Применение системы Maple для исследования почти контактных структур на прямом произведении аффинной алгебры Ли и унимодулярной алгебры Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.02

Е. В. Прокопенко, Я. В. Славолюбова, А. С. Березина

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ MAPLE ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ СТРУКТУР НА ПРЯМОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ АФФИННОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ И УНИМОДУЛЯРНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

В данной работе рассматривается применение системы аналитических вычислений Maple к получению теоретических результатов в области почти контактной геометрии.

Maple - система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавного времени ее называли системой компьютерной алгебры. Это указывало на особую роль символьных вичислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

Maple - типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

- мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

- редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

- современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

- мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

- ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

- численный и символьный процессоры;

- систему диагностики;

- библиотеки встроенных и дополнительных функций;

- пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple - одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).

Система компьютерной математики Maple была разработана группой ученых, организованной Кейтом Гедом и Гастоном Гонэ в 1980 году в канадском университете Waterloo, занимающихся символьными вычислениями.

Кардинальным отличаем пакета Maple от систем для проведения численных расчетов является возможность решения задач в символьном виде. Такая специфика систем компьютерной алгебры позволяет проводить точные вычисления и получать ответ в символьной форме, более точной, чем

любой из численных методов. Однако Maple успешно справляется и с численными расчетами. Если необходимо найти ответ в виде числа с плавающей точкой, то он будет найден в конце символьных вычислений. Таким образом, погрешность метода - это лишь погрешность округления.

Пакеты встроенных процедур Linalg, LinerAlgebra. Первые версии Maple содержали только пакет linalg, реализующий основные операции линейной алгебры. Начиная с шестой версии, в Maple появился пакет LinerAlgebra, оснащенный эффективными процедурами. Функциональность пакетов почти одинакова.

Основными объектами, с которыми работают команды этих пакетов, являются матрицы, однако матрицы одного пакета не эквивалентны матрицам другого.

Пакет linalg содержит команды для работы с символьными матрицами и векторами: сложение, умножение матриц, собственные числа и векторы в символьном виде и др. Пакет LinearAlgebra содержит усовершенствованные команды линейной алгебры для работы со специальным видом числовых матриц Matrix.

В Maple выполнение преобразований линейной алгебры можно осуществлять с помощью команд двух пакетов: linalg и LinearAlgebra, функциональность которых практически одинакова. Первый пакет входил в состав всех предыдущих версий Maple, тогда как второй пакет - это новое средство, позволяющее работать с числовыми матрицами, в том числе и с матрицами больших размеров, используя всю мощь известного пакета численных расчетов NAG (Numerical Algorithms Group). Базовыми объектами, с которыми работают команды этих пакетов, являются матрицы, однако матрицы одного пакета не эквивалентны матрицам другого. В пакете linalg используются матрицы, построенные на основе массива, создаваемого командой array(), тогда как в пакете LinearAlgebra применяются векторы и матрицы, построенные на основе новой структуры r-таблицы (r-table) и создаваемые специальными конструкторами Vector( ) и Matrix( ) или с использованием краткой нотации < a, b, c >. Матрицы в пакете linalg вычисляются только до уровня своих имен, поэтому в нем невозможно вычислить операции поэлементного суммирования или вычитания, используя простые операции над идентификаторами матриц, и приходится пользоваться специальной командой evalm( ) для вывода результирующих матриц. В пакете LinearAlgebra матрицы

вычисяются до уровня своих элементов, поэтому простое задание имени матрицы в области ввода рабочего листа приводит к отображению ее элементов, а не имени матрицы, как в случае с пакетом linalg. Кроме этого, в пакете LinearAlgebra матрицы могут задаваться в качестве операторов сложения и вычитания, что приводит к поэлементному выполнению указанных операций без использования дополнительных команд.

При выборе пакета линейной алгебры для работы рекомендуется принять во внимание следующее: пакет linalg полезен при выполнении абстрактных вычислений над матрицами и векторами. Пакет LinearAlgebra обладает более дружественным интерфейсом и особенно эффективен при работе с числовыми матрицами больших размеров из-за возможности обращения к откомпилированным программам пакета численных расчетов NAG.

Определить матрицу или вектор в Maple можно двумя способами: либо с помощью команды array() стандартной библиотеки, либо командами matrix() и vector().

