Контактные расширения четырёхмерных точных симплектических групп Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

КОНТАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ТОЧНЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ГРУПП ЛИ

Я. В. Славолюбова

В данной статье рассматриваются контактные алгебры Ли, построенные на основе точных симплектических алгебр Ли. Найдено семейство нормальных ассоциированных контактных метрических структур. Вычислены секционные кривизны, скалярные кривизны ассоциированных метрик и квадраты норм тензоров кривизны, Риччи и тензора кручения Х<1>.

1. Предварительные сведения. Напомним, что дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие М класса С“ называется контактным, если на нем задана дифференциальная 1-форма п, такая что п^(^п)" ф 0 всюду на М2п+1. Форма п называется контактной формой. Контактная форма определяет на многообразии М2п+1 распределение Б = {ХеТМ2"+1 | п(Х) = 0} размерности 2", которое называется контактным. Кроме того, контактное многообразие

М2п+1 имеет

всюду ненулевое векторное поле, обозначаемое £, которое определяется свойствами: п(£) = 1 и

йгП^Х) = 0, для всех векторных полей X на М2п+1. Векторное поле £ определяет 1-мерное распределение, дополнительное к Б. Векторное поле £ называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры.

Если М2п+1 - контактное многообразие с контактной формой п, то контактной метрической структурой называется четверка (п, £, ф, g), где £- поле Риба, g - риманова метрика и р - аффинор на М2п+1, для которой имеют место следующие свойства:

1) р = -I + п®£,

2) ёп(Х,У) = ^фХ,У),

3) g(фX,фY) = - п(Х)п(Х),

где I - тождественный эндоморфизм касательного расслоения.

Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной. Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика для контактной структуры п полностью определяется аффинором р:

g(X,Y) = ёп(Х, + п(ШП (1)

Поэтому мы ассоциированные метрики будем задавать аффинором р. Отметим также, что аффинор р действует как почти комплексная структура на контактном распределении Б.

Контактная метрическая структура называется структурой Сасаки, если интегрируема почти комплексная структура 3, определенная формулой 3(Х, /йЩ = (фХ - & п(Х)Ш), где Хє М2п+\ Ґє Я, /- функция класса Ск на М2п+1 хК, 3 = -I.

На контактном многообразии определены четыре тензора следующими выраже-

ниями [1]:

NТ)(Х,У) = [ф,ф](ХХ) + 2dп(X,Y)£, N2>(Х,У) =

= (ЬфХп)т - (ЬфХ п)(Х),

ІЇ\ХХ) = (Ьр)Х, ІЇ4>(Х,У) = (1%п)(Х).

Как известно [1], тензор А*3) обращается в нуль, если и только если характеристическое векторное поле £ является киллинговым относительно метрики g.

Пусть М2п+1 контактное метрическое многообразие, такое что п - контактная форма и (п,£,ф,^) -ассоциированная почти контактная метрическая структура. Если характеристическое векторное поле £ порождает группу изометрий, то есть £ - векторное поле Киллинга относительно g, то такую контактную метрическую структуру называют ^-контактной [1]. Контактная метрическая структура является ^-контактной, если и только если Ь р =

= № = о [1].

Если в качестве многообразия рассматривается группа Ли О, то естественно рассматривать левоинвариантные контактные структуры. В этом случае контактная форма п, векторное поле Риба £, аффинор р и ассоциированная метрика g задаются своими значениями в единице, т. е. на алгебре Ли Ь(О) группы Ли О.

2. Методы контактизации. Существует несколько методов построения контактной алгебры Ли из симплектической алгебры Ли. Напомним, что симплектической группой Ли (Н, ан) называется группа Ли Н с заданной на ней замкнутой невырожденной левоинвариантной 2-формой оН. Поскольку левоинвариантная симплектическая форма оН определяется своим значением в единице а = ан(е), то пара (Ь(Н), о) называется симплектической алгеброй Ли. Напомним два классических метода “контактизации”.

2.1. Центральное расширение. Этот метод дает только такие контактные группы Ли, которые имеют одномерный центр. Если имеется симплектическая алгебра Ли (Ь(Н), о), то можно построить центральное расширение Ь(О) = Ь(Н)хаК при помощи невырожденного 2-коцикла о. Скобки Ли задаются следующим образом:

[Х, ео]ь(о) = 0, [Х, Y]ь(o) = [Х, Пцн) + а(Х, Y)eо для любых Х, Y є Ь(Н) и е0 - базисный вектор из К, (мы будем иногда использовать обозначение) е0 є Ке0. В результате получается контактная алгебра Ли с центром 1(Ь(О)) = Ке0 и контактной формой п = -е0, где е0 - ковектор, обладающий свойствами е0(е0) = 1 и е°(Ь(Н)) = 0.

