K-контактные структуры на группах Ли Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 1(13)

УДК 514.76

Я.В. Славолюбова ^-КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ НА ГРУППАХ ЛИ

В данной статье рассматрены левоинвариантные ^-контактные структуры на группах Ли. Основной результат статьи - теорема 1, устанавливающая выражения тензора Риччи группы Ли О через тензор Риччи фактор-пространства М = О /F0 , где F0 - однопараметрическая подгруппа поля Риба 4, и

теорема 2, устанавливающая связь между тензором А'*-1-1 контактной метрической структуры на О и тензором Нейенхейса N соответствующей почти комплексной структуры на М = О /F0 .

Ключевые слова: контактные группы Ли, контактные метрические структуры, структура Сасаки, К-контактные структуры.

1. Предварительные сведения

Пусть О = О2п+1 - группа Ли размерности 2п+1 и Ь(О) - ее алгебра Ли, отождествляемая с касательным пространством ТеО к О в единице е. Левоинвариантная дифференциальная 1-форма п на О является контактной формой, если пл(ёп)п ^ 0 всюду на О. В этом случае (О, п) (соответственно (Ь(О), п)) называется контактной группой Ли (соответственно контактной алгеброй Ли). Векторным полем Риба называется единичное векторное поле 4 на О, удовлетворяющее условиям: ёп(|, X) = 0 для всех X и п(4) = 1. Если (О, п) - контактная группа Ли, то контактной метрической структурой называется четверка (п, 4, Ф, 8), где Ф - левоинвариантный аффинор на О и 8 - левоинвариантная риманова метрика, для которой имеют место следующие свойства:

Ф2 =-1 + п®|, 8(X,У) = 8(фХ,У), 8(фХ,фУ) = 8(X,У)-ц(Х)п(У),

где I - тождественный эндоморфизм Ь(О) [1]. Риманова метрика 8 контактной метрической структуры называется ассоциированной. В работе [2] приведены способы построения семейств ассоциированных метрик, определяемых аффинором ф. На контактном метрическом многообразии определены два тензора: А(1) и А<3) следующими выражениями [1]:

N(1) (X, У) = [ф, ф] (X, У) + ёп(X, У)§, N(3) (X) = (Ь=ф)X .

Контактная метрическая структура (п, 4, Ф, 8) называется ^-контактной, если поле Риба 4 порождает группу изометрий метрики 8, т.е. поле Риба 4 является киллинговым относительно метрики 8. Таким образом, для ^-контактной структуры Ь 8 = 0. Поскольку Ьп = 0 для любой контактной структуры и

8 (X, У) = ё п^, фУ) + п^ )п(У), то контактная метрическая структура является ^-контактной тогда и только тогда, когдаЬ^ф = 0 , т.е. когда тензор N(3)(X) обраща-

ется в нуль [1]. Отметим также, что контактная метрическая структура является

К-контактной тогда и только тогда, когда У ^ = 2 фX [1].

В случае левоинвариантных структур на группе Ли можно получить следующее условие К-контактности:

(Ьф)(X,У) = 4 8(X,У) -8(ЬХ,У) -8(X,Ь,¥) = -8(К,X],У) -8(X,[4,У]) = 0 .

Таким образом, контактная метрическая структура (п, 4, Ф, 8) является К-контактной, если оператор аё4 на алгебре Ли Ь(О) является кососимметрическим,

8 ([4, X ],У) = - 8 (X ,[4 ,У ]).

Пусть аі - однопараметрическая подгруппа, порожденная полем Риба 4, а( = ехр(і4). Она действует на группе Ли О справа. При этом действии форма п сохраняется, ¿4п = 0 . Поскольку форма п является еще и левоинвариантной, то из

¿4п = 0 следует, что аё*п = 0 и Аё* п = п .

Рассмотрим замкнутую подгруппу F, которая сохраняет контактную форму п:

F = {8 є О: Аё**(п) = п}.

В работе [3] показано, что подгруппа F является одномерной, контактная форма п является формой связности главного расслоения п: О ^ О / F и ёп - форма кривизны. При этом форма ёп опускается на однородное пространство О / F и является там симплектической формой ю, п*(ю) = ё п.

Однопараметрическая подгруппа а, порожденная полем Риба 4, является связной компонентой F0 группы изотропии F и поэтому также является замкнутой подгруппой группы Ли О. Следовательно, фактор-пространство М = О / F0 является гладким дифференцируемым многообразием.