Пакет линейной алгебры linalg содержит команды создания матриц и векторов, предлагает большой набор функций для работы со структурой этих объектов, для выполнения основных матричных и векторных операций и для решения основных задач линейной алгебры: решение систем линейных уравнений, нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы, приведение матриц к специальным формам и т. д. И все эти действия можно выполнять с матрицами и векторами, элементами которых являются общие алгебраические выражения, получая результаты также в виде алгебраических выражений.

Все команды пакета LinearAlgebra можно вызвать непосредственно по имени, предварительно подключив весь пакет стандартным способом, или можно подключить отдельную команду с использованием синтаксиса

with(LinearAlgebra, имя команды);

Можно вызвать команду, предварительно не подключая ее, а используя длинное имя

LinearAlgebra[имя команды] (параметры); LinearAlgebra['имя команды'] (параметры);

Последняя форма (имя команды, заключенное в кавычки), вызывает соответствующую команду пакета, даже если в текущем сеансе используется какой-либо объект с таким же именем.

Пакет LinearAlgebra реализован в виде модуля, новой языковой конструкции Maple, использующей элементы объектно-ориентированного программирования. Каждая команда является методом объекта LinearAlgebra, и поэтому ее можно вызвать, используя специальную операцию: - обращения к методу объекта.

LinearAlgebra: - имя команды (параметры);

В этом случае вызываемая команда также будет загружена, не конфликтуя с объектом другого

типа, созданным в текущем сеансе.

Для получения более полной информации по пакету LinearAlgebra можно загрузить справку командой ?LAOverview. На этой странице справки расположены ссылки на другие страницы, подробно описывающие работу и программирование пакета LinearAlgebra, включая рабочие листы с примерами использования подпрограмм пакета NAG.

1. Общие сведения из теории почти контактных структур

Остановимся на основных понятиях и фактах относительно почти контактных структур, лево-инвариантных метрик и левоинвариантных почти контактных структур на группах Ли.

Определение 1. Говорят, что дифференцируемое многообразие M2n+1 имеет почти контактную структуру (п, 4, ф), если оно допускает поле ф эндоморфизмов касательных пространств, векторное поле £ и 1-форму п, удовлетворяющих условиям:

<p(g) = 0, п°< = 0 ,n(g) = 1,<2 =-I + n®g, (1)

где I - тождественное преобразование TM2и+1 [1].

Определение 2. Риманова метрика g на M2n+1 называется совместимой с почти контактной структурой (п, 4, ф), если

g(<X<Y) = g(X,Y) - r,(X)n(Y). (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что n(X) = g(g,X) (а также kern = g1 ) для любой совместимой метрики.

Любая почти контактная структура допускает совместимую метрику. Фундаментальная 2-форма почти контактной метрической структуры (п, 4, ф, g) определяется по формуле:

Ф( X ,Y) = g (X <Y).

Для любой почти контактной структуры выполняется неравенство п л Фп ф 0 , из которого следует, что почти контактное многообразие ориентируемо. Если совместимая метрика g удовлетворяет условию dn = Ф, тогда многообразие (M, п, 4, ф, g) называется контактным метрическим многообразием, а метрика g - ассоциированной метрикой.

По определению ранг почти контактной структуры (п, 4, ф) является рангом ее 1-формы п. Таким образом, структура (п, 4, ф) имеет ранг r = 2s (соответственно, r = 2s +1), если dtf ф 0 и

П л (dn)s = 0 (соответственно, п л (dn)s = 0 и (dn)s+1 = 0). При этом 1-форма п называется контактной формой, если ее максимальный ранг равен n, то есть п л (dn)n ф 0 . Данное условие всегда выполняется в случае контактной метрической структуры [1].

Пусть M2n+1 - почти контактное метрическое многообразие, наделенное почти контактной структурой (п, 4, ф). Рассмотрим M2n+1 х R и обо-

значим (X, fd) -произвольное векторное поле

на данном многообразии. Почти комплексная структура определяется следующим образом:

J (X, fd) = (gX - fiMX ) d). dt dt

Почти контактная структура (n, 4, ф) является нормальной, если и только, если почти комплексная структура J интегрируема. Выражая интегрируемость почти комплексной структуры J в терминах тензора Нейенхейса имеем, что почти контактная структура (n, 4, ф) - нормальная, если и только, если

N(1) = [g,g] + 2dn®£ = 0 (см. теорему 6.1 [2]). Структурой Сасаки является нормальная контактная метрическая структура

Напомним, что почти контактная структура (П, 4, ф, g) называется n- Эйнштейновой, если Ric = ag + b п ® п , где Ric - тензор Риччи метрики g и a, b -гладкие функции [1].

