {Х,У)Z — (У^)Х;

• (ху,^у) = (х^)(у,у)-

Учитывая разложение пу = п1 + N1 на вещественную и чисто мнимую части, имеем для г = 1, 2, 3:

1 (Шг(у)) = 1 (вгу) = (п1п2)(вгп2) = —(пу^^п) + (пуп2) х (вп) = = —(пу, вг) + ((п1 + Щ)п2) х (вг х п2) = = —(пу, вг) + п1(п2 х (вг х п2) + N х п2) х (вг х п2) = = —(пу, вг) — п1(п2 х (п2 х вг) — N х п2) х (п2 х вг) = = —(пу, вг) + п1вг — (N1 х п2) х (п2 х вг) = — (п1,вг) + п°вг + N х (п2 х (п2 х вг)) — 2(^,п2 х вг)п2+ + N,п2)(п2 х вг) + (п2,п2 х вг)Щ = = (пу, вг) + п°вг + N1 х (п2 х (п2 х вг)) = п\вг — N1 х вг — (пу, вг) = = п\вг — N1 х вг — (N1, вг) =

= п^вг + вг х N1 — (вг, N) = вг(п? + N1) = вгп1 = вгх = Уг(х).

Б3 х Б3

грируемой. Тензор Нейенхейса легко вычисляется для базисных правоинвариантных полей Уг и ^, г,] = 1, 2, 3, с учетом того, что [Уг, ] =0. □

3.3.1. Почти комплексная структура, соответствующая 3-форме ¿ш.

Найдем выражение фундаментальной формы ш почти комплексной структуры Кэ-ли на Б3 х Б3, вычпслим ¿ш и исследуем последнюю форму на невырожденность. В силу ее правоинвариантности все вычисления можно провести в касательном пространстве Т(1е4)(Б3 х Б3) = Т(ее)(Би(2) х Би(2)). Это пространство имеет ор-тонормированный базис {Е1, Е2, Е3, Е2, Е3}. Скобки Ли соответствующих пра-воиивариаитиых векторных полей имеют следующий вид:

[Еь Е2] = —2Е3, [Е1, Е3] = 2Е2, [Е2, Е3] = —2Е1,

[Л, Е] = 2^3, [^1,^3] = —2^2, [^2, ^3] = 2Л Поскольку J(Е) = —к = 1,2, 3, то фундаментальная форма ш(Х, У) = = ^Х, У) легко вычисляется: ш(Е= —1, к = 1, 2, 3. Пусть е1, е2, е3, /1, /2, /3 _ дуальный базис. Тогда форма ш имеет вид:

ш = —е1 Л /1 — е2 Л /2 — е3 Л /3.

Для вычисления внешнего дифференциала ¿ш используем формулы Маурера-Картана = — ^^ С^ О1 Л О5 со структурными константами для правопнварп-

антных векторных полей. В нашем случае нмеем:

¿е1 = 2е2 Л е3, ¿е2 = —2е1 Л е3, ¿е3 = 2е1 Л е3,

/1 = —2/2 Л /3, /2 = 2/1 Л /3, /3 = —2/1 Л /3.

Поэтому 3-форма имеет вид:

П = ¿ш = —2е23 Л /1 + 2е13 Л /2 — 2е12 Л /3 — 2е1 Л /23 + 2е2 Л /13 — 2е3 Л /12,

где, как обычно, еР9 = ер Л е9 и /Р9 = /р Л /9. Теперь вычисление ^ П Л П не составляет труда. Например, для базисного векторного поля Е1 имеем:

П = 2е3 Л /2 — 2е2 Л /3 — 2/23, П Л П = —8е123 Л /23 — 4е23 Л /123.

Поскольку

, ,, = , е12^ д ^ 123 = е123 д Г23 , ,, = , е123 д Г123 = г 123

, = е Л / = —е Л / , г,£1, = е Л / = е Л / ,

1е1 П Л П = -4^ Поэтому Кп(-Е1) = 8Е1 — 4Е1. Совершенно аналогично:

Кп(Е2) = 8^2 — 4Е2, ^(£3) = 8^3 — 4Е3,

КП(Л) = — 8Е1 + 4Е1, К^) = —8Е2 + 4^2, К^) = —8Е3 + 4Е3.