Поскольку ¿4 8 = 0 и ф = 0 , то при проекции п: О ^ М = О / F0 метрика 8 и

аффинор ф опускаются на М и образуют там почти кэлерову структуру (§м, ю, 3). Почти комплексная структура 3 определяется следующим образом:

3(ёп(X)) = ёп^), X є Т8О .

Другими словами,

3(V) = ёп(ф(ёп-1 (V))), V є ТМ ,

где отображение ёп-1 : Т^М ^ Т8О вектору V є Т^М ставит в соответствие вектор

ё п-1^) из площадки контактного распределения Б = кег(п). Проекция п: О ^ М = О / F0 является тогда римановой субмерсией. Поэтому свойства контактной метрической структуры (п, 4, Ф, 8) тесно связаны со свойствами почти кэ-леровой структуры (8М, ю, 3) на базе М = О / F0.

2. Тензор Риччи

В данном разделе мы приведем явные формулы для вычисления элементов римановой субмерсии п: О ^ М = О / F0 в случае левоинвариантной К-контактной структуры (п, 4, Ф, 8) на группе Ли О2п+1. Напомним, что на М имеется

почти кэлерова структура (м, ю, 3), такая, что п (8М) = 8 на горизонтальных

* *

векторных полях, п (ю) = ёп и п (3) = ф. В качестве горизонтального распределения возьмем контактное распределение, образованное векторами Е1,...,Е2п. Вертикальное распределение порождено полем Риба 4. Для единообразия будем обозначать его символом Е2п+1. Базис Еь...,Е2п+1 предполагается ортонормированным. В данном базисе выразим условие К-контактности Ьф = 0 :

(Ь48)(Е, Е.) = 4 8 (Е, Е.) - 8 (Ь&, Е.) - 8 (Е, ЬЕ.) =

= -8 ([4 , Ег ], Е.)-8 (Е ,[4 , Е. ]) = -С2п+1,,- -с^,. =0.

Получаем условие К-контактности:

С2п+1,г + с2п+1,; = 0, г,. = 1,...,2п+1.

В частности, если і = 2п +1, то

СХ- = 0, . = 1,...,2п .

Для вычисления тензора Риччи римановой субмерсии п: О ^ М = О / Е> используются следующие инварианты: А и Т на О [4], значения которых на векторных полях Р1 и Р2 задаются формулами

ТР1Р2 = НУР^Р2 + vVvP1 НР2 , АР1Р2 = НУИР1уР2 + уУИР1НР2 .

Найдем их выражения в нашем случае.

Инвариант Т. Из формулы ТРР2 = НУ^vP2 +vVvpНР2 [4] мы видим, что

тху = 0, тх4 = 0, т44 = 0,

где X, У - горизонтальные поля, а 4 - вертикальное поле. Последнее вытекает из свойства У44 = 0 . Поэтому единственная ненулевая компонента тензора Т может

быть только в случае Т4Х .

Из свойства К-контактности имеем УХ4 = 1 ф(Х). Далее, У4 X -V х4 = [4 , X ].

Поэтому У4 X = УХ4 + [4, X ] = 1 ф( X) + [4, X ]. Тогда

Т4Х = у[4 , х ].

Для выбранного базиса получаем

Те2п+1 Е = v[Eп+1,Е.] = С2п+1,;Е2п+! =0, . = 1,...,2п .

Инвариант А. Из формулы АР;Р2 = НУН^ vP2 + vVНp НР2 [4] видно, что

А^х = 0, а44 = 0.

Из свойства К-контактности имеем УХ4 = 1 ф(Х). Поэтому

АХ4 = НУх4 = 2 ф( X).

В случае двух горизонтальных векторных полей получаем

А

В базисе {Е}, г = 1,...,2п , имеем

А У = vV ХУ .

X Х

АеЕ] = vVE¡EJ = Г?"^,, і,. = 1,...,2п . (1)

Окончательно получаем следующие ненулевые компоненты тензора А:

АТ' =Гп+', А\2п+1 = 2 фї, і,., * = 1,...,2п .

Найдем тензор Риччи для нашего случая римановой субмерсии. При вычислениях будем использовать, что слои римановой субмерсии являются геодезическими линиями. Поэтому вектор средней кривизны слоев Ы, определяемый как N = Т4 4, равен нулю.

