Научная статья на тему 'О приближенно интегрируемых so(3)-структурах на 5-мерных многообразиях'

О приближенно интегрируемых so(3)-структурах на 5-мерных многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
156
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СПЕЦИАЛЬНАЯ SO(3)-СТРУКТУРА / ПЯТИМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ / ГРУППА ЛИ / SPECIAL SO(3) STRUCTURE / 5-DIMENTIONAL MANIFOLD / LIE GROUP

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Седых Анна Геннадьевна

Рассматриваются неприводимые 50(3)-структуры на пятимерном многообразии. Показано, что для приближенно интегрируемых неприводимых 50(3)-структур ковариантная дивергенция структурного тензора равна нулю. Приведены примеры левоинвариантных неприводимых 50(3)-структур на пятимерных группах Ли, которые имеют нулевую дивергенцию структурного тензора, но не являются приблизиженно интегрируемыми, а также неприводимых БО(3)-структур с ненулевой дивергенцией структурного тензора.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On approximately integrable SO(3) structures on 5-dimensional manifolds

In this work, irreducible SO(3) structures on a 5-dimentional manifold are considered. The covariant divergence of the structure tensor is shown to be zero for approximately integrable irreducible SO(3) structures. Examples of left invariant irreducible SO(3) structures on 5-dimentional Lie groups that have a zero covariant divergence of the structure tensor but are not approximately integrable, as well as of irreducible SO(3) structures with nonzero covariant divergence of the structure tensor are presented.

Текст научной работы на тему «О приближенно интегрируемых so(3)-структурах на 5-мерных многообразиях»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 3(23)

УДК 514.76

А. Г. Седых

О ПРИБЛИЖЕННО ИНТЕГРИРУЕМЫХ 5'0(3)-СТРУКТУРАХ НА 5-МЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

Рассматриваются неприводимые 50(3)-структуры на пятимерном многообразии. Показано, что для приближенно интегрируемых неприводимых 50(3)-структур ковариантная дивергенция структурного тензора равна нулю. Приведены примеры левоинвариантных неприводимых 50(3)-структур на пятимерных группах Ли, которые имеют нулевую дивергенцию структурного тензора, но не являются приблизиженно интегрируемыми, а также неприводимых БО(3)-структур с ненулевой дивергенцией структурного тензора.

Ключевые слова: специальная БО(3)-структура, пятимерное многообразие, группа Ли.

Традиционно в геометрии большой интерес представляют римановы многообразия с некоторой дополнительно заданной структурой, согласованной с метрикой. Примером может служить почти комплексная структура, согласованная с метрикой. Соответствующая структурная группа действует неприводимо на касательных пространствах многообразия. Для нечетномерного аналога - контактной метрической структуры - структурная группа действует приводимо - она имеет два инвариантных подпространства: контактную плоскость и направление Риба. Интересно, что в случае пятимерного риманова многообразия существует [1] структура, у которой структурной группой является SO(3), и она действует неприводимо. Эта структура представляет интерес в контексте характеристических связностей и специальной неинтегрируемой геометрии [5]. В данной работе рассматривается такая неприводимая SO(3)-структура на пятимерном многообразии и изучаются свойства ее структурного тензора.

Неприводимое представление группы SO(3) в пространстве Я5 основано на том, что векторное пространство Я5 изоморфно множеству действительных симметричных бесследовых матриц порядка 3. Изоморфизм устанавливается следующим образом:

Ґ

Х = (х1,...,х5) ^ ст(Х) =

Л

>/з

- хА

73 + х4

'л/Т

Неприводимое представление р на К задается формулой р(И)X = И<з(Х)И-1,И е £0(3).

Для элементаXрассмотрим характеристический полином матрицы а(Х) [1]:

Г\ /о

РХ (X) = det(ст( X) -XI) = -Х3 +Хя (X, X) + -9- ¥ (X, X, X).

Этот полином инвариантен относительно SO(3) действия, заданного представлением р. Поэтому его коэффициенты являются SO(3)-инвариантными. Квадратичная часть g(X, X) - это стандартное скалярное произведение на Я5,

2 2 2 2 2 g (X, X) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 , а свободный член Т имеет вид

1 'Х І'Х

Т(Х,Х,Х) = 2х1 (6х22 + 6х42 - 2х12 - 3х32 - 3х52) + -2-х4(х52 - х32) + 3%/3х2х3х5. Он определяет симметричный 3-линейный ковариантный тензор

Т = Х ^=1 е'® е‘ ® е .

