CC BY
38
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
of 3-Sasakian manifolds/ C. P. Boyer, K. Galicki, Vol. 455. - P. 183 - 220. B .M. Mann // J. reine angrew. Math. - 1994. -
УДК 514.76
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ К РЕШЕНИЮ ВОПРОСОВ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПСЕВДОРИМАНОВЫХ K-КОНТАКТНЫХ ЭЙНШТЕЙНОВЫХ СТРУКТУР САСАКИ НА ГРУППАХ ЛИ
Я. В. Славолюбова
APPLICATION OF SYSTEMS OF COMPUTER MATHEMATICS TO THE DECISION QUESTIONS OF EXISTENCE SEMI-RIEMANNIAN K-KONTACT-SASAKI-EINSTEIN STRUCTURES ON LIE GROUPS Ya. V. Slavolyubova
С использованием процедур символьных вычислений на Maple найдены пятимерные алгебры Ли, допускающие левоинвариантные псевдоримановы K-контактные эйнштейновы структуры Сасаки. В качестве примера на одной из пятимерных алгебр Ли найдено в явной форме семейство структур Сасаки и получены геометрические свойства метрик семейства.
With use of procedures of symbolic computations on Maple the Lie algebras of dimension 5 supposing left invariant semi-Riemannian K-contact-Sasaki-Einstein structures are found. On one of Lie algebras of dimension 5 as an example the family of Sasaki structures is found in the obvious form and geometrical properties of metrics of family are received.
Ключевые слова: системы компьютерной математики, Maple, контактные структуры, пятимерные алгебры Ли, структуры Сасаки.
Keywords: systems of computer mathematics, Maple, contact structures, Lie algebras of dimension 5, Sasaki structures.
Системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать научные задачи как прикладного, так и теоретического характера. Однако они нацелены не на приближенные вычисления, а на решения задач, требующих проведения очень сложных символьных вычислений для получения точных решений или доказательств теорем. С использованием систем компьютерной математики получено множество новых математических результатов в областях, ранее далеких от использования компьютерных вычислений. Естественно, что для решения теоретических задач необходим этап математического моделирования, т. е. постановки задачи в том виде, в котором она возможна для компьютерного решения. Maple -одна из наиболее используемых систем компьютерной математики наряду с другими, такими, как Mathematica, MATLAB, MathCAD, Mupad, Derive [1]. Пакет Maple идеален для формулировки, решения и исследования различных математических моделей. При изучении геометрических структур на группах Ли возникает необходимость проведения чрезвычайно сложных вычислений. Многие задачи допускают возможность применения компьютерных символьных вычислений. В данной работе рассматривается применение системы компьютерной математики Maple к решению за-
дач теории левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли. Исследуемыми объектами являются группы и алгебры Ли размерности 5.
І. Предварительные сведения
Приведем сначала математические понятия, необходимые для постановки и моделирования задачи, решение которой осуществляется с использованием математического пакета Maple.
Определение 1. Дифференцируемое (2n + 1)-мерное многообразие M класса Cназывается контактным, если на нем задана 1-форма п, такая, что п Л (dn)n = 0 всюду на M2n+1.
Контактная форма п определяет на многообразии M2n+1 распределение D = {X є TM ■ п(Х) = 0} размерности 2n, которое называется контактным. Кроме того, контактное многообразие M2n+1 имеет всюду ненулевое векторное поле £, которое определяется свойствами: п(£) = 1 и dn(£,X) = 0 для всех векторных полей X на M2n+1. Векторное поле £ называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры.
Определение 2. Если (M2n+1,n) - контактное многообразие, то контактной метрической
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
структурой называется четверка (п,£,ф,д), где П - контактная форма, £ - поле Риба, ф - аффинор на М2”+1, д - риманова метрика со свойствами:
1. ф2 = -I + п ® £,
2. Сп(Х, У) = д(фХ, У),
3. д(фХ, фУ) = д(Х, У) - п(Х)п(У),
где I - тождественный эндоморфизм ТМ2”+1.
Риманова метрика д контактной метрической структуры называется ассоциированной. Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика для контактной структуры п полностью определяется аффинором: д(Х, У) = Зщ(Х, фУ) + +п(Х)п(У). Поэтому мы ассоциированные метрики будем задавать аффинором ф. Отметим также, что аффинор ф действует как почти комплексная структура на контактном распределении В На контактном метрическом многообразии определены два тензора N(1) и N(3) следующими выражениями [2]:
N (1)(Х, У) = [ф,ф](Х,У)+ Сп(Х,У )£,
N (3)(Х) = (Ь5 ф)Х.
