Об обтекании плоских тел с двумя острыми задними кромками при истечении струи между ними Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIV 1993 №4

УДК 629.735.33.015.3:533.695.7 .

ОБ ОБТЕКАНИИ ПЛОСКИХ ТЕЛ С ДВУМЯ ОСТРЫМИ ЗАДНИМИ КРОМКАМИ ПРИ ИСТЕЧЕНИИ СТРУИ

МЕЖДУ НИМИ

В. М. Шурыгт

Показывается на основе теории [1], что при обтекании плоских тел решение, при котором реализуется одновременный сход потока с двух острых задних кромок при истечении струи между ними, вообще говоря, не представляет практического интереса. На простом примере рассматриваются возможные виды течений.

При обтекании профиля с острой задней кромкой условие Чаплыгина — Жуковского о сходе потока с задней кромки определяет единственное решение задачи обтекания. Но в случае, например, плоского снаряда с двигателем или плоского двигателя с заборником и соплом имеется уже по две острых задних кромки, лежащих на срезе сопла.

В известных работах, где решались задачи гладкого обтекания идеальной жидкостью такого рода тел, принималось, что обе острые задние кромки являются точками схода потока (см., нацример, [1—4]). Как будет показано ниже, подобные течения являются некоторыми частными течениями, не обеспечивающими, вообще говоря, требования практики. Представляется, что в общем случае жидкость при стационарном течении изберет за точку схода одну из острых задних кромок или, если это невозможно, будет обтекать тело нестационарно со сбеганием вихревых дорожек с двух острых задних кромок.

Рассмотрения подобных течений будем проводить на плоских телах со струями, обтекаемыми неограниченным потоком идеальной несжимаемой жидкости при плотности р = const во всем течении и при числе Be = О [1].

1. Как показано в работе [1], в случае тела с (и-1)-й струей единственное гладкое течение идеальной жидкости определяется заданием

п параметров, например, объемных расходов (2лк = (к = 2,...,п)

через струйные каналы и положение на теле точки — схода потока.

При этом коэффициент циркуляции у принимает следующее значение:

И j

у = 4я-Sin в0х - “ 9¿k\

k=2

где Ux — скорость набегающего потока; qA¡c — коэффициент объемного расхода; L = (d z / d^)x ;z — комплексная координата точки на и-листной

поверхности; £ — комплексная координата точки внешности окружности единичного радиуса, на которую конформно отображается обтекаемый и-листный контур; Ак — бесконечно удаленные точки струйных каналов; в0х, вАк — углы на круге единичного радиуса, соответствующие положению точек Ох и Ак; Г = /UmL — циркуляция по контуру, содержащему тело со струями.

Пусть у данного тела имеется сопло, из которого жидкость вытекает, и угловые точки на срезе сопла являются задними кромками тела vx и у2-Тогда, если задать все расходы через струйные каналы, то в случае существования единственного гладкого стационарного течения, жидкость, вероятнее всего, выберет в качестве точки схода 01 одну из острых задних кромок — или . При этом другая острая задняя кромка, не являющаяся точкой схода Чаплыгина — Жуковского, будет, вообще говоря, обтекаться. Теоретические решения в случае заданных QAk (к = 2,...,л) известны И при произвольном положении ТОЧКИ С?! на п -листном контуре. И если потребовать, чтобы точка при тех же значениях QAk (к = 2,...,п) совпала с обтекаемой в реальном течении кромкой, то согласно (1) все теоретическое течение и его циркуляция будут отличаться от истинного течения и его циркуляции.

Для того чтобы в реальном течении обтекаемая острая задняя кромка также стала точкой схода, как и другая острая задняя кромка, нужно, например, оставить свободным один параметр — расход через какой-либо струйный канал Qa¡ (2 < /' á п) и подобрать его значение так, чтобы при заданных остальных расходах и совпадении точкй схода с одной из двух острых кромок вторая острая кромка также оказалась бы точкой схода. Тогда формула (1) дает одно и то же значение циркуляции при совпадении 01 с любой из двух острых задних кромок, когда вох = 0Vl или 0qx = 0„2.

