О плоском течении около двигателя произвольной формы с заборником и соплом в присутствии произвольной дужки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXV 1994 №1-2

УДК 629.7.015.3.03

О ПЛОСКОМ ТЕЧЕНИИ ОКОЛО ДВИГАТЕЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С ЗАБОРНИКОМ И СОПЛОМ В ПРИСУТСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ

ДУЖКИ

В. М. Шурыгин

На основе работ [1, 2] рассматривается плоская задача обтекания неограниченным потоком идеальной несжимаемой жидкости двигателя произвольной формы с заборником и соплом в присутствии произвольной дужки, в случае когда константа Бернулли постоянная во всем течении (Ве = 0). Подтверждается вывод работы [3], что теоретические решения, построенные при двух точках схода потока на срезе сопла, представляют малый практический интерес. Приводятся соответствующие иллюстрации на сравнительно простом примере. Обсуждаются возможные виды обтекания комбинации двигатель — дужка в зависимости от их относительного положения.

1. Рассмотрим в неограниченном потоке с набегающей скоростью 1/„ произвольную дужку Ь21 в присутствии двигателя произвольной

формы с заборником и соплом при числе Ве = 0. В соответствии с [1] схематизируем двигатель трехлистным контуром Ь\г с двумя каналами,

уходящими в бесконечно удаленные точки А2 и А3 (рис. 1). Положим, что построена функция [2], которая отображает внешность некоторого гладкого однолистного контура Ьц в плоскости \ на внешность трехлистного контура Ь1г. При этом в плоскости £ дужке Ь2г будет соответствовать дужка Ь2^. В результате поставленная задача свелась к задаче обтекания в плоскости £ неограниченным потоком со скоростью Ух = Ьи^ дужки присутствии контура Ь^ , в точках

которого Т1л2, Т1>У43 (на контуре Ьц £ = т^, соответствующих бесконечно удаленным точкам А2 и А3 струйных каналов, располагаются, вообще говоря, источник и сток с объемными расходами > 0, <2л3 < 0 > равными соответственно расходам через сопло и воздухозаборник; величина Ь = ^/сК,^. Единственное решение задачи в случае

ДдигательЬ17,

——з^.__^

Рис. 1. Схематизированный двигатель произвольной формы с заборником и соплом в присутствии дужки

изолированного Двигателя определяется тремя параметрами [1]. За них для построения теоретического решения можно принять, например, положение трех точек ветвления на трехлистном контуре, либо двух точек ветвления и значение одного из расходов или их отношения — относительного расхода я = /6л2 > либо одной точки ветвления, относительного расхода ц и коэффициента расхода через воздухозаборник / = -0А3/ипс1, где с1 — диаметр двигателя или некоторые другие параметры. Но так как в данной задаче присутствует и дужка ¿2г, то возможные условия единственности решения следует дополнить условием Чаплыгина—Жуковского о сходе потока с задней кромки у6 дужки v5\>6 (рис. 1). Следуя (2), запишем интегральное уравнение II рода для завихренности УхО^) на и интегральное уравнение I рода для суммарной завихренности У2£(*г) =У2в(г2) + +у2#(т2) на гДе % - т2 (индексы В и Я соответствуют верхней и нижней поверхности дужки):

, . с08[а1(тх)-ре . (xi)]

пЫ = -2117. со891(т1) +--+

щ

1 5т[81(т2)-Р0у42(т2)] . ^[»ЧхгЬРелз С-с2>]

+ п®Аг г0а2 (т2) + я^З г0А} (х2)

(2)

Здесь

у = -Kcos(9 - Э1),

где V — величина скорости, S — угол наклона скорости, Э1 — угол наклона контура при его обходе по часовой стрелке, — расстояние вдоль контура L^, s2 — расстояние от передней ]фомки v5 вдоль

дужки L2^, г<2а2 (xi)e — комплексное расстояние от точки рас-

положения источника QAi на Ly^ до точки xj на L^ (соответственно и для и точек х1 на Ьц); r(T1,$i)e'^xl,Sl) — комплексное расстояние на Ьщ от точки tj до точки с координатой ^ (аналогично и для дужки Ll%)\ г(х1,52)е'— комплексное расстояние от точки xL на до точки с координатой s2 на Ь2^ (аналогично и для расстояния от точки т2 на Ь2^ до точки с координатой ^ на ¿ц).

