Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерных разрешимых группах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 3(7)

УДК 514.76

Я.В. Славолюбова ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА ПЯТИМЕРНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУППАХ ЛИ

В данной статье рассмотрены контактные метрические структуры на одной из пятимерных разрешимых групп Ли. Изучено шестипараметрическое семейство контактных метрических структур и исследованы их геометрические характеристики.

Ключевые слова: контактные многообразия, группы Ли, алгебры Ли, контактные структуры, контактные метрические структуры, структура Сасаки, К-контактные структуры.

1. Предварительные сведения

Напомним основные понятия о контактных многообразиях [1].

Определение 1. Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие М класса С° называется контактным многообразием, если на нем задана дифференциальная 1-форма п, такая, что

пл(^п)" ф 0

всюду на М2и+1.

Форма п называется контактной формой. Она определяет на многообразии М2и+1 распределение В = (ХеТМ2п+1 | п(Х) = 0} размерности 2п, которое называется контактным распределением. Кроме того, контактное многообразие М2п+1 имеет всюду ненулевое векторное поле, обозначаемое £, которое определяется следующими свойствами: п(£) = 1 и dц(^X = 0, для всех векторных полей X на М2п+1. Векторное поле Е определяет 1-мерное распределение, дополнительное к В. Векторное поле Е называется полем Риба, или характеристическим векторным полем контактной структуры.

Определение 2. Если М2п+1 - контактное многообразие с контактной формой П, то контактной метрической структурой называется четверка (п, Е, Ф, я), где Е -поле Риба, я - риманова метрика и ф - аффинор на М2п+1, для которой имеют место следующие свойства:

1) ф2 = -I + п®Е,

2) dn(X,Y) = я(Х,фУ),

3) Е(фХ,фУ) = Я(Х,У) - п(Х)п(Ю,

где I - тождественный эндоморфизм касательного расслоения.

Риманова метрика я контактной метрической структуры называется ассоциированной. Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика для контактной структуры п полностью определяется аффинором ф:

я(Х,У) = dп(фX,У) + п(Х)п(Г).

Поэтому мы ассоциированные метрики будем задавать аффинором ф. Отметим также, что аффинор ф действует как почти комплексная структура на контактном распределении В.

Контактная метрическая структура называется структурой Сасаки, если интегрируема почти комплексная структура J, определенная формулой J(X, fd/dt) = = (фХ- /E, n(X)d/dt), где Хє ГМ2и+1 и/- функция класса Ск на M2n+1xR.

На контактом многообразии определены следующими выражениями четыре тензора [1] N(1), N(2), N(3), N(4):

N(1)(X,Y) = [ф,ф](Х,У) + 2dn(X,Y)E, N(2)(X,Y) = (VnXY - (¿ФхП)(Х),

N(3)(X) = (¿ф)Х, N (4)(X) = (¿п)(Х).

Как известно [1], N(3) обращается в нуль, если и только если характеристическое векторное поле E является киллинговым относительно метрики g.

Пусть (п,^,ф,я) - контактная метрическая структура на контактном многообразии M2n+1. Если характеристическое векторное поле E порождает группу изометрий, то есть E - векторное поле Киллинга относительно g, то такую контактную метрическую структуру называют K-контактной структурой [1].

Замечание. Контактная метрическая структура является K-контактной, если и только если ¿ф = N(3) = 0 [1].

2. Пятимерные контактные группы Ли

Если в качестве многообразия рассматривается группа Ли G, то естественно рассматривать левоинвариантную контактную структуру. В этом случае контактная форма п, векторное поле Риба E, аффинор ф и ассоциированная метрика g задаются своими значениями в единице eєG, т.е на алгебре Ли L(G). Тогда линейная форма п на L(G), вектор ^L(G), оператор ф на L(G) и скалярное произведение g на L(G) образуют контактную метрическую структуру (n,^,g) на алгебре Ли L(G). Аналогично определяется симплектическая алгебра Ли. Если ю - левоинвариантная симплектическая структура на группе Ли H, то значение 2-формы ю на алгебре Ли L(H) представляет кососимметричную 2-форму на ¿(H). Тогда пара (L(H), ю) называется симплектической алгеброй Ли.

Левоинвариантные контактные структуры на группах Ли в настоящее время активно изучаются [2, 4]. Получены классификационные теоремы для групп Ли малой размерности. В работе [2] дана классификация всех пятимерных контактных групп Ли. Левоинвариантные контактные структуры на группах Ли могут быть получены из левоинвариантных симплектических структур на группах Ли меньшей размерности. Напомним два классических метода контактизации.

