CC BY
9
2018 Математика и механика № 53
УДК 514.76 М8С 53С15: 53С50; 53С30; 53С25; 53С38
Б01 10.17223/19988621/53/3
Н.К. Смоленцев
О ПОЧТИ (ПАРА) КОМПЛЕКСНЫХ СТРУКТУРАХ КЭЛИ НА СФЕРАХ 82'4 И 83,3
Изучаются почти комплексные и почти пара-комплексные структуры Кэли на шестимерных псевдоримановых сферах в пространстве чисто мнимых октав расщепляемой алгебры Кэли Са'. Показано, что структуры Кэли неин-тегрируемы, вычислены их основные геометрические характеристики. В отличие от обычной римановой сферы 86, на рассматриваемых псевдосферах существуют (интегрируемые) комплексные структуры пара-комплексные структуры.
Ключевые слова: алгебра Кэли, расщепляемая алгебра Кэли, группа 02, сплит-октонионы, векторное произведение, почти комплексная структура, почти пара-комплексная структура, шестимерные псевдоримановы сферы.
1. Введение
Почти комплексные структуры на обычной шестимерной сфере 86 изучаются давно и активно, (см., например, библиографию и исторический обзор по этой теме в статьях [1 и 2]). В 1958 г. ЬеБгцп показал, что ортогональные почти комплексные структуры 3 на 86 не интегрируемы, а в 1999 г. Бог и НегпаМе7-Lamoneda показали, что неинтегрируемыми будут почти комплексные структуры 3, ортогональные не только относительно стандартной метрики g0, но и для метрик, близких к стандартной. Однако вопрос о существовании на 86 интегрируемых почти комплексных структур не решен до сих пор. Среди ортогональных почти комплексных структур 3 на (86, g0) особое место занимает почти комплексная структура Кэли 30, которая получается при помощи векторного произведения в объемлющем пространстве Я7 чисто мнимых октав Кэли. Структура Кэли является инвариантной относительно действия компактной особой группы 02, при этом 86 = 02 / БП (3). В работе [3] для структуры Кэли 30 на 86 получены аналитические выражения фундаментальной формы и ее внешнего дифференциала через калибровки пространства Я7, найден тензор Нейенхейса через тройное векторное произведение и показано, что фундаментальная 2-форма ю является собственной для оператора Лапласа. Классификация инвариантных почти комплексных структур на однородных многообразиях размерности 6 с полупростой группой изотропии представлена в работе [4].
Как известно [5], существует расщепляемая алгебра Кэли Са', которая получается из кватернионов процедурой удвоения Кэли - Диксона с использованием «мнимого» числа е, такого, что е2 = +1. Алгебра Кэли Са' имеет псевдоевклидово скалярное произведение сигнатуры (4,4), определенное квадратичной формой | хх |2 = X) + X2 + х2 + хз - х4 - х5 - х6 - х7 . Группой автоморфизмов алгебры Са'
является некомпактная особая группа G*. Пространство чисто мнимых сплит-октонионов наследует квадратичную форму g сигнатуры (3,4) и является поэтому псевдоевклидовым пространством R3,4. Существуют два типа сфер в пространстве R3,4: действительного и мнимого радиуса. Псевдосфера S , действительного радиуса является однородным псевдоримановым многообразием S2,4 = G* / SU (1,2) сигнатуры (2,4). Псевдосфера S3,3(i) мнимого радиуса является однородным псевдоримановым многообразием S3,3 = G*/SZ(3,R) сигнатуры (3,3).
Умножение в алгебре Ca' определяет в пространстве R3,4 чисто мнимых октав векторное произведение, инвариантное относительно G*. Это позволяет определить на сфере S2,4 с R3,4 ортогональную почти комплексную структуру Кэли J через умножение касательных векторов на вектор нормали.
В данной работе показано, что такая структура не интегрируема и вычислен ее тензор Нейенхейса через тройное векторное произведение. Найдено выражение фундаментальной 2-формы ю почти эрмитовой структуры на S2,4 и показано, что 2-форма ю является собственной для оператора Лапласа. В отличие от обычной римановой сферы S6, на S2,4 существуют интегрируемые почти комплексные структуры.
На сфере S3,3(i) с R3,4 мнимого радиуса векторное произведение в R3,4 определяет почти пара-комплексную структуру P. Показано, что она не интегрируема, вычислен тензор Нейенхейса через тройное векторное произведение. Найдено выражение фундаментальной 2-формы ю на S3,3(i) и показано, что ю является собственной 2-формой оператора Лапласа. В отличие от обычной римановой сферы S6, на S3,3(i) существуют интегрируемые почти пара-комплексные структуры, которые легко строятся с использованием стереографической проекции.
2. Предварительные сведения 2.1. Алгебры Кэли
Пусть H - алгебра кватернионов w = x0 + x1 e1 + x2 e2+ x3 e3. Алгебра Ca чисел Кэли получается процедурой удвоения Кэли - Диксона. Для этого вводится еще одна мнимая единица e и образуются числа Кэли в виде x = a+be, где a и b - кватернионы. Умножение таких чисел определяется по формуле xy = (a + be)(c + de) = (ac - db) + (da + bC)e . Группой автоморфизмов алгебры Кэли Ca является простая особая компактная группа G2.
Известен другой вариант процедуры удвоения Кэли - Диксона. В этом случае дополнительная «единица» e обладает свойством e2 = +1. Тогда мы получаем так называемые сплит-октонионы (split-octonions) в виде x = a+be, где a и b - кватернионы. Умножение таких чисел определяется по формуле
xy = (a + be)(c + de) = (ac + db) + (da + bc)e .
В результате получается неассоциативная алгебра Ca', которая называется расщепляемой (split) алгеброй Кэли. В дальнейшем удобно ввести обозначения: e4 = e, e5 = e1e, e6 = e2e, e7 = e3e. Отметим, что ef = -1 при i = 1, 2, 3 и ef = +1 при j = 4, 5, 6, 7. Каждое сплит-число Кэли записывается в виде x = x0 + x1 ej + + x7 e7,
где ха е Я, а числа еь е2, ..., е7 - мнимые единицы. Имеют место следующие правила их перемножения (первый сомножитель в столбце слева, а второй - в строке сверху): _______
е1 е2 е3 е4 е5 е6 е7
е1 -1 е3 -е2 е5 -е4 -е7 е6
е2 -е3 -1 е1 е6 е7 -е4 е5
е3 е2 -е1 -1 е7 -е6 е5 -е4
е4 -е5 -е6 -е7 +1 -е1 -е2 -е3
е5 е4 -е7 е6 е1 +1 е3 -е2
е6 ет е4 е5 е2 -е3 +1 е1
е? -е6 е5 е4 е3 е2 - е1 +1
Напомним основные свойства алгебры Са', подробнее об этом см. [5]. Сопряжение сплит-октонионов задается обычным образом, х = х0 - х1е1 - ... - х7е7, и обладает свойством ху = ух. Алгебра Кэли Са' имеет квадратичную форму N(х) = хх = х1 + х2 + х2 + х2 - х42 - х] - х6 - х7 и соответствующее псевдоевклидово скалярное произведение (х, у) = (ху + ух )/2 сигнатуры (4,4). Поэтому алгебру
Са' мы будем часто рассматривать как псевдоевклидово пространство Я4,4. Алгебра Са' является композиционной [5], поскольку выполняется равенство Мху) = М(х) М(у).
