Об интегральных уравнениях для течении несжимаемой жидкости. Метод особенностей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Том XIX

1988

№ 5

УДК 517.9

533.6.011.32

ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ДЛЯ ТЕЧЕНИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

МЕТОД ОСОБЕННОСТЕЙ

Выведена система интегральных уравнений для касательной и нормальной составляющих скорости на границе сложной области течения. Введено понятие приведенных интегральных уравнений. Сформулирован метод особенностей, который иллюстрируется примером.

При решении плоских контурных задач, связанных с уравнением Лапласа, широко используются способы, связанные с потенциалами простого и двойного слоя, с интегралом типа Коши при неизвестной плотности. Определение плотностей сводится к решению соответствующих интегральных уравнений.

В настоящей работе рассматривается иной подход — для представления комплексной скорости течения непосредственно используется интеграл Коши. При этом удается, в случае сложных областей течения, записать интегральные уравнения для распределений завихренности (касательной составляющей скорости) и интенсивности источников (нормальной составляющей скорости) вдоль границы. Получающийся на этой основе метод особенностей иллюстрируется на решении задачи симметричного обтекания окружности струей при наличии внешнего потока с иной константой Бернулли.

1. Вывод интегральных уравнений. Пусть в некоторой произвольной однолистной области Б существует течение идеальной несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности (ёР/йг)А, опи-

сываемое комплексным потенциалом Р (г) =ф(г) + ^(г). Пусть комплексная скорость йР/йг= е~‘& будет однозначной функцией. Тогда, следуя от формулы Коши для йР/йг, непрерывно деформируя контур интегрирования, и полагая для общности, что в поле течения расположены представители особенностей — вихрь с циркуляцией Г в точке гг и источник с объемным расходом <3 в точке нетрудно прийти к следующей формуле:

В. М. Шурыгин

0)

где г=х + іу — точка внутри области Д ^=ц+п> — переменная точка интегрирования вдоль границы области Ь0 при котором область /) остается слева, й=1; 1/2; 0 — соответственно в случае неограниченного, полуограниченного потоков и в случае струи.

Допустим, в общем случае, что протекается вся граница вдоль

которой ї = где 5 — длина, йі=(1зе1&м и

сіі = — (Т+ід) <&, (2)

где

1 = -исо*(Ъ-Щ, д=Ц 81п(0 — €0)), (3)

{И1* — угол наклона элемента сів границы Ьо.

Теперь формулу (1) перепишем так:

№_(*\ — иті _1_ г . 1 _і_ _9________!________!_ С ^ («) ^

йг

1 Ч (я) (18 ' ^

1о

Как видно, влияние границы области на течение в ней эквивалентно сумме возмущений от вихрей и источников, распределенных вдоль границы. Интенсивность вихрей при этом определяется касательной к границе составляющей скорости, а источников — нормальной составляющей (3). Из формулы (4) следует формула для комплексного потенциала течения:

Г {г) — Шоо г н—— 1п (г — гГ) + 1п (г — г<?) +

2л/ 2я

+ т 1п ~*)а5+ (5)1п ~ (5)

На границе где г=^=х + 1у, из формулы (1), там, где справедлива формула Сохоцкого — Племеля, получим:

/г\ питт I Г 1 , 1 1 С ЩМ л,

— (С) = 2^0оо+— • -р 7- + — *! Г" +—7- / ' Г' йЬ-

Аг т *• *г я ^ га ] > — <•

Интеграл в этой формуле является, вообще говоря, несобственным ин-

тегралом и в этом случае под его значением будем понимать его главное значение.

Полагая (рис. 1) 2Г—-С= гг (С)е,Рг<С>, — С = г<э (С) Ь — С =

= г(С, Ое<ме’0.