Когда пространство К рассматривается как векторное пространство с базисным (единичным) вектором е0, мы будем использовать обозначение Ке0.

2.2. Контактизация на основе точных симплектических групп Ли. Можно также построить

контактные группы Ли из точных симплектических групп Ли. Напомним, что симплектическая алгебра Ли (Ь(Н), а) называется точной симплектической, если форма а является дифференциалом da = а левоинвариантной формы а. Если имеется точная симплектическая алгебра (Ь(Н), da), то на прямом произведении Ь(О) = Ь(Н)хКе0 в качестве контактной формы берется 1-форма

П = ве° +а,

где вФ0 - некоторое вещественное число. Поле Риба £ имеет вид £ = (1/в)е0.

Теорема 1. Если симплектическая алгебра Ли (Ь(Н), а) является точной симплектической, а =da, то контактные расширения (Ь(Н)хаК, п = -е°) и (Ь(Н)хК, П = ве° +а) являются изоморфными при любом значении параметра в Ф 0.

Доказательство. Выберем базис (еь..., е2п) в алгебре Ли Ь(Н), в котором симплектическая форма а имеет вид:

а = е1 л е 2 +-+ е 2п-1 л е2п, а = -е1,

где е' - ковекторы, дуальные к е,. Отметим, что из

уравнений Маурера-Картана dek = -!„ ,4е л е‘

и из условия а =da следует, что с1 = аі}-, і,] = I,---,2п , где ск - структурные константы алгебры Ли Ь(Н).

Тогда в базисе (е0, е1,..., е2п) алгебры Ли Ь(Н)хаК скобки Ли имеют вид:

Ск = 0, С0 =а1}, Ск = ск, і,],к = 1,-,2п .

Рассмотрим теперь алгебру Ли (Ь(Н)хК, п = = ве° - е1) и выберем в ней базис (Е0,Е1, ..., Е2п) следующим образом:

Е0 = —(\/S)e0, Е1 = (1/в)е0 +e1, Е2 = e2, ■■■, Е2п = е2п .

Тогда очевидно, что в этом базисе ковектор дуальный к Е0, будет таким: Е = -ве0 + е1 . Это означает, что п = -Е0. Найдем скобки Ли Ск в данном

базисе. Очевидно, что Сг0 = 0, 1,к = \,---,2п . Для остальных скобок Ли имеем:

С*Ек = [Е1, Е}] = [в,, ej] = с^ = 4 (Ео + Е,) +

+суЕ + - + с2пЕ2п, г, j,к = \0-,2п.

Поэтому, С к = ск, г, j, к = !,■■■ ,2п и

Су = Су = а у, і, ] = 1,-•• ,2п . В выбранном базисе

Еі алгебры Ли Ь(Н)хК скобки Ли совпали со скобками Ли в базисе е' алгебры Ли Ь(Н)хаК, поэтому данные алгебры изоморфны. Кроме того, контактная структура в каждом случае задается одним и тем же вектором базиса, п = -е° и п = -Е\

Теорема доказана.

Отметим, что при контактном расширении (Ь(Н)хКе0, п = se0+a) числовой коэффициент в можно считать равным единице в = 1. Если это не так, то в качестве базисного вектора е0є К можно взять вектор (1/в)е0. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в = 1 и п = e0+a.

Пусть (Н,а) - симплектическая группа Ли. Рассмотрим прямое произведении НхК. Пусть п:НхК ^ Н - естественная проекция.

Лемма. Левоинвариантная почти келерова структура (Ь(Н), а = da, 3Н, gн) на точной симплектической группе Ли (Н, а = da) однозначно определяет левоинвариантную К-контактную метрическую структуру (п, £, ф, g) на контактном расширении (Ь(Н)хКе0, п = e0+a).