Алгебра Са' неассоциативна, т.е. (уг/ху). Ассоциатором называется выражение [х,у,г] = (ху)? - ху). Расщепленная алгебра Са' является альтернативной, т.е. выполняются свойства
• (хх)у = х(ху), х(уу) = (ху)у, V ху е Са'.
Это название такие алгебры получили потому, что ассоциатор кососимметричен (альтернативен) по всем аргументам. В частности, свойство альтернативности записывается через ассоциатор следующим образом: [х,х,у] = 0, [х, у, у] = 0. Отметим еще ряд свойств алгебры Са':
• х(ух) = (ху)х;
• (хх)у = х(ху), х(уу) = (ху)у , т.е. [х, х,у] = 0 и [х, у, у] = 0;
• (хху)х = хх(ух) , т.е. [хх, у, х] = 0;
• ((ху)0у = хуу), (хух)2 = х(уУ)), (ху)(гх) = хУ)х.
2.2. Группа
Комплексная исключительная простая группа Ли G1 имеет две вещественных формы. Одна из них, компактная, обозначается символами 02с или 02 и хорошо известна [6]. Вторая, некомпактная, вещественная форма обозначается 02, ее описание можно найти в [7]. Эта группа 02 может быть определена как группа автоморфизмов расщепляемой алгебры Са'. Поэтому 02 с £0(4,3). Группу 02 можно также понимать, как стабилизатор векторного произведения на семимерном псевдоевклидовом пространстве V сигнатуры (3,4). Выберем в псевдоевклидовом пространстве Vбазис (еь е2, ... , е7), в котором квадратичная форма принимает вид g = -2(е1 • е5 + е2 • е6 + е3 • е7) - (е4)2. Тогда группа 02 является стабилизатором следующей 3-формы на V: 0.0 = \/2(е123 -е567) + е4 л(е15 + е26 + е37).
2.3. Векторное произведение
Векторным (r-местным) произведением на вещественном n-мерном векторном пространстве V с невырожденной билинейной формой (x,y) называется [8] полилинейное отображение P: V ^ V (1 < r < n), которое обладает свойствами
(P(xj,..., xr),xt) — 0, 1 < i < r и || P^,..., xr)||2 = det((xt,xy)).
Одноместные векторные произведения - это ортогональные комплексные структуры J на четномерном векторном пространстве V. Двухместное векторное произведение существует только в размерности 3 и 7. На семимерном векторном пространстве V они описываются следующим образом [8]. Пусть W - композиционная алгебра и V - ортогональное дополнение к единице e в алгебре W. Определим P: Vx V ^ V формулой P(x,y) = xy + (x,y)e. Тогда P является двухместным векторным произведением и, наоборот, каждое такое векторное произведение возникает таким образом. Если dim W = 8, мы получаем 2-местное векторное произведение на 7-мерном пространстве V. Билинейная форма, ассоциированная с таким векторным произведением, имеет сигнатуру (0, 7) или (4, 3). Группа автоморфизмов есть либо G2 (компактная форма), либо G2* (некомпактная форма). Любые два двуместных векторных произведения являются изоморфными.
Трехместные векторные произведения. Пусть V - композиционная алгебра и (x,y) - соответствующая билинейная форма. Определим PbP2:VxV ^ V формулами [8]:
P (x, y, z) — s(—x(yz)+ < x, y > z +< y, z > x-< z, x > y), P2 (x, y, z) = e(_(xy)z + < x, y > z +< y, z > x-< z, x > y),
где e = ±1. Тогда P\ и P2 представляют собой трехместные векторные произведения на V относительно билинейной формы e(x,y) и обратно каждое трехместное векторное произведение возникает таким образом.
Алгебра Кэли Ca' является композиционной с билинейной формой сигнатуры (4,4), поэтому на ней определены трехместные векторные произведения Pi и P2. Операция сопряжения определяет антиизоморфизм этих векторных произведений. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать на Ca' только второе векторное произведение P:
P(x, y, z) = -(xy)z + < x, y > z+ < y, z > x- < z, x > y.
Отметим, что если векторы x, y, z взаимно ортогональны, то
P(x, y, z) = -(xy)z .
2.4. Псевдосферы в пространстве R3,4
Рассмотрим семимерное пространство
R7
чисто мнимых элементов X = x1e1 + ... + x7e7 расщепляемой алгебры Ca'. Оно наследует квадратичную форму g сигнатуры (3,4) и является поэтому псевдоевклидовым пространством R3,4. В пространстве R3,4 можно определить два вида (псевдо)сфер:
2 + 2 + 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 = 2 x1 + x^ + x3 x^ x5 x6 x~j — r
2 + 2 + 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 — _ 2
xx*1 I x^2 I x^ xx^ — r .
Первая псевдосфера 82,4(г) имеет действительный радиус г > 0, она пересекает оси Oxь Ox2, Ox3. Касательные плоскости являются псевдоевклидовыми сигнатуры (2,4). Скалярные квадраты векторов нормалей к 82,4(г) положительны, а их квадраты в алгебре Кэли Са' - отрицательны. Группа G2 действует транзитивно и изометрично на 82,4(г), а ее группа изотропии совпадает с Би(1,2). Поэтому сфера 82,4(г) является однородным пространством: 82,4 = G* / Би(1,2). Отметим также,
что 82,4 = БО(3,4) / БО (2,4).
Вторая псевдосфера 83,3(/>) мнимого радиуса /г, она пересекает оси Ох4, ..., Ох7. Касательные плоскости являются псевдоевклидовыми сигнатуры (3,3). Скалярные квадраты векторов нормалей к 83,3(/>) отрицательны, а их квадраты в алгебре Кэли Са' - положительны. Группа G2 действует транзитивно и изометрично на 83,3(/>), а ее группа изотропии совпадает с ££(3,И). Поэтому сфера 83,3(/>) является однородным пространством: 83,3 = G* / ££(3,Я).
2.5. Почти пара - комплексные структуры
Почти пара-комплексной структурой на 2и-мерном многообразии М называется [9] поле Р эндоморфизмов касательного расслоения ТМ, таких, что Р2 = М и ранги собственных распределений Т±М : = кег(И + Р) равны. Почти пара-комплексная структура Р называется интегрируемой, если распределения Т±М ин-волютивны. В этом случае Р называется пара-комплексной структурой. Тензор Нейенхейса ЫР почти пара-комплексной структуры Р определяется равенством
ЖР(Х,7 ) = 2([Х,У ] + [РХ, РУ ] - Р[РХ,У ] - Р[Х, РУ ]) для всех векторных полей X, У на М. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура Р интегрируема тогда и только тогда, когда ЫР = 0. В работе [9] представлен обзор теории и подробно рассмотрены инвариантные пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры на группах Ли.