умножая все соотношение на ехрг&(1)(£), пользуясь (3), и выделяя действительную и мнимую части, имеем систему интегральных уравнений II рода относительно у(£;) и д(1):

т(0—+^.-<8<у>| +

**• + 4- Г *м (в)

* Го —aw.-BW.ro -£..^''^«>1 + Я. _

'г \*г я ГС) (Л)

- ~ ^ («) 01 *+4 ^ м 5!п|8<"^:Г''»' *• и

1в 1о

Как видно, при заданных на значениях <7(5), значения у(5) могут определяться из интегрального уравнения П-го рода (6) или 1-го рода (7). Соответственно при заданных у(я)—значения ^(я) находятся или из интегрального уравнения 1-го рода (6), или П-го рода (7).

В частном случае, если <7(5) =0, граница области течения О не-протекаема, т. е. состоит из линий тока. Наиболее простой задачей в этом случае является задача обтекания неограниченным потоком односвязного контура, на которой вначале и остановимся. Для этой задачи в работах [1] и [2], используя представление возмущенной функции тока в виде потенциала простого слоя, распределенного по обтекаемому контуру, выведено для плотности слоя интегральное уравнение, совпадающее с уравнением (6) при ^(5) = 0, Г = (3 = 0, /г = 1. Так как использованный простой слой означает не что иное, как вихревой слой, интенсивность которого у совпадает с плотностью простого слоя, то построенный в работах [1] и [2] метод решения получил название метода вихревого слоя. В этих работах доказывается, что интенсивность вихревого слоя у равна по абсолютной величине скорости течения в данной точке контура, что непосредственно следует из формулы (3), так как в рассмотренной задаче |со& (-б- — '&11))|| = 1. Этот факт существенно упрощает получение искомого решения. Если кривизна ограниченного односвязного контура непрерывна, то это является достаточным условием того, что интегрально^ уравнение оказывается уравнением Фредгольма П-го рода. При задании на односвязном контуре положения критической точки, обеспечивающего единственность течения, построение решения ведется методом итераций. При этом внесением соответствующих поправок выполняется условие расположения критической точки на каждой итерации (см., например, [3]).

Поступим при построении решения рассматриваемой задачи об обтекании односвязного контура иначе, что нам понадобится и в более общем случае. Запишем вначале уравнение (6) следующим образом:

Т («0) — V | Т К^ й8 = х

Прежде чем решать это уравнение, преобразуем его таким образом, чтобы оно учитывало условие единственности течения — условие расположения критической точки. Пусть задано, что f(sOl) = 0. Тогда со-главно (8)

“7 J T(s)^fe- s)* = X(So,)- (9)

ld

В уравнении (8) нас интересует только функция y(s)> совпадающая с функцией y(s) в уравнении (9). Вычитая (9) из (8), получим:

Т (*о) “ 4" / Ч (s) К(а) (s°» Х<П) (So‘’ *«>)• (10>

ld

где

K(n)(s0i, sot s) = K{s0, s)-K(So„ S), x(n,(So„ s0) = x(s0) — x(s0l).

Интегральное уравнение (10), учитывающее условие единственности течения будем называть приведенным интегральным уравнением. Представляется, что, вообще говоря, решение этого интегрального уравнения будет единственным. Так как при сформулированных условиях задачи интегральное уравнение оказывается уравнением Фредгольма II-рода, то в соответствии с теорией Фредгольма его решение может быть найдено методом итераций без внесения каких-либо поправок.

Приведем конкретные простые примеры построения решений на основе приведенных интегральных уравнений. I

а) при обтекании круга неограниченным потоком интегральное уравнение Фредгольма II-рода запишется [2]:

Т Св) rf0 = — 2£/оо Sin 0О,

и

где 0 — круговой угол, отсчитываемый от оси х, направленной по скорости их. Требуя, чтобы точка, где6 = 0о,, была точкой ветвления, получим следующее приведенное интегральное уравнение:

Т (0о) = — 2 Uос (sin 60 — sin 0Ol).

Как видим, в данном случае уже само приведенное уравнение представляет собой искомое решение.

