Ассоциированные левоинвариантные контактные метрические структуры на семимерной группе Гейзенберга H7 Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 Математика и механика № 54

удк 514.76 м8с 53б10

б01 10.17223/19988621/54/3

Я.В. Славолюбова

АССОЦИИРОВАННЫЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА СЕМИМЕРНОЙ ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА И1

Построены новые ассоциированные левоинвариантные контактные метрические структуры на семимерной группе Гейзенберга И7. Изучен общий двенадцатипараметрический класс таких структур, подробно рассмотрены четыре подкласса. Основной результат работы сформулирован в виде теорем, обобщающих свойства левоинвариантных контактных структур на семимерной группе Гейзенберга И7 и на произвольной (2п+1)-мерной группе Гейзенберга И2и+1.

Ключевые слова: группа Ли, контактные метрические структуры, ассоциированная метрика.

1. Предварительные сведения

Напомним основные понятия из теории контактных многообразий.

Определение 1 ([1]). Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие М2п+1 класса С называется контактным многообразием, если на нём задана дифференциальная 1-форма п, удовлетворяющая условию пл(ёп)п ^ 0 всюду на М2п+1.

Форма п называется контактной формой.

Контактная форма определяет на многообразии М2п+1 2п-мерное распределение Е2п = {X е ТМ2п+1: г\(Х) = 0}, которое называется контактным распределением. Кроме того, контактное многообразие М2п+1 имеет всюду ненулевое векторное поле, обозначаемое 4, которое определяется свойствами: п(4) = 1 и ёп(4,X) = 0, для всех векторных полей X на многообразии М2п+1. Векторное поле 4 определяет одномерное распределение, дополнительное к распределению Е2п, и называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры.

Определение 2 ([1]). Если М2п+1 - контактное многообразие с контактной формой п, то контактной метрической структурой называется четвёрка (п, 4, Ф, 8), где 4 - характеристическое векторное поле, ф - аффинор на М2п+1, 8 - риманова метрика, для которой имеют место следующие свойства:

1. ф2 = -I + п ® 4, где I - тождественный оператор на М2п+1 .

2. ёп(X,¥) = 8(X,ф7).

3. 8(«X,Ф^) = 8)-п(X)п(7).

Риманова метрика 8 контактной метрической структуры называется ассоциированной.

Пусть М2п+1 - контактное многообразие с контактной метрической структурой (п, 4, Ф, 8). Рассмотрим многообразие М2п+1хЯ. Векторное поле на М2п+1хЯ. задаётся парой ^X, /ё^ , где X - векторное поле, касательное к М2п+1, / - координата

из Я и/- функция класса С на М2п+1хЯ.. Определим почти комплексную структуру 3 на М2п+1 хЯ. с помощью оператора 3, действующего по формуле

3 (х, - г5,п(Х ).

Очевидно, что 32 =-/ , 3 (§) =

= 4

ё з ( ё 4

V Ж,

3(X) = ф(X), если X е Е2п . Если почти комплексная структура 3 интегрируемая, то контактная метрическая структура (п, 4, Ф, 8) называется структурой Саса-ки [1].

Пусть М2п+1 - контактное метрическое многообразие, такое, что п - контактная форма и (п, 4, Ф, 8) -ассоциированная контактная метрическая структура для контактной структуры п. Если характеристическое векторное поле 4 порождает группу изометрий метрики 8, то есть 4 - векторное поле Киллинга относительно 8, то такую контактную метрическую структуру называют ^-контактной структурой [1].

Определение 3 ([1]). Контактная метрическая структура (п, 4, Ф, 8) называется п-эйнштейновой структурой, если существуют гладкие функции а и Ь на многообразии М2п+1 , такие, что

Шс8(X,У) = а8(X,У) + Ьц(Х)п(7), X,У е ТМ2

(1.1)

2. Контактная структура на группе Гейзенберга И1

Известно [2], что на любой трёхмерной неабелевой группе Ли, за исключением Яхи Я2, можно задать левоинвариантную контактную структуру. Среди пяти-

мерных разрешимых алгебр Ли контактными являются 24 алгебры Ли. В размерности > 7 существует бесконечное семейство неизоморфных контактных алгебр Ли [2]. На любой группе Гейзенберга И2п+1 можно задать левоинвариантную контактную структуру.