Если в качестве многообразия рассматривается группа Ли G, то естественно рассматривать левоинвариантные почти контактные метрические структуры. В этом случае контактная форма n, векторное поле Риба 4, аффинор ф и совместимая метрика g задаются своими значениями в единице, т.е. на алгебре Ли L(G) группы Ли G.

2. Применение пакета Maple к исследованию почти контактных метрических структур на 5-мерной алгебре Ли

Рассмотрим 5-мерную алгебру Ли aff (R) х u , являющуюся прямым произведением аффинной алгебры Ли aff (R) и 3х-мерной унимодулярной

алгебры Ли u. Она имеет базис (e1, e2, e3, e4, e5 ), в котором выражения скобок Ли приведены в таблице.

Таблица. Скобки Ли алгебры Ли aff (R) х u

4 aff (R) х e(1,1) [ei, e2 ] e2 , e4] = e5 , [e3, e5] = -e4.

5 aff (R) х h3 [ei, e2 ] = e2 , [e3, e4] = e5.

№ Алгебра Ли Скобки Ли

[ei e2 = e2 ,

1 aff (R) х su (2) = [e3 e4 = e5 ,

aff (R) х so(3) [e4 e5 = e3,

[e3 e5 = e4 .

[ei e2 = e2 ,

2 aff (R) х sl(2, R) = [e3 e4 = 2e4,

aff (R) х o(1,2) [e3 e5 = -2e5,

[e4 e5 = e3.

[ei e2 = e2 ,

3 aff (R) х e(2) [e3 e4 = e5 ,

[e3 e5 = e4 .

Определим левоинвариантную почти контактную метрическую структуру (п, 4, Ф, ё) на алгебре Ли а//(Я) х su (2). В качестве характеристического векторного поля 4 можно взять £ — в1, '=1,...,5. Соответствующие наиболее простые почти контактные формы п — в', '=1,...,5. Рассмотрим в отдельности каждый из приведенных случаев.

Случай 1. Пусть п — в1 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х (2). Дифференциал 1-формы dп = -в3 л в4, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в1.

Выберем специальный базис (Еь.ЕУ, взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

Е'1 — в2 ; Е'2 — в^ • Ез — в^ ; Е'4 — в5 • Е'г — в1 .

Ненулевые структурные константы в базисе (Е1...Д5У.

С1 — — с1 — — 1 • С4 — — С4 — — 1 • С2 — — С2 — 1 •

15 51 ' 23 32 1 ' 34 43 1 '

С3 — — С3 — 1

24 42

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п — Е5. Ее внешний дифференциал: dE5 — 0.

Определим аффинор ф, который должен удовлетворять условиям: р2 |кегп — I, р(£) — 0,

р2 — — I + п®£. Отметим, что такой аффинор задается неоднозначно. Зафиксируем аффинор фо, который действует на базисных векторах (Е1,...,Е5) следующим образом: р(Е1) — Е2, р(Ег) — —Еп р(Е3) — Е4, р(ЕА) — — Е3, р(Еъ) — 0. Определим также метрику

ё 0 — Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е5.

Случай 2. Пусть п — в2 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х (2). Дифференциал 1-формы dп — — в1 л в1, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в2.

Выберем специальный базис (Е1,...,Е5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

ЕЕ 1 - в1 ; ЕЕ 2 - в3 ; Е3 - в4 ; ЕЕ 4 - в5 ; Ег - в2 .

Ненулевые структурные константы в базисе

(Е1,.,Е5):

С5 — — С5 — —1 • С4 — —С4 — 1- С2 — — С2 — 1 •

15 51 ' 23 ^32 1 ' 34 43 1 '

С3 — — С3 — —1

24 42

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п — Е5. Ее внешний дифференциал: ёЕ5 = -Е1 л Е5.

Зафиксируем аффинор фо, который действует на базисных векторах (Е1,...,Е5) следующим образом: р(Е1) = Е2, р(Е2) = -Е1, р(Е3) = Е4, р(Е4) — -Е3, р(Е5) = 0 . Определим также метрику g0 — Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е\

Случай 3. Пусть п — в3 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х su (2). Дифференциал 1-формы ёп = -в4 л в5, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в3.

