CC BY
52
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXI 1990
№ 6
УДК 629.735.33.015.3 : 533.695.7
КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ СО СТРУЯМИ
В. М. Шурыгин
Предлагаемый комбинированный метод расчета плоских течений идеальной несжимаемой жидкости около тел со струями основан на предварительном конформном отображении п-листных областей течения, соответствующих телам со струями [1], на однолистные области, при дальнейшем использовании метода вихревого слоя или метода особенностей [2]. Предложенные функции для выглаживания угловых точек и приведенные интегральные уравнения [2], учитывающие условия единственности течения, позволяют расширить возможности решения прямых задач в случае заданных произвольных тел, границ и чисел Ве.
1. Пусть некоторое произвольное плоское тело, в которое втекаюг (и вытекают) струи, обтекается безвихревым потоком идеальной несжимаемой невесомой жидкости постоянной плотности р со скоростью иоо на бесконечности. Течение может иметь жесткие и свободные границы, в нем могут располагаться дополнительные тела и особенности, в некоторых вытекающих струях константы Бернулли могут отличаться от константы Бернулли набегающего потока. Схематизируем тело с (п—1)-й струей я-листным контуром Liz, имеющим га—1 струйный канал с соответствующими бесконечно удаленными точками Ak(k = 2,..., п), полагая, что га-листный контур односвязный [1]. При условии z(oo)=oo, arg(afz/d|)co —0 существует функция z(g), кон~ формно отображающая внешность пока что произвольного ограниченного односвязного и однолистного контура L\% в плоскости | = ^ + iv на внешность односвязного я-листного контура Llz на рима-новой поверхности переменной z=x+iy. В соответствии с функцией z(|) в плоскости | найдутся дополнительные тела, жесткие границы и особености, отвечающие дополнительным телам, жестким границам и особенностям исходного течения. В плоскости I должны существовать также линии, соответствующие свободным границам и тангенциальным разрывам скорости исходного течения. В результате, исследование течения в n-листной многосвязной области Dz сводится к решению* краевых задач для течения в соответствующей однолистной многосвязной области D-.
Ю
Положим вначале, что во всей области течения D% константа Бернулли одна и та же и запишем аналогично тому, как это сделано в работе [2], систему интегральных уравнений для распределения завихренности y(t) и интенсивности источников q(x) вдоль границы Ьщ области Dt, на которой |=т. При этом, в отличие от работы [2], здесь необходимо дополнительно учесть, ЧТО на контуре ¿ц имеются точки тА , соответствующие бесконечно удаленным точкам Ah струйных каналов, в которых располагаются источники (стоки) с объемными расходами, равными расходам через струйные каналы. Полагая,
что точки tAk (к = 2, ... , я)являются гладкими точками, получим относительно у(т), q{x) следующую систему линейных интегральных уравнений:
Т sin Г»(1) (т) — ¡3,, (т)1
•¡W = -2*¿l/.cos »!■>(<)+-£- ---1 , (т) ' +
Q eos [а<" (т)-- (,)| Qa¡ [*(м М - ^ (Ч
'•w tí * 4м 1
+41 01 ¿»+4-i »wсоф"’г'¿ГіГо
lDc ¿Dc
/ \ r,u,TI ■ ftll) / \ Г COS [&(1>(t)— (x)]
q(x)---2kLUx sin »<'> (t) - ---í—-----------L +
q sinK>(*)-eQw] , vi 4 sinpn,w-^w]
■ * ГР(Т) ' '2 “
к-2 к
1| Т(5)С°,|,1',М-»-' '>1 ч(,) <"•01 “*■ <2>
¿В:
Здесь ¿ = ¿($) — переменная точка интегрирования вдоль границы при котором область Д остается слева, « — длина
вдоль , сИ — йэе1^^, где &(1) — угол наклона элемента границы. Функции 7(т) и <7(т) определяются формулами:
т(т) = —Усоз(& —а*1»), 1 3
д(ъ)~У*1п(Ъ — Щ, /
где У и О — величина скорости и ее угол наклона в соответствующей точке контура Ьщ, который в общем случае может быть протекае-мым. Коэффициент й= 1; 1/2; 0 соответственно в случае неограниченного, полуограниченного потоков и в случае набегай)щей струи. Принято, что скорость набегающего потока направлена вдоль оси х,
I = (¿г/й^)со >0. В соответствующих точках областей и скорости V и и связаны соотношением V поэтому скорость
набегающего потока в плоскости £ = ц,+п? направлена вдоль оси ц и равна V» = Шоц. Принято также, что в области течения расположены представители особенностей, представляющие в области
вихрь С циркуляцией Г В точке |г и источник с объемным расходом <2 в точке £<?. Использованы обозначения (рис. 1): £г — “5 = гг(х)<е‘Рг (г) ,
1! = Г<?(т)егР<?М,
»Ре?, (*)
* •
'-А» .