б) при обтекании эллипса под углом атаки а неограниченным потоком, записывая уравнение эллипса в осях х', у', связанных с его полуосями (jc' = acos0, y' — b-sinQ), получается следующее интегральное уравнение Фредгольма II-рода [3]:

S Ю-------- j ё (е) К(6о> 6) = ~ 2а cos a sin 0О + 2b sin а cos 0О,

о

где -___________

g (6) = -4т^- Va? sin2 6 -f- b2 cos2 6,

оо

„ ,g Q4____sin 80 (sin 80 — sin 9) + cos 80 (cos 60 — cos 6)

°’ а2 (cos 0О — cos 0)2 -ь Ь2 (sin 0О — sin 6)г

Потребуем, чтобы критической точке соответствовало 60[ и запишем соответствующее приведенное интегральное уравнение. Итерации gn(0) (при g'o(0)=O) при его решении (соответствующие интегралы берутся [3]) оказываются следующими:

ёп(Ь) = - 2а fi— -—- + ... + (— l)"-1 (——I-)”] cos a (sin 6—sin0Ol) +~ L a + b \ a + b / J

-f- 2b [l + - Ъ—f- ... + (———Yl sin a (cos 0 — cos 0Ol),

L a + b \ a + b J J

и при /г-^оо получается искомое решение

g(Q) = — (а + b) [sin (0 — a) — Sin (0Ol — a)].

Метод вихревого слоя был распространен и на более сложный кон-тур — решетку профилей. В работах [4] и ([2], также используя потенциал простого слоя для описания возмущенной функции тока, удалось в случае решетки профилей получить результаты, аналогичные результатам для одиночного контура.

Вихревой метод, имеющий ясный физический смысл, был далее непосредственно (без вывода интегральных уравнений) приложен к решению ряда задач о струйных течениях в сложных областях, ограниченных жесткими и свободными границами (см., например, [5]).

Выведенные в настоящей работе интегральные уравнения (6) и (7) в случае q(s)=0 позволяют строго использовать вихревой метод для исследования течений в однолистных областях со сложными границами в случае однозначной скорости dF/dz. При этом при решении задач полезным является использование приведенных уравнений, которые учитывают условия единственности течения в данной сложной области.

Интегральные уравнения (6) и (7) справедливы и в случае, когда часть границы области или вся граница протекаема. Это позволяет построить более общий метод, чем вихревой, который назовем методом особенностей.

2. Метод особенностей. Пример. Допустим, например, что форма части границы области течения D, которая должна, по условию, быть линией тока, заранее неизвестна. Пусть на этой части границы известно некоторое условие, которому подчиняется величина скорости, как это имеет место, например, если эта часть границы совпадает с тангенциальным разрывом скорости или является свободной линией тока. Тогда представляется принципиально возможным построить решение задачи на основе метода особенностей. Этот метод основывается на интегральных уравнениях (6) и (7) и сводится к последовательному определению интенсивностей вихревого слоя, слоя источников и формы неизвестной части границы области.

Проиллюстрируем метод особенностей на конкретном примере симметричного обтекания окружности единичного радиуса струей с константой Бернулли В = р + ?U2 (течение В), шириной И и ско-

ростью Um на бесконечности, в неограниченном потоке с константой Бернулли В* = р* -f- -i-pt/*2 (течение В*) и скоростью U*^ на

бесконечности, где /?, р* — статические давления, р — плотность (рис. 2). Форма линии L* тангенциального разрыва скорости неизвестна, но на ней имеет место соотношение:

£У*2(С*)= U2(Z) — BeU£, где С* = С, Be — (В — — число Бернулли.

