О ПАРАСАСАКИЕВЫХ СТРУКТУРАХ НА ПЯТИМЕРНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2021 Математика и механика № 69

УДК 514.76 ЛМ8 М8С 53С15, 53Б10, 53С25, 53С50

Б01 10.17223/19988621/69/4

Н.К. Смоленцев, И.Ю. Шагабудинова

О ПАРАСАСАКИЕВЫХ СТРУКТУРАХ НА ПЯТИМЕРНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ

Рассматриваются парасасакиевы структуры на пятимерных контактных алгебрах Ли д с ненулевым центром. Такие алгебры Ли являются центральными расширениями четырехмерных паракэлеровых алгебр Ли (5,ю). В работе предложена классификация пятимерных парасасакиевых алгебр Ли с нетривиальным центром, основанная на классификации паракэлеровых структур 7 на симплектических алгебрах Ли (5,ю).

Ключевые слова: паракомплексная структура, левоинвариантная пара-кэлерова структура, параконтактная структура, левоинвариантная парасасакиева структура.

1. Введение

Комплексные и контактные многообразия - одни из самых активных областей исследований в дифференциальной геометрии. В последние годы все большее число исследователей привлекают их паракомплексные и параконтактные аналоги [1-4, 14]. Если мы имеем дело с группами Ли, то естественно рассматривать ле-воинвариантные структуры, которые определяются эндоморфизмами алгебр Ли. Структуры на группах Ли малых размерностей представляют особый интерес ввиду возможностей их классификации. В частности, четырехмерные комплексные алгебры Ли, симплектические и псевдокэлеровы алгебры Ли были классифицированы в работах Овандо [5-7]. Комплексные и паракомплексные структуры на четырехмерных обобщенных симметрических пространствах изучались в [8]. В работе Д. Калварузо [9] приведена классификация паракэлеровых структур на четырехмерных группах Ли. Она основывается на классификации структур произведения на четырехмерных алгебрах Ли [10]. Для каждой заданной структуры произведения 7 Кальварузо, используя классификацию четырехмерных симплектических алгебр Ли, нашел все возможные симплектические структуры ю, согласованные с данной паракомплексной структурой 7. В работе [14] рассмотрены па-расасакиевы структуры на пятимерных группах Ли. Для шестимерных и семимерных алгебр Ли пока мало информации о паракомплексных и соответственно о параконтактных алгебрах Ли.

В данной работе мы обращаемся к вопросу о классификации пятимерных па-расасакиевых алгебр Ли с нетривиальным центром. Как известно, они являются центральными расширениями д = 5 симплектических алгебр Ли (5,ю). Также известно [4], что параконтактная метрическая структура (п, 4, Ф, 8) на центральном расширении д = 5 является парасасакиевой тогда и только тогда, когда симплектическая паракомплексная алгебра Ли (5,ю,.7) является паракэлеровой. Поэтому вопрос о классификации пятимерных парасасакиевых алгебр Ли сводится к вопросу нахождения всех паракомплексных структур 7 на каждой симплек-тической алгебре Ли (5,ю). В разделе 4 данной работы такие структуры 7 найдены

в явном виде. Они определяют все возможные аффиноры ф парасасакиевых структур (п, 4, Ф, ё) на центральных расширениях д = $ симплектических алгебр Ли ($,ю), что и дает классификацию пятимерных парасасакиевых алгебр Ли с нетривиальным центром.

2. Паракомплексные структуры

Пусть 3 - поле эндоморфизмов касательного расслоения ТМ многообразия М размерности 2п, такое, что 32 = М. В этом случае 3 имеет действительные собственные числа ±1 и соответствующие собственные распределения Т+М и ТМ. Если ранги собственных распределений ТМ равны, то 3 называется почти параком-плексной структурой на многообразии М.

Почти паракомплексная структура 3 называется интегрируемой, если распределения Т±М инволютивны. В этом случае 3 называется паракомплексной структурой. Почти паракомплексная структура 3 интегрируема тогда и только тогда, когда кручение Нейенхейса Ы(Х,У ) = [Х,У ] + [3Х, 3У ] - 3[3Х,У ] - 3[Х, 3У ] обращается в нуль для всех векторных полей X, У на М. Паракэлерово многообразие можно определить как псевдориманово многообразие (М,ё) с кососимметриче-ской паракомплексной структурой 3, для которого фундаментальная форма ю(Х,У) = ё(Х,3У) замкнута. Свойство кососимметричности 3 обычно записывают в виде ё(3Х,3У) = -ё(Х,У). Метрика ё является псевдоримановой сигнатуры (п,п). Метрика ё определяется через ю и 3: ё(Х,У) = ю(Х,3У). Поэтому паракэлеровову структуру на М часто задают парой (ю, 3), где ю - симплектическая форма, а 3 -паракомплексная структура, согласованная с ю, т.е. такая, что ю(3Х,3У) = -ю(Х,У). В работе [1] представлен обзор теории паракомплексных структур и рассмотрены инвариантные паракомплексные и паракэлеровы структуры на однородных многообразиях. Обзор теории паракомплексных структур представлен в работе [3].

Левоинвариантная паракэлерова структура на группе Ли О - это тройка (ё, ю, 3), состоящая из левоинвариантной псевдоримановой метрики ё, левоинва-риантной симплектической формы ю и кососимметричной левоинвариантной па-ракомплексной структуры 3, причем ё(Х,У) = ю(Х,3У) для любых левоинвариант-ных векторных полей X и У на О. Из левоинвариантности рассматриваемых объектов следует, что паракэлерова структура (ё, ю, 3) может быть задана значениями ю, 3 и ё на алгебре Ли д группы Ли О. Тогда (д, ю, 3, ё) называется паракэлеровой алгеброй Ли.