(А=2,..,л)
Рис. I
Ь — х = г(х, €) е®
Если же, например, в одной из вытекающих из контура Ц г струй константа Бернулли В — =р+-ри2 отлична от константы
Бернулли В* = р* + р£/*2 в на-
бегающем потоке и в остальных струях, то область течения Ог
будет состоять из двух областей течения и с различными константами Бернулли^ общие границы которых являются линиями тангенциального разрыва скорости. В плоскости £ получим соответственно: 0^ = 0.* + Оё-) где Ое*, 0~— однолистные области, соответствующие областям йг* и £>-. Для каждой из областей Д. и £>|-с границами ¿0-спра-
ведлива система интегральных уравнений (I), (2) соответственно для тс*(т*), (г*) и т('с), <7(х), где для каждой области должны
быть учтены только те особенности, которые располагаются в этой области или на ее границе.
Вопросы, связанные с общим подходом к построению искомых единственных решений интегральных уравнений при различных
числах Бернулли Ве = (В — В*) | -у- ?и&, будут рассмотрены в п. 2
{Ве = 0) и в п. 3 (Ве=^=0).
2. Рассмотрим вначале гладкие течения, когда отсутствуют свободные линии тока и пусть все жесткие линии, ограничивающие область течения /)г, известны. При этом на границе функция ^(т)=0 и
интегральные уравнения (1) и (2) запишутся соответственно как интегральные уравнения П-го рода (1) и 1-го рода (2) относительно уМ-Пусть пока граница состоит из N не связанных между со-
кон-
бой линий = у | , среди которых ТУ,, ограниченных
туров конечной толщины (У = 1, ... , А^) и А^г линий, из которых состоят неограниченной протяженности жесткие границы 0 = ^+1,... , 1У=Щ + Щ). Введем далее обозначения для каждой линии /.уе: ? = Т;, х = ху, я = 5; и пользуясь интегральным уравнением II рода {1), запишем его в виде системы интегральных уравнений II рода относительно 7]{*]):
т) (^) = — ЪЬШоо сое 9(1) (х)) +
5Ш [а(1) (Ху) — (х;)] ^
Гт (у) ^
k = 2
'='....л-
¡=1 ¿¿с
Зададим условия, определяющие единственность течения [1]. Так, например, пусть известны Цоо, расходы (}\к (к = 2,..., п) источников на контуре ¿ц, полржение точки ветвления %)0 на при ¡=1,... ,ЫТ и расходы через струйное каналы в жестких бесконечных границах (см. риё. 1). Отсюда и из системы уравнений (4) следует, что искомые функции У}(ъ) ДОЛЖНЫ удовлетворять при / = 1, ,, . , А^т следующим соотношениям, когда точки уо1 являются гладкими точками:
-2^Ш.со5»»>(.;о.)+45",Г<;/%)~,?гЫ)] +
71 Гт,гуо,;
+
Q COS Ы - Р<? Ы ] | УЧ C0S И(1) Ы - ?ЯАк Ы]
rQ Ы)
'WW
+
, 1 V с.. чsin [а<1) (W - Р ы. <»)]
при j = NTN—соотношениям:
7j = — 2kLUcc cos 9W (zB.) +
+ .!!“ t 4- j ^ ^
1 Bji=N^+1 ii5
В случае бесконечной границы со струйным каналом точки Bj совпадают с бесконечно удаленными точками стенок каналов (рис. 1) и значения определяются через заданный расход по каналу и
его ширину. Если же струйного канала нет, то за точку Bj можно при-
дать любую из двух бесконечно удаленных точек жесткой границы. Вычитая при одинаковых / из уравнений системы (4) полученные соотношения, получим систему приведенных линейных интегральных уравнений П-го ррда:
N
Ту (х;)= 5] ~ J'Ti (5i) (?/• xi о.) dsi+ffi bj т/ од dsh
* = 1
¿it
J ^ J • • ■ i № у,