2—«Ученые записки» № 5

17

Учитывая, что линия Ь* является линией тока, состоящей из совпадающих линий тока I и I* течений В и В*, лежащих на границе соответствующих областей Д и £>*, и используя первое из соотношений (3), получим на Ь*:

т*,(С*)==~2(д_ веи£. (11)

Интегральное уравнение (6) для области течения Д вследствие симметрии течения, можно записать в виде системы интегральных уравнений, где интегрирование проводится по линии тангенциального разрыва и части окружности, лежащих в верхней полуплоскости. (Условимся далее, не вводя уточняющих обозначений, введенные обозначения

Ь*, 1, /,*, й, £)*, у (л), g{x), ^(0), g*(x*) и т. п. относить

к верхней половине течения). Получим:

оо

£(*)=-*- Г 1(й ■ + 7^,1+

—со '

15

, Л Г2Т(0).--------(С051 "?)2-2^(С059- Ъ +Уп36 -ЗШ2 ЫЬ- (12)

' я [(совб — л:)2 + (вш 0 — у)2] [(совб — х)2 + (вт в + у)2]

о

оо

^ (6) =------— Г^(^) - ~-----^ ——------~------(13)

&ТЧ/ л J ([Л2 + V2 + 1 — 2ц сов 0)2 — 4ма эт2 0

—00

где у(х), V ({!)—уравнения линии 0 —круговой угол на единичной окружности и приведенные завихренности: на Ь — £(х) =

= ^^ (х)^\ +у'г(х) и на окружности (0)= 1,т(8)/{/0о81п 0, где

_у = з1п'0, л: = соз0.

Переходя к интегрированию по конечному отрезку после, например, следующей замены переменной л:=^£, ц, = 1:дт, перепишем систему уравнений (12) и (13):

15/2 15

1(6)= /!(*)*,(6, х)* + Лт(в)К,(6, 0)^0, (14)

—х/2 О

£т(0)= j ёЬ)КЛв, x)dx.

(15)

-х/2

Ядра ЛГ2 (£, б) и ЛГ8 (6, х) — регулярные функции в своих замкнутых областях изменения переменных. Ядро К1 (I, х) в области — тс/2 <; I, т<я/2 не является регулярной функцией, так как в точках $ = т = =—тс/2, £ = х = тс/2 терпит разрывы второго рода. Отметим, что если сколь угодно мало уменьшить отрезки изменения переменных ? и х([—тс/2 + е, тс/2 —г]), то ядро /<■](£, х) оказывается регулярным. При этом система интегральных уравнений (14) и (15) становится системой Фредгольма Н-го рода и в случае единственности решения, для его построения справедлив итерационный метод. Следует ожидать, что в пределе при е 0 при известных границах области О получим искомое единственное решение, так как в системе уравнений учтены условия единственности течения (его симметрия) и она является приведенной.

Но форма линии Ь неизвестна. Поэтому построим некоторый процесс последовательных приближений для ее определения, ограничиваясь, как уже сказано выше, рассмотрением верхней половины течения. На линии Ь* справедливо, как следует из уравнения ’(11), соотношение

Пусть нам известно п-е приближение функций £(£), ^г(0), найденное из системы уравнений (14) и (15). Используем для верхней половины течения формулу (16) для определения л-го приближения

где уп(х)-п-е приближение Ln линии тока L, х* = х. Полагая L*„(x*) — Ln(x) при х* = х, нетрудно видеть, что при найденных из формулы (17) значениях g*n (х*) на L*n(x*) линия L*n (х*) — граница области — я-го приближения области D* — вообще говоря не является линией тока, т. е. протекаема. Для определения соответствующих нормальных скоростей q'n = U*n sin (С — &*(1)) к линии L*n при известных gn (х*) необходимо решить интегральное уравнение Н-го рода (7), которое в данной задаче принимает вид:

/2 (**) = ?(*) (1 + Be) - Be [1 + /2 [х) ] ,

(16)

где

х = х*, у* = у, g* (х*) = 7* у\ + у*’2 (х*), g* = g*/U„.

gl (л:*) через gn (х) и получим:

gl (х*) = — V gl (*) (1 + Ве)— Be [1 + Уп (*)] , (17)

00

h*n (**) = — Уп (х*) — j g*n

—00

(18)

где

Ьп (■**) = -п^* } у 1 + Уп2 (л:*), у*п {Х*)=уп (х) при х* — х.