Отметим, что из разложения ТМ = Т+М © ТМ и свойства инволютивности собственных распределений Т+М и ТМ следует, что любая паракомплексная структура 3 на алгебре Ли д приводит к разложению д в прямую сумму подалгебр 0 = 0+© 0-, где 3|д+ = Ы, 3|0_ = -М

Как уже упоминалось, структуры на группах Ли малых размерностей представляют особый интерес ввиду возможностей их классификации. В работе [6] найдены все четырехмерные симплектические группы Ли. Паракомплексные структуры на четырехмерных разрешимых алгебрах Ли получены в работе [10]. В работе [9] найдены все возможные симплектические структуры, согласованные с паракомплексной структурой. Учитывая все эти результаты, получается следующий список четырехмерных симплектических алгебр Ли, допускающих пара-кэлерову структуру (таблица). В этой таблице представлены ненулевые скобки Ли алгебр в базисе е1, е2, е3, е4 и симплектическая структура в дуальном базисе е1, е2, е3, е4.

Четырехмерные симплектические алгебры Ли, допускающие паракэлерову структуру

No Скобки Ли Симплектическая структура

1 Г2Г2 [61,62] = 62, [63,64] = e4 ю = 61Л62 + Х61Л63 + 63Л64 , Х>0

2 rh3 [61,62] = e3 14 2 3 ю = 6 Л6 + 6 Л6

3 ГГз,0 [61,62] = 62, [61,63] = 0 12 3 4 ю = 6 Л6 + 6 Л6

4 ГГ3-1 [61,62] = 62, [61,63] = -63 14 2 3 ю = 6 Л6 + 6 Л6

5 Г'2 [61,63] = 63, [61,64] = 64, [62,63] = 64, [62,64] = -63 14 2 3 ю = 6 Л6 + 6 Л6

6 r4,0 [64,61] = 61, [64,62] = 0, [64,63] = 62 1 4 2 3 1 4 2 3 ю+ = 6 Л6 + 6 Л6 , ю- = 6 Л6 - 6 Л6

7 r4,-1 [64,61] = 61, [64,62] = - 62, [64,63] = 62 - 63 13 2 4 ю = 6 Л6 + 6 Л6

8 r4.-1.B [64,61] = 61, [64,62] = - 62, [64,63] = P63 ю = 61Л62 + 63Л64 , -1< р <0

9 r4.-1.-1 [64,61] = 61, [64,62] = - 62, [64,63] = —63 12 3 4 ю = 6 Л6 + 6 Л6

10 r4,-a,a [64,61] = 61, [64,62] = -a62, [64,63] = 063 ю = 61Л64 + 62Л63 , 0 < a <1

11 d4,1 [61,62] = 63, [64,63] = 63, [64,61] = 61, [64,62] = 0 1 2 3 4 1 2 ю1 = 6 Л6 - 6 Л6 , ю2 = 6 Л6 -3 4 2 4 63Л64 + 62Л64

12 b4,2 [61,62] = 63, [64,63] = 63, [64,61] = 261, [64,62] = - 62 12 3 4 ю 1 = 6 Л6 - 6 Л6 , 1 4 2 3 1 4 2 3 ю2 = 6 Л6 + 6 Л6 , ю3 = 6 Л6 - 6 Л6

13 [61,62] = 63, [64,63] = 63, [64,61] = Хв1, [64,62] = (1-^)62 ю = 61Л64 + 62Л63 , Х>1/2, Хф 1,2

14 h4 [61,62] = 63, [64,63] = 63, [64,61] = ^61, [64,62] = 61+ ^62 12 3 4 ю+ = 6 Л6 - 6 Л6 , 12 3 4 ю+ = -6 Л6 + 6 Л6

15 R4 12 3 4 ю = 6 Л6 + 6 Л6

Обозначения в этом списке: r2 = aff(R) - алгебра Ли аффинных преобразований прямой R; r'2 - вещественная алгебра Ли, лежащая в основе комплексной алгебры Ли aff(C); rr3,o, rr3-1 и and rh3 - тривиальные расширения алгебры Ли e(2) группы движений R2, алгебры Ли е(1,1) группы движений двумерного пространства Минковского и алгебры Ли Гейзенберга h3 соответственно.

3. Параконтактные структуры

Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие M класса С называется контактным многообразием, если на нем задана дифференциальная 1-форма п, такая что пл(^л)" ф 0 всюду на M2n+1. Контактная форма ц определяет на многообразии M2n+1 распределение D = {X е TM | п(Х) = 0} ранга 2n, которое называется контактным распределением. Контактное многообразие M имеет всюду ненулевое векторное поле которое определяется свойствами п© = 1 и d^(§X) = 0 для всех векторных полей X на M. Поле 4 называется полем Риба контактной структуры. Легко видеть, что Ь^ц = 0. Подробнее о контактных структурах см. в [12].

Параконтактной структурой на контактном многообразии M2n+1 называется тройка (п, 4, ф), где п — контактная 1-форма, 4 - поле Риба и ф - эндоморфизм TM, называемый обычно аффинором, обладающие свойством

ф2 = I - ц®4.

Кроме того предполагается, что аффинор ф действует на слоях контактного распределения D = Кег(ц) как паракомплексная структура, т.е. ф|D = IdD и ранги собственных распределений D+ и D~ равны.

Определение 1. Если M2n+l контактное многообразие с контактной формой п, то параконтактной метрической структурой называется четверка (п, 4, ф, g),

где 4 - поле Риба, ё - псевдориманова метрика на М2и+1 и ф - аффинор на М, для которых имеют место следующие свойства:

ф2 = I - п®4, dn(х,г)=ё(фХ,У), ё(фХ,фУ) = -ё(х,У) + пХ)п(У).