Легко вычисляется, что = —48/^. Мы получаем следующий

Вывод. 3-форма П = ¿ш но Б3 х Б3 = Би(2) х Би(2) невырождена всюду и определяет следующую почти комплексную структуру /п на Б3 х Б3 .•

/п(Хь Х2) = ^13(2X2 — Хь —2X1 + Х2), (23)

где Х1 и Х2 - компоненты касательного вектора X € Т(Б3 х Б3).

Замечание 1. Данная почти комплексная структура /п получена в работе [16] как каноническая почти комплексная структура на 3-спмметрпческом пространстве Би(2) х Би(2) х Би(2)/ДБи(2). В [16] показано, что вместе с формой ш

она является единственной инвариантной приблизительно кэлеровой структурой Б3 Б3

3.4. Произведение сфер S1 х S5. Пусть сфера S1 является единичной в координатной плоскости М2, состоящей из чисел вида x = x0 + x4e4, a S5 -единичной в координатной плоскости М6, состоящей из чисел вида x = x1ei + + x2e2 + x3e3 + x5e5 + x6e6 + x7e7. Пусть ni(x) = x G S1 и n2(x) = x G S5 .

Поскольку S1 х S5 есть шестимерное подмногообразие в М8, то оно имеет почти комплексную структуру, определенную формулой

J(X) = P(n1, n2, X) = (щп2)Х, X G T(„lj„2)(S1 х S2m-1).

Вложение S1 х S5 С E2'6 является (почти) голоморфным. Поэтому мы можем

использовать полученные ранее выражения для тензора Нейенхейса (14) и для

фундаментальной 2-формы (18) с учетом того, что касательные векторы X, Y

ортогональны к П1 и П2 .

S1

видеть, что П1П2 G

S5 S1 S5 S1 S5 S5

Это действие удобно выразить при помощи комплексных чисел. Вектор x = x0 + + x4e4 G М2 удобно отождествить с комплексыым числом x = x0 + x4i = z G C, считая, что e4 = i - мнимая единица. Для векторов y G М6 имеем:

1 О Q К

y = x e1 + x e2 + x ез + x e5 + x e6 + x e7 =

= (x1 — x5e4)e1 + (x2 — x6e4)e2 — (x3 + x7e4)e3 = = (x1 — ix5)e1 + (x2 — ix6)e2 + (x3 — ix7)e3 =

= z1e1 + z2e2 + z3e3 = (z1, z2, z3).

Таким образом, можно отождествить

М6 C3 S1 S5

это

просто умножение комплексного вектора y = (z1, z2, z3) G S5 С C3 па комплексное z G S1 С C

z(zfcefc) = (zzfc)efc, efcz = zefc, (zefc)ep = z(efcep), k,p = 1, 2, 3, k = p.

S1 S5

определяет расслоение Хопфа S5 ^ CP2 . Отметим также, что элементы группы G2 автоморфизмов чисел Кэли, остав-

e4 C3

зования. Известно, что они образуют группу SU(3).

J S1 х

х S5

J переводит векторное поле V0, касательное к S1, в векторное поле V на

S5

касательное к слоям расслоения Хопфа: J(V0) = — V.

Доказательство. Находим тензор Нейенхейса прямым вычислением по формуле (14). Легко видеть, что для П1 = cos в + sin 0e4 = ei0, П2 = e1, X = X2 = e2 , Y = Y2 = e3 имеет место соотношение N(ni n2)(e2, e3) = —4(1 — ei2e) = 0. Поэтому J

Пусть n1 = cos в + i sin в = ei0 G S1 и n2 = z1e1 + z2e2 + z3e3 G S5. Тогда n1n2 = ei0z1e1 + ei0z2e2 + ei0z3e3 G S5. Пусть V0(n1) = iei0 = in1 - касательное векторное поле к окружности S1 и V1(n2) = i(z1,z2,z3) - касательное векторное поле к слоям расслоения Хопфа. Тогда

J (V)(n1)) = (nm2)ieie = (eie z^e* z2e2,eie z3e3)iei0 =

= (z1e1,z2e2,z3e3)ieiee-ie = —i(z1e1, z2e2, z3e3) = —i(z1,z2,z3) = —V1(n2).