Рассмотрим семимерную группу Гейзенберга И1. Её алгебра Ли ¿(И7) образована следующими матрицами:

(0 х2 х4 хб х7

0 0 0 0 х1

0 0 0 0 х3

0 0 0 0 х5

V 0 0 0 0 0

Л

¿( И 7) =

Выберем в алгебре Ли группы Гейзенберга ¿(И1) базис (е1,е2,е3,е4,е5,е6,е7), состоящий из матриц из нулей с единицами только на местах, соответствующих

координатным осям (х1, х2, х3, х4, х5, х, (0 0 0 0

е =

Ч' 2 0) 1 0 0 0

х4> 5 > (0 0

е2 =

):

0 )

0

0

0

0

е7 =

( 0 0 0 0 0

1)

0 0 0 0

Тогда скобки Ли в базисе (е1, е2, е3, е4, е5, е6, е7) будут иметь вид [е2, е1 ] = е7, [е4,е3 ] = е7, [е6,е5 ] = е7 . Следовательно, ненулевые структурные константы сле-

дующие: с/2 = -с21 =-1,

С7 =-С7 --1

С7 =-С7 =-1

56 65

Я

Поскольку построение контактной структуры проводится не просто на многообразии, а на группе Ли, то данная структура является левоинвариантной, и контактная форма п вместе с характеристическим векторным полем 4 задаются своими значениями в единице группы Ли, то есть п = п(е), 4 = 4(е), e е И7 .

Алгебра Ли группы Гейзенберга L(И1) является контактной алгеброй Ли с контактной формой п = е7* = е7. Легко видеть, что дифференциал ёп формы п имеет вид: ё п = e1* л е2* + е3* л е4* + е5* л е6*. Таким образом, вектор e1 является характеристическим векторным полем 4 данной контактной структуры, 4 = е7, так как он удовлетворяет свойствам п(4) = 1 и dп(4,X) = 0 для всех векторных полейXв L(H7).

Контактное распределение, ядро 1-формы п, является левоинвариантным распределением, заданным подпространством И6 в алгебре Ли группы Гейзенберга, И6 = И{е1, е2, е3, е4, е5, е6}.

Алгебра Ли группы Гейзенберга L(И7) имеет нетривиальный центр 2 (L(И7)) = е7 и является разрешимой. Данная контактная алгебра Ли (ь(И7),п)

получена центральным расширением И6 хёп Я симплектической коммутативной

алгебры Ли (И6, ё п) с помощью невырожденного 2-коцикла ёп.

3. Ассоциированные контактные метрические структуры на (И1, п)

Построим на контактной группе Ли (И7, п) ассоциированные левоинвариант-ные контактные метрические структуры (п, 4, Ф, 8) для контактной структуры п. Для этого на основе свойств: ф2 6 = -I, ф(4) = 0, ф2 =-1 + п ® 4, определим на

IЕ

контактной алгебре Ли ^(И7), п) аффинор ф. Такой аффинор ф может быть задан неоднозначно. Из свойства 3 определения 2 следует, что ассоциированную метрику 8 можно задавать с помощью аффинора ф на основе формулы: 8(X,У) = ёn(фX,У) + п^)п(У). Также нетрудно заметить, что действие аффинора ф совпадает с действием почти комплексной структуры 3 на векторах контактного распределении Е2п.

Рассмотрим более общую (псевдо)риманову метрику вида

8Я (X, У) = ёп^, У) + Хп(X)п(У). (3.1)

Параметр X обеспечивает деформацию ассоциированной метрики 8х вдоль поля Риба 4. В случае отрицательного значения данного параметра, имеем дело с псевдоримановой метрикой.

Зафиксируем аффинор ф0, действие которого на базисных векторах

(е1, е2, е3, е4, е5, е6, е7) определяется следующим образом:

ф0 (е1 ) = е2 , ф0 (е2 ) = -el, ф0 (е3 ) = е4 , ф0 (е4 ) = -е3 , ф0 (е5 ) = e6, ф0 (е6 ) = —е5 , ф0 (е7 ) = 0.

Определим также метрику выражением

80 = е1 + е2 + е3 + е4 + е5 + е6 + Хе7 .

По заданной ассоциированной метрике 80 , соответствующей аффинору ф0 , можно определить новый аффинор ф, который задаётся оператором Р по формуле

ф = ф0 (I+ Р)(I - Р) [3]. Оператор Р действует на алгебре Ли ¿(И1) и имеет следующие свойства:

1. Рф0 - -ф0Р, Р антикоммутирует с аффинором ф0; Р(|) - 0.