N
Ъ (*,) = S V J ь (Si) K(*h (-J, tlt xBp dst + /<",» (xJt tap ;
(5)
где приведенные ядра К{%, АГг("/ и приведенные свободные члены
/17, /г"; имеют вид:
при y == 1, 7VT, i= 1, TV:
Заметим, что система уравнений (5) теряет смысл, если хотя бы одна точка ветвления т/о, совпадает с угловой точкой соответствующего контура ¿/е. Чтобы избежать этого, а также чтобы устранить разрывы ядер, свободных членов и искомых функций, связанные с наличием угловых точек на всех контурах, будем считать, что при построении функции г(|) проведено сглаживание всех угловых точек на линиях £/5 (/= > Л0- Укажем функцию, осуществляющую сглаживание
угла в точке 1(1) = 0 на некоторой линии в плоскости переменной ?(и:
Нетрудно видеть, что окружности единичного радиуса £(2) = е‘ в(2) соответствуют в плоскости £(1) симметричные профили (контуры) С угловой ТОЧКОЙ В хвостике (£(1)=0), где 6я — внешний угол и 0<6<2 (рис. 2 при М=1). В окрестности £(2)=°° имеет место следующее представление рядом Лорана:
sin [а(1) (т¡) - э Ь), tj) ] _ sin [а(1) (уо,) —р(у0„ ¿¿)]
sin [а<1)(у О,) -Рг h о,)| \, Q К [«Ц - Рр (v)]_ cûs [»(1h-0l) $q (х/0,)1 \
ГГ (*/<>,) J » I rQ(*j) rQ('jo) J
" n (cos [s<1) (у)-Р% М cos [а(1) (xj о,) $Qa k (T/Q,)]
и при / == TVT -j- 1, ..., N:
dst\
S(1) = M £(2) (1 --------- l/?(2))° •
(6)
А
'(2)
м
і(»-1) 1 ,
с2 ' ••
2!
+ (-1)
к+1
8 (В—1) ... (5 — *+ 1) к— 1
'(2)
6!
г*
"(2)
При 6 = 2 функция (6) является известной функцией Жуковского, отображающей внешность круга на внешность пластинки.
Таким образом, система уравнений (5) является системой приведенных интегральных уравнений П-го рода на гладких контурах относительно, вообще говоря, непрерывных функций
?1 — Ті (хі) ■
сое [д(1) (то - ю]
— ------------------гт*---------’ Ь '
ь о * Г<гЛк (Т1)
к-2 *
п
где у = 2, ..., N.
Если система уравнений (5) оказывается фредгольмовской [3, 4], то ее решение, удовлетворяющее условиям единственности течения, должно непосредственно определиться методом итераций.
В том случае, если в области течения /)г присутствуют также и дужки, толщина которых, по определению, равна нулю, то ограничиться при решении задачи обтекания интегральными уравнениями Н-го рода (1) не представляется возможным, так как на дужках интегральные уравнения П-го рода (1) вырождаются и следует использовать интегральные уравнения 1-го рода (2). Пусть число дужек будет равно Л'д. Тогда
/=1
/=ЛГТ-И
/=ЛГ+1
Обозначим через ТуВ (5/)> Т/н («у) соответственно интенсивности вихревых слоев на верхней и нижней поверхностях дужки, через в, — длину
ОТ носка дужки ВДОЛЬ его верхней поверхности И через ~¡¡z(Sj) = ~ V*(s)) + Т/ н (Sj)—суммарную интенсивность. Вследствие присутствия дужек в интегральных уравнениях П-го рода (4) для Уз(хз) (Í— U ■ ■ ■ > Щ добавятся дополнительные члены в правой части:
N+Nn г ,1, 1
+ —-----------------------------rlr n----------dsi> (7>
75 i = N + l 6iB r \xj> 4)
где St в — верхняя поверхность дужки (i=N+1,..., A/-f-N*). Систему интегральных уравнений I-го рода (2) относительно ^ 2 на дужках (í = Af+l,..., Л/+ запишем в следующем виде:
+ vi ■
1 "V í* / vC0St®1 >(^)-Р(Ху, <«)] , .