3. Векторное произведение в Я3'4 = 1т (Са')
Пусть Са' - расщепляемая алгебра Кэли. Как обычно, числа вида х = х0 будем называть действительными, а числа X = х1е1 + х2е2 + ... + Xе7 - чисто мнимыми. Будем записывать сплит-октонионы в виде суммы х = х0 + X. Пространство Я3,4 = 1т(Са') мнимых октав наследует из Са' скалярное произведение g(X,У) = (Х,У) сигнатуры (3,4). Пусть х = X, у = У - два чисто мнимых сплит-октониона. Определим векторное произведение элементов X, У е 1т(Са') как мнимую часть их произведения в алгебре Са':
XxУ = 1т(АУ).
Легко видеть, что
XxУ = XУ + g(X,Y).
Также легко видеть, что данное векторное произведение XxУ билинейно, косо-симметрично и ортогонально каждому их сомножителей. Умножение в алгебре Са' выражается через векторное произведение следующим образом: для х = х0 + X
и у = у0 + У имеем ху = (х0 у0 - ^У)) + х0У + y0X+XxУ. Для любых векторов X, У е 1т(Са') имеет место следующее равенство:
Xx(XxУ) = - g(XX)Y + g(X,У)X.
В частности, если n - вектор единичной длины, то для любого Y е R3,4 выполняется равенство
nx(nxY) = -Y + g(n,Y)n. Смешанное произведение определяется равенством (XYZ) = g(X,YxZ) = = g(XxY,Z) и представляет собой кососимметричную 3-форму О на R3,4,
Q(X,Y,Z) = g(XxY,Z). В обозначениях „pqr = dxpAdxq лdxr 3-форма О имеет следующее выражение:
О _ „123 „145 + „167 „246 „257 „347 + „ 356 О_„ —„ +„ —„ —„ —„ +„ .
Поскольку на
R3,4
имеется псевдориманова метрика и соответствующая форма объема ц _ -J| det(g) |dx: л••• лdx1 _„1234567 , то определен оператора Ходжа * : Лk (R3,4) ^Л7—k (R3 4). Поэтому на пространстве R3,4 = Im (Ca') определена внешняя 4-форма Т = *О,
щ _ „4567 „2367 +„2345 „1357 „1346 „1256 +„1247 Т_„ —„ +„ —„ —„ —„ +„ .
Очевидно, что О = *Т. Вычисляя значения Т на векторах базиса e1, ..., e7, легко видеть, что имеет место следующее выражение на векторах X,Y,Z,W е R3,4:
T(X, Y,Z, W) = g(X,(YxZ)x W) = -g(X,Yx(Zx W)).
Лемма 1. На пространстве R3,4 = Im(Ca') мнимых октав ассоциатор [X,Y,Z] может быть выражен следующей формулой:
[X,Y,Z] = 2(XxY)xZ + 2g(Y,Z)X - 2g(ZX)Y.
Доказательство. Используя кососимметричность 3-формы О и ассоциатора
[X,Y,Z], а также формулу XY = XxY- g(X,Y), получаем
[X,Y,Z] = (XY)Z -X(YZ) = (XxY)xZ -Xx(YxZ) - g(XxY, Z) +g(X,YxZ) -- g(X,Y)Z + g(Y,Z)X = = (XxY)xZ -Xx(YxZ) - g(X,Y)Z + Xg(Y,Z). Теперь используем это выражение в следующей сумме и получаем необходимую формулу:
[X,Y,Z] = [X,Y,Z] + [ZXY + [X,Z,Y] = 2(XxY)xZ + 2g(Y,Z)X - 2g(ZX)Y.
Следствие. Имеет место следующая формула:
(XxY)xZ - g(X,Z)Y + g(Y,Z)X = - Xx(YxZ) + g(X,Z)Y - g(X,Y)Z.
Доказательство. Следует из равенства [X,Y,Z] = -[Z,YX]. Нам потребуются также свойства векторного произведения, которые сразу следуют из предыдущего равенства:
• Если n,Y,Z е R3,4 и если Y,Z L n, то
(nxY)xZ = - nx(YxZ) - g(Y,Z)n.
• Если n - вектор единичной длины, то для любых Y,Z е R3,4
nx(nxZ) = —Z + g(n,Z)n, g(nxY, nxZ) = g(Y,Z) - g(Y, n) g(Z, n).
• Если же g(n,n) = -1, то для любых Y,Z е R3,4
nx(nxZ) = Z + g(n,Z)n, g(nxY, nxZ) = -g(Y,Z) - g(Y, n) g(Z, n).
4. Почти комплексная структура на 82'4(г)
Рассмотрим сферу 82,4 = 82,4(1) единичного радиуса в пространстве Я3,4 = 1т(Са') мнимых сплит-октав Кэли. Касательные плоскости Тх82,4 к сфере являются псевдоевклидовыми сигнатуры (2,4). Скалярные квадраты векторов нормалей п(х) = х к сфере 82,4 положительны. Рассмотрим векторное умножение касательных векторов У е Тх82,4 на вектор нормали п(х) = х. Легко видеть, что эта операция переводит касательное пространство в себя: если У еТх82,4, т.е., g(У,n) = 0, то
g(nxУ,n) = 0, т.е. nxУ еТх82,4. Из свойства векторного произведения следует
^(^У) = -д(п,п)У +g(n,Y)n = -У. Это означает, что оператор Jx(У) = ^У левого умножения касательных векторов в точке хе 82,4 на вектор нормали п(х) = х к сфере 82,4 определяет на Тх82'4 комплексную структуру. Поскольку такая операция определена в каждой точке хе 82,4, то мы получаем, что единичная сфера 82,4 имеет естественную почти комплексную структуру J, которую мы будем называть структурой Кэли:
Jx: Тх 82,4 ^ Тх 82,4, Jx(У) = n(x)xУ. Из равенства g(nxX, nxУ) = g(X,Y) - g(X,n)g(У,n) сразу следует ее ортогональность.
Пусть ю^У) = g(JX,У) - фундаментальная 2-форма, соответствующая J. Поскольку g(XxУ,Z) = Q(X,У,Z), то легко видеть, что
ю^У) = g(nxX,У) = Q(n!X,Y) = 0(Х,У,п) = g(XxУ,n) = g(n,XxY).
Лемма 2. Форма О при ее ограничении на сферу обладает свойством О(JX,У,Z) = П^У,^ = О^У^).
Доказательство. Используем формулу (nxУ)xZ = - nx(УxZ) - g(У,Z)n и равенство g(X, УxZ) = g(Xx У,Z):
О(Z, JXУ) = g(Z, JXxУ) = g(Z, (nxX)xУ) = g(Z, -nx(XxY) - g(X,Y)n) = g(Z, -nx(XxУ)) = - g(Zxn, XxY) = g(nxZ, XxY) = g(JZ, XxY) = О(JZ,X,Y).