Из второго и третьего свойств сразу следует, что ассоциированная метрика ё для параконтактной структуры полностью определяется аффинором ф:

ёХ,У) = -^п(х,ф^ + п(Х)п(У).

Отметим, что для векторных полей Х и У, лежащих в контактном распределении Б, выполняются равенства:

dn(фX,фГ) = -(ЩХУГ) и ё(фХ,фУ) = -ё(Х,У).

Определим понятие парасасакиевой структуры по аналогии со структурой Са-саки в контактной геометрии. Пусть (М, п, 4, ф) - параконтактное многообразие. Рассмотрим прямое произведение МхК. Векторное поле на МхК представим в виде (Х, /д), где Х - касательный к М2и+1, t - координата на Я и/- функция на Мх Я.

Определение 2 [4]. Параконтактная структура (п, 4, ф) на М называется нормальной, если интегрируема почти паракомплексная структура 3 на МхК, определенная формулой

3(Х, /дt) = (фХ - /4, -п(Х)д).

Нормальная параконтактная метрическая структура (п, £,, ф, ё) называется па-расасакиевой.

Параконтактные структуры на центральных расширениях алгебр Ли. Ле-

воинвариантные контактные структуры на группах Ли определяются своими значениями на алгебре Ли. В этом смысле мы будем говорить о контактных алгебрах Ли (д, п). Как известно [13], контактная алгебра Ли с нетривиальным центром есть центральное расширение симплектической алгебры Ли (,, ю) при помощи 2-коцикла ю. Напомним, что центральное расширение д = , хюК есть прямое произведение , хК, на котором скобки Ли задаются следующим образом:

• [Х, 4]д = 0,

• [Х, У]д = [Х, У], +ю(Х, У)4 для любых Х, У е ,, где 4 = д - единичный вектор из К.

На алгебре Ли д = , хюК контактная форма задается формой п = 4 , т.е. такой формой, что п(4) = 1 и п(,) = 0. Поле 4 = д является полем Риба. Контактное распределение Б - это подпространство , с д. Если х = Х + Ц и у = У + ц4, где У, У е ,, X, ц е К, тогда

dп(x, у) = -п([х, у]) = -4*([Х, ^,+ю(Х,^ 4) = -ю(Х, У).

Поскольку аффинор ф параконтактной структуры определяется фактически своим действием на контактном распределении Б = , как оператор паракомплекс-ной структуры, то для задания аффинора ф на д = , хюК можно использовать почти паракомплексную структуру 3 на , следующим образом: если х = Х + Х4, где Х е ,, то ф(х) = 3Х. Таким образом, аффинор ф имеет блочный вид:

Если почти паракомплексная структура 3 на , будет еще и согласованной с ю, т. е. обладать свойством ю(3Х, 3У) = -ю(Х, У), то мы получим параконтактную (псевдориманову) метрическую структуру (п, 4, ф, ё) на д = , хюК, определенную формулой

ё(Х,У) = -dn(X, фу + п(Х)п(У).

Теория параконтактных метрических структур в большой степени аналогична классической теории контактных метрических структур. Однако есть и различия, поэтому аналоги основных фактов контактной геометрии требуют доказательств. В частности, хорошо известно, что контактная метрическая структура (п, 4, Ф, 8) на центральном расширении д = ^ хшЯ.. является сасакиевой тогда и только тогда, когда симплектическая алгебра 0&,ю,3) является кэлеровой. Аналогичный факт имеет место и для параконтактных структур, его доказательство приведено в работе [4].

Теорема 1 [4]. Параконтактная метрическая структура (п, 4, Ф, 8) на центральном расширении д = $ хшЯ.. является парасасакиевой тогда и только тогда, когда симплектическая алгебра Ли 0&,ю,3) является паракэлеровой.

В работе [4] показано также, что тензор кривизны парасасакиевой структуры на центральном расширении д = $ хшЯ. выражается через тензор кривизны паракэлеровой структуры на

Теорема 2 [4]. Пусть (ю, 3, И) - паракэлерова структура на алгебре Ли $ и (П, 4, Ф, 8) - соответствующая ей контактная парасасакиева структура на центральном расширении д = $ хшЯ.. Тогда тензор кривизны Я на д выражается через тензор кривизны на форму ю и почти паракомплексную структуру 3 на $ следующим образом: для любыхХ,У е

Я(Х,У)1 = Я^(Х,У)1 - /И(Х31)3У + /И(У,31)3Х- ^ И(Х, 3У)31,

Я(Х,У)4 = о, Я(Х, 4) г = /8(Х, 1)4, Я(Х, 4)4 = -/Х,

Теорема 3 [4]. Пусть (ю, 3, И) - паракэлерова структура на алгебре Ли $ и (П, 4, Ф, 8) - соответствующая ей параконтактная структура Сасаки на центральном расширении д = $ хшЯ.. Тогда тензор Риччи Я1с на д выражается через тензор Риччи Я/с$ на форму ю и почти паракомплексную структуру 3 на $ следующим образом:

Я1с(У,1) = Ящ(У,1) + ^ И(У, 1), Я1с(У, 4) = 0, Я/с(4, 4) = -п/2.

Следующая теорема представляет основной результат данной работы.

Теорема 4. Любая парасасакиева структура (д п, 4, Ф, 8) на пятимерной алгебре Ли д с нетривиальным центром изоморфна центральному расширению д = $ хшЯ. одной из алгебр Ли ($, ю), указанных в таблице 1. При этом поле Риба

есть 4 = д, контактная форма п = 4 , аффинор имеет вид ф =0 °^, где 3

представлена в списке 4.1 - 4.15 раздела 4 и ассоциированная метрика 8 определяется по формуле 8(Х,У) = -й?п(Х, фУ) + п(Х)п(У).