2. Р симметричен относительно метрики 80, Р§0 - симметричная матрица.

3. I - Р2- невырожденная матрица, det(I - Р2) Ф 0, где I - тождественный оператор на ¿(И1).

С учётом вышеуказанных свойств, следует, что матрица оператора Р имеет блочный вид

(А В Б)

РЕ=

с е

Е N

(3.2)

где блоки А, В, С, Б, Е, N - симметричные матрицы вида

а=(и -и), в=(; ч с=(к -к

Б -

У - х

Е -

N -

w

х

ч у - х у Vг -Ц У V2 -w параметры и, V, 5, t, к, I, х, у, ц, г, w, 2 - действительные числа.

Заметим, что матрица (3.2) оператора Р содержит 12 параметров. Изучим сначала некоторые частные классы ассоциированных метрик, соответствующих аффинорам ф, которые задаются операторами Р четырёх типов

(0 В 0) ( 0 0 Б) (0 0 0 ) (А 0 0 )

Р 1б -

В 0 0 0

Р16 -

0 0 Б0

Р ь -

0 Е Е0

Р Ь -

с 0

0

N

В этом случае могут быть найдены выражения ассоциированных метрик и контактных метрических структур в явном виде, что позволит провести дальнейшие исследования.

(0 В 0)

1. Пусть матрица оператора Р имеет вид Р |е6 -

0 0 0 0

где блок

В -

t -5

содержит два параметра 5 и t. Тогда двухпараметрическое семейство

аффиноров ф определяется матрицей ф -

Е 0

где компоненты ненулевого

блока ф ^ , вычисленные на основе формулы ф 6 - ф0 6 (I + Р)(! - Р) \ имеют

вид

ф| Е6 - 1 - ^2 - t2

1 + 52 +12

ф1 -1-(1 + 52 + t2)

ф1

ф2 0

ф2 -

ф2

ф1 0

2t -25

0) 0

ф3

-25 -2t

ф3 -

0 -1

1

На параметры s и t накладывается ограничение s +1 Ф1, вытекающее из условия невырожденности матрицы I - P2, det (l - P2 ) = (l - s2 -12) Ф 0. Для определенности примем, что параметры s и t принимают достаточно малые значения и s2 +12 < 1. Соответствующее двухпараметрическое семейство ассоциированных метрик определяется из формулы (3.1). Выпишем выражение (3.1) на векторах ба-зиса(е,}: gl} = dп1к+ j.

В результате проведенных вычислений в системе Maple ассоциированные мет-

рики определяются матрицей gx = следующий вид:

0

где компоненты блока g | 6 имеют

1 - s2 -12

( g1 g2 0 ^ g 2 g1 0 0 0 g3

1 + s 2 +12 0

1 + s2 +12

g 2 =

2s 2t 2t -2s

g3 =

1 0 0 1

Варьируя значения параметров 5 и t, получаем различные вариации ассоциированных контактных метрических структур.

Секционные кривизны К{ ^ в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {е,} имеют следующие выражения:

К = К =-3М^

K{1,2} = K{3,4} = 4 (1 + b )2

K = ЗА,

K{5,6} = 4"

K{1,3} = K{1,4} = K{1,5} = K{1,6} = 0 ,

K{2,3} = K{2,4} = K{2,5} = K{2,6} = 0 , K{3,4} = K{3,5} = K{3,6} = 0 , K{4,5} = K{4,6} = 0 , K{1,7} = K{2,7} = K{3,7} = K{4,7} = K{5,7} = K{6,7} = T ,

где b = s2 +12.

2. Пусть матрица оператора P имеет вид P l6 =

( 0 0 D 1 0 0 0 D 0 0

где блок

Б = \Х У I. Тогда двухпараметрические семейства аффиноров ф и ассоцииро-

-х)

ванных метрик 8х задаются матрицами

1

Ф E =

, 2 2 1 - * - У

ф1 1-(1+*2 + У2)

1 + *2 + У2

Ф1 0 Ф2

0 ф3 0

ф2 0 ф1 2y -2*

Ф2 =

-2* -2y

Фз =

0 1 -1 0

, 2 2 1 - * - У

g1 0 g 2 1

0 g3 0

g 2 0 g1)

1 0

1 + х2 + у2 0 | -(2 х 2 у -

0 1 + х2 + у2 ) , 82 Ч2у -2х) , 83 0 1

где х2 + у2 < 1, х,у е Я .