Доказательство. Пусть на точной симплектической группе Ли (Н, а) задана левоинвариантная почти комплексная структура 3Н, обладающая свойствами: а(3НХ.^НТ) = а(Х,У) и gH(X,Y) = а(Х.3Нї), для Х^єЬ(Н). Рассмотрим контактное расширение (Ь(Н)хКе0, п = e0+a). Очевидно, что поле Риба есть параллельное вдоль К векторное поле е0. Естественно возникает левоинвариантный аффинор р, обладающий свойствами: р( ) = 0, контактное распределение Б инвариантно относительно р и dп(р(V)) = 3Н ^п(У)) для Ує Ь(Н) хКе0. Определим левоинвариантную риманову метрику g на НхК, полагая, что g(e0)=1, Dl.ec и g(и,У) = gн ^п(и),dп(V)) для и,Ує Б. Эта метрика очевидно сохраняется при сдвигах вдоль второй компоненты К прямого произведения Нх К. Тогда, учитывая, что 3Н = -I и а = dп, легко видеть, что выполнены все свойства для контактной метрической структуры: р = -I + п£, dп(X,Y) = g(фX,Y) и g(фX,фY) = g(X,Y) - п(Х)п(У). Из инвариантности метрического тензора g относительно сдвигов вдоль поля Риба е0, т. е. вдоль К, следует К-контактность (п, £, ф, g) на контактном расширении (Ь(Н)хКе0, п = e0+a).

Теорема 2. Точная симплектическая алгебра Ли (Ь(Н), а =da) обладает левоинвариантной келеровой структурой (Ь(Н), а =da, 3Н, gн) тогда и только тогда, когда контактное расширение (Ь(Н)хКе0, п = e0+a) обладает левоинвариантной К-контактной структурой Сасаки (п, £ = е0, ф, g).

Доказательство. Из леммы следует, что левоинвариантная почти келерова структура (Ь(Н), а = da, 3Н, gн) на точной симплектической группе Ли (Н, а = da) однозначно определяет левоинвариантную К-контактную метрическую структуру (п, £, ф, g). Она будет структурой Сасаки, если интегрируема левоинвариантная почти комплексная структура 3 на группе НхКхК определенная на ее алгебре Ли ДН^КеохКе формулой 3(Х, ае) = (фХ - ае0, п(Х)е), где Хє Ь(Н)хКе0 и е - базисный вектор из К. При этом, если УєБ, 3(У) =3У, 0) = (фУ, п(У)е) = =(фУ,0) = фУ . Пространство Ке0хКе также инвариантно относительно 3 и на нем 3 определяет стандартную комплексную структуру, КхК = С, 3(е) = = 3(0, е) = (-0, 0) = -е0,3(е0» = 3(е0,0) = (0, е) = е.

Выберем базис (еь..., е2п) в алгебре Ли Ь(Н), в котором потенциал a симплектической формы а является ковектором, дуальным к е1, a = е1. Отметим, что из уравнений Маурера-Картана

dek = -у ] л е1 и из условия а =da следует, *—ч< ] J

что с1 = аі}-, і, ] = 1,■■■ ,2п , где ск - структурные константы алгебры Ли Ь(Н). Рассмотрим теперь контактную алгебру Ли (Ь(Н)хК, п = е° - е1) и выберем в ней базис (Е0,Е-1, ..., Е2п) так, чтобы векторы (Ег, ..., Е2п) образовывали бы базис контактного распределения и соответствовали бы базису (еь..., е2п) при проекции п:НхК ^ Н, а вектор Е0 совпадал бы с полем Риба:

Е0 = —e0, Е1 = e0+e1, Е2 = e2, ■■■, Е2п = е2п .

Тогда очевидно, что в этом базисе ковектор Е0, дуальный к Е0, будет таким: Е0 = -е 0 + е1. Это означает, что п = -Е0. Найдем скобки Ли Ск в

- 3[е0,3е-1]-3[3е0,е-1]) = 0,

М(ес V) = 2([М3У]-[еоУ]-

- 3[е0,Щ -3[3е0, V]) = 0, УєБ,

Ще-1, V) = 2([3е-Ь3У]-[е-ЬУ]~

- J[e-hJV]-J[Je-hV]) = 0, УєD.

Покажем, что

Щ(и, V) = 2([JU,JУ]-[U,V]-J[U,JУ]-J[JU,V]) = 0 для любых и^єБ, т. е. покажем, что равны нулю компоненты тензора Нейенхейса, Щк = 0. Поскольку

и^єБ, то можно считать, что і] = 1,2, ..., 2п. В базисе (Еь ..., Е2п) контактного распределения Б компоненты оператора 3 совпадают с компонентами почти комплексной структуры 3Н на Ь(Н), кроме то-

данном го, совпадают и структурные константы, поэтому

базисе. Очевидно, что Сі0 = 0, і,к = 1,■■■ ,2п . Для остальных скобок Ли имеем:

С]Ек = [Е, Еі ] = е, е] ] = с]ек = с1 (Е0 + Е1) +

1 +... + с*пЕ2п, і, ], к = \ 0-,2п.