Определение 3. Контактная метрическая структура называется структурой Сасаки, если на многообразии М2”+1 х М интегрируема почти комплексная структура 1, определенная формулой
1 (Х,4гї = (фХ - ^,п(Х)і),
где Х Є ТМ2п+1, і є М, / - функция класса Сж.
Определение 4. Контактная метрическая структура называется К-контактной структурой, если поле Риба £ порождает группу изометрий метрики д, т.е. поле Риба £ является кил-линговым относительно метрики д.
Определение 5. [3] Контактная мет-
рическая структура (п, £, ф, д) называется п-эйнштейновой структурой, если существуют гладкие функции а и Ь на М2п+1, такие, что У Х, У є ТМ2”+1
Егсд(Х, У) = ад(Х, У) + Ьп(Х)п(У).
Если в качестве многообразия рассматривается группа Ли О, то естественно рассматривать левоинвариантные контактные структуры. В этом случае контактная форма п, векторное поле Риба £, аффинор ф и ассоциированная метрика д задаются своими значениями в единице, т. е. на алгебре Ли 0 группы Ли О.
2. Применение пакета Maple к исследованию контактных метрических структур на алгебре Ли
Известно [4], не существует K-контактных-эйнштейновых и, тем более, сасаки-эйнштейновых, левоинвариантных римановых структур на группах Ли размерности > Б. Однако в псевдоримано-вом случае такие структуры существуют и могут быть получены в явном виде. В размерности 5 следующие разрешимые алгебры Ли допускают левоинвариантные псевдоримановы эйнштейновы K-контактные структуры Сасаки: разложимые r2r2 x R, r2 x R, Э4,л x R, А = 1, d4 s,6 = 0; неразложимая 05,22. Напомним, что Г2Г2 - прямое произведение алгебр Ли aff (R) x aff (R), где aff (R) -алгебра Ли группы Ли аффинных преобразований R; r2 - алгебра Ли aff(C), рассматриваемая как вещественная алгебра Ли [5]; а g5,22 - 22-я алгебра Ли классификационного списка А. Диатты разрешимых и неразложимих алгебр Ли [4]. Подробно рассмотрим одну из них.
Алгебра Ли r2 x R. Алгебра Ли r2 есть овеществление комплексной аффинной алгебры aff(C). Она имеет базис el,e2,e3,e4, в котором скобки Ли задаются следующим образом: [e1, e3] = = e3, [el, e4] = e4, [e2, e3] = e4, [e2, e4] = -e3. Алгебра является разрешимой, но не нильпотентной. Первый производный идеал D1r2 двумерен, центр
- нулевой. Алгебра Ли r2 изоморфна алгебре Ли Й412 из [5]. Она является прямой суммой двух неабелевых алгебр r2 1 x r2 2, алгебра Ли r2 1 имеет базис —el — ie2, e3 + ie4, а алгебра Ли r2 2 имеет базис —єі + ie2, e3 — ie4. Группу Ли, соответствующую данной алгебре Ли r2, будем обозначать символом R2. Алгебра Ли r2 является точной симплектиче-ской, и симплектические формы ш имеют вид:
ші = e1 Л e3 — e2 Л e4, ш = da, а = —e3,
ш2 = e1 Л e4 + e2 Л e3, ш = da, а = —e4.
Рассмотрим контактное расширение g = = r2 x Re5 алгебры Ли r2 с симплектической формой Ш1 = e1 Л e3 — e2 Л e4, тогда контактная форма имеет вид п = —e3 + e5. Легко видеть, что
dn = e1 Л e3 — e2 Л e4. Поле Риба С имеет вид
С = e5. Контактное распределение D - это левоинвариантное распределение, заданное следующим подпространством в алгебре Ли. Если (xi, ..., X5)
- координаты на g, соответствующие выбранному базису ej, то D С g задается уравнением:
—X3 + X5 =0.
Для построения и компьютерного исследования ассоциированной контактной метрической структуры (п, С, ф, g) мы находим вычислительные формулы основных тензоров контактной метрической структуры и проводим следующие начальные этапы:
• определяем контактную форму п, поле Риба С и форму dn в символьном виде;
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
• загружаем массивы структурных констант алгебр Ли r2 и g = r2 x Re5;
• задаем массив аффинора р в общем виде, как символьную матрицу и находим условия на его элементы для выполнения свойств 1 и 3 контактной метрической структуры.