Лемма 3. Для любых X,Y,Z еТх 82,4 имеет место равенство
^^.У,?) = -О(JX,У,Z), где ^ - внутреннее произведение с вектором нормали п(х).
Доказательство. inT(X,У,Z) = ^(п, Xx(УxZ)) = - g(nxX,УxZ) = -О(JX,У,Z).
Пусть еь ..., е6 - ортонормированный базис пространства Тх 82,4, в котором е1 и е2 являются пространственноподобными, а остальные - времениподобны. Тогда е0 = п(х), е1, ... , е6 - ортонормированный базис пространства Я3'4 = Ях ©Тх 82,4. Пусть ц = е0 л е1 л ... л е6 - элемент объема Я3'4 и ц3 = е1 л ... л е6 - элемент объема сферы 82,4 (в точке х). Очевидно, ц3 = ^ц, где ^ - внутреннее произведение с вектором нормали п(х). Пусть *3 и - операторы Ходжа на сфере и на Я3,4 соответственно. Символом 0|3 будем обозначать ограничение дифференциальной формы 0 в я3,4 на подмногообразие 8 , , а символом 0|и - нормальную компоненту формы 0 вдоль 82,4, то есть, 6| = п л 6.
Лемма 4. Пусть 0 - к-форма на я3,4 и 0|3 - ее ограничение на касательное пространство Тх 82,4 с Я3,4. Тогда для операторов Ходжа *3 и % на сфере и на Я3,4 соответственно выполняются равенства
*я0 = (-1)^*30, *8(0|8) = (-1)к4(*ц0).
Доказательство. Форму 9 можно записать в виде 9=9|5 + п л0, где 0 -форма степени *-1, которая выражается через е1, ... , е6. Очевидно, что in(*R(п л0)) = 0. Поэтому достаточно доказать лемму для 9 = 9|3. Для любой *-формы V на 82,4 имеем V л*89 = g(v, 9)цэ Из этого равенства, с учетом того, что ц = плц8, получаем nлv л*89 = g(v,9)nлцS = g(v,9)ц или, что то же самое, (—1)*\'лпл*з9 = g(v,9)ц = vл*R9. Последнее равенство верно не только для форм V на Tx 82,4, но и для любых *-форм V = VI5 + п л^у на Я7. На второй компоненте
п л^ обе части равенства обращаются в нуль. Поэтому мы получаем равенство (—1)*пл* §9 = %9. Применяя внутреннее произведение Iп к обеим частям последнего равенства, получаем утверждение леммы.
Теорема 1. Фундаментальная форма ю почти комплексной структуры Кэли J на 82,4 и ее внешний дифференциал dю обладают свойствами:
(1) ю = 1*пО, dю = 3О|8,
(2) *§ю = Т|8, ^ю = -34Т,
(3) dю(X,Y,Z) = 3inT(JX,Y,Z),
(4) dю(JX,Y,Z) = dю(X,JY,Z) = dю(X,Y,JZ),
(5) dю (Х^^ = -dю (X, Y,Z),
(6) юлdю = 0.
Доказательство. Первое равенство вытекает из определения ю и О: inQ(X,Y) = g(n,XxY) = ю(X,Y) для любых X,Y, касательных к сфере. Во втором равенстве мы считаем, что векторное поле п(х) = x определено на всем Я7. Тогда, поскольку 3-форма О с постоянными коэффициентами в Я7, является замкнутой, поэтому dinО = LnО = 3О, где Ln = d■in + Ьп^ - производная Ли вдоль векторного поля п(х) = x на Я7. Следовательно, dю = dinО = LnО = 3О. Вторая пара равенств получается из лемм 2 и 3 и из первых свойств, *3ю = *3(4О)|3 = 4*к(гпО). Подробнее, пусть еп - оператор внешнего умножения на 1-форму, дуальную векторному полю п(х) = x. Как известно, на *-формах V операторы 4 и еп связаны соотношением = (-1)%еп. Поэтому
*эю = ^*к0пО) = *кеп(г'пО) = *к(О|и) =
Далее, *Sdю = 3*3О|8 = -34*аО = Равенство (3) вытекает из (1) и из леммы 2.
Свойства (4), (5) следуют из (1) и леммы 1. Последнее равенство следует из (1) и из 4 (ОлО) = 0.
Замечание. Фундаментальная 2-форма ю на 82,4 является козамкнутой 5ю = 0. Действительно, 4-форма Т на Я7 имеет постоянные коэффициенты, поэтому
= 0. Хорошо известно, что на *-формах кодифференциал 5 имеет выражение: 5 = (-1)* = (-1)*п+п+1+п *d*, где п - число «минусов» метрического тензора g. В нашем случае п = 4 и п = 6. Следовательно, 5 = -*d*. Поэтому
5ю = ^*ю = -*d (Т|8) = Т)|8 = 0.
В работе [10] Хитчин определил понятие невырожденности (стабильности) для 3-форм Ф на шестимерном вещественном векторном пространстве V и построил для 3-формы Ф линейный оператор КФ, квадрат которого пропорционален тождественному оператору: КФ2 = Х(Ф)М Если Х(Ф) < 0, то КФ определяет на V комплексную структуру, а если Х(Ф)>0, то пара-комплексную структуру. Пусть ц
- форма объема на V. Оператор Кф определяется следующей формулой: 1кф(x)Ц=^xфлф .
Для фундаментальной формы ю почти комплексной структуры Кэли на 82,4 3-форма dю имеет вид ёю = 3О|8, где О=ю123 -ю145 +ю167 -ю246 -ю257 -ю347 +ю356. Найдем оператор Хитчина [5] Кёю для 3-формы ёю на сфере 82,4. Рассмотрим сначала точку х = е1 е 82,4. Касательное пространство Тх82,4 имеет ортонормирован-ный базис векторов е2, ..., е7 и форму объема ц = ю234567 . 2-форма ёю на Тх82,4 имеет вид
ёюх = 3(-ю246 -ю257 -ю347 +ю35 6).
2-форма ёюх является инвариантной при действии на Тх82,4 подгруппы изотропии ОД1,2) с 02.
Поэтому достаточно вычислить Кёю на одном векторе, например Кёю(е2):
1^ёюх лёюх = 9(-ю46-ю57)(-ю246 -ю257 -ю347 +ю356) =
=29(ю46 лю257 +ю57 лю246) = -18ю24567 = 18гезю234567 = 18^ц.
Поэтому Кёю(е2) = 18е3 = 18е1хе2 = 13(е2). Отсюда следует, что 1ёю = 3х. Из инвариантности почти комплексной структуры Кэли 3 и формы О относительно группы 02 , действующей транзитивно на 82,4, мы получаем, что равенство 1ёю = 3х имеет место во всех точках псевдосферы 82,4.
Вывод. 3-форма ёю на 82,4 является всюду невырожденной и определяет почти комплексную структуру 1ёю на 82,4, которая совпадает с почти комплексной структурой Кэли 3.