] Т*’2(®г) , ,, ¿O» sin 9( > ("Л —
” i=ñ+islB г (у, ti)
Г cos [а(1) (ту) — (ту)] Q sin [ft(1) (ту) — ¡jQ (Ту)]
7Í Гг (ту) ТС ГQ (Xj)
A ®Ak sin [&(1) (х;) — Р<?* (х;)] 1 * , cos [»(1) (ту) — р (ту, í,)]
+2-тг--------------— - т £ Ь< м —-yíTrt--------------------------------------
к-2 4Ak v •" ¿=1 ¿í £ r VT;> ‘Л
(8)
где } = N + 1, N + А/д.
Заметим, что интегралы в левой части при i=¿=j не являются особыми, но соответствующий интеграл при i = ¡ — особый и понимается в смысле главного значения.
В результате записана система линейных интегральных уравнений П-го (4), (7) и I-го рода (8) относительно функций yj(j=l,... ,N) и Т/s (j = TV+ 1> •••■> М + Ад). При наличии дужек условия единственности течения должны быть дополнены, например, требованием о сходе потока с задних кромок дужек. Это сводится к тому, что на задних кромках дужек, где S;B = Sy3. к, должно быть
f/s (Sy з. к) = 0, у •= N + 1, ..., N-т Л/д. (9)
При решении задачи обтекания и при наличии дужек, для построения искомого решения целесообразно записать интегральные уравнения П-го рода (4), (7) в приведенном виде, а для решения интегральных уравнений I-го рода (8) с учетом условия (9) использовать метод дискретных вихрей, в котором непосредственно учитываются условия
(9) [5].
В качестве примера запишем систему уравнений для сравнительно простой задачи. Пусть обтекается неограниченным потоком жидкости прямоугольный двигатель с заборником и соплом в присутствии дужки v5v6 (¿22) (рис. 3). Схематизируем данный прямоугольный двигатель трехлистным контуром Liz с параллельными стенками гондолы и струйных каналов, где V1V2 — срез сопла, V3V4 — срез заборника. Выберем за функцию 21(1) функцию, отображающую внешность круга единичного радиуса на внешность трехлистного контура Llz [11]:
где а —угол атаки двигателя, 6 —круговой угол на круге Lx ^ ®»10 — параметр, зависящий от удлинения гондолы и соответствующий положению на круге точки v* при а = 0 (рис. 4). При заданных расходах QA¡í, Q/i3 и точке схода потока, Например, ',на кромке v
приведенное интегральное уравнение И-го рода относительно (в) сводится к следующей формуле для fi (0):
ъ (6) = — 2L и«, (sin б - sin 0V2) + Q"2
Ctg — («— >A,)~
-Ctg — (в.,-84,)
s2v0
Mrr 1 ib fl \ 1 1 f6 / ч / C0s [0 “ P (01’ Sa)]
Ctg — (в,з — Qa3)-----------------------------J T2S (s3) ’----------------------------------------L
r (et, s2)
r (в. . es) J 2
(Il>
Аналогичный результат получим и в случае отображения на окружность произвольного п-листного контура Ьц. Интегральное уравнение 1-го рода (8) для 72 s (s2) на дужке ¿2 е запишется в следующем виде:
*2vB
[ 72s (s2)
COS [»(1) (т2) — ft (т2, S2)| г (х2> S2)
ds2 = - 21 U» sin &<]> (т2) 4-
Q а2 sin [a(1) ;(x2) — ¡íQa (t2)] сц sin [a(1) (i2) — hQa (t2)]
4»
2 —2it
(b)
Qa,
Ы)
+
eos [a(1> (x¡¡) — p (x2,6)] r (-c2, 0)
de.
