Инвариантные приводимые почти комплексные структуры на однородных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

коэффициенты зависят от параметров а и Ь. Заметим, что при £ = 0 получаем :

Ьо(0) = а, Ь±(0) = 1 - а, Ь2(0) = Ьз(0) = 0.

При £ = 1 аналогично имеем :

Ьо(1) = Ьх(1) = 0, Ь2(1) = а, Ьз(1) = 1 - а.

Следовательно, каждая элементарная кривая Г* начинается в точке

И^О) = аР—1 + (1 — а)Р^

лежащей на ребре Рг-1Рг опорного многоугольника, а кончается в точке

К1(1) = аР1+1 + (1 — а)Р1+2,

лежащей на ребре Рг+1Рг+2 опорного многоугольника. Нетрудно также проверить , что в своей начальной точке кривая Гг касается ребра Р—1Рг ,

а в конечной — ребра Рг+1Рг+2 Однако в общем случае построенная кривая не проходит через вершины опорного массива.

Можно сказать, что рассматриваемые составные кривые являются более гладкими, чем кривые Безье, но не обладают свойством непрерывности вектора кривизны. Наличие в функциональных коэффициентах ш\м параметров а и Ь позволяет менять форму кривой Г, не меняя точек массива. Это свойство сближает их с ^-сплайновыми кривыми. Представляет интерес дальнейшее изучение геометрических свойств построенных кривых.

Литература [1] Шикин , Е. В.Кривые и поверхности на экране компьютера / Е. В. Шикин, А. И. Плис. - М.: Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с

УДК 514.76.2

ИНВАРИАНТНЫЕ ПРИВОДИМЫЕ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ СТРУКТУРЫ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Е. С. Корнев

INVARIANT REDUCED ALMOST COMPLEX STRUCTURES ON HOMOGENEOUS

SPACES E. S. Kornev

В работе вводится специальный класс почти комплексных структур, для которых существует разложение касательного пространства в прямую сумму подпространств, на которых эти структуры действуют инвариантно. Приводятся некоторые понятия и результаты для таких почти комплексных структур на однородных пространствах.

This work introduces the special class of almost complex structures which provide the tangent space decomposition into direct sum of the vector subspaces, and invariant act on these subspaces. Some concepts and results are provided For such almost complex structures on the homogeneous spaces.

Ключевые слова: почти комплексные структуры, однородные пространства, кэлеровы структуры.

Keywords: almost complex structures, homogeneous spaces, kahler structures.

1. Инвариантные почти комплексные структуры на однородных пространствах

Пусть М - однородное риманово пространство размерности 2 п, О - связная группа Ли, действующая на М транзитивно, Н - подгруппа изотропии фиксированного элемента о € М, и д -Лс!н-инвариантная риманова метрика на О. Тогда М = О/Н и 0 раскладывается в прямую сумму векторных пространств () и р, где [) - алгебра Ли подгруппы изотропии Н, а р - ее ортогональное дополнение относительно метрики д. Подпространство р раскладывается в прямую сумму Л!н-инвариантных неприводимых векторных подпространств. Касательное пространство Т0М и подпространство р изоморфны как векторные про-

странства. Если подгруппа Н является нормальной, а распределение р инволютивным, то М диф-феоморфно группе К = О/Н, а р является алгеброй Ли группы К.

Почти комплексной структурой на вещественном четномерном многообразии М называется непрерывное поле вещественных линейных операторов 1Х : ТХМ ^ ТХМ : 1Х о ,1Х = -1с! для всех х Є М. Пусть Яд - представление группы О в группе собственных дифференцируемых преобразований однородного пространства М, ядро которого совпадает с Н. Почти комплексная структура .1 на М называется О-инвариантной, если для любых д Є О и х = Яд(о) Є М, ЛХ = dRg о о йЯд-і. Любая О-инвариантная почти комплексная структура на однородном пространстве полностью определяется своим значением в начальной точке о.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

Линейный изоморфизм пространств Т0М и р индуцирует взаимно-однозначное соответствие между множеством С-инвариантных почти комплексных структур на М и множеством А(р), где А(р) - множество всех левоинвариантных полей линейных операторов на группе С, обладающих следующими свойствами: Ф Є А(р), если для любого X Є р, ФХ Є р, (Ф о Ф)Х = —X, а для любого У Є Ь, ФУ = У. Такие линейные операторы называются аффинорами. Ограничение любого аффинора на подпространство р есть левоинвариантная почти комплексная структура на К, а ограничение на подалгебру [) есть тождественный оператор. В дальнейшем будем отождествлять С-инвариантную почти комплексную структуру на однородном пространстве М и соответствующий ей аффинор на группе С.

