Двойственные левоинвариантные почти комплексные структуры на su(2)×su(2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.763.43

ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ СТРУКТУРЫ НА SU(2)xSU(2)

Н. А. Даурцева

На пространстве SU(2)^SU(2) с римановой метрикой Киллинга-Картана g рассматриваются левоинвариантные ортогональные почти комплексные структуры I. Пусть т j фундаментальная форма почти эрмитовой структуры (g, I). В работе найдено условие, при котором 3-форма dmj является невырожденной и определяет почти комплексную структуру Jj. Изучены свойства почти комплексной структуры JJ.

The leftinvariant ortogonal almost complex structures I on the SU(2)*SU(2) with Killng-Cartan metric g are reseached. Let mI is degined by mI(X, Y)=g(IX, Y), for each leftinvariant almost Hermitian structure (g, I). Condition for I to define almost complex structure JI by dmI is obtained. Properties of JI are researched.

Ключевые слова: 3-формы, приблизительно келерова структура, произведение сфер.

Введение

Пусть М - 6-мерное многообразие, на котором задана дифференциальная 3-форма / еЛ3(М) . С формой /еЛ3 (М) можно связать [5] эндоморфизм К е Епё(ТМ) ®Л6 (М) по формуле:

К(X) = А(}ху л/),

где А : Л5 ^ ТМ ®Л6 - изоморфизм, индуцированный внешним произведением.

Если на М зафиксирована форма объема ^1, то К - эндоморфизм касательного расслоения ТМ, определяемый равенством 1х/ Л / = 1к(х^о1.

Пусть т(/) = — 1х (К2). В работе [5] показано, что

К2 = г(/)Ы . На пространстве 3-форм Л3 (Я6) группа ОЬ(6, Я) имеет две открытые орбиты 0— и 02. Стабилизатором форм первой орбиты является

группа 5Х(3, С). Известно [5], что т(/') < 0 в том и только том случае, если / е 0—. Таким образом, если 3-форма / е 0—, то она определяет почти комплексную структуру:

1

w л/- т(/)

K.

Рассмотрим теперь случай

М = 83 х 5*3 = 8и(2)х8и(2) с римановой метрикой g, определенной формой Киллинга-Картана. Нас будут интересовать левоинвариантные структуры на 8и(2)х8и(2). В этом случае вычисления могут быть сведены к вычислениям на алгебре Ли su(2)xsu(2) группы Ли 8и(2)х8и(2). Обозначим (еь е2, е3, е4, е5, е6) ортонормированный базис алгебры Ли su(2)xsu(2) = Я3^3 со скобками Ли [еь е2] = е3,

[еі, ез] = - е2, [ е2, Єз] = Єь [е4, е5] = еб, [ е4, еб] = - е5,

[е5, е6] = е4, [ еі, е,] = 0, для остальных комбинаций значений і,е^^2)*0, і = 1,2,3; еі €0^(2), і = 4, 5, 6). Зафиксируем на М ориентацию, определяемую набором векторов (е1, е2, е3, е4, е5, е6).

Введем следующие обозначения:

А+ - пространство всех левоинвариантных почти комплексных структур, сохраняющих заданную ориентацию;

А0+ - пространство всех ортогональных (относительно g) левоинвариантных почти комплексных структур, сохраняющих заданную ориентацию;

Аш+ = {Зе А+:ю{Ж,ЗУ) = т(Х,У) и ю(Х,

ЗХ) >0 УХ, У на М, X ф 0} - пространство всех левоинвариантных почти комплексных структур, положительно ассоциированных с 2-формой ю и сохраняющих заданную ориентацию.

В работе [1] определено расслоение

П : А+ ^ А0+ , слоем которого над ортогональной почти комплексной структурой 1еА0+ является пространство А^ почти комплексных структур, положительно ассоциированных с фундаментальной формой т1 (X, У) = g(IX, У). Напомним, что для

З е А+ проекция расслоения п строится следующим образом:

_—

п( З) = (_ В2 )_2 В, где ш( X, У) = g (ВХ, У),

ш( X, У) = 2( g (Ж, У) _ g (X, ЗУ)).

Двойственные почти комплексные структуры

Каждой левоинвариантной ортогональной почти комплексной структуре 1еА0+ соответствует левоинвариантная 2-форма о^^, У) = g(X, 1У). Как известно, на SU(2)xSU(2) не существует замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формы, а значит, dmI ф 0. Форма dmI определяет эндоморфизм К е ЕМ(5и(2)х5и(2)). Таким образом, определено отображение:

I е А0+ё^- dюI ^ К е ЕМ(да(2)х5и(2)).