(12)
Дри сходе потока с задней кромки vв должно выполняться условие (9): 722 (^в) — 0. Заметим, что если задать на \\г и вторую точку схода потока, например тогда из формулы (11) при
2—«Ученые записки» № 6
17
получим определенную связь между расходами QЛi и (?л3. После определения 7! (6) и 72е(52)» зная х (?) (10), можно построить распределение давлений по контурам и ¿2г. Для совокупности суммарной сопряженной силы Яи^Хц—г'Ки, действующей на замкнутый контур 1ц и сопряженной силы #г = Х2 — ¿У2, действующей на дужку ¿2 г, имеет место простая формула [1];
В случае, если контур Liz — произвольный полигональный я-лист-иый контур, то за функцию 2(g), если все границы и остальные контуры (кроме дужек) гладкие, следует принять интеграл Кристоффеля — Шварца, отображающий внешность окружности на внешность контура Llz. Отметим, что трудная задача определения неизвестных констант в -интеграле Кристоффеля — Шварца за последнее время находит свое решение [6].
Если же контур Liz не полигональный, то функцию 2(g), отображающую гладкий контур Li е на Li z, можно построить, применяя вначале интеграл Кристоффеля — Шварца ко вписанному в Liz полигональному л-листному контуру и далее устраняя возможные угловые точки посредством преобразований (6) на всех границах и контурах, кроме дужек.
Теперь рассмотрим негладкие течения. Пусть заданы жесткие контуры и границы и известно, что течение существует, когда частью границы области Dz является свободная линия тока С, соединяющая две фиксированные точки, на которой скорость постоянна и равна Uc, что дополняет в данном случае условия единственности течения сравнительно с гладкими течениями. В плоскости | на линии Се, соответствующей С, скорость должна удовлетворять условию
Форма линии Се (С) неизвестна и подлежит определению. Рассмотрим возможную структуру последовательных приближений для построения решения, соответствующего интересующему единственному течению. Если задать, например, некоторую начальную форму Сое линии Се и определить скорость вдоль нее согласно (13), то течение в соответствующей области Doe будет существовать, вообще говоря, если линия Сое протекаема. Отсюда приходим к задаче определения начальной .интенсивности вихревых слоев уо*(тг) на твердых границах, где ф(тг)=0 и начальной интенсивности слоя источников ?с0е (тсое) на линии Сое, где 7сог (^с0£) известно согласно (13). На основе интегральных уравнений (1), (2) для неизвестных функций ■уоИ'^Ь как и в случае гладких течений, записываются приведенные интегральные уравнения И-го рода, а если контуру являются дужками, то I-го рода. При
Ri s + — — р Uж [ — i (Гt + г2) + Q/i3] 4- ?[Ua, Qa2 +£/л3 Qd3] s,x,
где циркуляции Tj и Г2 около Liz н Liz равны:
*2v6
Vcz = Uc\dzldt\cv
(13)
этом функция <7с0£ (тск) входит в свободные члены интегральных уравнений. Для неизвестной функции <7с0£ (Я’ое) на основе уравнения (2) записывается приведенное интегральное уравнение П-го рода, что позволяет учесть характерное свойство свободной линии тока в данной задаче. Так, например, при стекании свободной линии с кромки, являющейся точкой возврата, на этой кромке должно выполняться условие <7с0с = 0. После определения искомых функций нулевого приближения можно определить форму линии тока Си, которую следует лринять за первое приближение ЛИНИИ Се и продолжить построение •следующих приближений. Решение существует, если 0 ПРИ N-+00.