Поэтому,

Ск = ск, Ск] = Ск0 = 0, і,],к = 1,-,2пи

С] = с\ =а1, i,] = 1,-,2п .

Рассмотрим группу НхКхК. Базисный вектор дополнительного пространства К обозначим е-1. Структурные константы алгебры Ли Ь(Н)хКе0хКе-і являются нулевыми, когда хотя бы один из индексов есть -1 и совпадают с Сік] в остальных случаях.

Предположим, что почти комплексная структура 3Н на группе Н интегрируема, т. е. ее тензор Нейен-хейса Щ(Х,,Т) = 2(\3Х,3Т]-[Х,Т]-3[Х,3Т]- І^Х^) равен нулю. Покажем интегрируемость левоинвариантной почти комплексной структуры 3 на группе НхКхК, определенной на ее алгебре Ли

Ь(Н)хКе0хКе-і формулой 3(Х, ае-\) = (фХ - ае0, п(Х) е-1), где Хє Ь(Н)хКе0. Вычислим тензор Ней-енхейса для 3 на всех возможных векторах из ДН^КесхКе^. Будем использовать то, что контактное подпространство Б и пространство

Ке0хКе-і инвариантны относительно 3 и то, что векторы из Ке0хКе-і коммутируют с векторами из Б. Тогда имеем:

N(eо, е-\) = 2([Jeо,Je-\]~{eо,e-\] —

Щ] = 0, і, ],к = 1,...,2п. Легко также видеть, что равна нулю и компонента тензора Нейенхейса в направлении Ке-1, Щ-1 = 0, і, ] = 1,...,2п. Осталось показать, что Щ0 = 0. Для левоинвариантной почти

комплексной структуры тензор Нейенхейса легко выражается через структурные константы:

\тк _^/ ті тт^к г-ік тк ті /їм тк ті ґ^т\

= 2(3 ^ іС1т - - 3 т3 іСіІ ~ 3 т3 іСИ ) .

i j lm

Тогда получаем:

№ /2 = J‘.JmC, - С1. - Jи j - Jи j.c; _

ij 1 j lm ij m j il m 1 ij

jl jm c 0 C® T® C- -- - C-

— J iJ jClm Cij J - 1п J - 1lj —

_ Jl.JmC? - C° _ JI.Jm.a, -o). _ 0 .

i j lm ij i j lm ij

Последнее равенство следует из того, что a(JHX,JHY) = a(X,Y).

Обратное утверждение очевидно, если тензор Нейенхейса для почти комплексной структуры J равен нулю, то и для почти комплексной структуры JH на группе Ли H он также равен нулю, поскольку его компоненты совпадают с компонентами J в базисе (E1, ... , E2n) контактного распределения D. Теорема доказана.

В работах [б], [1] получен список четырехмерных разрешимых точных симплектических алгебр Ли.

Таблица 1

Четырехмерные разрешимые точные симплектические алгебры Ли

Случай Скобки Ли Потенциал

A12 [e1, e2]=e2, [Єз, e4]=e4 a =-Є -

Aff(C) [e1, Єз]=Єз, [e1, є4]=Є4, [e1, Єз]=Єз, [e1, e4]=e4 a =-3

L4,1 [e1, Є2]=Єз, [e4, Єз]=Єз, [e4, e^=e1 a -1

L 4,х, Яф1 [e1, Є2]=Єз, [e4, Єз]=Єз, [e4, e1]=Ae1, [e4, e2\=(1-X)e1 3 a =-

L 4,8, 5ф0 [e1, Є2]=Єз, [e4, e1]= S/2e1-e2, [e4, Єз]= 8єз, [e4, e2]=e1+8/2e1 3 a =-

h4 [e1, Є2]=Єз, [e4, Єз]= Єз, [e4, є^=1/2є1, [e4, e2]=e1+1/2e2 3 a =-

3. Контактные расширения алгебры Ли А1 = = А//(К)хА//(К). Рассмотрим контактные структуры на двух алгебрах Ли, которые получаются из алгебры Ли Л12 = Л//(К)хЛ//(К) двумя методами контакти-зации. Хотя в результате контактизации получаются изоморфные контактные алгебры Ли, имеет смысл рассмотреть оба метода контактизации. Алгебра Ли Л]2 = Л£ґ(К)хЛ£р(К) является разрешимой, но не нильпотентной. Первый производный идеал двумерен, центр - нулевой. Напомним, что алгебра Ли Л/(К) группы аффинных преобразований прямой Я

а Ь

представлена матрицами вида: | ^ ^ |, а, Ь є Я.