Первый интеграл в уравнении (18) является несобственным как вследствие бесконечных пределов интегрирования, так и обращения в бесконечность подынтегральной функции при |л* = л:*. Второй интеграл — несобственный вследствии бесконечных пределов. Полагая 5,

М-* = *ё т и проведя некоторые преобразования, запишем уравнение (18) так:

А»(&) =

ЛУп

х/2

I

—те/2

е'пЮ

у*) сое т сое3 £ + вШ (т — £)

БШ2 (т — £) + (ч* — у*)2 СОБ2 т Сйвг $

БШ (х — Е) +

+1

сов £

СОвТ 8|п(х — 5)

[/«(?) + !]

-—[«£(&) + 1] 1п

+

+ £

+

СОв'

«/2

4

Пп (х)

йУп

С11

сое £ в1п (т — £) — (м* — у*) сое т

сIх

—х/2 в)п2 (т — £) -)- (V* — у;)2 СОЯ2 т СОБ2 £ сое 1

(19)

Здесь первый интеграл является обычным интегралом, во всяком случае при 8<;Ве-Соо, где —1<8-<0. Ядро интегрального уравнения (19) регулярно при — тс/2-{-е ---е ПРИ Л1°бом

сколь угодно малом г>0 и уравнение (19) при этом является приведенным интегральным уравнением Фредгольма И-го рода. Решая его итерационным методом, далее при е 0 получаем искомое п-е приближение А* (х*), точно также, как и gn (х) при решении системы уравнений (14) и (15). Зная п-е приближения g*n(x*) и к*п{х*} (или, что тоже — Чп(х*) и д*п(х*)) на линии Сп (П) — найдем линию Ьп+1 — п + 1-е приближение для линии тангенциального разрыва скорости Ь*. За линию Ь*„+-[ будем принимать линию тока в области 0„, проходящую через бесконечно-удаленную точку х* =— оо, у* = Я/2.

Для всей области течения расположенной выще линии Для /г-го приближения комплексной скорости, согласно (4), запишем формулу:

(йР* \ .

ы

IV «*

=ти-~

1

2 п1

где

Г* = {1* + 1чп , <1$=>\(И*\, г* = X* -\- 1у* (^й'п

Отсюда получим дифференциальное уравнение для произвольной линии тока, лежащей в области £)„:

йу*

йх*

((**)

(а:* — |х*)2 + (у* — V*)

У*-ч„

(**- ц*)2 + (_>,*_

(I**)

у*-\

(20)

(** — Ц*)3 + (у* — \гУа11 "*"/ Л"^ \лг* —[**)2 + (у* —V*)2 ^

Используя замену переменной = | и проведя некоторые пре-

образования, можно здесь, как и выше, избавиться от особых интегралов и улучшить возможности вычисления. Приведем, несмотря на его громоздкость, окончательный вид уравнения (20):

<*у* 1

гі£ сое2 £ ^

та А* (£) — сое £

X'

те/2

| [*»+ч *

—тс/2

5іп (т — £)

■ X'

віп2 (х — £)-|-(у*—ч*)2 соэ^х сов2£ соет

Я/2

к [1_ ~ С082 £ j

—те/2

Ь)

Г -чп

8ІП2(т — £) + (у* — Ч*)2С082Х сов2£

• соб3 £

/

—те/2

[(у* — ч*)2 — (у* — с)2] віп (т — £) сое т-^т

[віл2 (х — £) + (у* — V*)2 совЧ сов3£] [эт2(х—£) +(у*—с)2 соз3х соэ2£]

+

ё'п (0

У*-Уп

5ІП2'(х—£)+ (у*—у*)2 СОв2Х С053£

(1х ■

я/2

/ Iі-’

+ СОБ2 £ І | Л„ (х) —ж 12

-Ал (5)

У ~~*п

ЗІП2 (х — £) + (у* — ч*)2 сое1 X СОв2?