Далее для решения вопроса о существовании ассоциированных K-контактных структур и структур Сасаки мы выполняем следующие этапы:
• составляем программу пересчета структурных констант с учетом выбора нового базиса;
• находим вид аффинора р из условия: dn(pX, pY) = dn(X, Y), решая в Maple систему алгебраических уравнений, вытекающую из условия: р2 = —I + п ® С;
• вычисляем ассоциированную метрику g, определенную при фиксированных п и С аффинором р по следующей формуле: gij =
= dmk pk + mnj;
• составляем программы и вычисляем основные геометрические характеристики построенной метрики: компоненты связности, тензор кривизны и его норму, секционные кривизны, тензор Риччи и его норму, оператор Риччи, главные кривизны Риччи, скалярную кривизну;
• составляем программу для решения вопроса об эйнштейновости и п-эйнштейновости;
• используя символьные вычисления, находим основные тензоры контактной метрической структуры;
• составляем программу для решения вопроса о K-контактности структуры;
составляем программу для проверки различными критериями выполнения свойств К -контактности, сасакиевости.
Продемонстрируем эти этапы на примере решения данной задачи на прямом произведении х М. Контактная метрическая структура (п, С, д) задается контактной формой п = —е3+ +е5; полем Риба С = е5; аффинором
( фп фи Ф13 Ф14 0 \
Ф21 Ф22 Фі4 Ф24 0
Фзі Фз2 —Ф11 Ф21 0
р
— Ф32 Ф42 Фі2 —Ф22 О
\ О О О О О /
где параметры ф j удовлетворяют системе уравнений:
ф21 + Ф12Ф21 + ФізФзі — Ф14Ф32 = —І
О
О
О
0
1
Ф12 (Ф11 + Ф22) + ФізФз2 + Ф14Ф42 Ф12Ф24 + Ф13Ф21 + Ф14 (Ф11 — Ф22 )
Ф14Ф31 — Ф21 (Ф11 + Ф22) + Ф24Ф32 Ф12Ф31 + Ф21Ф42 — Фз2(Ф11 — Ф22)
Ф22 + Ф12Ф21 — Ф14Ф32 + Ф24Ф42 ассоциированной метрикой g, относительно которой базис E1 = el, E2 = e2, E3 = e3 + e5, E4 = e4, E5 = С = e5 является ортонормированным.
Составляем программы на m-языке Maple для выполнения поставленных выше этапов (см. пример листинга ниже). В результате компьютерного исследования структуры (п, С, р, g) получается следующий теоретический результат.
Теорема І. Контактная метрическая структура (п, С, Р, g) на группе R'2 x R является K-контактной при всех значениях параметров. Контактная метрическая структура на группе R2 x R является структурой Сасаки при следующих аффинорах pl, р2 и соответствующих метриках gl, g2:
Ф11 —Ф12
Ф12
Ф11
Pl =
ФІз(ф 12 —ф 1 І -1)-2ф І І ф14ф 12 фІ4(ф! І-ф 12 + 1)~2фІ І фІзф І
gl
2 ф^з +фі4
ф 14 (ф п —ф 12 + 1) — 2ф 1 1 ф 1 зф 1
ф 2з+ф 24
О
ф 1 з(ф 22— ф 2 1 —1) — 2ф 1 1 ф 14ф 1
ф 2з+ф 2
2 ф 2з +ф 14 ф 1 з(ф 12— ф і 1 — 1) —2ф 1 1 ф 14ф 12 ф 2з+ф 14
О
ф 14 (ф 2 1 —ф 22 + 1) —2ф 1 1 ф 1 зф 12
ф 14 (ф и
4
~ф 22 + 1) —2ф 1
ф 1 зф 1
ф 2з+ф 24
— Ф11
— Ф12 О
ф 1 з(ф 2 2
ф 2з+ф 24 -ф 1 1 —1) —2ф
ф 4ф 2
ф 2з+ф 24
— Ф12 Ф11 О
Ф13
—Ф14
—Ф11
Ф12
О
—Ф11
—Ф12
—Ф13
—Ф14
О
Ф14 О
Ф13 О
—Ф12 О
—Ф11 О
О О
1 2 О
Ф11 О
1 4 О
Ф13 О
О І
. Ф23 + Ф24 = О,
,Ф
13 + Ф24
= О,
р2 =
/ О ±І О О О Ф31 Ф32 О ТІ О
ТІ О О О О Ф32 —Фз1 ТІ О О
Ф31 Ф32 О ТІ О , g2 = О ТІ О О О
—Ф32 Ф31 ±І О О ТІ О О О О
V О О О О О О О О О І
Вестник КемГУ № 3j1 2011 Риманова геометрия
Для метрики д1 квадраты норм тензора Ри-мана и Риччи имеют выражения: ||Егетоі||2 = = — 16ф23 — 16ф24—&ф13+2, ||Дгсі||2 = 2. Скалярная кривизна выражается формулой: Б = 8ф 1 3 — 1. Матрица ЕЮ 1 оператора Риччи имеет следующий вид:
/ 2Фіз — 2 4 2 1 О О О \
2фі4 2Фіз — 2 О О О
О О 2фіз — 2 4 2 — О
О О 2фі4 2ф13 — 2 О
V О О О О 1 /
Метрика Сасаки является псевдоримановой эйнштейновой при -013 = 3/4, ф14 = 0. Секционные кривизны принимают следующие значения:
Kl,3 = K2.4 = —
2,4
4((^12ф13-ф11ф14)2-ф23) ’
K1,2 = О,
ф13(ф13+ф14)
(ф11ф13+ф12ф14)2+ф23
K34 = О, Kl,4 = K2,3 =
Kl,5 = 4, K2,5 = 4, K3 5 = 4, K4,5 = 4.