При выполнении условия т(/) = 1х(К2) < 0,

каждая почти комплексная структура ^А0+ определяет почти комплексную структуру JI е А+. Такую почти комплексную структуру JI будем называть двойственной к I. Рассмотрим, для каких I еА0+ выполняется г(dюI) < 0, и какими свойствами обладают

двойственные почти комплексные структуры JI еЛ+. Возьмем почти комплексную структуру 1еЛО+. В стандартном базисе она задается кососимметриче-

где

Г Л 5 Л

V 1 С У 5

' 0 а1 а2

= —а1 0 о3

— 2 —о3 0

Г Ъ Ъ2 Ъ3 ^

= Ъ4 Ъ5 Ъ6 ,

V Ъ7 Ъ8 Ъ9 У

Г 0 с1 с2 Л

—с1 0 с3

V —с2 —с3 0 У

в '- базис в пространстве левоинвариантных 1 форм на М, 1,., к = 1..6.

Пусть (г1, г2, г3, г4, г5, г6) - кобазис, соответствующий (е1, г2, г3, г4, г5, г6). Тогда ёг1 = —г2 л г3, ёг2 =—г3 л г1, ёг3 = —г1 л г2, йгА = —г5 л г6, йгъ = —г6 л г4, ёгв = —г4 л г5 и мы получаем: щ = ат, = Ъ1 (г234 + г156) + Ъ2 (г235 + г164 ) +

+Ъ3 (г236 + г145) + Ъ4 (г314 + г256 ) +

+Ъ5 (г315 + г264 ) + Ъ6 (г316 + г245 ) +

+Ъ7 (г124 + г356 ) + Ъ8 (г125 + г364 ) +Ъ9 (г126 + г345 ) ,

С =

Параметры о,, Ъ., ск, 1, к = 1,2,3, . = 1,..,6 связаны друг с другом условиями I2 = -1. Из этого условия вытекают, в частности, следующие соотношения:

2 2 2 2 2 2 а12 + а2 + а32 = с12 + с22 + с32

и ]Т Ъ2 = 3 — 2]Т о?.

г=1 г=1

Теорема 1. Условие т (й^) < 0 выполняется в том и только том случае, если

|| Л || = а^ + О-, + 03 + < 3/ 2.

Доказательство. Поскольку ®!(Х, У) = g(IX, У), то в базисе (г) матрица формы ю1 равна транспонированной матрице соответствующей почти комплексной структуры I. Для вычисления внешнего дифференциала используем формулы Маурера-

Картана: ёвк = — ^ Сквг л в , где С ку - структурные константы,

где г'к обозначает 3-форму г' л г1 л гк

гщ л¥ = ( +Ъ1+Ъ1—Ъ4 —Ъ —Ъ —Ъ7 —Щ—ЦУ35 + + 2(-Ъ1Ъ4 —Ъ2Ъ5 — Ъ3Ъ6)г13456 + 2(Ъ1Ъ7 +Ъ2Ъ8 +Ъ3Ъ9)г12456 +

+ 2(Ъ6Ъ8 ^г12356 + 2(Ъ6Ъ7 -Ъ4Ъ9)г12346 +

+ 2^ -Ъ4Ъ8)г12345.

Из условия I = -1 следуют равенства:

1) Ъ + Ъ2 + Ъ3 + а1 + 0-2 = 1;

2) Ъ4 + Ъ5 + Ъ^ + а, + а3 = 1;

3) Ъу + Ъ8 + Ъд, + а 2 + а3 = 1;

4) а2 а3 + Ъ1Ъ4 + Ъ2Ъ5 + Ъ3Ъ6 = 0;

5) — а1а3 + Ъ1Ъ7 + Ъ2Ъ8 + Ъ3Ъ9 = 0.

Тогда:

1гщ л щ = (—1 + 2а32)г23456 + 2 а2а3г13456 + 2а1а3г12456 + 2(Ъ6Ъ8 — Ъ5Ъ9)г12356 + + 2(Ъ6 Ъп — Ъ4 Ъд )г12346 + 2(Ъ5 Ъ7 — Ъ4 Ъ,)г12345.