Выберем специальный базис (Е1,...,Е5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

Ненулевые структурные константы в базисе (ЕЬ...,Е5):

С2 = -С2 = 1' С4 = -С4 = -Г С5 = -С5 = -1 •

12 21 ' 35 53 -1 ' 34 43 1 >

С3 = -С3 = 1

45 54 1 •

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п = Е5. Ее внешний дифференциал: ёЕ5 = - Е3 л Е4.

Аффинор фо действует на базисных векторах (Ег,.,Е5) следующим образом: р(Е1) = Е2, <(Ег) — -Ег, р(Е^) = Е4, р(ЕА) = -Е3, р^) = 0.

Определим

также

метрику

g0 = Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е5.

Случай 4. Пусть п = в4 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х яи (2). Дифференциал 1-формы ёп = в3 л в5, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в4.

Выберем специальный базис (ЕГ,...,Е5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

Е — вг • Е'2 — в 2 • Е3 — в3 • ЕЕ4 — в5 • Е5 — в 4 .

Ненулевые структурные константы в базисе

(Ег,.,Е5):

С2 — -С2 — 1 • С4 — - С4 — -1 • С5 — - С5 — -1 •

12 21 ' 35 53 -1 ' 45 ^54 1 '

С5 — -С5 — -1 .

34 43

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п — Е5. Ее внешний дифференциал: ёЕ5 — Е3 л Е4.

Аффинор фо действует на базисных векторах (Е1,...,Е5) следующим образом: р(Е1) — Е2,

р(Е2) — -Е1, р(Е3) — Е4, р(Е4) — -Е3, р(Е5) — 0. Определим также метрику

g0 — Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е5.

Случай 5. Пусть n = e5 - почти контактная форма на алгебре Ли aff (R) х su(2). Дифференциал 1-формы dn = -e3 л e4, характеристическое векторное поле 4 имеет вид g = e5.

Выберем специальный базис (E1,_,E5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

E'j — ej; E-2 — e2; E3 — e3; — e^; E'5 — e5.

Ненулевые структурные константы в базисе (E1...M :

С 2 = —Г 2 = 1 • С5 = — Г15 = 1 • С3 = — Г13 = — 1 •

12 21 ' 34 43 > 45 ^54 1 '

С4 =—С4 = —1

35 53

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п = E5. Ее внешний дифференциал: dE5 = — E3 л E4.

Аффинор р0 действует на базисных векторах (E1,...,E5) следующим образом: p(Ej) = E2, p(E2) = —En p(E3) = E4, p(E4) = — E3, p(E5) = 0. Определим также метрику

g0 = E1 + E2 + E3 + E4 + E5.

Составляем программы на m-языке Maple для определения основных геометрических характеристик (см. пример листинга ниже) и свойств ле-воинвариантной почти контактной метрической структуры (п, 4, ф, g).

В результате компьютерного исследования структуры (п, 4, ф, g) получается следующий теоретический результат.

Теорема 1. Пусть Aff (R) х SU(2) - группа Ли, наделенная левоинвариантной почти контактной метрической структурой (п, 4, ф, g) . Тогда:

1. При п = e', i=1,2 левоинвариантная почти контактная метрическая структура (ц, фо, go) на алгебре Ли aff (R) х su (2) не является ни нормальной, ни K-контактной структурой.

Матрица оператора Риччи имеет вид:

RIC = diag1;1;1;1;— .

Квадраты норм тензора Римана, Риччи и тензора кручения N(1) имеют выражения:

[4 при i = 1, [2 при i = 2.

Скалярная кривизна принимает следующее

с 1

значение: S = —.

2

Главные кривизны Риччи имеют значения:

Л1 = Л5 = —1; А2 = A3 = А4 = 1.

Секционные кривизны имеют вид:

k = k = k = 0- k = k = k =1 ;

"'1,2 _ 1,3 _ ""1,4 _ u ' 2,3 2,4 л3,4 _ 4 >

llRie^l 12 = — ; ||Ric||2 =11; 44

N

(1) 2 -

ki 5 — 1 ; 5 — k 5 — k4 5 — 0 .

2. При п = e', i=3,4,5 левоинвариантная почти контактная метрическая структура (ц, фо, go) на алгебре Ли aff (R) х su (2) является нормальной, не является K-контактной структурой.