Для метрики g2 квадраты норм тензора Ри-мана и Риччи имеют выражения: ||Riem2||2 = 4т, ||Ric2||2 = 2. Скалярная кривизна выражается формулой: S = -1.
Матрица оператора Риччи имеет следующий вид: RIC2 = diag( — 2, — 2, — 2, — 2, 1).
Метрика Сасаки является псевдоримановой ц-эйнштейновой при любых параметрах. Секционные кривизны в направлениях базисных площадок {Ei,Ej) принимают следующие значения:
K1,2 = ° K1,4 = ° K2,3 = ° K1,5 = 4; K2,5 = 4.
Аналогичным образом рассматривается контактное расширение g = r2 x Re5 с симплектиче-ской формой ш2 = е1 Л е4 + е2 Л е3.
Опишем Maple-процедуру для определения свойства K-контактности одним из способов. Компоненты тензора N(3) вычисляются по формуле:
N (3)i = piC2n+1,s — C^n+1,i^ks.
Введем обозначения: C - массив структурных констант на алгебре Ли g, f - аффинор на алгебре Ли g, N3 - тензор N(3), YY - количество ненулевых компонент тензора N(3). Входными параметрами данной процедуры являются массивы структурных констант C и массив элементов аффинора р, m = 2n +1 — размерность алгебры Ли g. Выходным параметром является количество ненулевых компонент тензора N(3) и вывод их на печать.
Kkont:=proc(C,f,m)
Описываем локальные переменные: local i,k,s,N3,YY;
Тело процедуры:
Определяем массив компонент тензора N(3) и выводим на печать его нетривиальные компоненты с указанием их количества:
N3:=array(1..m,1..m):
YY:=0:
for i to m do
for k to m do
N3[k,i]:=sum(f[s,i]*C[m,s,k]-C[m,i,s]*f[k,s],’s’=1..m); if N3[k,i] <>0 then YY := YY+1 fi
od od;
print(’Kolichestvo<>0’=YY);
for i to m do
for k to m do
if N3[k,i] <> 0 then print((k,i) =
simplify(evalm(N3[k,i])))
fi
od od;
end:
Вызов процедуры производится следующей командой:
Kkont(C,f,m).
Литература
[1] Дьяконов, В. Maple 9 в математике, физике и образовании / В. Дьяконов. - M.: СОЛОН-Пресс, 2004. - 688 с.
[2] Blair, D. E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry / D. E. Blair // Lecture Notes in Mathematics. - Springer, Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976. - 145 p.
[3] Davidov, J. Eta-Einstein condition on twistor spaces of odd-dimensional Riemannian manifolds / J. Davidov // Journal of Geometry 86, 2006. - P. 42 -53.
[4] Diatta, A. Left invariant contact structures on Lie groups / A. Diatta // [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math/0403555v2, свободный.
[5] Ovando, G. Four dimensional symplectic Lie algebras / G. Ovando // [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math/0407501 v1, свободный.
[6] Ghanam, R. Variationality of FourDimensional Lie Group Connection / R. Ghanam, G. Thompson, E. Miller // J. of the Lie Theory. -2004. - Vol. 14. - P. 395 - 425.
(4^13-3)(фі3+фі4)