Пусть (¿(H), ю) - симплектическая алгебра Ли. Тогда пятимерная контактная алгебра Ли получается как центральное расширение L(H)xraRZ0 алгебры L(H) при помощи симплектической формы ю на ¿(H). Скобки Ли задаются следующим образом:

[x,Zo]l(G) = 0 для любого хєЦЯ), Z^Z(L(H)) = RZo,

[x,j]l(G) = [х,.у]дд) + ю(х,у)Со для любых хуєЦЯ).

Другой метод контактизации применяется для симплектических алгебр Ли (L(H), ю), у которых 2-форма ю является точной, ю = da. Тогда пятимерная контактная алгебра Ли получается как прямое произведение L(H)®Re0. Контактная форма п определяется следующим равенством: п = a +se0 , где параметр ^R\{0} и е0 - ковектор, дуальный к e0. Это случай, когда контактная алгебра Ли (L(G),n) содержит симплектическую подалгебру Ли (L(H),da) коразмерности 1.

Известно [2], что среди всех неразрешимых пятимерных групп Ли контактными являются только такие, у которых алгебра Ли является одной из следующих:

1) разложимые: а$Щ)®,у/(2), а$Щ)®,уо(3), 2) неразложимая: R2xps/(2). В работе [5] построены контактные и контактные метрические структуры на данных алгебрах Ли и изучены их свойства.

Показано, что алгебра Ли R2xps/(2) допускает К-контактную структуру Сасаки. В работе [6] построена К-контактная структура Сасаки на пятимерной группе Гейзенберга.

В работе [2] приведен полный список пятимерных разрешимых неразложимых алгебр Ли. Он насчитывает 24 различные группы Ли. Представляет интерес изучение контактных метрических структур на пятимерных группах Ли этого списка. В данной работе рассматриваются контактные метрические структуры на одной из неразложимых пятимерных групп Ли G14 классификационного списка [2]. Эта группа интересна тем, что ее контактная структура не получается классическими методами контактизации.

3. Контактные метрические структуры на группе Ли G14

Рассмотрим алгебру Ли группы G14, которая определяется следующими коммутационными соотношениями:

[Є2, Є3] = el, [el, Є5] = Є1, [Є2, Є5] = Є2, [Є3, Є5] = Є4.

Контактная структура задается І-формой

* * . * *

П = e1 +se4 +Àe2 +p.e3 ,

где s Ф О; к, р - любые действительные числа. Алгебра Ли L(G14) группы Ли G14 имеет одномерный центр Z(L(G14)) = Re4. Данная алгебра Ли разрешимая, не является нильпотентной. Первый производный идеал DL(G) = [L(G), L(G)] имеет базис e1, e2, e4. Второй производный идеал D2L(G) = [DL(G), DL(G)] = О. Алгебра Ли L(G14) интересна тем, что она не содержит симплектических подалгебр коразмерности І и не является центральным расширением какой-либо четырехмерной симплектической подалгебры. Данная алгебра Ли L(G14) содержит две двумерные симплектических подалгебры:

L(H)1 = (R<e1, e5>, ю = de1 * ), L(H)2 = (R<e2, e5>, ю = de2 * ).

Для задания контактной структуры на L(G14) используем построение трехмерной контактной алгебры Ли N из двумерной симплектической подалгебры Ли L(H)1. Для алгебры Ли L(H)1 контактной формой на N, например, является І-фор-ма n = e1 +se4 , где sф0, а для L(H)2 - форма n = e2 +se4 , где s Ф О. За основу возьмем первый случай.

На двумерном дополнении алгебры N зададим двухпараметрическое семейство І-форм вида Àe2 +pe3 , À,peR. В результате контактная структура на всей пятимерной алгебре Ли L(G14) задается левоинвариантной І-формой n = e1 +se4 + + Àe2 +pe3 , где sф0, к,р - любые действительные числа (соответственно І-формой n = e2 +se4 +Àe1 +pe3 , где sф0, к, peR, в случае построения на основе алгебры Ли L(H)2). Это легко видеть из условия пл^п)2= - 2se1 лє2 лє3 лє4 лє5 Ф 0.

Пусть к = р = 0, тогда n = e1 +se4 . Дифференциал І-формы n имеет вид dn =-e2 лє3 -e1 лє5 -se3 лє5 . Поле Риба Е имеет вид Е = e4/s. Легко видеть, что поле Риба Е лежит в центре алгебры Ли EeZ(L(G14)). Контактное распределение D порождают следующие векторы: e2, e3, se2+e5, e1-e4/s.