где (е1,..., е5} - дуальный корепер к стандартному ортонормированному реперу (еь е2, е3, е4, е5} пространства Я5.

Отметим основные свойства тензора Т, полученные в работе [1]. Свертка тензора Т по любым его двум индексам равна нулю. Чтобы сформулировать следующее свойство, нам потребуется тензор ТX = lXТ , полученный сверткой с вектором X: ТX (•, •) = Т(X, •, •). Поскольку мы считаем фиксированным ортонор-мированный репер, то симметричная 2-форма ТХ естественным образом отождествляется с эндоморфизмом пространства Я5. Поэтому можно брать композиции таких эндоморфизмов ТХ, в частности можно рассматривать квадраты эндоморфизмов (ТХ)2. Тогда для всех XєR5 имеет место равенство (ТХ)2Х = g(X.X)X.

При действии SO(5) группа изотропии тензора Т совпадает с группой SO(3), неприводимо вложенной в SO(5), т.е. так, как описано выше. Это позволяет определить неприводимую SO(3)-структуру на пятимерном ориентированном римано-вом многообразии (М^), задавая в каждой точке такой тензор Т.

Определение 1 [1]. Неприводимой SO(3)-структурой на 5-мерном римановом многообразии (М^) называется тензорное поле Т типа (0,3), для которого линейное отображениеX^ТX є ЕпС(ТМ),XєTM, имеет следующие свойства:

1) Симметричность: g(X, ТТ2~) = g(Z,ТГX) = g(X, Т2У).

2) Нулевой след: ^r(ТX)=0.

3) Для любого векторного поля Хє ТМ имеет место равенство = g(XX)X.

В [1] показано, что в каждом касательном пространстве можно выбрать адаптированный базис (е1, е2, е3, е4, е5}, т.е. такой, в котором метрика g и тензор Т будут иметь канонический вид, а именно gij = и

Т= і+ 6</)2 -2<е')2 -3(^ -3(е')2) +

+^е4((е5)2 -(е3)2) + 3-ІЬе2е3е5. (2)

Здесь (е1, е2, е3, е4, е5} - дуальный репер. Из (2) мы получаем ненулевые компоненты тензора Т в адаптированном репере (с точностью до симметрий):

= 1 = 1 = 1 = 1 = 1

^111 = 1, ^122 = 1, 4*144 = 1, ^133 = 2, ^155 = 2,

л/3 73 л/3

V433 = ^, V455 = "^, V235 = (3)

Таким образом, неприводимая SO(3)-структура на многообразии - это римано-ва структура g и тензорное поле Т, обладающее указанными выше свойствами

1-3 определения 1. Представляют интерес так называемые приближенно интегрируемые SO(3)-структуры [1, 2], как некоторые аналоги почти комплексной структуры 3 приближенно кэлерова многообразия, т.е. такого, что (VXJ)(X) = 0.

Определение 2 [2]. Неприводимая SO(3)-сmрукmура на многообразии М называется приближенно интегрируемой, если (VX Т )(XXX) = 0 для любого векторного поля Х на М.

Теорема 1. Если SO(3)-сmрукmура Т приближенно интегрируемая, то дивергенция тензора Травна нулю, 5Т = 0.

Доказательство. Пусть SO(3)-структура Т приближенно интегрируема, тогда, по определению, (VXТ)(X,X,X) = 0. Перепишем это условие в координатах ^' Т ]Ы) XiXJXkXI = 0, или V(ТJkl) = 0. Поскольку тензор У полностью симметричен, то

V' Т ]к1 + V ] тш + Vk т ]1 + VI т ]к = 0,

V' т]кі +v] Т'кі =^кТ]'і -VIт]й.

Вычислим дивергенцию 5Т тензорного поля Т с учетом последнего равенства:

5Т = -V] Т ]кі = - ^ V' Т ]кі = - 2 ^ (V' Т ]кі + V ] Т 'кі) =

= 2 ^ (Vk Т ]'і + VIТ ].и) = ■1( Vkg']' Т']і + vg Т]к) = 0,

п°ск°льку gУТ]і = ^Т']к = 0.

Замечание 1. Условие 5Т = 0 является только необходимым. Существуют примеры, когда 5Т = 0, но SO(3)-структура Т не является приближенно интегрируемой.