Вычислим тензор Нейенхейса ЩХ,У) = 2([3Х,3У] - [Х,У] - 3[3Х,У] - ДХЛ]) почти комплексной структуры 3 [11]. Для этого найдем ковариантную производную тензора 3. Поскольку п(х) = х, то для любого касательного вектора X е Тх 82,4 имеем Бпх(Х) = X. Будем считать, что касательные векторы Х,У е Тх 82,4 продолжены на пространство Я7 как постоянные векторные поля и п(х) = х также определено на Я7\{0}. Тогда имеют место равенства (УЗ) 7 = prx(DX(3Y)) = = prx(DX(nхY)) = рт^х^, где рг - ортогональная в Я3,4 проекция на касательное пространство Тх 82,4, рГу^Т.) = 1 - g(Z,n)n. Получаем
(7) (УЗ) У = XX 7 - g(n, XхY)n = XхY - ю^ГП.
Замечание. Из полученного выражения У3 сразу вытекает кососимметричность оператора У3 и, в частности, свойство Vx(3)X = 0 приближенной псевдокэ-леровости многообразия 82,4 и равенство V33 = -ЗУ3.
Теорема 2. Тензор Нейенхейса Ы^У) почти комплексной структуры Кэли 3 на 82,4 имеет вид
N{XJ) = -8nх(XхY).
Доказательство. В книге [11] приведена формула
4g((VZ3X,Y) = ваФ!^^ ^Ф^^ g(N(X,Y),3Z), где Ф(X,Y) = g(X,3Y) - фундаментальная форма. В нашем случае фундаментальная форма ю^Т) = g(3X,Y) = -Ф^Т). Кроме того, в [6] берется другое определение внешнего умножения. Поэтому формула для внешнего дифференциала тоже меняется. Внешний дифференциал й в [11] берется с коэффициентом 1/3: йю = ёю/3. Учитывая это, имеем в нашем случае 4g((VZ3X,Y) = -2dю(Z,3X,3Y) + 2dю(ZX,Y)+ g(N(X,Y),3Z), поэтому g(N(X,Y),3Z) = 4g((УZ3)X,Y) + 2dю(Z,3X,3Y) - 2dю(ZX,Y). Тогда, учитывая, что dю(X,Y,Z) = 3g(X,YхZ), имеем
g(N(X,Y),JZ) = 4g((VZJ)X,Y) + 2dю(Z,JX,JY) - 2dю(ZX,Y) = = 4g(ZxX- 2ю(Х,Х)и,Т) - 2dю(X,Y,Z) - 2dю(ZX,Y) = = 4g(ZxX,Y) -12g(X,YxZ) = 4^, ХхТ) - 12g(XxY,Z) = = -8g(nx(XxY), ихХ) = -8g(nx(XxY), JZ).
Теорема 3. Фундаментальная 2-форма ю почти комплексной структуры Кэли на 82'4 является собственной для оператора Лапласа: Дю = 12ю.
Доказательство. Лапласиан, действующий на дифференциальных формах, определяется формулой Д = d5 + 5d, где 5 - кодифференциал. Хорошо известно, что на ^-формах кодифференциал 5 имеет выражение 5 = (-1)* *лd* = = (_1)ь+я+1+п *d*, где п - число «минусов» метрического тензора g. В нашем случае п = 4 и п = 6. Следовательно, 5 = -*d*. Для формы ю известно, что 5ю = 0. Поэтому достаточно вычислить 5dю. Будем обозначать внешний дифференциал в пространстве Я7 с индексом dR. Используем свойство *э(0|з) = (-1)*'п(*к0), установленное в лемме 4, и результаты теоремы 1:
5dю = - = -3*^*8(^| 8) = -3(-1)3*Sd(iя*RQ) =
= 3*3№„(т = 3*^пТ)|8 = 12*з№ = 12^*цТ = 12 1пП = 12ю. В этих вычислениях мы использовали производную Ли Ьп = d ••п + Ьп <1 вдоль векторного поля п(х) = х на Я7\{0}. 4-форма Т с постоянными коэффициентами в Я7 является замкнутой, поэтому dinТ = ЬпТ. Кроме того, поле п(х) = х задает растяжение Я7\{0}, следовательно, для 4-формы Т с постоянными коэффициентами выполняется равенство ЬпТ = 4Т. Теорема доказана.
Комплексная структура на 82'4(г). В этом пункте мы покажем, что на псевдосфере 82,4 существуют интегрируемые комплексные структуры. Рассмотрим стереографическую проекцию 8 , из точки начала координат Я7 на часть цилиндра 8^.04, где 82 - стандартная единичная сфера в пространстве Я3 с координатами (хь х2, х3) и Б4 - единичный шар в пространстве Я4 с координатами (х4, х5, х6, х7), х4 + х2 + хб2 + х^ < 1. Прямая, проходящая через начало координат и точку х = (хь х2, ..., х7) псевдосферы х12 + х^ + х2 - х^ - х^ - х<? - х^ = 1, пресекает цилиндр в точке у с координатами
У- = . х , I = 1,2,...,7.
2 2 2 + х2 + х3
Ясно, что первые переменные (уь у2, у3) описывают двумерную сферу 82 в Я3. Остальные координаты меняются в единичном шаре Б4 в пространстве Я4. Действи-
ОООО о
тельно, пусть г = х1 + х2 + х3 . На псевдосфере г > 1. Тогда из уравнения псевдосферы следует, что
х4 +2 х +2 х2 +2 х2 = 1 - 2 1 2 , «ли 0 < у42 + у2 + Уб2 + У72 = 1 - -2 < 1 .
х^ + х2 + х3 х^ + х2 + х3 Г
Через каждую точку (у4, у5, у6, у7)еБ4, при фиксированной точке у, у2, у3) е 82, проходит единственная прямая, пересекающая псевдосферу в точке х1 = г • у,
I = 1,2, ...,7, при г = 1/^1-у42 - у2 - уб2 - у2 и, наоборот, каждая прямая, прохо-
82 4 гл4
, пересекает шар Б при определенных (уь у2, у3) е 82.
Рис. 1. Стереографическая проекция Fig. 1. Stereographic projection
Поскольку прямое произведение 82хВ4 допускает комплексные структуры, то диффеоморфизм стереографической проекции / 82,4 ^ 82хВ4 позволяет перенести
2 4 2,4 2 4
комплексные структуры с 8 хВ на сферу 8 , . Отметим, что по построению 8 хВ является псевдоримановым сигнатуры (2,4).
5. Почти пара-комплексная структура на 83'3(1)
Результаты этой части аналогичны тем, что были получены для сферы 82,4, однако имеются и некоторые отличия.
Рассмотрим сферу 83,3 = 83,3(/') чисто мнимого единичного радиуса в пространстве Я3,4 = 1т(Са') мнимых сплит-октав Кэли. Касательные плоскости к сфере Тх83,3, V хе 8 , , являются псевдоевклидовыми сигнатуры (3,3). Скалярные квадраты векторов нормалей п(х) = х к сфере 83,3 отрицательны, g(n,n) = -1.