Выберем базис из следующих матриц:

е=ї101 • *.=10 ] ].

1 ^0 0 / 2 ^0 0)

Тогда имеется единственное коммутационное соотношение [е], е2] = е2. Данная алгебра Ли является симплектической и а ]= е ле = -ёе = ёа1. Поэтому алгебра Ли Л//Я) является точной симплектической. Для прямого произведения Л2 =

= Л//Я)уЛ//Я) имеем соответствующий базис е], е2, е3, е4 и коммутационные соотношения [е], е2] = е2 и [е3, е4] = е4. Симплектическая форма имеет вид:

1 2 3 4 2 4

а = е ле + е ле , а = ёа, а = -е -е .

3.1. Центральное расширение. Построим центральное расширение Л12хаКе5 при помощи симплектической формы а. Ненулевые скобки Ли на алгебре Ли Л^ХшЯез определяются формулами:

[ее]• е2] = е2+е5 и [ез, е4] = е4+ е5.

Алгебра Ли Л^хщЯе имеет одномерный центр Яе5. В качестве контактной формы выберем 1-форму п = -е5. Легко видеть, что ёг]= е1ле2+ е3ле4. Поле Риба £ имеет вид £ = -е5. Тогда левоинвариантное контактное распределение В определяется подпространством Л]2 в Л12хшЯе5. Выберем базис Е],..., Е5 контактной алгебры Ли Ь(Л2)хаЯе5: Е] = е], Е2 = е2, Е3 = е3, Е4 = е4, Е5 = -е5. Скобки Ли в новом базисе.

[Е], Е2] = [еі, е2] = е2+е5 = Е2 - Е5,

[Ез, Ел\ = [ез, е^\ = е4+е5 = Е4 - Е5.

Контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п = Е5. Ее внешний дифференциал ёп = Е1лЕ2 + Е3лЕ?.

3.2. Расширение алгебры Ли А12 как точной симплектической. Рассмотрим прямое произведение Л2х Яе5 с контактной формой:

П = -е2-е4+і'е5, где І'ф0 - некоторое вещественное число. Легко видеть, что ёпи= е ле2+ е3ле4. Поле Риба £ имеет вид

£ = (1/^)е5. Контактное распределение В - это левоинвариантное распределение, заданное следующим подпространством в алгебре Ли. Если (х1, ..., х5) -координаты на Ь(О), соответствующие выбранному базису е1, то В с Ь(О) задается уравнением: -х2-х4+іх5 = 0.

Выберем базис Е1,..., Е4, Е5 алгебры Ли Л2х Яе5 так, что Е5 = £= (1/^)е5 и векторы Е1,..., Е4 образуют базис контактного подпространства В и выбраны

следующим образом: Е1= е1, Е3= е3, Е2 = е2+(1/s)е5• Е4 = е4+(1/s)е5. Найдем структурные константы в новом базисе.

[ЕЬ Е2] = [е1^ е2+(1/з)е5] = е2 = Е2~Е5^

[Е3, Е4] = [е3, е4+(1/s)е5] = е4 = Е4-Е5.

Выпишем ненулевые структурные константы:

С2 = \С5 =-\С4 = 1 С5 =-1

12 ^ 12 ^ 34 ^ 34 -1-

Контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п= Е5. Ее внешний дифференциал имеет вид: ёп= ёЕ5 = Е1л Е2+ЕЗл Е4.