При решении системы уравнений (1), (2) выполнение условия Чаплыгина—Жуковского о сходе потока с задней кромки дужки приводит к требованию, чтобы

Y2l(52v6) = 0. (3)

Заметим, что если построить функцию z{%), отображающую окружность единичного радиуса на контур то интегральное уравнение II рода (1) преобразуется в следующую формулу для Yi(xi) = Yi(6), где

У1(в) = -2LUV sine + ¿0,2ctgi(e -QA2) + +

r. 1 2f6 , v cos[e-p(e,s2)] j ^

s2V5

2л

где Г\ = |у1(9)й?В — циркуляция около круга единичного радиуса,

о

равная циркуляции скорости вокруг двигателя; вАг, соответствуют

положению источника и стока на круге.

При стационарном обтекании комбинации дужки и двигателя во всяком случае одна из двух острых кромок vj или v2 на срезе сопла должна быть точкой схода потока. Обозначим эту точку схода Оу. Так как в этой точке у 1(8^) = 0, то соотношение (4) преобразуется к виду:

Yl(0) = -21^ [sine - sineoj] + ±QA2[ ctgi(e - eA2) --ctgi(e^-qa2)] + J-qa3[ctgi(e-e^3)-ctgi(evi -e^3)]- (5)

S2vfi

if, Jcos[e-p(e,^2)] cos[e0l-p(80l,52)]]

s2V5

Таким образом, если Хц — окружность, то задача сводится к решению

системы уравнений (5), (2).

Допустим, что каким-то образом выбраны параметры, определяющие единственное решение системы уравнений (5), (2) (или в более общем случае — системы уравнений (1), (2)), и найдены функции У1(т1)> У2е(т2)- При этом становятся известными циркуляции скорости около дужки и двигателя:

Г1 = Г2 = \у2х(ъ)&2, (6)

а также сопряженная суммарная сила, действующая на контуры ¿Ц и [1]:

Ч = + ри^-т + Г2) + 0л2 +<2А3] +

(7)

+риА20А2е"^ +РиАзОАзе-*л1,

где — сопряженная суммарная сила [1], действующая на контур Х1г; — сопряженная сила, действующая на Х2г> Р — плотность; иа^ , — скорость и угол наклона скорости в бесконечно удаленных точках ак струйных каналов.

Но для определения сил, действующих на каждый контур, требуется дополнительно вычислить силу, действующую на один из контуров, пользуясь полученным решением системы уравнений. Приведем формулы, позволяющие вычислить перепад давления д/ЧСг) в произвольной точке ¿¡2 дужки £2г, на котоР°й I = С. Перепад давления в произвольной точке т2 дужки в плоскости \

а^(т2) = Рвфг) - Рщ(ч) = ^¡{х2) - К|(т2)] =

= РГГ211^2)[У2В(Х2)-У2Н(Х2)1

как видно, зависит не только.от суммы, но и от разности завихрен-ностей. Формулу для разности завихренностей на дужке Ь^ запишем, если использовать для дужки интегральное уравнение II рода, которое вырождается и приводит к искомой формуле:

У23(Г2) - У2ИЫ) = "2ССвЧч) + я +

~ г0л, ы + * JУ1(51) «ЧЛ)а$1 + (9)

%

Обозначим через

*ср(т2) = - У2н(ч)] (10)

среднюю скорость течения в данной точке дужки знак которой

положитеден, если она направлена в сторону задней кромки, и отрицателен, если в обратную сторону. Перепишем формулу (8) в виде формулы Жуковского «в малом» [4]:

2) = -рУ21('г2Жср('Г2)- (11)

Соответствующий перепад давления на дужке Ь2г в точке С^2{х2) определится формулой

ьр(<;2) = Ар^2)1\%12- (12)

Для определения подсасывающей силы, возникающей на обтекаемой острой кромке у5 дужки Ь21, воспользуемся известной формулой

где Яу5 — сопряженное значение подсасывающей силы, интегрирование ведется около передней кромки у5 дужки Ь2г по окружности радиуса е против часовой стрелки. Или иначе:

^аК^А- (14)

где уже в плоскости % интегрирование ведется по окружности радиуса е около передней кромки дужки Ь2

Заметим, что если в плоскости % дужка Ь2^ представляет собой

пластинку, то интегральное уравнение (2) сводится к сингулярному интегральному уравнению Коши, интересующее решение которого при У2е(я2у5) = °°> У2х(52у6) = 0 записывается через некоторый интеграл от правой части уравнения [5]. И если еще к тому же

является окружностью, то решение задачи обтекания сводится к решению системы уравнений, состоящих из формул для у»^) и У2^(52) > взаимно зависящих друг от друга.