Теорема 1. Если левоинвариантная контактная метрическая структура (п, 4, ф, 8) на группе Ли О2п+1 является К-контактной, то в ортонормированном базисе Еь... ,Е2п+1, первые 2п векторов которого лежат в контактном распределении Б, а вектор Е2п+1 есть поле Риба 4, тензор Риччи Кіс имеет следующую структуру:

п 1

КіС2п+1,2п+1 = ^ КіСг. = КіСМг] -^ЪИ , ¡, - = 1,...,2n,

1 2п

КіСі,2п+1 = -7 X (2С.СІГ1 +(С. + С. +С.)С2п+1), і = 1,...,2п,

4. ,ї=1

где КісМ - тензор Риччи фактор-пространства М = О / Е>.

Доказательство. Найдем выражения всех компонент тензора Риччи Кіс(4,4 ), Кіс(4, X) и Кіс(Х, У) прямыми вычислениями. Как всегда, символами X, У мы обозначаем горизонтальные векторы.

Вычисление Кіс(4 ,4 ). Поскольку для К-контактных структур кривизна Риччи

пп в направлении 4 равна —, то Кіс(4,4 ) = ^ .

Вычисление Кіс( X ,У). Поскольку N = 0, то выражение кривизны Риччи [4]

Кіс(Х, У) = КісМ (X, У) - 2( АХ, АУ) - (ТХ, ТУ) +1 (('V ХЫ, У) + (VУ N, X)) принимает вид

Кіс(Х, У) = КісМ (X, У) - 2(АХ, АУ) - (ТХ, ТУ).

Найдем компоненты (АХ,АУ) и (ТХ,ТУ) для базисных векторов.

7(ф(Е), ф(Е.)) =1 4 4

(ае< ,Ае. ) = (АЕі4,Ае.4) = т(ф(Е), ф(Е.)) = т(Е,Е.).

(ТЕ ,те. ) = (v[ 4 , Е ], v[4 , е. ]) = с^1с;2,2+п1+1 .

Учитывая, что С2^ = 0 получаем следующую формулу:

Кіс. = КісМ -15-..

V мї 2 ^

Вычисление Кіс(Х,4). В базисе {Еі}, і = 1,...,2п +1, формула [4]

Кіс(Х, 4) = ((5Е)4, X) + ^4 N, X) - ((5А) X, 4) - 2(Ах , Т4),

где 5А = -X (ЧХ А)Х относительно базиса {X} горизонтального распределения и

І

5Т = -(^Т) 4 , примет вид

Кіс(Еі,Еп+:) = ((5Т)Е2п+!,Е)-((5А)Е,Е2п+!)-2(Ае ,,Те2п+і), і = 1,...,2п . Найдем выражения всех трех слагаемых в правой части.

Вычисление (5 Т) Е2п+1.

(5 Т) Еп+1 = - (V е2 п+1Т) е2 п+1 Е2п+: = -(^ п+1 (Т4 4 ) - ^^+1 - Те2 п+1 ^4 4 )) = 0.

Вычисление (5А)Еі. Будем использовать формулу (1):

АеЕ1 = vVEE1 = Гг;2п+1Е2п+1, і,1 = 1,...,2п .

_ 2п 2п

(5А) Е = -X ^е/) Е. Е = -X (V е. (Ае.Е ) - AvE еЕ - Ае. (V ЕЕг)) =

.=1 .=1 1

2п 2п

(Г2п+1Е2п+1) - Аг^еЕ- - Ае. (Г*Ек)) ^Х^ГЧ^-Г^Е -—еА )=

1=1 1 ‘ 1=1

2 п і 2п 2п

=-Х <т Г2г'ф< Е1)-Г2п+А4Еі-Г2Г‘ А- -ХГА,А)=

1=1 ^ ї=1 5=1

2п 1 2п 1 2п

= -Х (2 г2і”+1ф( е-)-ХГ■Г^іИ+14-2 г2і”+1ф( е.) -ХгїіГ2п+14 ) =

1=1 2 5=1 2 ї=1

2п

Х(Гї Г2п+1 і гї г2п+1 )4

(Г 1 5І + Г Ї1 1 )4 .

1,5=1

Вычисление третьей компоненты.

