Инвариантные комплексные структуры на S3 x S3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

3 3

Инвариантные комплексные структуры на S х S Даурцева Н.А. (natali0112@ngs.ru)

КемГУ

1. Введение

Рассмотрим 6-мерное многообразие S3 х S 3. Для произведения нечетномерных сфер известна конструкция (см. например [1]) построения комплексных структур,

принадлежащая Калаби и Экману, связанная с расслоением Хопфа S2n+1 ———> CPn. Напомним эту конструкцию. В расслоении S3 х S3 ———>CP1 х CP1 база и слой комплексные. CP1 допускает две комплексные структуры J1X=iXи J-1X= - iX, \/Xg CP1, а слой T2=S1x S1 допускает двупараметрическое семейство комплексных структур:

Ja,c Ux= Vx ,

c c

2 2

Ja,c Vx= - ^^ Ux-aVx , cc

где a и c вещественные, сф0; U и V- векторные поля на S3x S3, ассоциированные с действием S1 на первом и втором сомножителях S3x S3, соответственно. Если зафиксировать комплексную структур на базе и слое, то можно подобрать голоморфные функции перехода и получить, таким образом, комплексную структуру на S3x S3. В случае комплексной структуры (J1, J1) на базе и Ja,c на слое, будем обозначать соответствующую структуру также Ja,c.

S3x S3 может быть рассмотрено как однородное пространство U(2)/U(1)x U(2)/U(1), известно, что все комплексные структуры, построенные выше инвариантны относительно U(2)*U(2). Более того, все U(2)*U(2)- инвариантные почти комплексные структуры исчерпываются описанными выше. Но S3xS3 может рассматриваться и как группа Ли SU(2)xSU(2). Условие инвариантности относительно SU(2)*SU(2) слабее чем условие инвариантности относительно U(2)*U(2), а именно, каждому линейному эндоморфизму

I : su(2)xsu(2) ^ su(2)xsu(2), I2= -1 соответствует инвариантная почти комплексная структура. Таким образом, семейство SU(2)xSU(2) - инвариантных почти комплексных структур на S3xS3 является 18-параметрическим, а U(2)*U(2) - инвариантных - 2-параметрическим. Возникает естественный вопрос о том, существуют ли среди левоинвариантных почти комплексных структур на SU(2)*SU(2) интегрируемые, отличные от известных. Относительно однородных компактных комплексных многообразий известен следующий результат:

Теорема (Грауэрт, Реммерт [2]). Каждое компактное однородное комплексное многообразие M есть голоморфное расслоение над однородным проективным алгебраическим многообразием V с комплексно параллелизуемым слоем F.

Ясно, что описанная выше конструкция расслоения удовлетворяет условиям теоремы, однако не понятно, существует ли для S3 x S3, указанная в теореме структура голоморфного расслоения, отличная от нее. В работе доказана

Теорема. Класс левоинвариантных комплексных структур на SU(2) x SU(2) исчерпывается комплексными структурами, порожденными конструкцией расслоения Хопфа.

2. Доказательство теоремы.

Пусть J- левоинвариантная почти комплексная структура на 8и(2)*8и(2). Так как зи(2)хви(2)= Я13 3 эндоморфизмом

ви(2)хзи(2)= ^13х^23, она может быть однозначно определена линейным

I : Я^хЯ^ Я13хЯ23,

12= -1

Пусть (е1, е2, е3, е4, е5, е6) - стандартный базис в Я1 хЯ2 . В этом базисе матрица для I имеет вид:

1=

ГА В} С в

г а1 а 2 а3 ^ Г ¿, ¿2 ¿3 ^ Г с ^ 1 с 2 с ^ и3 Г < ё 2 ё 3 ^

где А = а4 а5 а6 , В = ¿4 ¿5 ¿6 , с= с4 с5 с6 , о= ё 4 ё 5 ё 6

V а7 а8 а9 У V ¿7 ¿8 ¿9 У V с7 с8 с9 V ё 7 ё 8 ё 9 у

Лемма 1 Любая левоинвариантная почти комплексная структура на $и(2) х $>и(2) является интегрируемой в том и только том случае, если в базисе (е1, е2, е3, е4, е5, е6) ее матрица имеет вид:

1=А1а,с А'1, А=

Г А! 0

0 ^ А

2

2 2

а 1 а + с

где 1а,се 1=— е1+- е4, 1а, се 4=--

с с с

е1— е4, 1а,се2= е3, 1^5= е6, и А,е80(3), /'=1,2. с

Доказательство: Предположим, что существуют левоинвариантные комплексные структуры, отличные от указанных в лемме. Пусть I - некоторая комплексная структура, предположим, что det Сф0. Матрица для I, в стандартном базисе имеет вид:

'А - (А2 + 1)С

I =

чС - САС- J

Выпишем некоторые необходимые для доказательства условия, возникающие в результате требования интегрируемости I:

[IX, ту]- [X, Л- щх, Л- IX т = 0

1. с4с8 - с5с7 - а1с3 + а7с1 - а5с3 + а8с2=0,

2. с4с9 - с6с7 + а1с2 - а4с1 - а6с3 + а9с2=0,

3. с5с9 - с6с8 + а2с2 + а3с3 - а5с1 - а9с1=0,

4. с2с7 - с1с8 - а1с6 + а7с4 - а5с6 + а8с5=0,

5. с3с7 - с1с9 + а1с5 - а4с4 - а6с6 + а9с5=0,

6. с3с8 - с2с9 + а2с5 - а5с4 + а3с6 - а9с4=0,

7. а4а8 - а5а7 - а1а3 + а1а7 - а3а5 + а2а8=0,

8. а2а7 - а1а8 - а1а6 + а4а7 - а5а6 + а5а8=0,

22

9. а1а5 - а2а4 - 1 - а1а9 + а7 - а5а9 + а8 =0,

10. а4а9 - а6а7 + а1а2 - а1а4 - а3а6 + а2а9=0,

22

11. а3а7 - а1а9 + 1 + а1а5 - а4 + а5а9 - а6 =0,

12. а1а6 - а3а4 + а1а8 - а4а7 - а6а9 + а8а9=0,

13. а5а9 - а6а8 - 1 - а1а5 + а22 - а1а9 + а32=0,

14. а3а8 - а2а9 + а2а5 - а4а5 - а4а9 + а3а6=0,

15. а2а6 - а3а5 + а2а8 - а5а7 - а7а9 + а3а9=0.

Так как по предположению det Сф0, то в первой строке матрицы С должен быть хотя бы один не равный нулю элемент, пусть например это с1. Тогда для векторов

У1=

С4С9 С6 С7

Л (

- ал

а1 + а9

- аб 0

0

0

^2=

У

С5 С9 С6 С8

а2 а3 0

0

0

Л + а7 Л

vз=

с

а

- а1 - а5

0 0 0

У

согласно условиям 1, 2, 3 четвертая координата векторов /у1, /у2, 1у3 равна нулю, а именно:

(

М=

а1 (С4С9 С6 С7 ^

+ а6 а7 - а4 а9

^ (а1 (С5 С9 С6 С8 ^

а 4 (С 4 С9 С 6С 7 ) 1

4 9-+ а,ап - а^ап - 1

а7 (С4С9 С6 С7 ^

С1

0

С4(с4С9 - С6 С7)

С1

С7 (С4С9 С6 С7)

С1

IV

19 7

+ а3 а4 - а1 а6

+ С1 С 9 - С 3 С 7

+ Сз С 4 С1С6

М=

Л

+1 + а6

а8 - а5 а9

а4 (С5 С9 С6 С8 ^

С1

а7(С5С9 "С 6 С8)