Замечание 2. Дивергенция 5Т обращается в нуль тогда и только тогда, когда тензор V(i Т ]кі) имеет нулевой след по любым двум индексам.

Рассмотрим левоинвариантные приближенно интегрируемые SO(3) на пятимерных группах Ли. В работе [2] получены необходимые и достаточные условия на левоинвариантный тензор Т для приближенной интегрируемости в терминах структурных констант группы. Получим аналогичные условия для равенства нулю дивергенции тензора Т. Пусть (е1, е2, е3, е4, е5} - адаптированный базис алгебры Ли ДО) группы О. Задав такой репер, получаем левоинвариантную риманову метрику g на группе О, для которой выбранный репер (е1,..., е5} является орто-нормированным. Кроме того, на группе О можно считать заданной левоинвариантную SO(3)-структуру тензором Т на алгебре Ли ДО), компоненты которого в выбранном адаптированном репере (е1,..., е5} определены равенствами (3). Пусть С] - структурные константы алгебры Ли ДО) в адаптированном базисе.

Теорема 2. Дивергенция 5Т тензора Т левоинвариантной SO(3)-сmрукmуры на пятимерной группе Ли равна нулю тогда и только тогда, когда структурные константы соответствующей алгебры Ли удовлетворяют следующим линейным соотношениям:

2С* = л/3 (С253 + С235), 2С4 = Т3(С334 + С45), С33 = л/3(С253 + С334 - С325),

С55 + С13 = 2(С122 + С4),

С35 - С13 - л/3(С!52 - С134 - С4 + С2) - 2(С34 - С223) = 0,

С45 - С224 - 73(С!33 - С2 ) + 2(^4 - С334) = 0,

С!32 - 2С2 - 3С23 - л/3(С243 + С234 - С225 - С\5) = 0,

С15 + С335 + л/3(С132 + С2 + С154 + С4 ) - 2(С225 + С* ) = 0,

С2 + С142 -3^ + С135) = л/3(2С112 + С244 - С^ + ^ - С^)),

2С152 + 5С2 + 3(С15 - С4 - С134) = л/3(3С223 - С13 - 2С344 + С245),

5С134 - С4 + 6С14 - 9(С25 + С15) = у/3(С3 - С254 - 5С223 - 3С245 - 2С425),

^5 + С3 - С435 -^(С* - С^ - 2С12 + ^^(С45 + С^)) = 0,

2С4 - С14 + 3С45 -л/3(С445 + С335 - С234 - С324) = 0,

С255 + С233 ^>/3(С153 + С!35 ) - С - 2С244 = 0.

Доказательство. Дивергенция 5Т тензорного поля Т = у^кег ® е1 ® ек находится по формуле (5у)]к = -V'Щ]к = -g1SV2у]к , где е' - ковекторы дуального базиса к адаптированному базису {е1, е2, е3, е4, е5} алгебры Ли и V = Ve - ковари-антная производная вдоль базисного векторного поля е2. Пусть Г] - компоненты связности Леви-Чивита левоинвариантной римановой метрики g, Ve e]■ = Гкек.

Тогда для ковекторов имеем: V е' = -Г]є]. Учитывая, что компоненты у] левоинвариантного тензорного поля Т в левоинвариантном адаптированном репере постоянны на группе Ли, получаем

V ^ ] ® е> ® ек = (-у ф Г Г -У'Рк Г? -] % )(е' ® е> ® ек),

где Гр = Ср + g]SCkagkp + g'SC]gkp .

Теперь используем систему Маріє для вычислений 5Т (см. ниже листинг программы).

Приведем примеры левоинвариантных неприводимых SO(3)-структур на двух пятимерных группах Ли из классификационного списка [3] контактных групп Ли. Первый пример - с ненулевой дивергенцией, а второй - имеет нулевую дивергенцию, но не является приближенно интегрируемым. В этих примерах считается, что выбранный базис {е1, е2, е3, е4, е5} алгебры Ли является адаптированным. Следовательно, на группе Ли имеется левоинвариантная риманова структура и левоинвариантный тензор Т.

Пример 1. Алгебра ж/(2)хрК2. Это алгебра Ли группы аффинных преобразований Я2, у которых линейная часть имеет определитель равный единице. Данная алгебра Ли имеет следующие коммутационные соотношения:

[е2,е3] = -еь [еье4] = -еь [еьез] = -е2, [е2,е4] = е2, [е3,е5] = е4,

[е3,е4] = -2е3, [е4,ез] = -2е5.