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что для классификации парасасакиевых структур на (п, 4, Ф, 8) на контактных алгебрах Ли д = $ хшЯ. достаточно предъявить классификацию паракэлеровых структур 3 на ($, ю). Аффинор ф парасасакиевой структуры на д = $ хшЯ. определяется паракомплексной структурой 3 и имеет указанный выше блочный вид. Поэтому для классификации парасасакиевых структур на д = $ хшЯ. достаточно для каждой симплектической алгебры Ли ($, ю) найти все согласованные с ю паракомплексные структуры 3, т.е. такие эндоморфизмы 3: $ ^ которые обладают свойствами:

1. 32 = Ы.

2. ю(3Х, У) +ю(Х, 3У) = 0.

3. [Х, У] + [3Х, 3У] - 3[3Х,У] - 3[Х, 3У] = 0.

Тогда ($, ю, I) образует паракэлерову структуру на алгебре Ли а (ц, 4, Ф, ё) -парасасакиеву структуру на д = ^ хюЯ.

В случае четырехмерных симплектических алгебр Ли ($, ю) вычисление всех согласованных с ю паракомплексных структур I может быть проведено в явном виде для всех алгебр Ли ю), допускающих паракомплексную структуру (таблица). Явные выражения всех согласованных с ю паракомплексных структур I приведены в разделе 4. Это дает полную классификацию парасасакиевых структур на (ц, 4, Ф, ё) на пятимерных параконтактных алгебрах Ли д с ненулевым центром, т.е. являющихся центральными расширениями д = ^ хюИ.

Рассмотрим, например, алгебру Ли д = г$3хюК, где - вторая алгебра Ли в таблице, ю = е:ле4 + е2ле3. Базис д: еь е2, е3, е4, е5, где еь е2, е3, е4 - базис и е5 = - касательный вектор к К Тогда контактная форма есть ц = е5, ёц = -е:ле4 -е2ле3, поле Риба - это е5 = дь ненулевые скобки Ли алгебры д = г$3хюК следующие: [еье2] = е3, [еье4] = е5, [е2,е3] = е5. Алгебра Ли д = с^3хюК допускает две пара-сасакиевы структуры (ц, 4, Ф, ё), зависящие от четырех параметров а, Ь, с, ё, Ь Ф 0, с аффинорами ф вида (см. пункт 4.2):

а -Ь 0 0 0" " 1 -Ь 0 0 0

а2 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0

-а

Ь Ьё 1 0

Ф1 = ё с а Ь 0 , Ф2 = 2 с Ь

са2 + 2аЬё - с ё а2 -1 -а 0 ё Ьё 0 -1 0

Ь2 Ь 2

0 0 0 0 0 _ 0 0 0 0 0

и ассоциированными метриками ё(ХХ) = -ёц(Х, ф,У) + ц(Х)ц(Т), /' = 1,2. ■

4. Четырехмерные паракэлеровы алгебры Ли

В этом разделе мы дадим классификацию четырехмерных паракэлеровых алгебр Ли. Она отличается от классификации, предложенной Д. Калварузо [9], тем, что для каждой симплектической алгебры Ли ($, ю) таблицы мы находим все согласованные с ю паракомплексные структуры I, т.е. такие эндоморфизмы I: ^ ^ которые обладают свойствами 1 - 3, указанными в конце раздела 3. Преимущество такого подхода заключается в том, что полученные паракомплексные структуры I можно использовать для определения аффиноров ф парасасакиевых структур на пятимерных параконтактных алгебрах Ли д с ненулевым центром.

Ясно, что паракомплексная структура I определяется с точностью до знака. Мы будем указывать только одну I из двух ±/. Паракомплексные структуры I = I1jei ® е1 будем представлять матрицами в базисе {е1} алгебры Ли Тогда условия 1 - 3 на матрицу I выражаются формулами: 1 =51.

2. II юш +ю! = 0.

3. ск+^ст - - =о,

где Ст - структурные константы алгебры Ли ^ и 51 - единичная матрица.

Решение уравнений 1 - 3 проведено в системе Maple. Для каждой полученной паракэлеровой структуры (h, ю, J, g) вычислены также тензоры кривизны и Риччи. Напомним, что тензор кривизны определяется формулой R(X,Y) = [VX, VY] -

- V[X,Y]. В случае левоинвариантной метрики gp тензор кривизны вычисляется по

формуле Ry/ =r;rL-Гр-C™Tsmk, где Гm = |gkm (C?gpk + C^gpj + C^gip)

- символы Кристоффеля. Тензор Риччи - это свертка тензора кривизны по первому и четвертому (верхнему) индексам, Ricpk = Rpk . Мы рассматриваем тензор

Риччи как тензор типа (1,1), т.е. как оператор Риччи RIC = Ric-g-1. Мы представляем тензор Риччи, если он имеет не слишком сложный вид.

Вычисления показывают, что оператор J паракомплексной структуры часто является блочным, имеет в качестве инвариантных подпространств R(e1,e2} и R{e3,e4} и действует на этих подпространствах матрицами следующего вида:

1

J_(a) =

0 -1

J+(a)=

1a

0 _1

a b " a2 -1~

J-(a,b)= a2 -1 ---a _ b _ , J+ (a, b) = a-- b b -a

где а,Ь е Я. Это простейшие паракомплексные структуры на плоскости Я2, согласованные с 2-формой е:ле2. Блочный оператор 3, составленный из этих матриц, мы будем обозначать как прямое произведение блоков. Например, мы пишем, 3 = 3_ (а) х 3+ (Ь), если 3 действует как 3_ (а) на К(еье2} и как 3+ (Ь) на Я{е3,е4}.