Матрица оператора Риччи имеет вид:

RIC — diag 1;-1;1;1;1

Квадраты норм тензора Римана, Риччи и тензора кручения N(1 имеют выражения:

I 12 =19 ;

II II 4

\Ric\\2 =-; N (1f = 0. I II 4 II II

Скалярная кривизна принимает следующее

с 1

значение: S — —.

2

Главные кривизны Риччи имеют значения: A — Я2 ——1; A3 — Я 4 — Л5 — — .

Секционные кривизны имеют вид:

k — — 1- k — k — k — k — 0- k — 1 •

1,2 1 ' "-1,3 _ "1,4 _ 2,3 2,4 ' 3,4 4 '

k1,5 — k2,5 — 0 • k3,5 — k4,5 — ^4 .

Доказательство теоремы получается прямыми вычислениями с использованием системы символьных вычислений Maple.

Аналогичные результаты получены для остальных алгебр Ли: aff (R) х sl (2, R), aff (R) х o(1,2), aff (R) х e(2), aff (R) х e(1,1), aff (R) х h3. В базисе (e1,...,e5) алгебры Ли aff(R) х e(2) и aff(R) х e(1,1) допускают нормальную структуру (n, 4, ф0, g0), если п — e3; алгебра Ли aff (R) х h3 допускает нормальную структуру

(n, 4, ф0, g0), если п — es.

Приведем один из аннотированных листингов для вычисления основных геометрических характеристик левоинвариантной почти контактной метрической структуры (n, 4, ф0, g0) на m-языке Maple.

#Запускаем команду restart для одновременной очистки всех переменных.

restart:

#Подключаем пакеты: linalg, позволяющий работать с символьными матрицами и LinerAlgebra, позволяющий работать со специальным видом числовых матриц Matrix.

with(LinearAlgebra):with(tensor):with(linalg):

#Загружаем массив метрики g0:

g0:=array(sparse,1..5,1..5,[(1,1)=1,(2,2)=1,(3,3)= 1,(4,4)=1,(5,5)=1]);

#Загружаем массив аффинора ф0, действующего на алгебре Ли aff (R) х su (2): f0:=array(sparse,1..5,1..5,[(1,2)=1,(2,1)=-1,(3,4)=1,(4,3)=-1]);

#Загружаем массив C структурных констант

Ck, i, j, k=1,...,5 алгебры Ли aff (R) x su(2):

C:=array(sparse,1..5,1..5,1..5,[(1,5,1)=1,(2,3,4)=1 ,(3,4,2)=1,(2,4,3)=1,(5,1,1)=1,(3,2,4)=1, (4,3,2)=-1, (4,2,3)=1]):

#Вычисляем дифференциал deta почти контактной формы dn по формуле

dEk =-£ CkEi л Ej [3]:

i< j

deta:=array(sparse,1..5, 1..5):

for j to 5 do

for i to j-1 do

deta[ij]:=-C[i,j,5]:

deta[j,i]:=C[i,j,5]:

od od;

#Проверяем условие: p02 |kern = -I .

f0f0:=simplify (multiply(f0,f0));

#С помощью команды inverse находим обрат-

-1

ную матрицу g0 : g0inv:= inverse(g0);

#По формуле: rp = 1 (cp + g'rgiC + g'pgjC)[3]

находим компоненты Gamma связности ГЦ , i, j,

p=1,...,5 (символы Кристоффеля): Gamma:=array(1..5,1..5,1..5): for i to 5 do for j to 5 do for p to 5 do Gam-

ma[i,j,p]:=(1/2)*(C[i,j,p]+sum(sum(g0inv[l,p] *g0[i,k] *C[l,j,k] +g0inv[l,p] *g0[j ,k]* C[l,i,k],'l'=1..5),'k'=1..5)); od od od;

i:='i': j:='j': k:='k': l:='s': l:='p': #Вычислим тензор кривизны Riem ассоциированной метрики g0 по формуле:

Ri = ГРrjk-ГрГР -CPrSk [3].