2. В работе [3] рассматривается обтекание неограниченным потоком произвольного плоского тела с двумя острыми задними кромками V! и у2 при истечении струи между ними. Устанавливается в общем случае и особенно на примере обтекания прямоугольного двигателя, что требование, чтобы обе острые задние кромки \>х и \2 были бы точками схода потока, приводит к решениям, представляющим малый практический интерес. В случае комбинации тел, одно из которых

.Думка. Llz

Vi

'Двигатель Llz.

Рис. 2. Простейший схематизированный прямоугольный двигатель с заборником и соплом в присутствии дужки

имеет две задние острые кромки, между которыми вытекает струя жидкости, трудно ожидать иного качественного результата.

Подтверждая это, рассмотрим, не теряя общности основного вывода, обтекание наиболее простого двигателя: прямоугольного в присутствии дужки. В случае когда прямоугольный двигатель схематизируется трехлистным контуром, у которого стенки двигателя и каналов параллельны, что мы и примем (рис. 2), функция отображения окружности единичного радиуса на трехлистный контур известна [1]:

z = L

-loIn

§ + + 2е~,ад sin2 8Vj0 In

-la л

5+e

-fan

+ const,

(15)

где ад — угол атаки двигателя, 0У1О — угол на окружности, соответствующий положению точки, отвечающей точке возврата V! на срезе сопла при ад = 0.

Для длины двигателя /, его диаметра <1 и удлинения к = //</ имеют место формулы:

/ = 4X(cos9Vl0 +sin29vin Intgi-9V10); d = 2nZ,sin29

'vio

cos0

v10

4sin2evw

2 vio; + lntgl0vio

'v10'

(16) (17)

Как было отмечено выше, единственность решения задачи обтекания двигателя в присутствии дужки определяется выбором трех параметров и выполнением условия схода потока с задней кромки дужки. Для реального двигателя рассматриваемого типа практически

Оа2=-ОА3,

т. е. параметр

? = -04з/СЛ2 =1-Остаются два параметра, определяющие единственное решение.

Рис. 3. Коэффициент подъемной силы пластинки в присутствии двигателя при двух точках схода потока, совпадающих с угловыми точками на срезе сопла

Сух

> ' с| 4—

ИширвОанная пмастиш

ол

ая'/ \ , ; . , , I .........1-----1- ___;. 1

-В

-з -г -1

5

Рис. 4. Суммарный коэффициент подъемной силы двигателя и пластинки при двух точках схода, совпадающих с угловыми точками на срезе сопла

Если считать, что ух и у2 являются точками схода потока, то этого достаточно для построения решения. Для конкретного случая, которым и ограничимся, когда X = 2, ад = 0, угол атаки пластинки а = 5° и ее длина ь = ъ<1, на рис. 3 и 4 представлены зависимости коэффициентов подъемной силы пластинки в присутствии двигателя (с^) и суммарного коэффициента пластинки и двигателя су от их взаимного положения. Система координат связана с двигателем (рис. 3); хз к и А означают абсциссу и ординату задней кромки пластинки. Каждой точке (хзк,й) соответствует единственное точное решение задачи с некоторым определенным коэффициентом расхода воздухозаборника

/ = -0А3 /и„

(19)

- 0,9S

I, I_I_I_I__I-1_I_I_I

-S -Ч- -S -2 -1 O 1 2 J 4 xr.,/d

Рис. 5. Коэффициент расхода воздуха через воздухозаборник в случае совпадения точек схода с угловыми точками на

срезе сопла

Для определения Q¿3, пользуясь уравнением (5), при Qa2 = ~Q¿3, Yl(0Vl) = Yl(0v2) = 0 получаем следующую формулу:

¿C?^3[ctgi(eV2 -evl)-ctgi(evl -e^-ctgi^ +

+ctgl(9vi -0^)] = 2ZC/00(sinGV2 -sin0vl) + (20)

s2v<

! r" Jcos[8v2-p(0v2(i2)l cos[9vl-P(0vl>s2)]b

+ * jY2i(*2){ r(2ev2,52;----\ds2.

*2v5

На рис. 5 приведена при Л = d зависимость / от x3 K¡d. Очевидно, что такие решения с некоторыми заранее неизвестными, но определенными коэффициентами расхода мало интересны для практики.