В результате из (1) получим, что \\ и у2 становятся одновременно точками схода потока в Том случае, если реализована следующая функциональная связь между расходами в струйных каналах:

9 а, =

ctg|(^n - eAk)-ctg^{ev2 - вАк)

-dA¡)- ctg|(^2 - 6A¡)

(2)

Рис. 2. Плоскость £ круга единичного радиуса

Если возникает необходимость использования расхода QAi, отличного от рассчитанного по формуле (2), то хотя бы одна из точек схода потока Vi или у2 перестает быть точкой схода.

2. Рассмотрим далее наиболее простое тело со струями — прямоугольный двигатель — фюзеляж с заборником и соплом, на котором попытаемся выяснить возможные режимы обтекании тела с двумя острыми задними кромками и струей. Общее решение при стационарном обтекании такого фюзеляжа и числе Ве = 0 приведено в [1]. На рис. 1 изображен соответствующий трехлистный контур, все стороны которого параллельны.

В соответствии с (1) коэффициент циркуляции при обтекании такого контура неограниченным потоком равен:

У = 4*sin в01 - ç^ctg- Qa2)-qAictgi(0Ol - вАг), (3)

где вАг= -ад, вАъ = л- ад (рис. 2).

Так как относительный вес топлива мал в сравнении с весом протекающей жидкости, то обычно принимается, что

- Єлг

а =-----------і. = -

Оа2 4а2

Коэффициент расхода жидкости через воздухозаборник

7 = -0л3 /ил,

где <1— ширинА воздухозаборника, равная в данном случае ширине фюзеляжа (см. рис. 1). За три параметра, определяющие в данном случае единственное решение, примем параметры ,

%» /. 0=1-При этом формула (3) примет вид

у = Ап

- віл2 ву,--------------—

¡йп^О, + «д)

(4)

где 0у1О — угол, соответствующий расположению на круге единичного радиуса точки, соответствующей угловой точке \\ среза сопла при угле атаки «д = 0 (см. рис. 2). Угол 0„1О зависит только от удлинения фюзеляжа

[Ц:

Ч--

а п

г п \

сое вУт і

■ Ч „ + ІП tg - 0у.п

8ш2^ю 2

Как следует из работы [5], для интенсивности вихревого слоя у (в) на круге единичного радиуса в плоскости | при д = 1 имеет место формула

= мп - віп в+ /мп2 вт

1

1

8Іп(0+ад) 8Іп(0Оі+ад)

где

у(е) = -Г(0)СО5[&(0) -

9(0)— угол наклона скорости на круге, 91(в) — наклон элемента круга при его обходе по часовой стрелке, У(в) — скорость на круге.

А. Рассмотрим вначале обтекание фюзеляжа при ад = 0. При этом формулы для у и у (в) запишем в следующем виде:

= sin воі - sin в+ f sin2 ву10

1 1

sin в sin в()у ^

Допустим, что точка схода совпадает с угловой точкой на срезе сопла = &у1 = ^и10). Тогда получаем из (5) и (6):

Из (5) сразу же следует, что если бы одновременно с точкой У1 и другая

потока, тогда / = 1. При этом, как видно из (&), и передние острые кромки Ъ(?УЗ =-л- 0у1О) и У*(вуА = п- ву10) будут точками ветвления потока,

где г(Оу3) = г(0у4) = 0. ,

В результате течение на трехлистной римановой поверхности оказывается тривиальным однородным течением с постоянной скоростью и = иж. На практике, вообще говоря, / ф 1, и поэтому рассмотренное частное решение при двух точках схода на острых кромках сопла не может служить основанием для изучения истинного течения.

Положение критических точек на круге единичного радиуса при произвольных значениях / (точек ветвления на трехлистном контуре) можно определить из (8), полагая у(д) = 0. При принятом пока что 001 = получим уравнение

Один его корень известен: (sin 0 )i = sin вУ1й, что соответствует положению

двух критических точек 0Ol = ву10 и $о2 = л- ву10 на круге, отвечающих

точкам ветвления ^ и к* на фюзеляже. Второй корень (9), если он существует, должен удовлетворять условию

у = 4*гвш0„1О (/-/),

(7)

Лв) 2 U„L

_ _ sin2 ву

= sin ^v10(1 — У) — sin в+ f' sing .