Riem:=array(1..5,1..5,1..5,1..5): for i to 5 do for j to 5 do for k to 5 do

for s to 5 do p:='p':

Riem[i,j,k,s]:=simplify(sum(Gamma[i,p,s]*Gam ma[j,k,p] -Gamma[j ,p,s] *Gamma[i,k,p] -C[i,j,p]* Gamma [p,k,s],'p'=1..5)); i:='i': j:='j': k:='k': s:='s': p1:='p1': Riem1:=array(1..5,1..5,1..5,1..5): for i to 5 do for j to 5 do for k to 5 do for s to 5 do p1:='p1':

Riem1 [i,j,k,s] :=simplify(sum(Riem[i,j,k,p1] *g0[p 1,s],'p1'=1..5)); od od od od;

i:='i': j:='j': k:='k': s:='s': p1:='p1':

#Вычислим квадрат нормы NRiem тензора

II 1|2

кривизны ||Rie^y по формуле:

\\Riem\\2 = g^g^gj^ [3].

NRi-

em:=factor(simplify(sum(sum(sum(sum(sum(sum(su

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Appel K., Haken W. The Solution of the Four-Color-Map Problem // Scientific American. - 1977. - V. 237, 4. - P. 108 - 121.

2. Blair D. E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry Lecture Notes in Mathematics. - Springer; Verlag; Berlin; Heidelberg;1976. - 145 p.

3. Blair D. E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. -2010. - Vol. 203. - 145 p.

4. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. -Birkhauser Boston, 2002. - Vol. 203. - P. 304.

5. Calvaruso G. Three-dimensional homogeneous almost contact metric structures // Journal of Geometry and Physics, (69), 2013. - P. 60-73.

6. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv:math/0403555-v2, [math.DG], 2004. -17 p.

7. Diatta, A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv: math.DG/ 0403555, 2004. - Vol. 2. -17 p.

8. GeigesH. Contact Geometry // arXiv:math/0307242v2 [math.SG], v2, 2004. - 86 p.

9. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or contact structures on Lie groups. // Differential Geom. Appl. - Vol. 21, No. 1. - 2004. - P. 41 - 54.

10. Ovando G. Complex, symplectic and K - ahler structures on four dimensional Lie algebras // arXiv:math/0309146v1, [math.DG], 2003. - 15 p.

11. Ovando G. Four dimensional symplectic Lie algebras // arXiv:math/0407501v1, [math.DG], 2004. -21 p.

12. Rodionov E. D., Slavskii V. V. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference. Brno, August 10 - 14, 1998. - Masaryk University, Brno, Czech Republic, 1999.

13. Rodionov, E. D., Slavskii V. V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comm. Math. Univ. Carol. - 2002. - V. 43, No 2. - P. 271 - 282.

14. Аладьев В.З., Бойко В.К., Ровба Е.А. Программирование и разработка приложений в Maple. Грод-но:ГрГУ, 2007.

15. Алексеев Е.Р., О.В. Чеснокова. О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. Серия: Самоучитель. - НТ Пресс, 2006. - 496 с.

16. Арнольд В.И. Математичские методы классической механики - 5-е изд., стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2003. -416 с.

17. Гандер В., Гржебичек И. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и MATLAB. ISBN: 985-6642-06-X. Издательство "Вассамедина" 2005г. 520 стр.

18. Дьяконов, В. Maple 9 в математике, физике и образовании - M.: СОЛОН Пресс, 2004. - 688 с.

19. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1981. - Т 1. - 344 с.

20. Кремлев А.Г.., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырёхмерных группах Ли. Унимодулярный случай Мат.труды. - 2008. Т.11, №2. - С.115-147.

Авторы статьи

Прокопенко Евгения Викторовна, к.ф.-м.н., доцент каф. прикладных информационных технологий КузГТУ. e-mail: pev-05@mail.ru

Поступило в редакцию 15.11.2014

m(sum(g0inv[i,p] *g0inv[j,r] *g0inv[k,s] *g0[l,t] *Riem [i,j,k,l]*Riem[p,r,s,t],'p'=1..5),'r'=1..5),'s'=1..5),'t'=1..5 ),'l'=1..5),'k'=1..5),'j'=1..5),'i'=1..5)));

i:='i': j:='j': k:='k': s:='s': t:='t': l:='l': p:='p':r:='r':

Славолюбова Ярославна Викторовна, к.ф.-м.н., доцент каф. высшей и прикладной математики Кемеровского института (филиала) РЭУ имени Г.В. Плеханова. e-mail: jar1984@mail.ru

Березина Анна Сергеевна, старший преподаватель каф. высшей и прикладной математики Кемеровского института (филиала) РЭУ имени Г.В. Плеханова.

e-mail: asberezina79@mail.ru