По построению почти комплексная структура Кэли J инвариантна относительно таких элементов д G , которые действу ют на S1 х S5. Легко видеть, что подгруппа изотропии SU(3) С G2 элемепта e4 действует транзитавно на S5 и тождественно на S1. Тогда почти комплексная структура Кэли J на S1 х S5 инвариантна относительно действия SU(3). Поэтому для описания почти комплексной структуры Кэли достаточно найти ее в точках вида (n1,n2), где n1 пробегает S1, а вектop n2 G Sl5 фиксирован. Во всех остальных точках почти комплексная

SU(3)

Найдем почти комплексную структуру Кэли в точках вида (n1,n2), где n1 = = cos в + sin в e4 G S1, n2 = e1 G S5. Имеем: n1n2 = cos 0 e1 — sin 0e5. Касательное пространство T(niei)(S1 х S5) имеет ортонормированный базис из векторов Vo(ni) = — sin в + cos 0e4, e2, e5„ e6„ . Действие почти комплексной струк-J

J(ni,ei)V0(n1) = e5, J(ni,ei)e5 = — V0(n1),

J(n1,e1)e2 = cos в e3 + sin в e7 = (cos в — sin в e4)e3 = e-ie3,

J(ni,ei)e3 = — cos в e2 — sin в e6 = —(cos в — sin в e4)e2 = —e-lde2,

J(niei)e6 = — cos в e7 + sin в e3 = —(cos в — sin в e4)e7 = —e-lde7,

J(ni,ei)e7 = cos в e6 — sin в e2 = (cos в — sin в e4)e6 = e-ie6.

Отмстим, что почти комплексная структура Кэли но инвариантна при ловом действии S1 па S1 х S15. Действительно, пусть x = cos <р + sin <pe4 = eip G S11. Тогда

x(J(ni,ei)e2) = eipe~iee3 = ei(p-e)e3. С другой стороны, используя равенства

(zek)ep = z(ek ep), ek(zep) = (ekz)ep, ekz = zek,

получаем:

J(xni,xei)(xe2) = (eipei9 eipe1)(eipe2) = (ei(2p+e)e1)(eip e2) = e-i(3p+e)e3.

S1 S1 х S5

(J(m,ei)e2)x = e-ie e3eip = e-i(e+p)e3.

С другой стороны,

J(nix,eix)(e2x) = (eie eip(e1eip))(e2eip) =

= (eie eipe-ipe1)(e2eip) = (eie ex)(e2eip) = e-i(e-p')e3.

3.4.1. Почти комплексная структура, соответствующая 3-форме dw.

Найдем выражение внешнего дифференциала dw фундаментальной формы ш почти комплексной структуры Кэли па S1 х S5 и исследуем dw па невырожденность.

Поскольку почти комплексная структура Кэли J и форма ш на S1 х S5 инвариантны относительно действия SU(3) па S15, то достаточно найти Q = dw в

(n1 , n2 ) n1 S1 n2 G S5

для определенности n2 = e1 G S5 и пусть n1 = cos в + sin в e4 G S1.

Ортонормированный базис касательного пространства T(niei)(S1 х S5) образуют векторы Vo(n1) = — sin в + e4 cos в и e2, e3, e5„ e6j, . Для нахождения Q = dw

нужно найти значения П^, ej, ek), i < j < k G {2, 3, 5, 6, 7} и значения Ü(V0, ei; ej), i < j G {2, 3, 5, 6, 7}. Будем использовать выражениe (18) для dw и формулу Ф = = dx0 Л ^ + ф, где ^ и ф - ассоциативная и коассоциативная калибровки М7. Для Q(e¿,ej,ek) формула (18) принимает вид:

^(e¿, ej, efc) = 3Ф(п1, e¿, ej, efc) = 3cos e^(e¿, ej, efc) + 3sin вф^4, e¿, ej, efc).

Таким образом, П = 3cos в<^> + 3sin в^в4 ф. Используя формулы (2) и (5), получаем следующее выражение для П на Tei S5 :

QS5 = 3 cos в(^257 — W356) + 3sin в(^567 — W235). (24)

Для n(V0,ej,ej) формула (18) принимает вид:

n(V0, e¿, ej) = Ф(^, e1, e¿, ej) + 2Ф(пь V0, e¿, ej). (25)

Первое слагаемое iei iVo Ф в правой части (25) равно:

Ф(^э, e1, e¿, ej) = — sin e^(e1,e¿,ej) + cos вф(e4, eb e¿, ej).