Получены выражения секционной кривизны К{, ^ в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {е,}:

К{1,2} - К{5,6}

3Х(1 - ё )2 4 (1 + ё )2

К{3,4} -

3Х 4

К{1,3} - К{1,4} - К{1,5} - К{1 6} - 0

{1,6}

К{2,3} - К{2,4} - К{2,5} - К{2,6} - 0 , К{3,4} - К{3,5} - К{3,6} - 0 ; К{4,5} - К{4,6} - 0 , К{1,7} - К{2,7} - К{3,7} - К{4,7} - К{5,7} - К{6,7} - Т ,

где ё - х2 + у2.

3. Пусть матрица оператора Р имеет вид Р |е6 -

(0 0 0) 0 0 Е

к0 Е 0У

где блок

Е -\д Г |. Тогда двухпараметрическое семейство аффиноров ф, ассоцииро-

Vг -д)

ванная метрика 8х задаются матрицами

1 (ф1 0 0 )

0 ф2 ф3

0 ф3 ф2

ф Е6 - , 2 2

1Е 1 - д - г

ф1 -

0 1 -1 0

0

- 1 + д2 + г2) -( 2г -2д

ф2 -1ч-(1+ц2 + г2) 0 ), ф3 ~(-2д -2г

1 - д 2 - г2

(?1 0 0 ^

0 82 83

V0 83 82)

0

2д 2г

1 0) , 82-Г + Ц2 +г2 |, 83 -

0 1)' 82 V 0 1 + д2 + г2 ) 83 V2г -2д

где д2 + г2 < 1, д, г е Я.

Получены выражения секционной кривизны К{, ^ в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {е,}:

К{1,2} - , К{3 4} - К;

4

{3,4} {5,6}

-- 3Х(1 - / 2 4 (1+/ 2

2 ' К{1,3} - К{1,4} - К{1,5} - К{1,6} - 0 ,

К{2,3} - К{2,4} - К{2,5} - К{2,6} - 0 , К{3,4} - К{3,5} - К{3,6} - 0 , К{4,5} - К{4,6} - 0 , К{1,7} - К{2,7} - К{3,7} - К{4,7} - К{5,7} - К{6,7} - Т ,

где / - д2 + г2.

4. Пусть матрица оператора P имеет диагональный вид P | 6 =

(A 0 0 А 0 C 0 0 0 N

где

блоки А = ^и У ^ , С = ^^ -^^, N = ^М 2 ^ содержат по два параметра. Тогда шестипараметрическое семейство аффиноров ф, соответствующая ассоциированная метрика задаются матрицами

f

Ф1

0 0 А

(

Ф2 =

Ф E =

21

0 ф2 0 0 0 ф3

Ф: =

2v

(1 - к)2 +12 А

82 =

1 - к2 -12 ((1 + к )2 +12) 1 - к2 --21

1 - к2 -1 2 1 - к2 -

( 81 0 0 А

8Е = 0 8 2 0

V 0 0 83

((1 + к )2 +12 21

1 - к2 -21 -12 1 - (1 - к2 -к )2

1 - u 2 - v2 -((1 + u )2 + у 2)

, 2 2 V 1 - u - у

2 z

(1 - u)2 + v2 Л

, 2 2 1 - u - у

-2v

, 2 2 1 - u - V

Фз =

1 - w2 - z2 -((1 + w)2 + z2) . 1 -w2 -z2

(1 - w)2 + z2 ^

, 2 2 1 - w - z

-2 z

i 2 2 1 - w - z

((1 + u )2 + V 2

, 2 2 1 - u - V

2v

V 1 - u 2 - v2

2 v

, 2 2 1 - u - V

(1 - u)2 + V2

i 2 2 1 - u - V

v 1 - к2 -12

1 - к2 -12

83 =

((1 + w)2 + z 2

, 2 2 1 - w - z

2 z

, 2 2 1 - w - z

2z

1 2 2

1 - w - z (1 - w)2 + z2

, 2 2 1 - w - z

где и2 + V2 < 1, к2 +12 < 1, м2 + 22 < 1, иу,к,1,м,г 6 К .