Единичную матрицу порядка к будем обозначать символом Мк .

a

4.1. Алгебра Ли г2Г2

Ненулевые скобки Ли: [еье2] = е2, [е3,е4] = е4. Симплектическая структура ю = е:ле2 + Хе:ле3 + е3ле4 , X > 0. Случаи X > 0 и X = 0 существенно различны.

Случай X > 0. Существует три паракомплексные структуры 3, которые вместе с 2-формой ю дают три паракэлеровы структуры, зависящие от параметров а и Ь, все нулевой кривизны:

"_1 0 2 0 _а 1 а 0 0 0 10 а _2 Ь _1

J1.1 =

-10 0 0 a 10 0 0 0 10 0 0 b _1

J1.2 =

J1.3 =

-10 0 0 a 1 b 2 -2010 b 0 -b -1

Случай X = 0. Существует 5 паракэлеровых структур.

1. Паракомплексная структура, которая вместе с 2-формой ю дает паракэлеро-ву структуру с эрмитовым тензором Риччи (т.е. Шс(3Х,3У) = Шс(Х,У)) и с оператором Риччи ШС = К1с ■ вида, указанного ниже

-a b c2 -1"

J 2,1 = a2 -1 X c d

--a _ b _ d -c

RIC21 = (-b - Id2):

c2 -1

- Id2

2. Эйнштейнова паракэлерова структура

а +1 Ь с -1

• 2.2 -

а(а + 2) , а(с -1)

---а -1---а

а Ь

а(с -1)

1 - с

с2 -1

-с

2.2 ---ЬМ4 .

3. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи

Ь -

•2.3 -

1 0

а -1

Ь2 -1'

с -Ь

—С2,3 -

Ь2 -1

(е3 ® е3 + е4 <

>е4).

4. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи. При Ь = с является эйнштейновой:

Ь'

1 1-1 с1 ШС24 - (-Ь • М2)х(-с• М2)

•2.4 -

-а

а2 -1

-1 с 0 1

5. Паракэлерова структура нулевой кривизны

•25 - е1 ® е1 -е2 ® е2 -е3 ® е3 + е4 ® е4 + +е2 ® (ае1 + Ье3 - 2е4) + 2е3 ® е1 + е4 ® (Ье1 - Ье3).

4.2. Алгебра Ли г$з

Ненулевые скобки Ли: [е1,е2] = е3. Симплектическая структура ю = е:ле4 + + е2ле3 . Имеется две паракэлеровы структуры нулевой кривизны:

•Л -

а -Ь 0 0 " " 1 -Ь 0 0

а2 -1 0 0 0 -1 0 0

-а

Ь • - Ьй

й с а Ь 2 с 1 Ь

са2 + 2аЬй - с й а2 -1 -а й Ьй 0 -1

Ь2 Ь - 2

4.3. Алгебра Ли гг3,0

Ненулевые скобки Ли: [е1,е2] = е2, [е1,е3] = 0. Симплектическая структура ю = е:ле2 + е3ле4. Две паракомплексные структуры

1. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи

• - а2 -1 х Ь ~ , Я1С1 - -с(е1 ® е1 + е2 ® е2).

-а с Ь2 -1"

а2 -1 Ь

X й

--а - с _ й -ь _

2. Паракэлерова структура нулевой кривизны

32 =

-1 0 а 1

Ь -

Ь2 -1"

с -Ь

4.4. Алгебра Ли сг3,-1

Ненулевые скобки Ли: [еье2] = е2, [еье3] = -е3. Симплектическая структура ю = е:ле4 + е2ле3 . Три согласованные паракомплексные структуры 3.

1. Две паракэлеровы структуры с нулевым тензором Риччи с инвариантными паракомплексными подпространствами Щеье4} и Ще2,е3}

= (е1 + Ье4) ® е1 - е4 ® е4 + (-е2 + ае3) ® е2 + е3 ® е3,

32 = (-е1 + Ье4)® е1 + е4 ® е4 -е2 ® е2 + (ае2 + е3)® е3.

2. Паракэлерова структура нулевой кривизны с инвариантными подпространствами К{еье4} и Ще2,е3}

а 2 -1

33 = (-ае1 + Ье4) ® е1 + (--е1 + ае4)® е4 -е2 ® е2 + е3 ® е3.

Ь

4.5. Алгебра Ли г'2

Ненулевые скобки Ли: [еье3] = е3, [еье4] = е4, [е2,е3] = е4, [е2,е4] = -е3. Симплектическая структура ю = е:ле4 + е2ле3 . Три согласованные паракомплексные структуры 3.

1. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи

-а Ь с -ё' "ё -с 0 0 "

-Ь -а ё с , Я1С = 2 с 0 0

3=

33 32 а -Ь 0 0 ё -с

_- 3 2 3? Ь а _ 0 0 с

т3 2аЬё + с(а2 -Ь2 -1) т3 2аЬс - ё(а2 -Ь2 -1) где 31 = — г -

ё2 + с2

323 =

ё2 + с2

2. Паракэлерова эйнштейнова структура

3=

аЬ + с2 + 2

0

с(аЬ + с2 + 4)

2Ь

3 4

1

-с -1

а

4

где 31 = -

а 2Ь2 + 2аЬс2 + с4 + 4аЬ + 4с2 4Ь

с(аЬ + с2 + 4) 2Ь

Ь 0

с

аЬ + с2 + 2

Я!С = -—Ы 4

24

3. Паракэлерова структура нулевой кривизны

3 = (-е1 + ае3 -Ье4)® е1 + (-е2 + Ье3 + ае4) ® е2 + е3 ® е3 + е4 ® е4.