2п 2п 2п

(Аеі,Те2п+1) = X(АеЛ,Те2п+1 Е.) = X(ГГп+1Еп+1,С22п”++11,;Е2п+1) = Хг2п+1С22п”++11,; = 0 . 1=1 1=1 1=1

Таким образом,

_ 2п

Кіс(Еі, Егп+1) = -((5А)Еі, Егп+1) = -( X (Г¿Г”+1 +Г^Г2”+1)4,4) =

1,5=1

2п *

___ \ ' -гї г2п+1 і гї Г2п+1)

= - X (Г 1 яі -1 ¿ї ).

1,ї=1

В последнем равенстве выразим символы Кристофеля через структурные константы:

г2п+1 _ 1 (С2п+1 і сі і С^ )__ 1 С2п+1 .

Г їі = 2(Сїі + С2п+1,ї + С2п+1,і) = 2;

г2п+1 __ 1 (С2п+1 і сї і С1 )_ 1 С2п+1 .

Г .ї = 2(С15 + С2п+1,1 + С2п+1,ї) = ТС]ї •

Г * = 1(Сї + С1 + С1) = С1 • Г * = 1(Сї + Сі + С1)

11 2( 11 ї. ї. ї. • 1і 2( 1і ї. їі

Таким образом,

1 ,2п

кісі,2п+1 =-т X (гс-сГГ1 +(С. +с;. +С. )С2п+1).

41 ,ї=1

Теорема доказана.

3. Связь между тензорами и N

При римановой субмерсии п: О ^ М = О / контактной метрической структуре (п, 4, ф, 8) соответствует почти кэлерова структура (§м, ю, З) на базе М = О / Е . В этом разделе найдем связь между тензором кручения контактной структуры ^Г) на группе Ли О и тензором Нейенхейса N почти комплексной структуры З на О / Е0. Тензор Л^1-1 выражается формулой

N(1) (х, у ) = [ф, ф] (х, у )+а п( х, у )4.

Здесь кручение Нейенхейса [ф, ф] тензорного поля ф типа (1,1) является тензорным полем типа (1,2), заданным формулой

[ф, ф](X, У) = ф2[Х, У] + [фХ, фУ] - ф [фХ, У] - ф [X, фУ].

Напомним также выражение тензора Нейенхейса:

N (X, У) = [ ЗХ, ЗУ ] - [ X, У ] - З [ ЗХ, У ] - З [X, ЗУ ].

Хорошо известно [1], что почти комплексная структура З интегрируема, т.е. является комплексной структурой, если ее тензор Нейенхейса равен нулю,

ЩХ,У) = 0.

Как известно, левоинвариантное векторное поле X на группе О отождествляется с его значением в единице, X = X (е) є ТеО = ДО). При проекции п: О ^ М = О / Е левоинвариантные векторные поля на группе О не проектируются в векторные поля на М = О / , поскольку группа ^0 действует справа на О.

Однако с каждым левоинвариантным векторным полем X можно ассоциировать правоинвариантное векторное поле, порожденное элементом X(е) є ТеО . Будем

обозначать такое поле символом Хг. Как известно [5], [Хг,УГ] = -[Х,У]г. Правоинвариантное векторное поле X опускается до векторного поля на М = О / Е . Обозначим Xм = а п(Хг). Очевидно, что

[Xм,Ум] = ёп([Хг,УГ]) = -ап([X,У]г).

Лемма 1. Для К-контактной метрической структуры на группе Ли О для любых касательных векторов X, У є Т8О, V8 є О имеет место следующая формула:

а п( N (1)(Х ,у )) = N-ап( х), ап(У)).

Доказательство. Для вычисления тензоров N:1)(X,У) и ЩХ,У) продолжим векторы X, У є Т8О до правоинвариантных векторных полей X', У на О. Вычислим тензор N:l)( X', Уг),

N (1)( хг , уг ) = ф2[ хг , уг ]+[фХг, фУг ] - ф[фХг, уг ]-ф[ хг , фУг ]+а п( хг , уг )4 =

= ф2[ Хг ,УГ ] -п([ Хг ,УГ ])4+[фХг, фУг ] - ф[фХг ,УГ ] -ф[ Хг, фУг ] =

Из свойства ф2 = -1 + п ® 4 контактной метрической структуры мы получаем далее:

= -[ Хг ,УГ ] + [фХг, фУг ] - ф[фХг ,УГ ]-ф[ Хг, фУг ].