*+ a2e2*+ a3e3*+ a4e4*+ a5e5* является 2 _ 2„

Замечание. Любая 1-форма п вида п = аіе контактной, если а1, а4 Ф 0. Действительно, пл(^п)2 = -а12а4е1*ле2*ле3*ле4*ле5*^0.

Если мы выберем левоинвариантную риманову метрику £, относительно которой базис еь...,е5 является ортонормированным, то мы не получим контактную метрическую структуру. Выберем другую левоинвариантную метрику £0 на G14, считая базис

Е1 = —Є2, Е2 = £3, Е3 = 8£2+£5, Е4 = ^—£4/8, Е5 = £4/.?

ортонормированным, и вычислим ее различные характеристики. Базис контактного распределения составляют следующие векторы: Е1, Е2, Е3, Е4. Скобки Ли имеют вид: [Е1, Е2] = —Е4—Е5, [Е1, Е3] = Е1, [Е2, Е3] = —£Е4, [Е3, Е4] = —Е4—Е5. Структурные константы: С142 = -1, С152 = -1, С3 = 1, С23 = -я, С34 = -1, С34 = -1. Контактная форма п и ее дифференциал ^п в новом базисе принимают следующий вид: П = Е5 , = Е1 лЕ2 +Е3 лЕ4 . Очевидно, что поле Риба Е = Е5.

На контактной алгебре Ли можно определить аффинор ф, который обладает свойствами: ф2|д = —I, фЕ = 0 и ф2 = -I + п®Е. Отметим, что такой аффинор задается неоднозначно. Аффинор ф0 действует на базисных векторах Е1, Е2, Е3, Е4, Е5 следующим образом: ф0(Е1) = Е2, ф0(Е2) = —Е1, ф0(Е3) = Е4, ф0(Е4) = —Е3, ф0(Е5) = 0. В результате получилась контактная метрическая структура (п = Е5 , Е = Е5, ф0, ®)).

Теорема 1. Контактная метрическая структура (п = Е5 , Е = Е5, ф0, g0) является К-контактной структурой, но не является структурой Сасаки при любом значении параметра я Ф 0. Ассоциированная метрика g0 имеет следующие характеристики: главные кривизны Риччи имеют значения: Х1=—5/2, Х2=—(я2/2+3), Х3=(—3+(я4+7я2+1)1/2)/2, Х4=—(3+(я4+7я2+1)1/2)/2, Х5=1; квадраты норм тензоров -М1-*,

Риччи и Римана принимают значения:

= 8(s +1); ||Rzem|| =

4 2 2 4 2

= (11я +56я +175)/4; ||Лгс|| = (Зя +26я +85)/4. Скалярная кривизна имеет значение 5 = —(я2+15)/2 и меняется в пределах от —15/2 до —да .

Секционные кривизны К{у} метрики g0 в направлении координатных площадок базиса {£;} имеют значения

К{1,2} = —З/2, К{1,3} = —1 К{1,4} = —З/4,

К{2,3} = —Зя2/4, К{2,4} = (я2 + 1)/4, К{3,4} = (я2 — 7)/4,

К{1,5} = 1/4, К{2,5} = 1/4, К{3,5} = 1/4, К{4,5} = 1/4.

Матрица оператора тензора Риччи в базисе {£,}:

Л

0

-3 0 s 2 0

0 2 - -1 2 0 3s 2

s 0 2 s 5 0

2 2 2

0 3s 0 / -2-

2

0 0 0 0

0

Все вычисления проведены в системе Maple. Файлы с программами вычислений можно найти на Web-сайте кафедры математического анализа КемГУ: http://www.math.kemsu.ru/faculty/kma/.

4. Ассоциированные пятимерные контактные группы Ли

Как уже отмечалось, для контактной формы п аффинор ф определяет ассоциированную метрику g по формуле я(Х,У) = ^п(фХ,У)+п(Х)п(У). Мы будем рассматривать риманову метрику вида

^Х,У) = ¿п(фХ,У)+л(Х)П(У). * (1)

Зафиксируем метрику go = Е1*2 + Е2*2+ Е3*2 + Е4*2 + Е5*2.

Известно [3], что при выбранной ассоциированной метрике g0 и аффиноре ф0

каждый новый аффинор ф задается эндоморфизмом Р, который обладает следующими свойствами:

1) Р антикоммутирует с аффинором ф0, Рф0 = -ф0Р;

2) Р симметричен относительно метрики g0, соответствующей ф0, то есть матрица Рф0- симметричная;

3) 1-Р2 - невырожден.

Тогда

ф = ф0(/+Р)(/-Р)-1.