4.6. Алгебра Ли г4,0

Ненулевые скобки Ли: [е4,е1] = е1, [е4,е2] = 0, [е4,е3] = е2. Две симплектические структуры ю+ = е:ле4 + е2ле3 , ю- = е:ле4 - е2ле3. Две паракэлеровы структуры с нулевым тензором Риччи и с одной паракомплексной структурой с инвариантными подпространствами Щеье4} и Ще2,е3}

3 = е1 ® е1 + (ае1 -е4)® е4 -е2 ® е2 + (Ье2 + е3)® е3.

4.7. Алгебра Ли г4,-1

Ненулевые скобки Ли: [е4,е1] = е1, [е4,е2] = - е2, [е4,е3] = е2 - е3. Симплектиче-ская структура ю = е:ле3 + е2ле4. Паракэлерова структура с нулевым тензором Риччи и с инвариантными подпространствами Щеье3} и Ще2,е4}

3 = -е1 ® е1 + (ае1 + е3)® е3 + е2 ® е2 + (Ье2 -е4)® е4

4.8. Алгебра Ли с

4,-1, в

Ненулевые скобки Ли: [е4,е1] = е1, [е4,е2] = - е2, [е4,е3] = ве3. Симплектическая уктура ю = е:ле2 + е3ле4 , -1< в < 0. Три паракомплексные структуры 3. 1. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи

31 =

-1 0 0 1

а2 -1'

Ь

-а

Я1С1 = Ьв2(е3 ® е3 + е.

4 ~ е4)

2. Две паракэлеровы структуры с нулевым тензором Риччи

32 =

"1 0" "1 Ь ' 33 = -1 а "1 Ь'

а -1 X _0 -1_ _ 0 1 _ X _0 -1_

4.9. Алгебра Ли Г4,-1,-1

Ненулевые скобки Ли: [е4,е1] = е1, [е4,е2] = - е2, [е4,е3] = —е3. Симплектическая структура ю = е:ле2 + е3ле4 . Пять согласованных паракомплексных структур 3. 1. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи

31 =

-1 - а2. а а(с 1)

Ь Ь

0 1 0 0

0 а(с -1) Ь с с2 -Ь 1

0 -а Ь -с

ШС =

0 0 0 0

0 0 -а 0

0 0 Ь 0

а 0 0 Ь

2. Три паракэлеровы структуры с нулевым тензором Риччи

0 0

-a b

J 2 =

a2 -1

b -d

a2 -1 c(a2 -1) - 2abd a

2

J3 =

-1 a 0 0 1 0 0 0 1

0 0 -a

- 2a

0 " -1 0 0 b

0 , J4 = b 1 0 -a

b 2a -1

a — c

-1_ b

0 0 0 1

3. Паракэлерова структура нулевой кривизны

J = e1 ® e + (-e2 + ae3)® e2 + e3 ® e3 + (ae1 + be3 -e4)® e4

4.10. Алгебра Ли r4)-a,a

Ненулевые скобки Ли: [e4,ej] = e1, [e4,e2] = -ae2, [e4,e3] = ae3. Симплектическая структура ю = eVe4 + e2Ae3 , 0 < a < 1. Три паракомплексные структуры.

1. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи и с паракомплексными подпространствами R{ebe4} и R{e2,e3}:

a2 - 1

J1 = (-ae1 + be4)® e1 + (--e1 + ae4)® e4 -e2 ® e2 + e3 ® e3,

b

RICU = b(e ® e1 + e4 ® e4).

2. Две паракэлеровы структуры с нулевым тензором Риччи и с паракомплексными подпространствами R{ebe4} и R{e2,e3}

J2 = e1 ®e1 + (ae1 -e4)®e4 -e2 ®e2 + (be2 + e3)®e3, J3 = ej ® e1 + (aej - e4) ® e4 + (e2 + be3) ® e2 - e3 ® e3.

4.11. Алгебра Ли b4,i

Ненулевые скобки Ли [e1,e2] = e3, [e4,e3] = e3, [e4,e1] = e1. Две симплектические структуры ю1 = eVe2 - e3Ae4 , ю2 = eVe2 - e3Ae4 + e2Ae4.

4.11.1. Симплектическая структура ю1 = eVe2 - e3Ae4. Пять паракэлеровых структур.

1. Паракэлерова эйнштейнова структура

J1,1 =

al a a(c +1)

b -b

-1 0 0

a(c +1) c c2 -1

b -b

a b -c

RIC 1 = -—Id4 .

1,1 2 4

2. Паракэлерова структура с эрмитовым тензором Риччи

•\,2 =

-а 0 0

с а Ь

ё а2 -1

-а

Ь

-Ь 0 0

а2 -1

Ь ё

2аЬё + с(а2 -1)

ШС12 = 2Ье1 ® е3 - 2Ье4 ® е2. 3. Паракэлерова структура с нулевым тензором Риччи

1 0 0 2а Ь

Ь -1 0 а

а 2а -Ь 1 с

0 0 0 1

•1,3 =

4. Две паракэлеровы структуры нулевой кривизны

•1,4 =

-1 а 0 0 " -1 0 0 -а

0 1 0 0 , •1,5 = 0 1 0 0

0 0 1 Ь 0 а -1 Ь

0 0 0 -1 0 0 0 1

4.11.2. Симплектическая структура ю2 = е:ле2 - е3ле4 + е2ле4. Одна паракэле-рова структура нулевой кривизны

• 2 =

1 а "-1 Ь Ь

_0 -1_ X _ 0 1 _

4.12. Алгебра Ли Ь4,2

Ненулевые скобки Ли: [е1,е2] = е3, [е4,е3] = е3, [е4,е1] = 2е1, [е4,е2] = -е2. Три симплектические структуры ю1 = е:ле2 - е3ле4 , ю2 = е:ле4 + е2ле3 ,

14 2 3

ю3 = е ле - е ле .