Векторное поле Хг правоинвариантно, а аффинор ф левоинвариантен. Поэтому пока ничего нельзя сказать о типе поля фХ'. Однако можно заметить, что оно проектируется в поле З(Xм ):

ап(фХг) = З(йп(Хг)) = З(Xм ).

Поэтому можно применить проектирование ап к тензору N('V)(Xr,УГ):

а п( N (1)( хг ,уг ))=-а п([ хг ,уг ])+а п([фХг ,фУг ]) - а п(ф[фХг ,уг ]) - а п(ф[ хг ,фУг ])= = -[Xм, ум ]+[ап(фХг), ап(фУг)] - з(ап([фХг ,уг ])) - з(ап([хг,фУг ])) =

= -[ хМ, ум ]+[ зхм , зум ] - з [ ап(фХг), ап(Уг)] - з [а п(хг), а п(фУг)] =

= -[Xм,УМ] + [ЗХМ,ЗУМ]-З[ЗХМ,УМ]-З[ХМ,ЗУМ] = N(Xм,УМ) .

Мы получим следующий результат:

ап(N(1) (Хг, У')) = N(Xм , УМ),

из которого и вытекает утверждение теоремы.

Лемма 2. Для любых касательных векторов X, У є Т8О, V8 є О значения тензора кручения N:1)(X,У) контактной метрической структуры лежит в контактном распределении, т.е. n(N:l)(X,У)) = 0.

Доказательство. Найдем проекцию тензорного поля N:l) на направление И4. Для этого достаточно вычислить п(N(1)(Х, У)). Поскольку

N(1) (X, у ) = ф2 [ х, у ]+[фХ, фУ ] - ф [фХ, у ] - ф [ х, фУ ]+а п( х , у )4, то п( N(1) (X, у )) = п([фХ, фУ ])+а п( х, у ) = -а п(фХ, ф у )+а п(х, у ) = 0.

Для доказательства последнего равенства воспользуемся свойствами контактной метрической структуры: ап(Х,У) = 8 (фХ,У) и 8(фХ, фУ) = 8(X, У)-п(Х)п(У). Получаем

ап(фХ,фУ) = 8(ф(фХ),фУ) = 8(фХ,У) -п(фХ)п(У) = 8(фХ,У) = ап(Х,У).

Таким образом, вертикальная Я4-компонента тензора N(1)(X, У) всегда равна нулю. А поскольку горизонтальная ^-компонента тензора N(1)(X,У), согласно лемме 1, проектируется в тензор Нейенхейса, то получаем теорему:

Теорема 2. Тензор кручения N(1)(X, Y) K-контактной метрической структуры (п, 4, Ф, g) равен нулю тогда и только тогда, когда тензор Нейенхейса N(X,Y) почти комплексной структуры многообразия (G/F0, gM ,ю, J) равен нулю. Поэтому контактная метрическая структура (п, 4, Ф, g) является сасакие-вой (нормальной) тогда и только тогда, когда многообразие (M = G/F0,gM,ю, J) является кэлеровым.

ЛИТЕРАТУРА

1. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1976.

2. Смоленцев Н.К. Пространства римановых метрик // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2003. Т. 31. С. 69-146.

3. Khakimdjanov, Yu., Goze M., Medina A. Symplectic or Contact Structures on Lie Groups // arXiv.org/ math.DG/0205290, 2002, 18 p.

4. Бессе. А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. Т. II: пер. с англ. М.: Мир, 1990. 384 c.

5. Кобаяси Ш., Номидзу К Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 и Т. 2. М.: Наука, 1981. 344 с.

Статья принята в печать 30.12.2010г.

Slavolyubova Y. V. K-CONTACT STRUCTURES ON LIE GROUPS. In this paper, left invariant K-contact structures on Lie groups are considered. The main results are Theorem 1 expressing the Ricci tensor of a Lie group G by the Ricci tensor of a quotient space M = G / F0 , where F0 is a

one-parametrical subgroup of the Reeb field 4, and Theorem 2 establishing the connection between the tensor N(1) of a contact metric structure on G and the Nijenhuis tensor N of the corresponding almost complex structure on M = G /F0 .

Keywords: contact Lie groups, contact metric structures, Sasakian structure, K-contact structures.

SLAVOLYUBOVA Yaroslavna Viktorovna (Kemerovo institute (branch) of Russian state university of trade and economics)

E-mail: [email protected]