Если подгруппа изотропии Н имеет четную размерность, то любая левоинвариантная почти комплексная структура на группе С, инвариантно действующая на р, индуцирует С-инвариантную почти комплексную структуру на М.

2. Приводимые почти комплексные структуры и их индекс

Определение 1. Почти комплексная структура Т на многообразии М называется приводимой, если в каждой точке многообразия касательное пространство содержит нетривиальное собственное подпространство, инвариантное относительно действия Т, распределение таких подпространств непрерывно зависит от точки и для любого нетривиального подпространства инвариантного относительно действия структуры Т существует дополнительное подпространство, также инвариантное относительно действия Т.

Понятие приводимой почти комплексной структуры естественно возникает при рассмотрении расслоений (см. [2]) и однородных четномерных пространств с четномерной подгруппой изотропии. Для расслоений в качестве инвариантных относительно действия почти комплексной структуры подпространств можно рассматривать распределение касательное к слоям расслоения и горизонтальное распределение (связность), а для однородных пространств подпространства [) и р.

Теорема 1. Пусть Т - С-инвариантная приводимая почти комплексная структура на четномерном вещественном однородном пространстве М = С/Н, тогда векторное пространство р раскладывается в прямую сумму неприводимых подпространств инвариантных относительно действия почти комплексной структуры Т. А матрица структуры Т в фиксированном базисе пространства р принимает блочно-

диагональный вид:

/А1 0 ... 0 \

0 А2 0 ...

\0 ... 0 Ап)

где Аи - квадратная матрица четного порядка.

Доказательство. Пусть Т - С-инвариантная приводимая почти комплексная структура на М и Уї - инвариантное относительно ее действия векторное подпространство в р. По определению 1 в р существует дополнительное к У подпространство У2 также инвариантное относительно действия .1. Ограничение структуры .1 на У\ есть почти комплексная структура ! на Уї, а ограничение Т на У2 есть почти комплексная структура ! на У2. Повторяя это разложение для подпространств VI и У2, на некотором конечном шаге получим разложение пространства р в прямую сумму векторных подпространств Шї,...,Ши и набор почти комплексных структур Тї, . . . , Ти, каждая из которых действует неприводимо на соответствующем подпространстве Ші, 1 < I < к. Выбор базиса в каждом из неприводимых векторных подпространств Ші дает представление исходной приводимой почти комплексной структуры Т в виде блочно-диагональной матрицы.

Замечание. Из доказательства теоремы 1 следует, что любую приводимую почти комплексную структуру можно задать набором пар {У1: Т1},..., {Уи, }, где Уі - четномерное вектор-

ное подпространство, ! - неприводимая почти комплексная структура на VI. Это сразу дает целый класс примеров однородных пространств с приводимыми почти комплексными структурами. В качестве исходного пространства можно взять однородное пространство, которое раскладывается в прямое произведение четномерных однородных пространств, на каждом из которых задана собственная почти комплексная структура.

Определение 2. Индексом приводимой почти комплексной структуры Т называется число і] инвариантных относительно действия Т неприводимых векторных подпространств.

Из теоремы 1 следует, что если <ііш(М) =2 п > 4, то 2 < і,] < п. Для приводимых почти комплексных структур индекса п размерность любого неприводимого инвариантного подпространства равна 2. Для вещественных четырехмерных многообразий могут существовать только приводимые почти комплексные структуры индекса 2. Все левоинвариантные приводимые почти комплексные структуры в размерности 4 классифицированы и изучены в [1].

Почти комплексная структура Т на вещественном многообразии размерности 2 п называется интегрируемой (комплексной), если для любой точки

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

х Є М существует окрестность и и локальные координаты (хі,... ,хп,уі,... ,уп) в этой окрестности, согласованные с действием этой структуры. Т. е. во всех точках из и,д/ду^ = Тд/дх^, для к = 1,2,..., п. Тензором Нейенхейса почти комплексной структуры Т называется тензор N, такой, что для любых векторных полей X и У

N(X, У)=2 ([IX, ТУ]-Т[ЇХ, У]-Т[X, ТУ]-[X, У]).