1. Симплектическая структура ю1 = е:ле2 - е3ле4. Три паракэлеровы структуры. Эйнштейнова структура

•1,1 =

-1 0 0 1

а2 -1

-а

= 3(а -Р м

1,1 2Ь 4

Две Риччи-плоские структуры

•1,2 =

-1 а "1 Ь ' • = "1 0" "1 Ь '

_ 0 1 _ X _0 -1_ а -1 X _0 -1_

2. Симплектическая структура ю2 = е:ле4 + е2ле3. Существуют две паракэлеро-вы структуры с паракомплексными подпространствами И{еье4} и Ще2,е3}

• 2,1 =

а 0 0 2 а 2 -1 Ь

0 -а Ь 0

0 а2 -1 Ь а 0

-Ь/2 0 0 -а

ШС12 = 3Ье1 ® г" - 3Ье4 ® е4

• 2,2 =

-а 0 0 -Ь(а +1)"

0 1 0 0

0 Ь -1 0

а -1

0 0 а

Ь

ШС 2 = 4—(е ® е1 -е4 ® е4). , Ь

3. Симплектическая структура ю3 = е:ле4 - е2ле3. Девять паракэлеровых структур ненулевой кривизны

а 0 0 -Ь(а +1)"

0 -1 0 0

•3,2 = 0 Ь 1 0

а -1 _ Ь 0 0 -а

•3,3 =

1 а 0 а " 1 а 0 -а "0 а 1 Ь "

0 1 0 0 = ,4 -Т 0 1 0 0 , ^3,5 = 0 0 0 -1

2 Ь -1 а -2 Ь -1 а 1 Ь 0 а

0 -2 0 -1 0 2 0 -1 0 -1 0 0

•3,6 =

-1 0 0 0" " -1 0 0 0

а 1 а 0 , •37 = а 1 -а 0

0 0 -1 0 0 0 -1 0

а 0 а 1 -а 0 а 1

•3,8 =

а-1 Ь а

о! 2Ь а+1 2 а! 2Ь

а Ь(а + 4) а

2 2а 2

а! а а!

_ 2Ь 2 2Ь

2Ь(а - 2)"

1 - а

•\ о

-а -1

а!

2Ь

а

2

- а!

. 2Ь

Ь(а -4) а

2а а 2

а 2Ь

2Ь(а + 2)"

а , а2

— +1--

2 2Ь

-1

а +1

4.13. Алгебра Ли Ь4д

Ненулевые скобки Ли: [е1,е2] = е3, [е4,е3] = е3, [е4,е1] = Хеь [е4,е2] = (1-Х)е2, Х>1/2, 1,2. Симплектическая структура ю = е:ле2 - е3ле4 . Три паракэлеровы структуры ненулевой кривизны. Две Риччи-плоские метрики

J =

1 a 0 0

0 -10 0

0 0 -1 b

0 0 0 1

J2 =

1 0 0 0

a -1 0 0

0 0 1 b

0 0 0 -1

Эйнштейнова метрика

J3 =

1 0 0 0 -10

0 0 a

0 0

1 - a2

0 0 b -a

R1C3 = -—Id4

4.14. Алгебра Ли $ 4

Ненулевые скобки Ли: [еье2] = е3, [е4,е3] = е3, [е4,е1] = 1Ае\, [е4,е2] = в\+ Симплектическая структура ю = ±(е:ле2 - е3ле4). Одна паракэлерова структура с нулевым тензором Риччи

-1 a "1 b '

_ 0 1 _ X _0 -1_

4.15. Алгебра Ли R4

Симплектическая структура ю = eVe2 + е3ле4 на R4. Любая паракомплексная структура J на R4, согласованная с ю, определяет паракэлерову структуру нулевой кривизны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеевский Д.В.,Медори К., Томассини А. Однородные пара-кэлеровы многообразия Эйнштейна // Успехи математических наук. 2009. Т. 64. Вып. 1(385). C. 3-50. URL: https://doi.org/10.4213/rm9262.

2. Calvaruso G. and Fino A. Complex and paracomplex structures on homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds // Int. J. Math. 2013. V. 24. 1250130. 28 p. URL: https://doi.org/ 10.1142/S0129167X12501303.

3. Cruceanu V., Fortuny P. and Gadea P.M. A survey on paracomplex geometry // Rocky Mount. J. Math. 1996. V. 26. P. 83-115.

4. Смоленцев Н.К. Левоинвариантные пара-сасакиевы структуры на группах Ли // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 62. С. 27-37. DOI: 10.17223/19988621/62/3.

5. Ovando G. Invariant complex structures on solvable real Lie groups // Manuscripta Math. 2000. V. 103. P. 19-30. URL: https://doi.org/10.1007/s002290070026.

6. Ovando G. Four-dimensional symplectic Lie algebras // Beitrage Algebra Geom. V. 47. 2006. No. 2. P. 419-434. URL: https://arxiv.org/abs/math/0407501.

7. Ovando G. Invariant pseudo-Kahler metrics in dimension four // J. Lie Theory. 2006. V. 16.

8. Calvaruso G. Symplectic, complex and Kahler structures on four-dimensional generalized symmetric spaces // Diff. Geom. Appl. 2011. V. 29. P. 758-769. URL: https://doi.org/ 10.1016/j.difgeo.2011.08.004.