(Л В Л

Из свойств оператора Р следует, что он имеет блочный вид Р = 1 I, где

А, В, Б — симметричные матрицы вида

'а Ь I (и V I (х у

А = 1 I, В = 1 I, Б = '

В Б

Ь -а) ^ V -и) ^ у - х

Рассмотрим сначала несколько частных классов ассоциированных метрик, для

(о в) (Л о л

которых аффинор ф задается матрицей Р вида Р = 1 в о ), Р = 1 о д I. Тогда

ассоциированные метрики и контактные метрические структуры могут быть найдены в явном виде и доступны для исследования.

(0 В) (и V Л

Случай 1. Пусть оператор Р имеет вид Р = 1 I, где В = I I. Тогда

^ В 0) ^ V -и)

аффинор ф определяется тем, что ф(Е5) = 0, а на контактном распределении Б он вычисляется на основе формулы ф|д = ф0|д(/+Р)(/-Р)-1 и задается матрицей

ФІ о =--

' 0 1 + и 2 + V2 2v -2 и

1 - (і + и 2 + V2) 0 -2 и -2v

1 2 2 1 - и - V 2v -2 и 0 1 + и2 + V2

-2 и -2v - (і + и2 + V2) 0

(2)

2 2 2 4 2 2

Условие невырожденности ёе1(1—Р ) = (1—и —V ) Ф 0 принимает вид и +у Ф 1. Будем считать, что параметры и и V достаточно малые, сумма их квадратов меньше единицы. Соответствующая ассоциированная метрика определяется из (1). Получим выражение матрицы ассоциированной метрики в выбранном базисе{£,}:

§/ = йпік ф/+П/П/.

Нетрудно заметить, что компоненты метрического тензора § на контактном распределении определяются равенством §/|д = (^п)*ф/.

В результате вычислений в системе Maple компоненты блока g|D ассоцииро-

' g ID 0) ~

, соответствующей вышеприведенному аффинору

ванной метрики g =

0 1

Ф (2), получились следующие:

g 1 2 2 1 - u - V

1 + u 2 + V2 0 2 u 2v

0 1 + u 2 + v2 2v -2 u

2 u 2v 1 + u 2 + v2 0

2v -2 u 0 1 + u 2 + V

Вычислены секционные кривизны К{у} в направлении координатных площадок векторов базиса {Е}.

Случай 2. Пусть оператор Р имеет вид Р = | А 0 |, где А = | а Ь |,

^ 0 и) ^ Ь -а)

Б = | Х У I. Тогда аффинор ф, ассоциированная метрика § задаются матрицами -х)

i -((1 - a )2 + b2 )

ф| D =

-2b

1 2 72

1 - a - b (1 + a )2 + b 2 1 - a2 - b2

0

0

Id

(1 + a )2 + b2 1 - a2 - b2 2b

1 - a2 - b2

1 2 .2 1 - a - b

2b

1 - a2 - b2 0

0

2b

1 - a2 - b2 (1 - a)2 + b2 1 - a2 - b2

0

0

-2 У

2 2 1 - x - y

(1 + x )2 + y2 ~л 2 T

1 - x - У

-((1 - x )2 + У2 )

■, 2 2 1 - x - y

2y

■, 2 2 1 - x - y

0

0

0

(1 + х )2 + у2 1 - х2 - у2

2У

! 2 2 1 - х - у

Рассмотрим также отдельно два частных случая.

(А 0

Случай 2.1. Пусть оператор Р имеет вид Р = 1 о о

аффинор ф задается матрицей

Г 2Ь Ъ2 + (1 - а )2

-Ъ2 - (1 + а)2 -2Ь

0 0

0 0

0

0

2У

1 - х2 - У2

(1 - х )2 + у2 1 - х2 - у2

ф| D =-

1

1 - a2 - b

, где A =

0 0 0

b -a

0

0

Тогда

1 2 ,2

1 - a - b

-(1 - a2 - b2)

2 2 2 2 2 2 Условие невырожденности: ёе1(/-Р ) = (1-а -Ь ) ф 0, а +Ь Ф 1, где параметры

а и Ь достаточно малые, сумма их квадратов меньше единицы.

Ассоциированная метрика § задается матрицей следующего вида:

^ Ь2 + (1 + а )2

1

■ 1 - а2 - ь2

2 Ь

Ь2 + (1 - а)2

0 1 - а2 - Ь2

Л

2 Ь 0

0 0 0 Секционные кривизны в направлении координатных площадок векторов

1 2 ,2

1 - а - Ь

базиса {£;} принимают следующие значения:

К

3^2 - 6„ - 2ь2 + 3

ш2 - 3w + а2 +1

(1.2)

20 -1)2

К{1,4} -

3

к

{1.3}

, К{1'3} = - (»■ -і)2

О+ь -1)0 - ь -1)

к

{2,3}

4' ^ О -1)"

-3/ш3 + 9/ш2 - ш(4Ь2 + 9/) + 3/ + 8аЬ3 - 4Ь2

К

{2,4}

w( s 2 -1) - 5 2 + 2 а -1

40 - 2а +1) где ш = а2 + Ь2.