Векторное умножение касательных векторов Y еТх83,3 на вектор нормали п(х) = х переводит касательное пространство в себя: если Y е Тх83,3, то есть, g(Y,n) = 0, то
g(nхY,n) = 0, т.е. nхY еТх83,3. Из свойства векторного произведения следует, что
nх(nхY) = ^(пп^ +g(n,Y)n = Г Это означает, что (Рх)2 = М. Оператор Рк^ = п^ кососимметричен, g(nхX,Y) = = ^(^пх^, но не ортогонален: g(PxX,PxY) = g(nхX,nхY) = -g(X,У), VX,YеTxS3,3. Оператор Рх пространственноподобные векторы переводит во времениподобные векторы. Собственные подпространства оператора Рх являются трехмерными изотропными подпространствами, касательными к 83,3. Поэтому оператор Px(У) = nхY умножения касательных векторов на вектор нормали п(х) = х к сфере 83,3 определяет на Тх83'3 пара-комплексную структуру. Такая операция определена в каждой точке хе 83,3, следовательно, мы получаем, что единичная псевдорима-нова сфера 83,3 имеет естественную почти пара-комплексную структуру Р, которую мы будем называть почти пара-комплексной структурой Кэли:
Рх: Тх 83,3 ^ Тх 83,3, Р^) = п^^ , Vxе 83,3, V Y е Тх83,3.
Пусть ю(X,У) = g(PX,Y) - фундаментальная 2-форма, соответствующая Р, и пусть О(XУ,Z) = g(XхУ,Z). Тогда легко видеть, что
ю^У) = g(nхX,Y) = 0(п,Х,У) = О(X,Y,n) = g(Xх у,п) = g(n,XхУ). Напомним, что на пространстве Я3,4 = 1т (Са') определена внешняя 4-форма Т = *о.
Пусть *3 и *а - операторы Ходжа на сфере и на Я3,4 соответственно. Символом 0|3 будем обозначать ограничение дифференциальной формы 0 в Я3,4 на подмногообразие 83,3, а символом 0|п - нормальную компоненту формы 0 вдоль 83,3, то есть, 6| = п л 6.
Для почти пара-комплексной структуры Кэли совершенно аналогично доказываются все результаты, установленные в разделе 3.2 для почти комплексных структур Кэли:
1. Форма О при ее ограничении на сферу обладает свойством
О^У,? = О^РУ,?) = О^УР?).
2. Для любыхXУ,Z е Тх83,3 имеет место равенство
inx¥(XУ,Z) = -П^У?).
3. Пусть 0 - к-форма на Я3,4 и 0|д - ее ограничение на касательное пространство Тх 83,3 с Я3,4. Тогда
**0 = (-1)^*30, *8(0|8) = (-1)к4(%0).
4. Фундаментальная форма ю почти пара-комплексной структуры Кэли Р на 83,3 и ее внешний дифференциал ёю обладают свойствами:
ю = inО, ёю = 3О|3, *3ю = Т|3, *3ёю = юлёю = 0,
dю(X,Y,Z) = 3inТ(PX,Y,Z), dю(X,Y,Z) = 3g(X,YхZ), dю(PX,Y,Z) = dю(X, РУ,? = ё^^У, Р?), dю(X,PY,PZ) = -й^у?).
Для фундаментальной формы ю почти пара-комплексной структуры Кэли на 83,3 3-форма ёю имеет вид ёю = 3О|3, где О = ю123-ю145 +ю167-ю246 -ю257 --ю347 +ю356. Найдем оператор Хитчина [10] Кёю для сферы 83,3. Рассмотрим сначала точку х = е4 е 83,3. Касательное пространство Тх83,3 имеет ортонормирован-ный базис и форму объема ц = ю123567. 2-форма ёю на Тх83,3 имеет вид
ёюх = 3(ю123 +ю167 -ю257 +ю356).
Вследствие инвариантности формы ёюх относительно подгруппы изотропии 5Х(3,Я) с 02, действующей на Тх83,3, достаточно вычислить Кёю на одном векторе, например Кю^):
\еёюх л й юх = 9(ю23 +ю67)(ю123 +ю167-ю257 +ю35 6) =
=19(ю12367 +ю12367) = 18ю12367 = -18цю123567 = -18цц .
Поэтому Кёю(е1) = -18е5 = 18е4хе1 = 18Р(е1). Отсюда следует, что 1Йю = Рх. Из инвариантности почти пара-комплексной структуры Кэли Р и формы О относительно группы 02, действующей транзитивно на 83,3, получаем, что равенство 1Йю = Рх имеет место во всех точках псевдосферы 83,3.
Вывод. 3-форма ёю на 83,3 является всюду невырожденной и определяет почти пара-комплексную структуру 1Йю на 83,3, которая совпадает с почти пара-комплексной структурой Кэли Р.
Вычислим тензор Нейенхейса [9] почти пара-комплексной структуры P:
^^ ) = 2(1^7] + [PX,PY] _ P[PX,Y] _ P[X,PY]).
Для этого найдем ковариантную производную тензора P. Поскольку п(х) = х, то для любого касательного вектора X е Тх83'3 имеем Dnx(X) = X. Будем считать, что касательные векторы X,Y е Тх 83,3 продолжены на пространство Я7 как постоянные векторные поля и п(х) = х также определено на Я7\{0}.
Тогда имеют место равенства (VXP)Y = prx(DX(PY)) = prx(DX{nxY)) = prx(XxУ), где ргх(Х = Z+g(Z,n)n - ортогональная в Я3'4 проекция на касательное пространство Тх83,3, здесь мы учитываем, что g(n,n) = -1. Получаем
^^ = XxY + g(nXxY)n = XxY + ю(X,У)n.
Замечание. Из полученного выражения VXP сразу вытекает кососимметричность оператора VXP и, в частности, свойство VX(P)X = 0 приближенной пара-кэлеровости многообразия 83,3 и равенство VPXP = -PVXP.
Теорема 4. Тензор Нейенхейса NP(X,Y) почти пара-комплексной структуры Кэли P на 83,3 имеет вид
NP(X,Y) = -8nx(XxУ).
Доказательство. Прямое вычисление с использованием формулы (VXP)Y = XxY + ю(X,Y)n и равенства (nxX)xY = - nx(XxУ) - g(X,У)n дляX,Y 1 п: NP(X,У)/2 = [^Г] + [PX,PУ] _ P[PX,У] _ P[X,PУ] = = Vx(Y) - VY(X) +Vpx(PУ) - VpY(PX) - PVpx(У) + PVY(PX) - PVX(PY) + PVpY(X) =
= Vpx(P)Y - VpY(P)X + PVY(P)X - PVx(P)Y = = (PX)xY +ю(PX,Y)n -((PY)xX +ю(PYXn) +P(YxX +ю(YX)n) -P(XxY +ю(X,У)n) = = (nxX)xY- (nxY)xX + nx{YxX) - nx(XxY) = -4 nx(XxУ)
Теорема 5. Фундаментальная 2-форма ю почти пара-комплексной структуры Кэли на 83,3 является собственной для оператора Лапласа: Дю = -12ю.