Таким образом, используя формулы (2) и (5), получаем в левой части (25): ty0 П = = — sinв1е1 ^ + cosв1е1 ie4ф = — sine(w23 — w67) — cose(w63 + w27). Следовательно,

П1 = — Vj Л (sin в(^23 — W67) + cos в(^63 + W27)),

где vj - первый вектор дуального базиса к {V0, e2, e3, e5, e6, e7}. Второе слагаемое в правой части (25) iVo ini Ф есть

(26)

2Ф(п1, V0, e¿, ej) = 2^(e4, e¿, ej).

Используя формулы (2) и (5), получаем: iVo П = 2ie4^ = —w26 — w37. Следовательно,

П2 = —2vj Л (W26 + W37). (27)

Складывая формулы (24), (26), (27), получаем окончательно общее выражение П

П = — vj Л (sin в w23 + 2w26 + cos в w27 — cos в w36 + 2w37 — sin в w67) —

— 3 sin в w235 + 3 cos в w257 — 3 cos в w356 + 3 sin в w567. (28) Элемент объема на T(ni ei)S1 х S5 имеет вид: ^ = vj Л w23567 = w023567. Пусть X = X0V0 + X2e2 + X3e3 + X5e5 + X4 + XV G T(ni,ei)(S1 х S5). Прямыми вычислениями получаем следующую формулу:

П Л П = —(6X0 + 18X5) w23567 + (12 cos вX3 — 12 sinвX7) w03567+ + (12cosвX2 — 12sinвX6) W02567 — —(10X0 + 6X5) W02367+ + (12sinвX3 + 12cosвX7) w02357 + (12sinвX2 + 12cosвX6) w02356.

Поэтому оператор Kq имеет следующую матрицу: /-6 0 0 -18 0

Kq

0

0 0 10 0

0

12 cos в 0 0

0 -12 sin в

— 12 cos в 0 0

12 sin в 0

0 0 12 sin в

0 -12 sin в 0

0 -12 cos в

0

12 cos в 0

(29)

/

Простое вычисление показывает, что КО = —1441 З. Поэтому оператор Ко определяет почти комплексную структуру 1о = Ко/12. Легко видеть, что в точках Б11 х {е\} имеет место соотношение 1о = АЛ между почти комплексными структурами 1о и Л, где связующая матрица имеет вид:

( 3/2 0 0

0 сов2в 0

. = 0 0 сов 29

А = —1/2 0 0

0 — вт29 0

\ 0 0 — вш29

Поскольку почти комплексные структуры 1о и Л инвариантны относительно действия на Я5 подгруппы изотропии БП(3) С , то данное соотношение 1о = АЛ имеет место во всех точках пространства Б1 х Б5. Мы получили следующее утверждение.

Теорема 10. 3-форма О = Зш на Б1 х Б5 невырождена всюду и определяет почти комплексную структуру 1о = Ко/12 на Б1 х Б5, которая в точках (егв,п2) £ Б1 х Б5 связана с почти комплексной структурой Кэли Л формулой 1о = АЛ с матрицей А вида (30).

Замечание 2. Легко видеть, что почти комплексная структура 1о не является ортогональной и не является ассоциированной с фундаментальной формой ш:

ш(1оХ,1оУ) = ш(Х,У). Рассмотрим расслоение Хопфа Б1 х Б5 ^ СР2, опре-

Б1 Б5

расслоепия имеет место следующее соотношение: 1о = е2гвЛ, а на вертикальном распределении с базисными полями {У0,У1} почти комплексная структура 1о действует следующим образом:

1о(Уо) = —1 Уо + 5 У1, 1о(У1) = — 3 Уо + 1У1. 2 6 2 2

3.5. Произведение сфер Б2 х Б4. Как известно [9], такое произведение чотноморных сфер является единственным нетривиальным случаем, допускающим почти комплексную структуру. Вложим Б2 х Б4 в Са = М8 следующим образом. Сфера Б2 является единичной в координатной плоскости М3, состоящей из чисел вида х = х0 + х1е1 + х2е2, а Б4 - единичной в координатной плоскости М5,