Зададим теперь заранее некоторое значение коэффициента расхода воздухозаборника f. Для построения решения остается выбрать только один параметр. Представляется, как и в случае обтекания двигателя без пластинки [3], сама жидкость определит этот параметр, выбрав за точку схода потока 0\ на двигателе одну из острых кромок сопла. Для рассматриваемой комбинации тел система уравнений для функций Yi(e) = y^/LUn и Y2z(^2) = y2l(s2)/LU«> зависящая от одного параметра /, имеет вид:

Yi(0) = -2(sin0 - sine^) + /sin2 0vio[ctgi(8 - 0¿2) --ctg|(0^ -0^2)-ctgJ-(0-0^3) + ctgi(0Ol -0¿3)]- (21)

* r(e,s2) r(0O,л) J 2'

«2V5

52У5

_ [яп[Э1(х2)-р0. (т2)] апгаЧтгЬРо^Л^)]] +2/в1П 0У1О<-2---

^ ~А2 -2 я

1

я

О

Для той же комбинации двигателя с пластинкой, представленной на рис. 3, при к = й на рис. 6, 7 представлены при различных / зави-

--изолироНаниая пластинка

-25 -20 -15 -10

15 20

Рис. 6. Коэффициент подъемной силы пластинки в присутствии двигателя при различных коэффициентах расхода и совпадении точки схода потока с верхней угловой точкой на

срезе сопла

Рис. 7. Суммарный коэффициент подъемной силы двигателя и пластинки при различных коэффициентах расхода и совпадении точки схода потока с верхней угловой точкой на

срезе сопла

Рис. 8. Коэффициент подъемной силы пластинки в присутствии двигателя при различных коэффициентах расхода и совпадении точки схода потока с нижней угловой точкой на

срезе сопла

Рис. 9. Суммарный коэффициент подъемной силы двигателя и пластинки при различных коэффициентах расхода и совпадении точки схода . потока с нижней угловой точкой на

срезе сопла

симости сУт (хз к ¡(1) и (х3-к /</) при точке схода потока Оу, совпадающей с кромкой сопла V!, а на рис. 8 и 9 — при совпадении точки схода с кромкой у2.

Коэффициент подъемной силы пластинки в присутствии двигателя (сУпл) существенно зависит от коэффициента расхода воздухозаборника / и от того, какая из точек на срезе сопла — V! или у2 — окажется точкой схода потока (рис. 6, 8).

Не менее существенное влияние положения точки схода потока и коэффициента / сказывается на суммарном коэффициенте подъемной силы пластинки и двигателя (рис. 7, 9).

Остается понять, какое из построенных теоретически стационар -, ных решений и при каких условиях будет реализовываться на практике при заданном /. Представляется, что если пластинка и двигатель расположены достаточно далеко друг от друга, и их взаимным влиянием можно пренебречь, то рассмотренный двигатель, во всяком случае при ад = 0, будет обтекаться нестационарно со сходом вихревых цепочек с кромок ух и у2 [3]. Пластинка же будет обтекаться стационарно с точкой схода потока в задней кромке у6 . При приближении пластинки к двигателю, когда их взаимодействие оказывается заметным, но не настолько, чтобы повлиять на нестационарный характер обтекания двигателя, реализуется другой вид течения. Обтекание двигателя остается нестационарным, со сбеганием вихревых дорожек с кромок ух и у2, а обтекание пластинки становится также нестационарным, со сбеганием вихревой дорожки с задней кромки у6. И наконец, по всей вероятности, существует некая зона близкого расположения пластинки и двигателя, когда при заданном / взаимодействие двух тел приводит к реализации одного из рассмотренных стационарных течений, представляющих наибольший интерес для практики.

Ответы на поставленные вопросы и предположения могут быть получены в результате экспериментальных исследований.

Численные результаты, приведенные на рис. 3—8, заимствованы из расчетов, проведенных Б. Г. Пьянзиным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями.— М.: Машиностроение, 1977.

2. Шурыгин В. М. Комбинированный метод решения плоских прямых задач обтекания тел со струями // Ученые записки ЦАГИ.—1990. Т. 21, № 6.

3. Шурыгин В. М. Об обтекании плоских тел с двумя острыми задними кромками при истечении струи между ними // Ученые записки ЦАГИ,—1993. Т. 24, № 4.

4. Белоцерковский С. М. Тонкая Несущая поверхность в дозвуковом потоке газа.—М.: Наука, 1965.

5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Физматгиз, 1961.

Рукопись поступила 12/Х1992 г.