и. *

У*-Уп

біп2 (х— £) 4- (у*— у*)2 сое3х сое2 £

</х

л/2

сое £

5ІП (х — £)

(21)

йх

—те/2

вігі2 (х — £) + (у* — /„)2 сов2х сов21 сов х

где с — произвольная константа.

Начальные условия^, для искомой линии следующие: Е = — тс/2, у* =///2, йу*1<1\=- 0. Условие для с1у*](Ц оказывается справедливым во всяком случае при о Ве-< сю, где —1-<8<0. При построении искомой линии тока может оказаться, что она или вовсе не существует в области Оп, или должна пересечь линию Сп и ее нельзя построить за точкой пересечения, пользуясь уравнением (21). В этих случаях для приближенного построения искомой линии тока Ь*п+1 можно воспользоваться, например, следующим приемом. Выберем точку х* — = оо, у1 = //,/2, где Нг>Н, так, чтобы линия тока £(1).<л+1), проходящая через эту точку, целиком лежала в области й*п, располагаясь как можно ближе к линии 1*„. Затем приближенно пересчитаем линию 1(1),(п+1) на искомую линию /,л+ь пользуясь одномерным уравнением расхода для струйки между линиями тока

£(1), (я+1) и Ьп+\\

Уп+1 <•**) = У<1>, <«+1) (*•)-

Н1—Н

и:

и(1)Лп+1) С08а(1). (я+1)

где итлп+\), ^(1)(п+1) — величина и угол наклона скорости на линии £*1), (я+1). Определив линию Ь*„+\ и принимая ее за га-{-1-е приближение тангенциального разрыва £я+ъ т- е- полагая Ь*п+1 = Ьп+1, повторяем цикл расчетов, начиная вновь с системы уравнений (14), (15) уже для области течения 2)„+\ и строим следующее приближение.

В своей дипломной работе студент МФТИ А. А. Маслов получил численное решение приведенной задачи об обтекании круга единичного радиуса. Он построил сходящийся процесс последовательных прибли-

жений с использованием релаксаций и с высокой степенью точности решил задачу практически во всем возможном диапазоне изменения числа Бернулли —1<Ве<о°. На рис. 3 и 4 приведены некоторые результаты расчетов А. А. Маслова при ///2=1,5 формы линий тангенциального разрыва у (с,) и функции g(g) на ней при числах Бернулли Ве = —0;89; —0,75; 0; 3; 8. При числе Ве = 0 решение, построенное методом особенностей, совпадает с точным аналитическим решением для окружности в неограниченном потоке. При Ве=оо решение соответствует обтеканию окружности струей в затопленном пространстве.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prager W. Druckverteilung ап Кбгрег in ebener Potentialstro-mung. — Physikalische Zeiltschrift, 1928, N 29.

2. Мельников А. П. Вихревой метод и его применение к построению потенциального обтекания крыла. — Труды ЛКВИА, 1949, вып. XXVII.

3. Павловец Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным потоком. — Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1344.

4. Martensen Е. Berechnung der Druckverteilung an Gitterprofilen in ebener Potentialstromung mit einer Fredholmhschen Integralgleichung Archives for Rational Mechanics and Analysis, vol. N 3, 1959.

5. Павловец Г. А., Чумаков О. В. 1. К расчету потенциального обтекания произвольного плоского тела вблизи свободной границы или в свободной струе. 2. Обтекание цилиндра струей, вытекающей из плоского канала. 3. Обтекание пластинки плоскопараллельным потоком со свободными границами. — Труды ЦАГИ, 1970, вып. 1268.

Рукопись поступила 30/Х 1986 г.