Почти комплексная структура интегрируема тогда, и только тогда, когда ее тензор Нейенхейса тождественно равен 0. Подробнее см. [3], т. 2, глава 9.

Теорема 2. Если вещественное однородное пространство М, размерности 2 п, раскладывается в прямое произведение двумерных однородных пространств, то на М всегда существует интегрируемая приводимая почти комплексная структура индекса п.

Доказательство сразу следует из того, что тензор Нейенхейса на прямом произведении многообразий равен сумме тензоров Нейенхейса на каждом из сомножителей и простого факта, что тензор Нейенхейса на любом двумерном многообразии тождественно равен нулю.

Теорема 3. Пусть Т - О-инвариантная приводимая почти комплексная структура индекса 2 на однородном пространстве М = О/Н, группа О имеет нетривиальный центр, А и В - подпространства в р инвариантные относительно действия структуры Т. Причем А лежит в центре алгебры Ли группы О, а тензор Нейенхейса структуры Т равен 0 на В. Тогда структура Т интегрируема.

Доказательство. Пусть N - тензор Нейенхей-са почти комплексной структуры Т. Тогда, для любых X и У Є p,X = и + У\, У = и2 + У2, где и і и и2 лежат в А, а Vl и У2 лежат в В. Поскольку иі, и2, Тиі, и лежат в центре алгебры Ли группы О, а на В N = 0, получаем: N(X, У) =

= N (ІІиЩ^ (Ul,V2)+N (Уіи^ (Уі,У2) = 0. Таким образом, тензор Нейенхейса N равен нулю на всем подпространстве р и структура Т интегрируема на М.

3. Ортогональные и приводимые почти комплексные структуры

Почти комплексная структура Т называется ортогональной относительно метрики g, если для любых векторных полей X и У, g(ТX, ТУ) = д(X, У), т. е. Т является ортогональным оператором. Айн -инвариантная метрика д на группе О индуцирует метрику на однородном пространстве М = О/Н. Будем считать, что метрика д также является левоинвариантной. Тогда она индуцирует О-инвариантную метрику на М. Из свойств аффи-

норов следует, что аффинор, соответствующий ортогональной почти комплексной структуре на М, является ортогональным относительно метрики д оператором на группе О. Поэтому множество ортогональных почти комплексных структур на М можно отождествлять со множеством ортогональных аффиноров на группе О.

Пересечение классов ортогональных и приводимых почти комплексных структур на однородных римановых пространствах описывает следующая теорема:

Теорема 4. О-инвариантная ортогональная почти комплексная структура Т на римановом однородном пространстве М = О/Н является приводимой тогда, и только тогда, когда ортогональное дополнение алгебры Ли подгруппы изотропии Н содержит нетривиальное векторное подпространство инвариантное относительно действия структуры Т.

Доказательство. Существование для ортогональной приводимой почти комплексной структуры нетривиального векторного подпространства, инвариантного относительно действия этой структуры, следует из определения 1.

Пусть теперь Т - О-инвариантная ортогональная почти комплексная структура на М и V -нетривиальное подпространство в р, на котором Т действует инвариантно. Обозначим через V^ ортогональное дополнение подпространства V в р. Для любых X Є V и У Є V^ имеем:

g(X, ТУ) = g(ТX, Т о ТУ) = -g(ТX, У) = 0.

Т. е. ТУ Є V^ и подпространство V^ инвариантно относительно действия Т. Таким образом, определение 1 полностью выполнено и почти комплексная структура Т является приводимой.

4. Правильные и неправильные однородные пространства

Для описания связи между подпространствами, инвариантными относительно действия почти комплексной структуры и Айн-инвариантными подпространствами, необходимо ввести два специальных класса однородных пространств.

Определение 3. Однородное риманово пространство М = О/Н называется правильным, если для любого Айн-инвариантного неприводимого подпространства существует ортогональное ему Ав,н-инвариантное неприводимое подпространство той же размерности. И называется неправильным, если пространство р = ^ со-

держит хотя бы одно Айн-инвариантное неприводимое подпространство, для которого не существует ортогонального Айн-инвариантного неприводимого подпространства той же размерности. Неправильное однородное риманово про-

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия

странство называется строго неправильным, если все Айн-инвариантные неприводимые подпространства имеют разную размерность.

Из определения 3 следует, что не существует правильных однородных римановых пространств размерности < 3, и неправильных однородных римановых пространств размерности < 4.