Вычислим дивергенцию Т (при помощи компьютерных программ, используя вышеприведенные формулы):

0 0 73 2 3 0

0 0 32 - 0 -1

л/3 2 3 2 л/3 0 -73

3 0 0 -2л/3 0

0 -1 -л/3 0 л/3

Пример 2. Алгебра ^5д (обозначение взято из классификации [3]) задается следующими коммутационными соотношениями: [е2,е4] = е1, [е3,е5] = е1. Дивергенция тензора Т будет равна 0. Покажем, что данная 5^0(3)-структура не является приближенно интегрируемой. Для этого вычислим тензор (УхТ)(Х,Х,Х) = 0 или МіТи). Для доказательства достаточно привести одну ненулевую координату, например

^(1^233) =-Ур33Гр2 -^2х3Г13 -У231Г13 -Уд33ГІ2 -^2и3Г13 --^23уГ13 -Ух33Г12 -^2_у3Г13 - ^23гГ13 Уа33Г12 V213Г13 ^23сГ13 ,

оставляя только ненулевые компоненты тензора Т, получаем

4^133Г12 - 4^433Г12 - 8^235Г13 = ^ ^ 0.

Приведем программу вычисления дивергенции в программе Маріє. Здесь С[і,у,к] = Ск, ватта[і, j, р] = Гр , паЪ1а_Т - ковариантная производная тензора Т и dє1ta_Т - дивергенция тензора Т.

Вычисление компонент связности

> :Еог і Ьо 5 Со £ог j to 5 Со £ог р to 5 Со

>Gamma.[i,j,p]:=siпIp1ify((C[i,j,p]+s■um(s■um(g[j,s]*C[k,i,s]*g[k,p],

,k:,=1..5),,s,=1..5)+sum(sum(g[i,s1]*C[k:1,j,s1]*g[k:1,p],,s1,=1..5)

,'к1'=1..5))/2);

> оС; оС; оС;

Вычисление ковариантной производной тензора Т

> паЬ1а_Т :=аггау(1..5,1..5,1..5,1..5):

> £ог І2 Ьо 5 Со :Еог j2 Ьо 5 Со :Еог к2 Ьо 5 Со :Еог s2 Ьо 5 Со

> паЬ1а_Т [s2,i2,j2,k2]:=simp1ify

(^ит(у [r2,j2,k2]* Gamшa[s2,i2,r2],r2=1..5)-sum(y [i2,p2,k2]*Gamшa[s2,j2,p2],p2=1..5)-sum(y [i2,j2,q2]*Gamшa[s2,k2,q2],q2=1..5));

> оС; оС; оС; оС;

Свертка с метрикой, для нахождения дивергенции тензора Т

> delta_T :=array(1..5,1..5):

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

> for j to 5 do for k to 5 do

> delta_T [j,k]:=simplify(sum(sum(g[i,s]*nabla [s,i,j,k], 'i'=1..5),'s'=1..5));

> od; od;

ЛИТЕРАТУРА

1. Bobienski M.M., Nurowski P. Irreducible SO(3) geometry in dimension five. arXiv:math/ 0507152v3 [math.DG], 2005.

2. Fino A.A., Chiossi S.G. Nearly integrable SO(3) structures on 5-dimentional lie groups // J. Lie Theory. 2007. V. 17. No. 3. P. 539-562. (arXiv:math/0607392v1 [math.DG]).

3. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv:math/0403555v2 [math.DG], 2004.

4. Кобаяси Ш.,Намидзу К Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. М.: Наука, 1981.

5. Agricola I. The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion // arXiv:math/ 0606705v1

Статья поступила 28.06.2012 г.

Sedykh A.G. ON APPROXIMATELY INTEGRABLE SO(3) STRUCTURES ON 5-DIMENSIONAL MANIFOLDS. In this work, irreducible SO(3) structures on a 5-dimentional manifold are considered. The covariant divergence of the structure tensor is shown to be zero for approximately integrable irreducible SO(3) structures. Examples of left invariant irreducible SO(3) structures on 5-dimentional Lie groups that have a zero covariant divergence of the structure tensor but are not approximately integrable, as well as of irreducible SO(3) structures with nonzero covariant divergence of the structure tensor are presented.

Keywords: special SO(3) structure, 5-dimentional manifold, Lie group.

SEDYKH Anna Gennad’evna (Kemerovo State University)

E-mail: Nuska2522@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.