(8)

острая кромка на срезе сопла *Ъ(0у2 была бы точкой схода

sin2 в — sin0(1 — /)sin0-/sin2 ву1й = 0.

(9)

(sin0)2 = -/sin0„lo.

(10)

Если мраничиться только тем случаем, когда в заборник жидкость втекает (Qa3 <0,7 > 0), тогда второй корень существует только при

' 0 á / ^ 1 / sin вУ]0.

При этом на трехлистном контуре и круге единичного радиуса симметрично расположатся точки ветвления 03 и Оц, определяемые согласно (10) (рис. 3):

sin <9оз = -/ sin 0„1О; 0о^=-п- в0г.

Причем при о < 7 < 1 эти точки расположатся на стенках струйных каналов, при / = 0 они совпадут соответственно с бесконечно удаленными точками каналов. При / < 1 подъемная сила, действующая на фюзеляж, оказывается отрицательной (у > 0, (7)).

При 1 < / < 1 / sin ву10 точки 03 и 04 расположатся на нижней стенке

фюзеляжа и при f = 1 /sin0VIO> когда (sin в)2 = -1, точки совпадут

(во3 = во4 =-п/2), располагаясь на вертикальной линии симметрии фюзеляжа. Подъемная сила оказывается положительной (у < 0, (7)).

Если / > 1 / sin ву10>то на поверхности трехлистного контура других

точек ветвления, кроме 01 и 02, совпадающих с и v2, нет. Согласно [1] в плоскости переменной £ появляются две инверсивно относительно круга расположенные критические точки: 03 (пусть эта точка лежит в поле течения вне круга единичного радиуса) и 04.

Уравнение связи для трехлистного контура, когда одна критическая точка Р3 лежит в поле течения, запишется [1]:

0ох + в0г + 2воъ - 6Al - вА3 = (2ц - 1)л-.

Для рассматриваемого прямоугольного фюзеляжа при 0^ = вУ1 оказывается // = 0. Теперь нетрудно видеть, что при ад = 0 и вО1=вУ10

критическая точка 03 при />1/зт вУ10 в зависимости от / будет

перемещаться по вертикальной линии симметрии фюзеляжа (#о3 = -п / 2). Пользуясь общей формулой для коэффициента расхода через к-й струйный канал [1]:

где £от — координаты критических точек в плоскости £, и замечая, что

(И)

(? * *)

Чаъ = Qa3 / U*L = ~fd / L = -2*/sin2 0V1Q,

(12)

получим из (11) и (12) при «д = 0, Qqx = ±0^1О следующую зависимость от' J и расстояния ^ от центра крута до критической точки 03 в плоскости £, лежащей на мнимой оси (/ £ 1 / sin 0V1O, рис. 4):

Как видно (рис. 4), при больших расходах, когда / > 1 / sin 0VW, часть жидкости, вытекающая из сопла, попадает в воздухозаборник.

Если теперь принять, что точка схода Ох Чаплыгина — Жуковского совпадает при произвольных значениях / с угловой точкой у2 на срезе сопла, то также при ад = О

у - 4;rsin0„io(/ -1).

Из сравнения с (7) следует, что изменился знак циркуляции. Это связано с тем, что картины течения при = 0Vw и вох = _^10, ад = О

и / = const симметричны относительно горизонтальной оси симметрии фюзеляжа.

Исходя из того, что жидкость при обтекании тела с двумя острыми задними кромками с истекающей струей между ними выбирает за точку схода, потока одну из кромок, приходим к выводу, что приведенные теоретические стационарные решения не пригодны для описания обтекания рассмотренного фюзеляжа при ад = 0.

При симметричном обтекании симметричного тела, во всяком случае, средняя циркуляция за некоторый характерный период времени должна равняться нулю.

Рассмотрим соответствующее этому условию нестационарное течение с периодическим поочередным сходом потока с задних кромок v1 и

У2 фюзеляжа при ад = 0 и / * 1. При построении такого течения будем опираться на исследования JI. Прандтля по образованию поверхностей разрыва и возникновению циркуляции на профиле с острой задней кромкой [6].