9. Calvaruso G. A complete classification of four-dimensional para-Kahler Lie algebras // Complex Manifolds. 2015. V. 2. Iss. 1. P. 733-748. DOI: 10.1515/coma-2015-0001.

10. Andrada A., Barberis M.L., Dotti I.G., Ovando G. Product structures on four-dimensional solvable Lie algebras // Homology, Homotopy and Applications. 2005. No. 7. P. 9-37. DOI: 10.4310/HHA.2005.v7.n1.a2.

11. Kobayashi S. and Nomizu K. Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York; London: Interscience Publ., 1963.

12. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1976. ISBN 978-3-540-38154-9.

13. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // Diff. Geom. and its Appl. 2008. V. 26. Iss. 5. P. 544-552 (arXiv: math. DG/0403555 v2 24 Sep 2004). URL: https://doi.org/ 10.1016/j.difgeo.2008.04.001

14. Calvaruso G., Perrone A. Five-dimensional paracontact Lie algebras // Diff. Geom. and Appl. 2016. V. 45. P. 115-129. URL: https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2016.01.001.

Smolentsev N. K., Shagabudinova I.Y. (2021) ON PARASASAKIAN STRUCTURES ON FIVE-DIMENSIONAL LIE ALGEBRAS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 69. pp. 37-52

DOI 10.17223/19988621/69/4

Keywords: para-complex structure; left-invariant para-Kahler structure; para-contact structure; left-invariant para-Sasakian structures.

In this paper, we consider para-Sasakian structures on five-dimensional Lie algebras with a nontrivial center. As is known, they are central extensions g = h xmR of symplectic Lie algebras (h,ro). It is also known that a paracontact metric structure (n, 9, g) on a central extension g = h xmR is para-Sasakian if and only if the symplectic para-complex Lie algebra (h,ro J) is para-

a para-complex structure J in order to find the affinor 9. The associated metric g is found by the formula g(X,Y) = -dn(X,9Y) + n(X)n(Y). Therefore, the question of classification of five-dimensional para-Sasakian Lie algebras is reduced to the question of classification of para-Kahler structures J on four-dimensional symplectic Lie algebras (h,ro). In this paper, such a classification is obtained, and the para-complex structures J are found explicitly for each Lie algebra (h,ro). The resulting structures J define all possible affinors 9 of para-Sasakian structures (n, 9, g) on central extensions g = h xmR of symplectic Lie algebras (h,ro), which gives the classification of five-dimensional para-Sasakian Lie algebras with a nontrivial center.

AMS Mathematical Subject Classification: 53C15, 53D10, 53C25, 53C50

Nikolay K. SMOLENTSEV (Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Department of Fundamental Mathematics, Kemerovo State University, Kemerovo, Russia. E-mail: smolennk@mail.ru.

Irina Y. SHAGABUDINOVA (graduate student of Department of Fundamental Mathematics, Kemerovo State University, Kemerovo, Russia. E-mail: shagabudinovai@mail.ru

P. 371-391.

Статья поступила 08.06.2020

Kahler. In this case, the affinor 9 has the block form 9

REFERENCES

1. Alekseevsky D.V., Medori C., Tomassini A. (2009) Homogeneous para-Kähler Einstein manifolds. Russian Mathematical Surveys. 64(1). pp. 1-43. URL: https://doi.org/ 10.4213/rm9262

2. Calvaruso G. and Fino A. (2013) Complex and paracomplex structures on homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds, International Journal of Mathematics. 24. 1250130. URL: https://doi.org/10.1142/S0129167X12501303.

3. Cruceanu V., Fortuny P. and Gadea P.M. (1996) A survey on paracomplex geometry. Rocky Mountain Journal of Mathematics. 26. pp. 83-115.

4. Smolentsev N.K. (2019) Levoinvariantnyye para-sasakiyevy struktury na gruppakh Li [Left-invariant para-Sasakian structures on Lie groups]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 62. pp. 27-37. DOI: 10.17223/19988621/62/3.

5. Ovando G. (2000) Invariant complex structures on solvable real Lie groups. Manuscripta Mathematica. 103. pp. 19-30. URL: https://doi.org/10.1007/s002290070026.

6. Ovando G. (2006) Four-dimensional symplectic Lie algebras. Beiträge zur Algebra und Geometrie. 47(2). pp. 419-434. URL: https://arxiv.org/abs/math/0407501.

7. Ovando G. (2006) Invariant pseudo-Kähler metrics in dimension four. Journal of Lie Theory. 16. pp. 371-391.

8. Calvaruso G. (2011) Symplectic, complex and Kähler structures on four-dimensional generalized symmetric spaces. Differential Geometry and its Applications. 29(6). pp. 758769. URL: https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2011.08.004.

9. Calvaruso G. (2015) A complete classification of four-dimensional paraKähler Lie algebras. Complex Manifolds. 2(1). pp. 733-748. DOI: 10.1515/coma-2015-0001.

10. Andrada A., Barberis M.L., Dotti I.G., Ovando G. (2005) Product structures on four-dimensional solvable Lie algebras. Homology, Homotopy and Applications. 7(1). pp. 9-37. DOI: 10.4310/HHA.2005.v7.n1.a2.

11. Kobayashi S. and Nomizu K. (1963) Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York: Interscience Publishers.

12. Blair D.E. (1976) Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.

13. Diatta A. (2008) Left invariant contact structures on Lie groups. Differential Geometry and its Applications. 26(5). pp. 544-552. URL: https://doi.org/10.1016Zj.difgeo.2008.04.001.

14. Calvaruso G., Perrone A. (2016) Five-dimensional paracontact Lie algebras. Differential Geometry and its Applications. 45. pp. 115-129. DOI: https://doi.org/10.1016/j.difgeo. 2016.01.001.

Received: June 8, 2020