Аналогично:

' щлщ = —2а2а3гт% +(1 — 2а22)г13456 — 2а1а2г12456 + 2(Ъ2Ъ9 — Ъ3Ъ8)г12356 + 2(Ъ1Ъ9 —Ъ3Ъ7)г12346 + 2(ЪД — Ъ2Ъ7)г12345; 'г щлщ = 2а1а3г 23456 + 2а1а2г13456 + (—1 + 2а12)г12456 + 2(Ъ3Ъ5 —Ъ2Ъ6)г12356 + 2(Ъ3Ъ4 — Ъ1Ъ6)г12346 + 2(Ъ2Ъ4 — Ъ1Ъ5)г12345; 1 щлщ = 2(Ъ6Ъ8 — Ъ5Ъ9)г23456 + 2(Ъ3Ъ8 — Ъ2Ъ9)г13456 + 2(Ъ3Ъ5 — Ъ2Ъ6)г12456 + (—1 + 2с32)г12356 — 2с2с3г12346 + 2с1с3г12345; 1Н щлщ = 2(Ъ4Ъ9 -Ъ6Ъ7)г23456 + 2(Ъ2Ъ9 -Ъ3Ъ7)г13456 + 2(Ъ1Ъ6 -Ъ3Ъ4)г12456 - 2с2с3г12356 + (1 -2с22)г12346 — 2с1с2г12345;

' щлщ = 2(Ъ5Ъ7 — Ъ4Ъ8)г23456 + 2(Ъ2Ъ7 — Ъ1Ъ8)г13456 + 2(Ъ2Ъ4 — Ъ1Ъ5)г12456 + 2с1с3г12356 + 2с1с2г12346 + (—1 + 2с12)г12345.

Поскольку ік,хУві = і/ Л / и

*к(ху ^ ‘XV

Я „23456 _ у 2^13456 + у 3^12456 _ у 4^12356 + у 5^12346 _ у 6^12345

где Уоі = Є Л г2 Л г3 Л вА Л г5 Л г6, то матрица К в стандартном базисе имеет вид:

і, Уоі = у г

К =

( _ 1 + 2а32 _ 2а2 а3 2а1 а3 _ 2(Ь5Ь9 _ Ь6Ь8) _ 2(Ь6Ь7 _Ь4Ь9) _ 2(Ь4Ь8 _ 6567)

_ 2а2 а3 22 а 2 + 1 _ 2а1а2 9 2 1 00 3 2( 1 _ 2(Ь1Ь9 _ Ь3Ь7) _ 2(Ь2Ь7 _ оо

2а1а3 _ 2а1а2 _ 1 + 2а1 _ 2(Ь2Ь6 _Ь3Ь5) _ 2(Ь3Ь4 _ Ь1Ь6 ) 1 5 2( 1 Ь2Ь4)

2(Ь5Ь9 _ Ь6Ь8 ) 9 2 1 оо 3 2( 2(Ь2Ь6 _Ь3Ь5) 1 2 Сі 2 2с2 с3 _ 2с1с3

2(Ь6Ь7 _Ь4Ь9) 2(Ь1Ь9 _ Ь3Ь7 ) 2(Ь3Ь4 _ Ь1Ь6) 2С2 С3 1 2 22 2с1с2

V 2(Ь4Ь8 _Ь5Ь7) 2( ь 1 1 оо 2(Ь1Ь5 _ Ь2Ь4) _ ^3 2с1с2 1 2 12

Тогда:

1

т(/) = — їїК2 =1 + 4а32 (а2 + а^ + а32 _ 1) _ 4(Ь 52Ь92 _ 2Ь5Ь6Ь8Ь9 + Ь62Ь82) _ 4(Ь 62Ь72 _ 2Ь4Ь5Ь7Ь9 + Ь42Ь92) _ 6

_ 4(Ь42Ь82 _ 2Ь4Ь5Ь7Ь8 + Ь52Ь72) = 1 + 4а32 (а2 + а2 + а32 _ 1) _ 4(Ь72 + Ь82 + Ь92 )(Ь42 + Ь52 + Ь62) + 4(Ь4Ь7 + Ь5Ь8 + Ь6Ь9)2

'2/2

Поскольку при условии I = -1 выполняются равенства 2) и 3), а также

Ъ4Ъ1 + Ъ5Ъ8 + Ъ6Ъ9 + а1а2 = 0, то

г(^) = 4(а12 + а^ + а32)-3 .