Доказательство. Полностью повторяет доказательство теоремы 3 с одним отличием: 5 = +*d*. Действительно, на *-формах кодифференциал 5 имеет выражение 5 = (-1)* *~ld* = (-1)*п+п+1+п *d*, где п - число «минусов» метрического тензора g. В нашем случае п = 3 и п = 6. Следовательно, 5 = +*d*.
Пара-комплексная структура на 83'3(/). На псевдосфере 83,3 существуют интегрируемые пара-комплексные структуры. Это следует из того, что 83,3 диффео-морфно прямому произведению трехмерных многообразий. Рассмотрим стереографическую проекцию 83,3 из точки начала координат Я7 на часть цилиндра D3xS3, где 83 - стандартная единичная сфера в пространстве Я4 с координатами (х4, х5, х6, х7) и Д3 - единичный шар в пространстве Я3 с координатами (хь х2, х3), х12 + х^ + х^ < 1. Прямая, проходящая через начало координат и точку х = (хь
2 2 2 2 2 2 2 х2, ..., х7) псевдосферы -х1 - х2 - х3 + х4 + х5 + х6 + х7 = 1, пресекает цилиндр
D3xS3 в точке у с координатами
у- = ■ х , I = 1,2,.,7.
2,2,2,2 "V х^ + х5 + х6 + ху
Ясно, что последние переменные (у4, у5, у6, у7) описывают трехмерную сферу 83. Остальные координаты меняются в единичном шаре Д3 в пространстве Я3. Дейст-
0 0 0 0 0 о
вительно, пусть р = х4 + х5 + х6 + х7 . На псевдосфере р > 1. Тогда из уравнения псевдосферы следует, что
х1 + х0 + х^ 1 о о о 1
' 2 3 , = 1 —------- или 0 < у,2 + у22 + у2 = 1 —- < 1.
2222 2222 1 2 2 х^ + х5 + х6 + х^ + х5 + х6 + х~7 р
Через каждую точку (уь у2, у3)еД3, при фиксированной точке (у4, у5, у6, у7)е 83, проходит единственная прямая, пересекающая псевдосферу в точке
х1 = р• у1,1 = 1,2,...,7при р = 1/\Д-у2 -у22 -у32 и, наоборот, каждая прямая, проходящая через начало координат и точку хе 83,3, пересекает шар Д3 при определенных (уь у2, у3).
Поскольку прямое произведение D3xS3 естественно допускает пара-комплексные структуры, то диффеоморфизм стереографической проекции / 83,3 ^ Д3x83 позволяет перенести пара-комплексные структуры с прямого произведения трехмерных многообразий D3xS3 на сферу 83,3. Отметим, что по построению, D3xS3 является псевдоримановым сигнатуры (3,3).
6. Почти комплексная и почти пара-комплексная структуры на алгебре Кэли
Пространство Я7 = Я3,4 чисто мнимых чисел X = х\в\ + х2е2 + ... + х1в1 разбива-
2 2 2 2 2 ется конусом N0 (X) = х1 + х2 + х3 - х4-----х7 = 0 на два открытых множества
Я7+ и Я7- элементов, для которых N0(X) > 0 и N0(X) < 0 соответственно. Рассмотрим прямые произведения этих множеств с вещественной прямой Я алгебры Кэли:
Я8+ = Я0 X Я + и Я8- = Я0 X Я7-. В данном разделе мы определим неинтегрируемую почти комплексную структуру на открытом множестве Я8+ и неинтегрируемую пара-комплексную структуру на Я8-.
Почти комплексная структура Кэли. Рассмотрим пространство Я8+ = Я0 х Я7+ и определим на нем неинтегрируемую почти комплексную структуру На пространстве Я0 определено единичное векторное поле пх = е0 = 1. Определим единичное векторное поле п2(и) на Я8+ формулой п2(и) = и/|| и ||, где
II и > 0, и = и0+ие Я8+ = Я0 х Я7+. Отметим, что <п2, п2> = 1, а п2п2 = -1.
Определим оператор Я8 ^ Я8 в точке и = и0+и еЯ0 х Я + формулой
,(у) = п2(и) • у = ц-Ццу .
Поскольку п2п2 = -1, то , 2 = -М и получаем почти комплексную структуру в точке и = и0+и е Я8+.
Фундаментальная форма ю^Г) = g(JX,Y), соответствующая ,, легко вычисляется с учетом свойства п2 x Y = n2Y + < п2, Y > :
ю( у, г) = , (у), г) = (п2 у, г) = (п2 (у0 + Y), ¿0 + Х) =
= у0 {n2, г0 + + (п2 Y, г0 + = у0 (п2 , 4 + (п2 x Y, - (п2 , =
= п* лп*(у, г) + (п2 x Y,Х}.
Также легко вычисляется производная Вх(1) тензорного поля 3 в направлении вектора х = х0 +X е Я8+. Поскольку пространство Я8+ является открытым подмножеством в Я8, то можно считать векторы х,у с параллельными векторными полями на Я8+ и тогда Бх(3)(у) = Бх(щ)у .
Векторное поле п2(и) не зависит от переменной и0, поэтому его производная в направлении вектора х = е0 равна нулю. Поэтому достаточно вычислить Бх(п2) только в направлении вектора х = Xе Я7+. Эта производная находится простым дифференцированием единичного векторного поля п2(и). Если и = и0+и е то п2(и) = и /1| и ||. Поэтому из формулы Бх(3)(у) = Бх(п2)у получаем следующее выражение для производной почти комплексной структуры Кэли 3 на Я8+ в точке и = и0+и в направлении вектора х = х0 +Х
Бх (3)у = (dxn2)у = —(X - <X, п2 (и))п2 (и)) • у.
Используя это выражение, можно легко вычислить (так же, как и в теореме 4) тензор Нейенхейса Х(х,у) для векторов х,у, ортогональных п2(и). Вычислим внешний дифференциал 2-формы ю в точке и = и0+и с использованием полученной формулы для Бх (3):
ё ю( х, у, г) = хю( у, 2) + ую( г, х) + гю( х, у) = (Бх (3) у, ^ + ^ Бу (3) г, х^ + ( Бг (3) х, у) = = цциц (3( X х У, ?)-(X, п2(и)) ю(У, ?) - (У, п2(и )) ю( ?, X)-( ?, п2(и)) ю( X, У) ) =
= —(3О(X,У,?) -(п* лю)(X,У,?)). Почти пара-комплексная структура Кэли. Рассмотрим пространство
Я8-
= Яо х Я7- и определим неинтегрируемую почти пара-комплексную структуру Р. На прямой Я0 определено единичное векторное поле п1 = е0 = 1. Определим единичное векторное поле п2(и) на Я8- формулой п2(и) = и/|| и ||, где
|| и ||^-М0(и) > 0, и = и0+ие Я8- = Я0 х И7". Отметим, что <п2, п2> = -1 и п2п2 = +1. Определим оператор Р: Я8 ^ Я8 в точке и = и0+и еЯ0 х
Я7- такой же
формулой
р(y) = п2(и)• y = y .