3. Положим, не теряя общности, что искомое гладкое течение в области на я-листной римановой поверхности состоит из двух течений — течения В* в области О*, с константой Бернулли В* =
— р* + -^- р и*2 и течения В в области £>~ с константой Бернулли В=р 4- р &г. И пусть значения В* и В граничат вдоль некоторых линий тока X*, которые при В* фВ (Ве Ф 0) являются линиями тангенциального разрыва скорости. Для примера на рис. 5 изображены области течения £7** и D~, когда из среза сопла V] ч(2 я-лист-ного контура вытекает струя с константой Бернулли В> В*(Ве>0) и точки V! и являются точками слияния [1]. _
Условие непрерывности статического давления р*(2*)—р(г) на линиях тока Ь* при г* — г запишется в следующем виде:
и2 (г) - и'2 (г*) = Ве Ц% . (14)
Вначале, также как и при Ве = 0, построим функцию г (£) отображающую произвольный я-листный контур Ь\г на гладкий контур ¿и при сглаженных угловых точках на границах и контурах кроме дужек в плоскости \ (см. рис. 5 и 6). В плоскости % области течения Вг = йг, + D~ соответствует область течения = £>е» + ^Г- Условие (14) на линиях тока Ь\, соответствующих где £ = ?* = ■£; принимает вид:
_ V*2
V2 (£) — V** (5*)=Ве- -~
(15)
Так как функция \йг!й\\ изменяется вдоль линии 2$, склеивание двух течений несжимаемой жидкости в областях и производится, как следует из (15), при наличии соответствующим образом изменяющегося перепада статического давления по линиям Ц. На линиях ¿15. и (¿х Е + 1Ге) (см. рис. 6) в точках т’д*,
соответствующих бесконечно удаленным точкам струйных каналов А\(1г = 2, ..., я—1),^42(см. рис. 5), располагаются источники (стоки) с объемными расходами <3^, <3%, равными объемным расходам
жидкости через соответствующие каналы. Однолистные области и £>~ могут быть не менее сложными, чем рассмотренные в п. 2 области при Ве = 0. Для областей £>Е» и 1)^ остаются
Рис. 5
Рис. 6
справедливыми интегральные уравнения (1) и (2). Но при Ве/-(> решение задачи обтекания нельзя строить отдельно для областей и так как на их общей части границ, являющейся линиями
тока £*, должно выполняться условие (15). Заметим, что условия единственности течения в области £)2 = £г» + £)~ при числе Ве^-0 аналогичны условиям единственности течения при Ве = 0, но Дополняются заданием чисел Ве. Интегральные уравнения (1) и (2) для областей течения следует записать, также как в и. 2
при Ве = 0, с учетом условий, определяЩих единственное теченйе в области Иг = £>2» + и затем искать решение методом после-1
довательных приближений. Так как форма линий I* заранее неизвестна, то остается задать форму ¿о этих линий в начальном приближении. Но так как в точках слияния течений В* и В направление касательной к линии I* заранее известно [11, то это должно учитываться при построении всех последовательных приближений. Так,_в случае примера на рис. 5 при Ве>0 и телесных углах <*!=■*! * И а2 = а21С в точках V! и ^ линии в плоскости % будут составлять с углы = тг/(2 — а,) и ¡3,2 = гс/(2 — а2) (см. рис. 6)^
Решая гладкую задачу1 для одной из областей, например /\=* (см. п. ^), находим начальные скорости VI на ¿о и в соответствии с (15) определяем скорости У0 на ¿о. Но для области £>о| линии ¿о при найденных касательных скоростях 1/0 не будут, вообще говоря, линиями тока. Для существования течения в области при
касательных скоростях У0 на ¿о линии ¿о должны, вообще говоря, быть протекаемы. Найдя распределение источников на этих линиях и завихренностей 7ог на твердых границах и контурах области определим линии тока, которые принимаем на первое
приближение линии Ь* (см. п. 2) и т. д.
Если известно, что в области £>г* (0~) безусловно существует свободная линии тока, соединяющая фиксированные точки границы, на которой скорость постоянна и задана, то решение задачи в области усложнится необходимостью поиска и формы
свободной линии тока при выполнении условия (13) (см. п. 2).
Отметим, что в данной работе изложены только основы построения комбинированного метода. Следующий шаг — разработка эффективного численного метода расчета, исследование сходимости последовательных приближений — представляет серьезную самостоятельную задачу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. — М.: Машиностроение, 1977.
2. Ш у р ы г и н В. М. Об интегральных уравнениях для течений несжимаемой жидкости. Метод особенностей. — Ученые записки ЦАГИ,
1988, т. 19, № 5.
3. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики. Т. IV. — М. — Л.: ГИТТЛ, 1951.
4. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
5. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в да-звуковом потоке. — М.: Наука, 1965.
6. Оноприенко А. В. Определение параметров в функции Крис-тоффеля — Шварца для случая ограниченных замкнутых многоугольников методом малых деформаций. — М.: ВИМИ, 1985, № ДО 6647.
Рукопись поступила ЩУП! 1989 г.