Секционные кривизны К{, ^ в направлении двумерных координатных площадок базисных векторов {е,} имеют следующие выражения:

K{1,2} = K{3,4}

ЗА

K

{5,6}

3А((1 + w)2 + z2)((1 - w)2 + z2)

4 (1 - w2 - z2 )2

K{1,3} = K{1,4} = K{1,5} = K{1,6} = 0 , K{2,3} = K{2,4} = K{2,5} = K{2,6} = 0 ,

K{3,4} = K{3,5} = K{3,6} = 0 , K{4,5} = K{4,6} = 0 ,

K{1,7} = K{2,7} = K{3,7} = K{4,7} = K{5,7} = K{6,7}

А 4

Рассмотрению также подлежал оператор P общего вида (3.2), для которого были найдены явные аналитические выражения двенадцатипараметрического семейства аффиноров ф и ассоциированных метрик gx. Для полученных выражений был проведен многопараметрический анализ и вычислены основные геометрические характеристики с использованием системы компьютерной математики Maple.

В общем случае, для любой ассоциированной (псевдо)римановой метрики вида 8х (X ,У) - ё n(фX ,¥) + Xn(X )п(7) имеет место

Теорема 1. Любая левоинвариантная контактная метрическая структура (п, 4, ф, 8х) на группе Гейзенберга И1 является п-эйнштейновой К-контактной структурой Сасаки.

Квадраты норм тензора Римана и тензора Риччи ассоциированной левоинвари-

69Г

15Г

антной метрики 8х имеют следующие выражения: ||Я|| - —4—, ||^/с|| - ^

Для любой левоинвариантной контактной метрической структуры (п, 4, Ф, 8х) на группе Гейзенберга И1 оператор тензора Риччи, Шс(X ,¥) - 8\ (А^^ ,¥), имеет следующую диагональную матрицу:

ARic =

(

2 0

0

0

0

0

0

0

-2

0

0 0 0 0

0 0

-2

0

0 0 0

0 0 0

-2

0

0 0

0 0 0 0

-2

0

0

0 0 0 0 0

-2

л

0 0 0 0 0 0

3Х 2 у

Скалярная кривизна ассоциированной левоинвариантной метрики gx знакопе-

ременная и равна

3Х ^ --3Х 2 , - 2 .

Аналогично были исследованы другие семимерные разрешимые контактные алгебры Ли классификационного списка, приведенного в работе [2].

Также для произвольной (2п+1)-мерной группы Гейзенберга И2п+1 с заданной

(псевдо)римановой метрикой 80 - е^2 ' 1 " *2

+ - + e2n" +le2n+1

*2

имеет место

Теорема 2. Левоинвариантная контактная метрическая структура (п, 4, ф0, go) на группе Гейзенберга H2n+l является п-эйнштейновой и

Ricgo (X, Y) = -|g0 (X, Y) +(n +2X)Xn(X)n(Y), X, Y e L(H2n+1 ).

Доказательство. Рассмотрим контактную метрическую структуру (п, 4, Ф0, g0) на группе Гейзенберга H2n+1. В базисе ( ei,...,^2n+i) скобки Ли имеют вид

[<

С,2

2rn ' 2m-1 J

"2n+1 :

m = 1,...,n. Тогда ненулевые структурные константы:

_1 = 1, m = 1,...,n.

Определим компоненты связности Леви - Чивита Гк левоинвариантной метри-

ки

V^e, = Г je.

ç -j г ijek , используя шестичленную формулу [4], которая для левоинва-

риантных векторных полей X, У, 2 на группе Ли принимает вид

2 Яс (V ХУ, 2 ) = Яо ([ X ,У ], г)+([ г, х ],у )-([у , г ], х).

В базисе {е,} имеем 2 Яо , е1) = Яо ([е,, е, ], е1) + Яо ([е-, ег ], еу) - 8о (ег [е1, еу ]) , поэтому

Гр = 2( + 8<?80гкСк + ЛоС), ,,У,Р, к, I = 1,..., п. (3.3)

Используя формулу (3.3), получаем

Г2Р[,2ц = 2 (С2т,2|| + 8о Р8о2х,кС1,2ц8о Р + 8о Р8о2ц,кС1,2х ) = ° и Г2Рт-1,2|-1 = ° , Т Д = ^ • -П Р - любое.