Скалярная кривизна

, К

{3,4}

ш2 (я2 -15) + ш(2^2а + 30) - 4Ь2 - 2^2а - я2 -15 2(ш -1)2

где ^ = а2 + Ь2.

0 0'] I х

Случай 2.2. Пусть оператор Р имеет вид Р = 1 ^ |, где О = \

0 Б

. Тогда

аффинор ф задается матрицей

0

ФІ э =~

і 2 2 1 - X - у

-(1 - X2 - у2) 0 0

1 2 2 1 - X - у

0

0

0

0

0

2 у

у - X

0

0

у2+С1 - х )2

-(у2 + С1+х )2) -2 у

Условие невырожденности: ёе1(/ - Р2) = (1 - х2 - у2)2 Ф 0, х2+у2 Ф 1. Предполагаем, что параметры х и у достаточно малые, сумма их квадратов меньше единицы. Ассоциированная метрика g задается следующей матрицей:

0 0 0 Л

0 0

Л 2 2

1 - X - у

1

■, 2 2 1 - X - у

і 2 2 1 - X - у

0

0

у2 + (1 + х)2

2 у

2 у у + (1 - х)

Секционные кривизны в направлении координатных площадок векторов базиса {£;} принимают следующие значения:

3( х -1)

К

{1,2}

20 -1)

К

{1,3}

у;2 - 2у + 3у2 +1 3(w - 2х +1)

К{1,4} =■

(у -1)0 + 2 х +1)

40 -1)

1

K

(3s2w3 + w2 (-6s2x - 3s2) + w(-4s2y2 + 12s2x + 4y2 - 3s2) +Л +8y2xs - 6s2x - 4s2y2 - 8s2x3 + 3s2 - 4y2

{2,3} 4(w -1)2 (w + 2 x +1)

w2 (1 - s 2) + w(4s2 x - 2x - 6s 2) + 4 y2 s2 + 4s2 x - s2 + 2x -1

K|MI = J(W-I)2 •

v w2 (s2 +1) + w(-4s2x - 8x + 6s2 + 6) + 8x + s2 - 4s2y2 - 7 - 4s2x

K{3,4} = 142

4(w -1)

2 2 где w = x + y .

Скалярная кривизна

c w2 (s2 -11) + w(-4s2x + 6s2 + 26x - 4) +15 + s2 - 4s2y2 - 26x - 4s2x

2(w -1)2

2 2 где w = x + y .

В общем случае для любой ассоциированной метрики вида g(X,Y) = di\{qX,Y) + ц(Х)ц(У)

имеет место

Теорема 2. Любая контактная метрическая структура (n = Е5 , Е, = E5, ф, g) является K-контактной, но не является структурой Сасаки при любом значении параметра s Ф 0 и при любых значениях параметров a, b, u, v, x, y.

Все вычисления проведены в системе Maple. Файлы с программами вычислений можно найти на Web-сайте кафедры математического анализа КемГУ: http://www.math.kemsu.ru/faculty/kma/. В этих файлах приведены также выражения для тензоров Риччи ассоциированных метрик и другие характеристики ассоциированных метрик.

Аналогичные формулировки теорем получены и для остальных пятимерных разрешимых групп Ли классификационного списка [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1976.

2. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv: math. DG/0403555. V2. 24 Sep., 2004.

3. Смоленцев Н.К. Пространства римановых метрик // Математические известия. 2007. T. 142. № 5. С. 2436 - 2519.

4. Khakimdjanov Yu, Goze M., Medina A. Symplectic or contact structures on lie groups // arXiv: math. DG/0205290. V1. 28 May, 2002.

5. Славолюбова Я.В. // Труды Международной научно-практической конференции «Математическое образование в регионах России». Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2007. С. 44 - 50.

6. Славолюбова Я.В. Левоинвариантные контактные метрические структуры на пятимерной группе Ли Гейзенберга // Вестник КемГУ. 2006. № 4(28). С. 24 - 30.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

СЛАВОЛЮБОВА Ярославна Викторовна, аспирантка кафедры математического анализа Кемеровского государственного университета. E-mail: jar1984@mail.ru

Статья принята в печать 25.04.2009 г.