В первый момент движения тела (или жидкости), когда еще с него не сбежал вихрь, циркуляция по контуру вокруг тела равна нулю. Отсюда

следует, что при этом на симметричном фюзеляже при ад =0, /* 1 возникнет вначале симметричное течение с обтеканием острых задних кромок (рис. 5). Тут же на обтекаемых острых задних кромках начнут формироваться и сбегать начальные вихри. Нам представляется, что в это же время жидкость выберет за точку схода одну из острых задних кромок, например, ух. При этом начальный вихрь сбежит не только с кромки v^, но и с кромки у2. Причем эти вихри будут одинаковой интенсивности.

Упрощая задачу и схему течения, положим, что сбегающие вихри — одиночные. Если циркуляция около тела при стационарном обтекании и вох = 0VvQ равна Г = yUmL, то циркуляция любого из двух

начальных вихрей будет равна -Г / 2 = -\^yUmL (рис. 6). Но получившееся нестационарное течение несимметрично, поэтому жидкость воспользуется второй возможной точкой схода потока — кромкой v2. При изменении точки^хода Vi на v2 с кромок Vj и у2 одновременно сойдут вихри, циркуляции которых одинаковы и равны Г (рис. 7).

-Г/2

-Г/2

Рис. 5. Начальный момент обтекания двигателя при

«д =°

Рис. 6. Сбегание первых вихрей с кромок сопла

Г -Т/2

О

Г -Т/2

О»

Рис. 7. Сбегание вторых вихрей с кромок сопла

Рис. 8. Общий вид двух вихревых цепочек, состоящих из двух дорожек Кармана

Вновь течение окажется несимметричным и жидкость вновь изменит точку схода, поменяв уже у2 на И • Если этот процесс примет периодический характер, когда смена точки схода будет происходить через время, равное половине периода Т, то при соответствующем нестационарном обтекании осредненная за период Т циркуляция около такого тела будет равна нулю, как и осредненная подъемная сила.

На рис. 8 изображена бесконечная периодическая система вихрей, соответствующая двум вихревым цепочкам, сбегающим с фюзеляжа при ад = 0. Как видно, эта вихревая система состоит из двух вихревых цепочек Кармана (сплошные стрелки и штриховые стрелки). Однако это еще не позволяет сделать вывод о заведомой устойчивости таких вихревых систем.

Б. Пусть теперь ад * 0. Согласно (4) вновь при вох = = в„10 - ад

и в0{ = ву2 = - ад циркуляции около фюзеляжа будут различные:

ГвуХ =4*[sin(<% - ад) - /sin 0».1О]> Yevl = 4/r[sin(-0Vlo - ад) + /sin eVi0 ].

При этом также, если не могут реализоваться стационарные режимы со сходом потока с одной из задних едомок, то, вероятнее всего, установится нестационарное течение с периодической сменой точек схода при сбегании вихревых цепочек с задних кромок. Причем суммарная циркуляция каждой пары одновременно сбегающих с кромок вихрей равна разности циркуляций около тела со сходом потока с одной и с другой кромки при его стационарном обтекании. Циркуляции соседних пар вихрей отличаются только знаком.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. —М.: Машиностроение, 1977.

2. Shollenberger С. A. Analysis of the interaction of jets and airfoils in two dimensions // AIAA Paper. — 1972, N 777.

3. Ивантеева JI. Г., Морозова E. К., ПавловецГ. А. Расчет подъемной силы тонкого профиля при обдуве струей//Труды ЦАГИ. —1981.

Вып. 2097.

4. Бабкин В. И., Белоцерковский С. М., Гуляев В. В., Дворак А. В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. — М.:

Наука, 1989.

5. Шурыгин В. М. Комбинированный метод решения плоских прямых задач обтекания тел со струями//Ученые записки ЦАГИ.—1990. Т. 21, № 6.

6.Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. Т. I, II. — М. — Л.: Гос. техникотеоретическое изд-во, 1933.

Рукопись поступила 16/1111992 г.