С1

0

С 4 (С5 С9 -С6 С8)

С

С7 (С5 С9 -С 6 С8)

I 2 9 3

+ а3 а5 - а2 а6

+ С2 С9 С3 С8

+ С3 С5 С 2 С6

а1 (С4С8 С5С7 ^

а4(с4С8 С5 С 7)

+ а5 а7 - а4а8

+ а1 а8 - а2 а7

а7 (С4Со С5С7)

48-+1 + а2 а4 - аг а5

С 4 (с 4 С8 С5 С 7 )

С7(С4С8 С5 С7)

+ С1С8 С 2 С 7

+ С 2 С 4 С1С5

Пусть п2 : х Я2 ^ Я2 , тогда векторы ^(м), п2(/у2), п2(/у3) линейно зависимы. Очевидно, что из det С ^ 0 следует, что ж2(1уг)ф0, это означает, что найдутся Х1, Х2, Х3 не равные нулю одновременно, такие что А1п2(/у1)+ Х2п2(1у2)+ Х3п2(1у3)=0. Пусть Х2ф0 и

а=

,_ С4(С 4 С9 С6 С7) + С1С9 — С3С7 Ь= С4(С5С9 С6С8) + СС СС С= С4 (С4С8 С5С7)

с

с

■+ С2С9 - С3С8, С=-

+ С1С8-

С2С7, ё= с7(с4 С9 С6 О + С3С4 - С1С6, е= ^ С9 С6 О + С3С5 - С2С6, ]= ^с с ^

+

С2С4 - С1С5. Таким образом, система

С

С

С

С

С

С

С

С

3

С

С

С

с

с

с

(*)

должна иметь ненулевое решение.

Л а + Л2 ¿ + Л3 с = 0, I Л1 ё + Л2 е + Л3 / = 0

а с

ё Л

(-с2 - с 42 - с 72)det С , Г Л ^

: —-4---ф0, если С ф 0; 1

ЧЛ3 У

Л2 Г ¿1 -

аЛ - сё

се

V ае - ¿ёу

¿Л- се= - det С

1 2 I с 4 5 I с 7 ^

_ с1с 2 + с 4 с5 + с7 с8 л

О---;-;-;-Л2;

222 с1 + с 4 + с7

ае - ¿ё= det С

+ с4 с6 + с7 с9 с1

. = с1с3 + с4 с6 + с7 с9 о

03--2—2—2—

с2 + с2 + с7

Значит л"2(1(А1у1+ А2у2+ А3у3))=0, это возможно лишь в двух случаях: det С=0 и п1(А1у1+ А2у2+ А3у3 ) - собственный вектор для С, соответствующий нулевому собственному значению, или А1у1+ А2у2+ А3у3=0. Поскольку det С ф 0, то А1у1+ А2у2+ А3у3=0. Это условие имеет вид:

(а 4 - а 2)(схс2 + с 4 с5 + с7 с8) + (ап - аэХсс + с 4 с6 + сп с9) = 0, (а4 - а2)(-с2 - с 4 - с^) + (а8 - «6X^3 + с4с6 + спс9) = 0, (а7 - а3 )(-с^ - с^ - с|) + (а8 - а6)(-с1с2 - с4с5 - спс8) = 0.

Таким образом, получаем

,ч (а8 - а6)(с,с3 + с4с6 + с7с9)

— 4 8_6 /У 1 3 46 7 9 / _

( ) «4-^2--;-;-;-, а7-а3—

с12 + с42 + с72

Далее, поскольку det С ф 0, то вторая строка матрицы должна содержать ненулевой элемент, пусть это с5 (можно выбрать с4 или с6, это приведет к аналогичным результатам). Аналогично можно определить три вектора и1, и2, и3:

(а8 - а6)(с1с2 + с4с5 + с7с8)