Как известно, ассоциированная метрика g контактной метрической структуры (п, £, р, g) при фиксированных п и £ определяется аффинором р по следующей формуле: g(X•Y) = ёп(Х,рУ)+п(Х)п(У). Запишем аффинор р в общем виде в базисе Е1,..., Е5. Учитывая, что р обладает свойством dп(рX•рY)

ёп(Х^), для Х^єВ, легко видеть, что

' Р11 Ри Р13 Р14 01

Р21 -Р11 Р41 Р24 0

Р = Р 24 Р14 Р33 Р34 0

Р41 -р13 Р43 -р33 0

і 0 0 0 0 0,

Теорема 3. Контактная метрическая структура (п, £, р g) на группе Л2хКе5 является К-контактной при всех значениях параметров. Она является контактной метрической структурой Сасаки при следующем аффиноре:

Р =

Р11 Р12 0 0 01

I2 +1

11 -р11 0 0 0

Р12

0 0 р33 Р34 0

0 0 РІ +1 -р33 0

0 0 Р34 0 0 0,

Тогда соответствующая метрика g контактной метрической структуры (г/, £, ф g) имеет следующую матрицу:

g =

Рр +1 -р11 0 0 1 0

£ £ 1 -р12 0 0 0

0 0 рр +1 -р33 0

0 0 Р34 -р33 -Р34 0

0 0 0 0 1,

Квадраты норм тензоров Римана и Риччи имеют выражения:

и и 2 2 2

Ш/еда = -6р12 - 6р34 + 4р3Л + 4р12 +17/2,

||Д/с||2 = 2рЗА + 2р22 - 2р34 - 2р12 + 2. Секционные

кривизны Ку в направлении координатных площадок векторов базиса принимают следующие значения:

К12 =Р2-3/4, К13=0, К14=0, К23=0, К24=0, К34=Р34-3/4, К12=р12-3/4, К15=1/4, К25=1/4, К35=1/4, К45=1/4. Скалярная кривизна выражается формулой:

|| Вестник КемГУ

£ = 2(ри + р34 -1) • Метрика Сасаки является эйнштейновой псевдоримановой при р1 = р = 0 и ф12 = ф34 = 3/2

Доказательство вытекает из Леммы и теоремы

2 с использованием прямых вычислений при помощи системы Мар1е.

Замечание. В классификационном списке работы [2] приведена пятимерная контактная алгебра Ли, являющаяся полупрямым произведением А2хр Яе5 (18-я алгебра Ли классификационного списка), заданная в базисе е1, е2, е3, е4, е5 коммутационными соотношениями:

[еи е2] = е2, [ез, е4] = еА, [еи е5] = ре5, [е3, е5] = Це5.

Легко видеть, что данная алгебра Ли изоморфна рассмотренной выше алгебре Ли Л12х Яе5, когда параметры р и q равны либо нулю, либо единице. Действительно, если Е~1 = е1, Е2 = е2+ре5, Е3 = е3, Е4 = е4+ре5, Е5 = е5, то скобки Ли в новом базисе будут следующие: [Е1, Е2] = е2+р2е5 = Е2, [Е3, Е^\ =

= е4+р2е5 = Е4. Этот случай, когда параметры р и q равны либо нулю, либо единице является общим. Это следует из результатов работы [5]. Действительно, если р Ф 0, то алгебра Ли е1, е2, е5 с коммутационными соотношениями [е-[, е2] = е2, [е1, е5] = ре5 обладает тем свойством, что для любых ее элементов х,у выполняется свойство [х,у] = 1(х)у - 1(у)х, где

l(x) - линейная форма на алгебре Ли. В нашем случае l(e{) = 1, l(e2) = 0, l(e5) = 0. Поэтому p = 1.

Аналогичным образом могут быть построены контактные алгебры Ли из остальных 4-мерных алгебр Ли таблицы 1.

Литература

1. Blair, D. E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics / D. E. Blair.

- Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1976.

2. Diatta, A. Left invariant contact structures on Lie groups// arXiv: math. DG/0403555 v2 24 Sep 2004.

3. Смоленцев, Н. К. Пространства римановых метрик / Н. К. Смоленцев // Современная математика и её приложения. - 2003. - Т. 31. - С. 69 - 146.

4. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Намидзу. - М.: Наука. -1981. - Т. 1, 2.

5. Milnor, J. Curvatures of Left Invariant Metrics on Lie Groups / J. Milor // Advances in mathematics. -V. 21. - 1976. - P. 293 - 329.

6. Ovando, G. Complex, symplectic and Kahler structures on four dimensional Lie algebras / G. Ovando // arXiv: math.DG/ 0309146 v1, 8 Sep 2003, 15 P.

7. Ovando, G. Four dimensional symplectic Lie algebras / G. Ovando // arXiv: math. DG/0407501v1, 28 Jul 2004, 21 P.