Левоинвариантное поле линейных операторов Ф на группе Ли О называется изотропноприводимым, если любое нетривиальное инвариантное относительно действия Ф подпространство также является инвариантным относительно действия подгруппы изотропии, т. е. Айн -инвариантным. При этом не требуется обязательного существования для любого инвариантного относительно действия Ф подпространства дополнительного подпространства также инвариантного относительно действия Ф.

Теорема 5. Пусть М = О/Н - неправильное однородное пространство с Айн-инвариантной римановой метрикой. Причем, любое Айн -инвариантное подпространство в ортогональном дополнении р алгебры Ли подгруппы изотропии Н имеет четную размерность. Тогда любой левоинвариантный аффинор на группе О, сохраняющий разложение подпространства р в ортогональную сумму Айн-инвариантных неприводимых подпространств, определяет О-инвариантную приводимую почти комплексную структуру на М. Причем, Айн-инвариантные неприводимые подпространства являются инвариантными относительно действия этой почти комплексной структуры. Если, кроме того, М является строго неправильным однородным пространством, а аффинор является изотропно-приводимым, то инвариантные относительно действия почти комплексной структуры неприводимые подпространства совпадают с Айн-инвариантными неприводимыми подпространствами, и индекс приводимой почти комплексной структуры равен числу Айн-неприводимых подпространств.

Доказательство. Будем обозначать левоинвариантный ортогональный аффинор на группе О и соответствующую ему почти комплексную структуру на М одной буквой J. Пусть У - Айн -инвариантное неприводимое подпространство в р, для которого в р не существует ортогонального Айн-неприводимого подпространства той же размерности. Поскольку J сохраняет разложение р в ортогональную сумму Айн-неприводимых подпространств, то подпространство JУl либо лежит в ортогональном дополнении подпространства У1, либо совпадает с У1. Из условия ё1ш(7У!) = ё1ш(У_) получаем, что JVl может только совпадать с У1, т. е. является инвариантным относительно действия J. Обозначим через У2 ортогональное дополнение подпространства У1 в р. Ес-

ли У2 содержит Айн-неприводимое подпространство, для которого в У2 не существует ортогонального Айн-неприводимого подпространства, то повторяем предыдущие рассуждения. Если же для любого Айн неприводимого подпространства в V 2 найдется ортогональное Айн-неприводимое подпространство такой же размерности, то возможны два случая:

(1) все Айн-неприводимые подпространства являются инвариантными относительно действия J, и мы получаем разложение У2 в ортогональную сумму инвариантных относительно действия J (не обязательно неприводимых) подпространств;

(2) почти комплексная структура J попарно переставляет Айн-неприводимые подпространства одинаковой размерности, и У2 является неприводимым относительно действия J инвариантным подпространством.

В обоих случаях получаем, что подпространство У2 является инвариантным относительно действия J подпространством и почти комплексная структура J является приводимой индекса не меньше 2. Однако в любом из рассмотренных случаев может оказаться, что какое-либо из Айн-неприводимых подпространств раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно действия J неприводимых подпространств. В случае, когда М является строго неправильным, а почти комплексная структура J изотропно-приводимой, случай (2) не возможен и любое Айн-неприводимое подпространство является инвариантным относительно действия J. А существование разложения какого-либо из Айн-неприводимых подпространств в прямую сумму неприводимых относительно действия J подпространств противоречит Айн-неприводимости такого подпространства. Более того, из того, что структура J является изотропно-приводимой, следует, что любое неприводимое относительно действия J подпространство У, лежащее в Айя-неприводимом подпространстве Ш, может только совпадать с Ш. Таким образом, Айн -неприводимые и неприводимые относительно действия J подпространства совпадают.

Замечание. Из доказательства теоремы 5 видно, что на правильном римановом однородном пространстве, для которого все Айн-инвариантные подпространства имеют четную размерность, можно построить почти комплексную структуру, которая не является приводимой.

5. Построение ассоциированной метрики на симплектическом однородном пространстве

Пусть П - С-инвариантная симплектическая форма на однородном многообразии М размерности 2 п. По теореме Дарбу, на М можно выбрать С-

Вестник КемГУ № 3|1 2011 Риманова геометрия

инвариантный базис 1-форм 0і,..., $2п, в котором форма & принимает вид:

& = в\ л в2 + • • • + о2и-1 л о2п.