Это следует из того, что Сгк2|| * о при I = 2| -1 и к = 2п +1, Сгк2т * о при

I = 2т- 1 и к = 2п + 1, Яогр * о при г = У . ОчевиДно, Г2Р|,2т= ^ Г2Рт-1,2|-1 = °,

Г2Р|-1,2т-1 = о , Т Д = • -П Р - любое.

Аналогичными рассуждениями получены ненулевые символы Кристофеля:

Г 2 п+1 =__1 Г 2п+1 = 1 Г 2т-1 = Г 2т-1 = - ^

1 2т-1,2т = 2 , 1 2т,2т-1 = 2 , 1 2п+1,2т = ^ , 1 2т,2п+1 = 2 ,

2т X 2т X

-2п+1,2т-1 = 2, -2т-1,2п+1 = ^ т = 1,-,п . (3.4)

Тензор Риччи метрики на алгебре Ли определяется как свёртка тензора кривизны Я, Я(Х,У)2 =VXVУZ -VУ VXZ , по первому и четвёртому индексам:

Яге( X, У) = ¿'Я (Я(е,, X )У, е,).

Компоненты тензора Риччи на базисных векторах:

Ягсу = ^ Г-и - Ги Г'и - Си . (3.5)

Вычислим компоненты тензора Риччи (3.5) на контактном распределе-

1,..., е2п

нииЕ2п = К{е1,...,е2п} :

тр • _ т-ти 1—т-ти 1—и у! _

С2т,2т = 1 2т,2т1 !и - 1 -,2т1 2т,и - С1,2т1 и,2т =

= — 2п+1 — 2т-1 - — 2п+1 — 2т-1 - с2п+1 — 2т-1 + = 1 2т,2т1 2т-1,2п+1 - 1 2т-1,2т1 2т,2п+1 - С2т-1,2т1 2п+1,2т +

+ — 2т-1 — 2п+1 - — 2т-1 — 2п+1 - с2т-1 — 2п+1 (3 6)

+1 2т,2т1 2п+1,2т-1 1 2п+1,2т1 2т,2т-1 С2п+1,2т1 2т-1,2т . (36)

X

Подставляя в выражение (3.6) символы Кристофеля (3.4), получим Ягс2т2т =-—, т = 1,...,п.

тр • _ т-ти у! уЫ у! и у! _

Я,С2т,2т-1 = 1 2т,2т-11 !и - 1 !,2т-11 2т,и - С-,2т1 и,2т-1 =

= ^ (12т,2т-1—!и - Гl,2т-1Г2т,u - С-,2т —и,2т-1) = о , Т = 1,---,п. (3.7)

(и,-)

Суммирование в формуле (3.7) идёт по всем наборам

(и,I) 6 {(2т - 1,2п +1), (2т, 2п +1), (2п + 1,2т -1)}.

0пределим Шс2п+1Л„+1:

тр • _ т-тМ yl yU yl yl _

ШС2п+1,2n+1 _ 1 2n+1,2n+11 lu - 1 l,2n+11 2n+1,u - Cl,2n+11 u,2n+1 _

— — 1U 11 _ \ 1 / 11U 111 \

_ -1 l,2n+11 2n+1,u y1 l,2n+11 2n+1,u J ,

(u,l)

где суммирование ведётся по всем наборам (u, l) е {(2т -1,2т), (2т, 2т -1)}.

nX

с учётом вьфажений (3.4) получаем Ric2n+1,2n+1 _ Т . Окончательно, имеем

Ric2x,2т—--2, К'С2т,2т-1 _ 0, RiC2n+1,2n+1 _ Y , Т = 1,—n. (3.8)

Из выражений (3.8) следует, что

X 2

Ricg0 (X, Y) _ --go(X, Y), X, Y е £2n.

X

Пусть в равенстве (1.1) X = 4, Y = 4, a _-y тогда получим

X2

RiCgo £) _ ~ + b .

Так как £ _ e2n+1, тогда

D- / ч X2 X2 (n + X)X

RiCg0 (e2n+1,e2n+1) _-Y + b , b _ C2n+1,2n+1 -у _-^-.

Таким образом, найдены функции a _ a(e), b _ b(e), e е H7 , удовлетворяющие

равенству RiCg (X, Y) _ ag0 (X, Y) + bn(X)n(Y), X, Y е L(H2n+1). Следовательно,

структура (n, 4, ф0, g0) - п-эйнштейнова. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics. New York: Springer-Verlag Publ., 1976. 148 p.

2. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups. Differential Geometry and its Applications. 2008. V. 26. Iss. 5. P. 544-552. DOI: 10.1016/j.difgeo.2008.04.001.

3. Смоленцев Н.К. Пространства римановых метрик // Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 31. С. 69-146.

4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1 и Т.2. М.: Наука, 1981. 344 с.

Статья поступила 27.02.2018 г.

Slavolyubova Ya.V. (2018) ASSOCIATED LEFT-INVARIANT CONTACT METRIC STRUCTURES ON THE 7-DIMENSIONAL HEISENBERG GROUP H7. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 54. pp. 34-45

DOI 10.17223/19988621/54/3

Keywords: Lie group, contact metric structures, associated metric.

In this paper, we construct new nonstandard associated left-invariant contact metric structures (n, 9, gx ) on the 7-dimensional Heisenberg group H7.

The associated left-invariant contact metric structures for the contact structure n on the contact Lie group (H7, n) were given by the affinor 9 and the (pseudo-)Riemannian metric gx such that

9 ker n= J , = 0,

gx(X,Y) = dn(qX,Y) + Xn(X)n(Y), (1)

where J is an almost complex structure compatible with the restriction of gx on ker n , gx | kern .

The parameter X provided deformation of the associated metric gx along the Reeb field

The affinor 90 :

0 0 J and the metric go =[ 0 0

are fixed. The new affinors

9 = 90 (Id +P)(Id-P) 1 are given by an operator P : L(H7) ^L(H7)such that P© = 0 and

PI =

Iker n

F =

q

( A B D^ B C F D F N

and N ■-

where A

u v v -u

B =

5 t t -s

C =

k l

D = 1

y

z

-w

l -ky vy

are symmetric matrices; u, v, s, t, k, l, x, y, q, r, w, and z are

vr —q)

real parameters.

Each new affinor 9 defines a new associated metric gx by formula (1).

We have considered some particular classes of associated metrics corresponding to the affinors 9 which were given by the operators P of the following types

(0 B 0 ^ (0 0 D"] (0 0 0 ^ (A 0 0 ^

P

Iker n

b 00 000

P

kern

000

D 0 0

ker n

0 0 F 0 F 0

P

kern

0 C 0 0 0 N

The following theorem was received for any associated (pseudo-)Riemannian metric

gx (X ,Y) = d ,Y) + Xn( X )n(Y).

Theorem 1. Any left-invariant contact metric structure (n,9, gx) on the Heisenberg group H1 is a Sasaki, ^-contact, and n-Einstein structure.

The squares of the norms of a Riemann tensor R and Ricci tensor Ric(X,Y) = gx(ARicX,Y) of

associated left-invariant metric gx have the following expressions: ||R||2

69X2 4

¡Ric

15X2 4

The Ricci operator has the following matrix:

(x 2

— 00

_X 2

0 0 0 0 0

0

-2

0

0 0 0

0 0 0

2

0

0 0

0 0 0 0

-X 2

0 0

0 0 0 0 0

2

0

2

The sign of the scalar curvature of associated left-invariant metric g^ is not constant and

5 = -. 2

In addition, the following theorem has been proved for any (2n+1)-dimensional Heisenberg group H2n+1 with a given (pseudo-)Riemannian metric g0 = e1 2 +... + e2n 2 + ^e2n+1 2 .

Theorem 2. A left-invariant contact metric structure (n, 4,90, g0)on the Heisenberg group

H2n+1 is n-Einstein, andRicgo (X,Y) = -2g0(X,Y) + X)n(Y), X,Y e L(H2n+1).

MSC 53D10

SLAVOLYUBOVA Yaroslavna Viktorovna (Candidate of Physics and Mathematics, Kemerovo Institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation). E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Blair D.E. (1976.) Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics. New York: Springer-Verlag Publ., 148 p.

2. Diatta A. (2008) Left invariant contact structures on Lie groups. Differential Geometry and its Applications. Vol. 26, iss. 5, pp. 544-552. DOI: 10.1016/j.difgeo.2008.04.001.

3. Smolentsev N.K. (2007) Spaces of Riemannian metrics. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 142, Issue 5, pp. 2436-2519. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-007-0185-3

4. Kobayashi S., Nomizu K. (1963) Foundations of Differential Geometry, New York: Wiley.