Теорема доказана.

Замечание 1. Оператор К может быть представлен в следующем виде:

К =

2В

*Т

1 _ 2С *

Л =

1

^_1 + 2А* _2В* ^

4

2В

*т

1 _ 2С *

Замечание 2. Так как

2 . 2 . 2 2 , 2 , 2 + аз = с + С2 + С3

и

рот, взять класс максимально неинтегрируемых

( о В Л

структур [4] вида 1В =

_ВТ 0

В є 80(3),

V ^ У

то они определяют двойственные почти комплекс-

ные структуры ^ =-^

1 л/3

_1 _2В

V2B*T 1 у

Так как матрица В ортогональная, то существует базис

где А*, В* - матрицы алгебраических дополнений к матрицам А и В соответственно.

2 2 2 3

Следствие. Если а + а + а , то двой-

1 2 3 4

ственная к 1еА0+ почти комплексная структура имеет вид:

(є, Є2, £3, £4, £5, ^6 )

( Е

= (Є1, Є2 , Є3 , Є4, Є5 , Є6 )

о

о ^

В*Т

полученный из стандартного изометричным преобразованием 8и(2) х 8и(2), в котором почти комплексная структура принимает вид:

1 (_1 _2^

1

^ Ьі 2 = 3 _ 2^ аг.2 в силу требования I2 = - 1, то

і=1 і =1

следующие условия эквивалентны:

т(ёш1) < 0, ||С||2 < 3/2, |А||2 < 3/2, ||В||2 > 3/2.

Замечание 3. Известно [2], что почти комплексная структура 10, определенная формулами 10(г1) = е4, 10(е2) = е3, 10(г5) = г6, является интегрируемой. Для такой структуры |А||2 = 2, то есть т(йф1) > 0, поэтому она не определяет двойственную почти комплексную структуру. Если же, наобо-

V ~ "У

В работе І В. ВШтиШе [3] показано, что класс таких почти комплексных структур 1В имеет одну

двойственную почти комплексную структуру, которая с 3-симметрической метрикой на ^и(2)х^и(2) задает приблизительно келерову структуру.

Лемма 1. Для почти комплексных структур ІєА0+, удовлетворяющих условию т(й®1) <0 выполняется det(B)<0.

Доказательство. Предположим, что среди структур ІєА0+, удовлетворяющих условию т() < 0

существует такая, для которой det(B) = 0. Тогда найдется ненулевой вектор уеЯ3, такой, что Вту = 0. Пусть теперь вектор Ує 5м(2)х^м(2), такой, что его

2

проекция на первый сомножитель совпадает с вектором V (п1(У) = у), а проекция на второй сомножитель равна нулю (п2(У) = 0), т. е. Ут = (ут,0). Тогда:

Проекция тЛЗі)єА0 почти комплексной струк-

туры /1 на АО определяется формулой:

(12У)Т = (уТА2, уТАВ) = (_уТ ,0) о

| А2у = _у; \ВТАу = 0.

п(Л) =

2

(

2 „2 ,.2

_ а _ а2 _ а3 V

0

(1+уС *) В

-(1+уА*) ВЛ

*Т

Но условие А V = -V выполняется в том и только том случае, если det(A2+1) = 0, т. е. а2+ а22+ а32 = 1, что противоречит условию а12+ а22+ а32 < 3/4.

Так как det В Ф 0, то векторы базиса (е1, е2, е3) являются /-линейно независимыми. Тогда:

( ^ е2 , eз, К 1е2 , /е3 ) =

,(Е А Л

Доказательство. Структуре J1 соответствует кососимметрическая форма:

©( X, У) = 2 g (JX, У ) - g (X, ЗУ ).

Матрица формы а> в стандартном базисе имеет вид:

2

СО =

( г1, г2 , г3 , г4 , г5 , г6

V 0 _В У

0 В

V В 0 у

То есть 1 сохраняет [2] заданную ориентацию при условии det В < 0. Лемма доказана.

Лемма 2. Двойственная почти комплексная структура J/ определяет ту же ориентацию, что и исходная структура 1, т.е. J/ еА+.

Доказательство. Так как det В Ф 0, то векторы базиса (е1, е2, е3) являются J/ - линейно независимыми. Определитель матрицы перехода от базиса

(е1, е2, е3, J1e1, J/e2, J/e3) к стандартному:

Соответствующий кососимметрический оператор Б, такой, что а>(Х, У) = g(DX, У) имеет вид:

det

0 2В

*Т

= 8det2 В > 0.