Легко видеть, что Р2 = Id. Поэтому мы получаем неинтегрируемую почти пара-комплексную структуру на R8-. Совершенно аналогично вычисляются Dx(P), фундаментальная форма ю(Х,У) = g(PX,Y), соответствующая Р, и ее внешний дифференциал в точке u = u0+U. Они имеют точно такой же вид, как и в случае почти комплексной структуры на R8+.
ЛИТЕРАТУРА
1. Agricola I., Bazzoni G., Goertsches J., et al. On the history of the Hopf problem // Diff. Geom. and Appl. 2018. V. 57. P. 1-9. DOI: doi.org/10.1016/j.difgeo.2017.10.014 (arXiv: 1708.01068 [math.HO]).
2. Agricola I., Borowka A., Friedrich T. S6 and the geometry of nearly Kahler 6-manifolds // Diff. Geom. and Appl. 2018. V. 57. P. 75-86. DOI: 10.1016/j.difgeo.2017.10.007 (arXiv: 1707.08591 [math.DG], 2017, 12 pages).
3. Смоленцев Н.К. О почти комплексных структурах на шестимерных произведениях сфер // Ученые записки Казанского государственного университета. 2009. Т. 151. Кн. 4. С. 116-135.
4. Alekseevsky D.V., Kraglikov B.S., Winther H. Homogeneous almost complex structures in dimension 6 with semi-simple isotropy // Ann. Glob. Anal. Geom. 2014. V. 46. P. 361-387. DOI: doi.org/10.1007/s10455-014-9428-y ( arXiv:1401.8187v2 [math.DG]).
5. Жевлаков К., Слинько А., Шестаков И., Ширшов А. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.
6. Yokota I. Exceptional Lie groups. arXiv:0902.0431v1 [math.DG] 2009. DOI: doi = 10.1.1. 401.8095&rep = rep1&type = pdf
7. Yokota I. Non-compact Simple Lie Group G2' of Type G2 // J. Fac. Sci. Shinshu University. 1977. V. 12. No. 1. P. 45-52.
8. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans AMS. 1969. V. 141. P. 465-504. DOI: doi.org/10.1090/S0002-9947-1969-0243469-5.
9. Алексеевский Д.В., Медори К., Томассини А. Однородные пара-кэлеровы многообразия Эйнштейна // УМН. 2009. Т. 64. Вып. 1(385). C. 3-50. DOI: https://doi.org/10.4213/rm9262.
10. Hitchin N.J. The geometry of three-forms in six dimensions // J. Diff. Geom. 2000. V. 55. P. 547-576.
11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 и 2. М.: Наука, 1981.
Статья поступила 14.02.2018 г.
Smolentsev N.K.(2018) ON ALMOST (PARA)COMPLEX CAYLEY STRUCTURES ON SPHERES S2,4 AND S3,3. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 53. pp. 22-38
DOI 10.17223/19988621/53/3
Keywords: Cayley algebra, split Cayley algebra, G2 group, split-octonions, vector product, almost complex structure, almost para-complex structure, six-dimensional pseudo-Riemannian spheres.
It is well known that almost complex structures exist on the six-dimensional sphere S6 but the question of the existence of complex (ie, integrable) structures has not been solved so far. The most known almost complex structure on the sphere S6 is the Cayley structure which is obtained by means of the vector product in the space R7 of the purely imaginary octaves of Cayley Ca. There is another, split Cayley algebra Ca', which has a pseudo-Euclidean scalar product of signature (4,4). The space of purely imaginary split octonions is the pseudo-Euclidean space R3,4 with a vector product. In the space R3,4, there are two types of spheres: pseudospheres S2,4 of real radius and pseudo sphere S3,3 of imaginary radius. In this paper, we study the Cayley structures on these pseudo-Riemannian spheres. On the first sphere S2,4, the Cayley structure defines an orthogonal almost complex structure J; on the second sphere, S3,3, the Cayley structure defines an almost para-complex structure P. It is shown that J and P are nonintegrable. The main characteristics of the structures J and P are calculated: the Nijenhuis tensors, as well as fundamental forms and their differentials. It is shown that, in contrast to the usual Riemann sphere S6, there are (integrable) complex structures on S2,4 and para-complex structures on S3,3.
AMS Mathematical Subject Classification: 53C15: 53C50; 53C30; 53C25; 53C38
SMOLENTSEV Nikolay Konstantinovich (Dr. Sci. in Physics and Mathematics, professor of Fundamental Mathematics department of Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Agricola I., Bazzoni G., Goertsches J., Konstantis P., Rollenske S. (2018) On the history of the Hopf problem. Diff. Geom. and Appl. 57. pp. 1-9. DOI: doi.org/10.1016/j.difgeo. 2017.10.014 (arXiv:1708.01068 [math.HO]).
2. Agricola I., Borôwka A., Friedrich T. (2018) S6 and the geometry of nearly Kahler 6-manifolds. Diff. Geom. and Appl. 57. pp. 75-86. DOI: 10.1016/j.difgeo.2017.10.007 (arXiv: 1707.08591 [math.DG], 2017, 12 pages.).
3. Smolentsev N.K. (2009) O pochti kompleksnykh strukturakh na shestimernykh proizvedeni-yakh sfer [On almost complex structures on six-dimensional products of spheres]. Scientific Notes of Kazan State University. 151(4). pp. 116-135.
4. Alekseevsky D.V., Kruglikov B.S., Winther H. (2014) Homogeneous almost complex structures in dimension 6 with semi-simple isotropy. Ann. Glob. Anal. Geom. 46. pp. 361-387. DOI: doi.org/10.1007/s10455-014-9428-y ( arXiv:1401.8187v2 [math.DG]).
5. Zhevlakov K., Slin'ko A., Shestakov I., Shirshov A. (1978) Kol'tsa, blizkie k assotsiativnym [Rings close to associative]. Moscow: Nauka.
6. Yokota I. (2009) Exceptional Lie groups. arXiv:0902.0431v1 [math.DG]. doi: 10.1.1.401.8095&rep=rep1&type = pdf.
7. Yokota I. Non-compact Simple Lie Group G2' of Type G2 (1977) Jour. Fac. Sci. Shinshu University. 12(1). pp. 45-52.
8. Gray A. (1969) Vector cross products on manifolds. Trans. AMS. 141. pp. 465-504. DOI: doi.org/10.1090/S0002-9947-1969-0243469-5.
9. Alekseevsky D.V., Medori C., Tomassini A. (2009) Homogeneous para-Kahler Einstein manifolds. Russ. Math. Surv. 64(1). pp. 1-43. DOI: https://doi.org/10.1070/ RM2009v064n01ABEH004591.
10. Hitchin N.J. (2000) The geometry of three-forms in six dimensions. J. Diff. Geom. 55. pp. 547-576.
11. Kobayashi S., Nomizu K. (1963) Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York, London: Interscience Publ.