222 с12 + с42 + с72

и1=

- а4

а1 + а9 + -

- а 6 0

0

0

Г а 5 9

и2=

а 2 +■

а 3 0

0

0

и3=

а7

а8 +■

- а1 - а5 0

0

0

V " У

Согласно условиям 4, 5, 6 векторы п2(1и1), п2(1и2), п2(1и3) имеют нулевую вторую

координату и следовательно линейно зависимы. Рассуждения аналогичные

приведенным выше приводят к равенствам:

_ (а7 - а3)(с1с2 + с4с5 + с7с8) _ (а7 - а3)(с2с3 + с5с6 + с8с9) а8 - а6=--2-2-2-, а4 - а2=--

222 с 2 + с5 + с8

222 с 2 + с5 + с8

Сопоставляя эти равенства с (**) получаем:

а8 -а6

_(а8 - а6)(с1с2 + с4с5 + с7с8)

2

(с2 + с 42 + с2 )(с2 + с2 +с82) Это равенство имеет место при а8 =а6 или (с12+с42+с72)( с22+с52+с82)=(с1с2+ с4с5+ с7с8)

Пусть а8 =а6, тогда из этого следуют равенства а2 =а4, а3 =а7. Условия 7-15 принимают следующий вид:

с

с

с3с7 с1с9

с3с8 с2с9

с2 с7 с1с8

с

с

с

5

5

7. а2а6=а3а5,

8. а2аз=а!аб,

9. а1а5 - а22-1-а1а9+а32-а5а9+а62=0,

10. а2а9=а3а6,

11. -а\а9+а32+1+а\а5-а22-аб2+а5а9=0,

12. а1а6=а2а3,

13. а5а9-а62-1-а^5+ а22+а32-а1а9=0,

14. а2а9=а3а6,

15. а2а6=а3а5.

Выражая из 9, 11 и 13 а22, а32, а62 получаем: а22=а1а5+1, а32=а1а9+1, а62=а5а9+1. Возведем в квадрат обе части уравнений 7, 8 и 10, а затем вычтем из 7-ого 8-ое, из 8-ого 10-ое и из 7-ого 10-ое, получаем систему уравнений:

(a5 - a9 )(a5 + a9 - a1) = 0, (a5 - a1 )(a5 + a1 - a9) = 0, (a9 - a1 )(a9 + a1 - a5) = 0,

которой должны удовлетворять общие решения уравнений 7-15. Система (***) имеет следующие решения:

1. a1=a5=a9, тогда a22= a32= a62= a12+1, для таких значений уравнение 12 решений не имеет;

2 2 2 2

2. a5=a9, a1=0, тогда a6 = a5 +1, a2 = a3 =1, для таких значений условие 8 не выполняется;

3. a1=a5, a9=0, тогда a22= a12+1, a32= a62=1, условие 10 не выполняется;

2 2 2 2

4. a1=a9, a5=0, тогда a3 = a1 +1, a2 = a6 =1, условие 9 не выполняется. Значит при a6=a8 среди левоинвариантных почти комплексных структур

интегрируемых нет.

Пусть (с1с2+ c4c5+ с7с8)2=(с12+ c42+ c72)( c22+ c52+ c82). Тогда если n1=(c1, c4, c7), n2=(c2, c5, c8), то это условие имеет вид: (n1, n2)2=( n1, n1)( n2 , n2), это возможно только в том случае, если cos2 Z (n1; n2)=1 или n1=0 или n2=0. Во всех трех случаях det С=0.

Следовательно, для интегрируемости почти комплексной структуры I необходимо, чтобы det С=0.

Поскольку det С=0, то найдется у1еЯ13х{0}, такой что Cn1(v1)=0, тогда п2(1 v1)=0. В силу того что I2= -1 векторы Iv1 и v1 не могут быть линейно зависимы, следовательно rankC<1. Если С=0, то из условия I2= -1 следует, что A2= -1, det2 A= -1, что невозможно. Следовательно rankC=1.