^ ^ у

Лемма доказана.

Символом А0+(3/2) обозначим множество ортогональных почти комплексных структур вида:

( А ВЛ

I =

_ВТ С

для которых:

|| А ||2 = 2(а12 + а^ + а32) <3/2.

В этом случае мы получаем отображение:

Н: А0+(3/2) ^ А+, Н(1) = Зь

Найдем проекцию / еА+ на базу расслоения п : А+^А0+ используя результаты [1].

Теорема 2. Почти комплексная структура JI является положительно ассоциированной с 2-формой

матрица которой в стандартном базисе имеет вид:

(

0 (1 + уА ) В

_(1 + уС *) ВТ 0

Л

где у '■

1 _ у! 1 _ а12 _ а2 _

а,

(а12 + а^ + а32 )^1 _ а,2

а _ а.

£ =

2

(

0 _В

Л

В

*Т

Тогда

(_ )

С ( 4 В* В*^ 1/2

1

2 —

V _т у

0

4В’ТВ*

^ Л Т)*Т -Г) 1/2

V _Т У у

г

Найдем

4В* В

*Т Л'

-1/2

V _т У

V _Т У

1/2

Воспользуемся условием J21 = —1. Очевидно, что оно равносильно системе:

(1 - 2А* )2 - 4В*В*т = тЕ, (1 - 2С* )2 - 4В*тВ* = тЕ, ВС = А* В*.

Тогда

4 В В

* п*Т Л

1 + -

1 _ 2 А

_т

*Т л*Л 2 {

4В В

1 +

1 _ 2С

_т

Посредством прямых вычислений можно показать, что А 2= хА , где х = а12+ а22+ а32. Тогда:

(1 - 2 A* )2 (1 + 4(x -1) A*)

1 + ^-----------’— = 1 + ^--------------------

-т

=[1+-Г] (1 - a*),

-т

(1 — 2 A* )2 T 1+^--------

-т

r^~ (1 — A')

/1- 1/т ’

1

2 =

J

1

1 з A2 і 15 ^*3

I 1 + -A + ^-A +^~A'3 + ... l = /1- 1/т I 2 22 23 J

1

V1—1/т 1

\

її1! +-3-xA* + l4x2A + ... 2 22 23

K\J 1- 1/i

x-A + A

1 +— x+—— x +—— x + ... 2 22 23

1-------( x + A*(1 - x)—1/2 -1)

c>/1-1/

>/1-1/'

1+

1 ->/1—

v x41- x J

Проекция почти комплексной структуры J1 на А0+ теперь может быть вычислена:

( Л ) = (- Б2 )-1/2

2 ( 0 -(1 + уА*) ВЛ

лЯ-7^(1+ус *) В*т 0

п

D =

а значит:

О =

VT—

■(1 + yC') ВТ

(1+yA') В’ О

Теорема доказана.

Следствие. Повторное применение операции Н перехода к дуальной почти комплексной структуре

J

2 < 3

->п( JiI-

H

J

п( )

дает почти комплексную структуру, которая вместе с 3-симметрической метрикой задает приблизительно келерову структуру на 8П(2)* 8и(2).

Доказательство. Так как п(/1 ) є А0+ , то

матрица X = , (1 + уА*) В* є 80(3). Дока-

\1 _т

зательство следует из рассуждений замечания 3.

Литература

1. Даурцева, Н. А. О многообразии почти комплексных структур / Н. А. Даурцева // Математические заметки. - 2005. - № 78:1. - С. 66 - 71.

2. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. - М.: Наука, 1981. - Т. 2.

3. Butruille, J. B. Homogeneous nearly Kahler manifolds / J. B. Butruille // Preprint. - ar-Xiv:math.DG/0612655v1.

4. Daurtseva, N. A. Left-invariant almost nearly Kahler structures on SU(2)xSU(2) in the tetrahedron visualization for CP3 / N. A. Daurtseva // Preprint.-arXiv:math.DG/0608704v2.

5. Hitchin, N. The geometry of three-forms in six and seven dimensions / N. Hitchin // Preprint. -arXiv: math.DG/0010054v 1.

Рецензент - С. Н. Астраков, Кемеровский институт (филиал) Российского государственного торгово-экономического университета.

1

2