Пусть в1,...,в2п - базис расслоения ТМ дуальный этому базису 1-форм. Из теоремы 1 следует, что любая С-инвариантная приводимая почти комплексная структура максимального индекса п на М с инвариантными подпространствами {ви Є2},..., {еп, в2п в таком базисе имеет вид:

(А1 0 ... 0 \

0 А2 0 ..

= ^2(Ck (x2k-l - — x2k )2 - — Ak - bkx2k ) =

* j Гі Гі

2

k2

мулой в2k-l А в2k (X, Y) к = І, 2, ... ,n, и ; всех к, получаем:

k=l

Ck

Ck

E

k=l

ak 2 І 2

(Ck (x2k-l----------x2k) + x2k) — О.

Ck Ck

\0 ... 0 Ап)

где Ак - блок вида:

ак Ьк Ск йк

Из условия Ак = —1й находим, что йк = —ак, ак + +Ькск = —1. Из условия Ькск = —ак — 1 следует, что параметры Ьк и Ск не обращаются в 0 и имеют разные знаки при любых к. Будем считать, что для всех к, Ьк < 0,Ск > 0. Таким образом, множество всех С-инвариантных приводимых почти комплексных структур максимального индекса параметризуется областью в пространстве Сп образованной элементами вида:

•г = (аі + іЬі, ...,ап + іЬп), Ьк < 0

для всех к = 1, 2,... ,п. Это является обобщением параметризации П. Годушона для четырехмерного расслоения Хопфа из [2].

Пусть - С-инвариантная приводимая почти

комплексная структура индекса п. Тогда, из дуальности базисов и формул в2к-1 = ак в2к-1 + + ск в2к, в2к Ьк в2к-1 ак в2к , к 1, *2, . . . , п получаем: 02к-і = ак 02к-1 + Ьк 02к, Jz02к =

= Ск @2к-1 — ак &2к, к = 1, 2,... ,п. Используя эти равенства и условие а\ + Ькск = —1, получаем:

Таким образом, любая приводимая почти комплексная структура сохраняет симплектиче-скую форму П.

Обозначим через дг однопараметрическое семейство С-инвариантных невырожденных симметричных 2-форм на М, таких, что для любых Х,У є р,дг(Х,У) = 0,(Х,ЛхУ). Пользуясь фор-

X2k-ly2k - X2ky2k-l, к = І, 2,... ,n, и условием ak + = -bkCk - І для

gz (X, X = ^^XCk x‘2k-l - 2 ak x2k-lx2k - bk x2k ) = k=l

Таким образом, получаем однопараметрическое семейство G-инвариантных римановых метрик ассоциированных с симплектической формой О и однопараметрическим семейством приводимых почти комплексных структур Jz. Если множество допустимых значений параметра z содержит непустое подмножество £, такое, что для любого z Є £ приводимая почти комплексная структура Jz интегрируема, то множество пар (gz,Jz)\z Є £ образует семейство G-инвариантных кэлеровых структур на M. Множество £ может быть дискретным или состоять из нескольких связных компонент. Левоинвариантные ассоциированные метрики и кэлеровы структуры на группах Ли размерности 4 полностью описаны в [1].

Пусть Vz - связность Леви-Чивитты ассоциированной gz. Известно, что интегрируемость почти комплексной структуры J, сохраняющей замкнутую внешнюю 2-форму, эквивалентна условию VJ = О. Последнее Условие можно также записать в виде ||VJУ = О. Для приводимых почти комплексных структур Jz получаем, что множество £ есть множество нулей функции f (z) = ||Vz Jz У на Cn в пересечении с обла-

стью допустимых значений параметра z. Таким образом, задача поиска кэлеровых структур, ассоциированных с G-инвариантными приводимыми комплексными структурами максимального индекса на симплектическом однородном пространстве, сводится к поиску нулей функции f.

Литература

[1] Корнев, Е. С. Почти комплексные структуры и метрики на группах Ли размерности 4 | Е. С. Корнев. - Германия: Саарбрюкен: Lambert Academic Publishing, 2010. - 148 с.

[2] Годушон, П. Поверхности Хопфа - квази-комплексные многообразия размерности

4 | П. Годушон || доклад VII, в кн. "Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе 1978|79 г.” - Москва: Мир, 1985 - С. 120 - 138.

[3] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии в 2 т. | Ш. Кобаяси, К. Намидзу. -Москва: Наука, 1981.

О Jz = О .