Так как rankC=1, то существует хотя бы один ненулевой элемент матрицы C. Без ограничения общности можно предположить, что это c1. Тогда v2=(-c2, c1, 0, 0, 0, 0), v3=(-c3, 0, c1, 0, 0, 0) образуют базис двумерного подпространства в Я13х{0}, инвариантного относительно действия I. Определим как действует интегрируемая почти комплексная структура на векторе v1=(c1, c2, c3, 0, 0, 0), ортогональном,

33

относительно стандартной метрики в R1 х R2 , инвариантной площадке < v2, v3>.

Cl

(Iv1, v2) = —— (a1c1+ a2c2+ a3c3)+ a4c1+ a5c2+ a6c3=[согласно условиям 3 и C1

1

2]= — (с2(с5с9-с6с8)+ с1(с4с9-с6с7))=0, так как гапкС=1. с1

Аналогично (/у1, у3) =0.

Повторяя предыдущие рассуждения можно показать, что ёе! В=0, гапкВ=1 и в (0}х Я2 существует инвариантная относительно действия Iдвумерная площадка < у5,

у6>. Также можно показать что для вектора у4е (0}х Я2 , ортогонального к этой двумерной площадке 1\4 ортогонален к < у5, у6>. Таким образом, Л^а^+в^+у^+ё^, 1у4=а2у1+в2у4+у2у1+ё2у2, для некоторых аь в, уи ё^Я, /'=1,2. Используя условие /2=-1 можно показать, что у1=ё1= у2=ё2=0, это означает, что векторы у1, у4 образуют площадку инвариантную относительно действия I.

Остается невыясненным вопрос, как должна действовать интегрируемая почти комплексная структура на инвариантных подпространствах <у2, у3>, < у5, у6>. Пусть м1=у1/||у1||, и4= у4/||у4||, и2, и3 - базис <у2, у3>, и5, и6 - базис <у5, у6>, такой что (и1, и2, и3, и4, и5, и6) образует базис ортонормированный относительно стандартной метрики, и [и2,и3]=и1, [и1,и2]=и3, [и1,и3]=-и2, [и5,и6]=и4, [и4,и5]=и6, [и4,и6]=-и5. В этом базисе матрица почти комплексной структуры, удовлетворяющей полученным условиям имеет вид:

(

1=

a\ 0 0 b\ 0 0

0 a5 a6 00 0

0 a8 a'9 00 0

c\ 0 0 d \ 0 0

0 0 0 0 d '5 d '6

0 0 0 0 d'8 d '9

\

. Несложно проверить, что условия интегрируемости I

дают а'5=а'9=^'5=^'9=0; а6=-а8=±1, ^6=-^8=±1. Для почти комплексной структуры такого вида известно, что она является интегрируемой. Таким образом, если А1 - матрица перехода от базиса л^), л^), П1(ез) к л^), П1(и2), П1(из), а А 2 от ^2(^4), ^2(^5), л^б) к п2(и4), п2(и5), п2(и6), А1, А2е£0(3) то матрица интегрируемой почти комплексной

1 Г 4 0 ^

структуры в стандартном базисе имеет вид 1=А1асА , А= .

V 0 А2 )

Поскольку все описанные в лемме 1 почти комплексные структуры могут получены с помощью конструкции описанной во введении, то теорема следует из леммы 1.

Следствие Интегрируемые почти комплексные структуры образуют 6-параметрическое семейство.

Доказательство: Зафиксируем параметры а и с. Оператор А оставляет 1ас на

Г10 ^

месте если A, имеет вид:

v0 О,

, Oi^SOil). Таким образом, выбор векторов u1, u2, u3,

U4, U5, U6

определяется четырьмя параметрами. Литература:

[1] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.:Наука, Т.2, 1981

[2] Grauert H., Remmert R. Über kompakte homogene komplexe Mannigfaltigkeiten.-Arch.Math., 1962, 13, S. 498-507