состоящей из чисел вида х = х3ез + х4в4 + х5в5 + х6еб + хгвг. Пусть П1 и П2 -

Б2 Б4 М8

Б2 х Б4

лой Л(Х) = Р (П1,П2,Х) = (тп2)Х, X £ Т(П1,П2)(Б12 х Б14). Поскольку касательный вектор Х ортогонален к П1 и П2, то данное вложение Б12 х Б14 С Е3'5 является (псовдо)голоморфным. Поэтому мы можем использовать полученные ранее выражения (17) и (14) для фундаментальной 2-формы и для тензора Нойонхойса с

Х, У п1 п2

Прямая проверка показывает, что почти комплексная структура Кэли Л па Б2х х Б4 п1 = 1 п2 = е5

Х = Х1 = еи У = У1 = е2. Тогда М(П1,П2)(е1, е2) = 4ез — 4е6.

Нахождение внешнего дифференциала Зш фундаментальной формы ш почти комплексной структуры Кэли на Б2 х Б4 и исследование Зш на невырожденность будет проведено в следующей работе.

—1/2 0 0 5/6 0 0

0

вш29 0 0

сов29 0

0 0

вш 29 0 0

сов 29 /

(30)

Summary

N.K. Smulentsev. On Almost Complex Structures on 6-dimensional Products of Spheres.

In this article, almost complex structures on the sphere S6 and on the products of spheres S1 x S6, S2 x S4, Mid S3 x S3 which naturally arise at their embeddings in the algebra of Cayley numbers are considered. It is shown t.hat. all of them are lionintegrable. Expressions of the fundamental form w and the Nijenhuis tensor for each case are obtained. It is also shown that the form dw is nondegenerate. New special almost complex structures on products of spheres are constructed.

Key words: 6-maiiifolds, almost complex structures, Cayley numbers, vector cross product.

Литература

1. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans AMS. 1969. V. 141. P. 465 504.

2. Bryant R. Submanifolds and special structures on the octonians // J. Diff. Geom. 1982. V. 17. P. 185 232.

3. Calabi E. Construction and properties of some 6-dimensional almost-complex manifolds // Trans. Amer. Mat.li. Soc. 1958. V. 87. P. 407 438.

4. Calabi E., Gluck H. What are best almost-complex structures on to 6-spliere? // Proc. Symp. in Pure Mat.li. 1993. V. 54, No 2. P. 99 108.

S6

V. 101, No 1. P. 136 138.

6. Sekigawa K. Almost complex submanifolds of a 6-dimensional sphere // Kodai Mat.li. J. 1983. V. 6, No 2. P. 174 185.

7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. М.: Наука, 1981.

8. Peng С.К., Tang Z. Integrabilit.y Condition on an Almost Complex Structure and Its Application // Acta Mat.li. Sinica, English Series. 2005. V. 21, No 6. P. 1459 1464.

9. Datta В., Subramanian S. Nonexistence of almost complex structures on products of even-dimensional spheres // Topol. and its Appl. 1990. V. 36, No 1. P. 39 42.

10. Bur G., Hernandez-Lamoneda L. The canonical bundle of liermitian manifold // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 1999. V. 5, No 3. P. 187 198.

S6

ун-та. Сер. Матом. 2005. 4. С. 155 162.

12. Harvey R., Lawson H. Calibrated geometries // Acta Mat.li. 1982. No 148. P. 47 157.

13. Hitchin N.J. The geometry of three-forms in six dimensions // J. Diff. Geom. 2000. V. 55. P. 547 576.

14. Hupf H. Zur Topologie dor komploxen Mannigfaltigkoiten // Studios and Essays presented to R. Courant. N. Y.: Interscieiice, 1948. P. 167 185.

15. Gray A., Harvella L.M. Tlio sixteen classes of almost Hermit.ian manifolds and their linear Invariants // Aim. Mat.li. Рига Appl. 1980. V. 123. P. 35 58.

16. Butruille J.-B. Homogeneous nearly Kaliler manifolds. Mat.li.DG/0604394. 2006. 25 p.

Поступила в редакцию 07.09.09

Смоленцев Николай Константинович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Кемеровского государственного университета.

Е-шаП: smolenQkuzbass.net